八年级数学上册人教版专题训练 课件：专题十三(共15张)

轴对称
形状
是否轴对称图 对称轴的数
形
量(条)
是
2
是 不是
4 -------
是
是
20
1
无数
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轴对称
对称轴问题
（1）有些轴对称图形的对称轴只有一条， 但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的 轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
（2）对称轴通常画成虚线，是直线，不 能画成线段。
21
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形，那么这两个图形关于这条直线＿对＿称＿；如果
把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个
图形就是__轴__对__称__图__形___．
30
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想一想：0-9十个数字中，哪些是
轴对称图形？（抢答）
01234
56789
31
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猜字游戏: 在艺术字中,有些汉字是轴对称的， 你能猜一猜下列是哪些字的一半吗？
3、（日照·中考）已知以下四个汽车标志图案： 其中是轴对称图形的图案是 （只需填入图案代号）.
【解析】根据轴对称的定义可以得出①③是轴对称图形. 答案：①③
39
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通过本课时的学习，需要我们： 1.了解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念.
2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴（直线），能找出 两个图形关于某直线对称的对称点.
28
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想一想
轴对称
轴对称图形
两个图形成轴对称
29
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比较归纳
轴对称
区别 联系
轴对称图形
_一___个图形
两个图形成轴对称
__两___个图形

【解题归纳】 注意结合等腰三角形的性质和三边关系的知识
3.等腰三角形底边长为5 cm,一腰上的中线把其周长分为 两部分的差为3 cm,则腰长为 8 cm .
等腰三角形与全等三角形的综合问题
例4 某校八(3)班在一次数学探究性学习活动中,探究“一般三角形具 备哪些条件,就能断定其是等腰三角形”的过程中,其中一个小组提出下列问题: 如图所示,△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条 件: ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC. (1)上述四个条件中,哪两个条件组合可判定△ABC是等腰三角形?(用序号写出所 有情况) (解2):选(1)择①第和(③1)问,①中和的④一,②种和情③况,②,证和明④△四AB种C情是况等,腰三角形. 均可判定△ABC是等腰三角形. (2)证明满足①和③的情形,理由如下:
A
C
B C , ∴ △ADC≌△BDC(SSS),
D C D C ,
∴∠BCD=∠ACD=
1 2
ACB=30°,∴∠P=30°.
等腰三角形与含有30°角的直角三角形的综合问题
例5 如图所示,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC 交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=1, 求BC的长. 解:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠C=60°,AB=BC=AC, ∵DE⊥BC,∴∠CDE=30°, ∵EC=1,∴CD=2EC=2, ∵BD平分∠ABC交AC于点D, ∴AD=CD=2, ∴BC=AC=AD+CD=4.
1 ∴∠BDC+ 2
∠ABC=
1 ∠ACE,∠BAC+∠ABC=∠ACE, 2
∴∠BDC+
1 2

(2)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠后，能 够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线 成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。
(3)图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线。
3
(4)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线。
13
例1 如图，以直线AE为对称轴，画出该图形的另一部分。
B C
A D E
解：作图过程如下：
(1)分别作出点B、C关 F 于直线AE的对称点F、H。
(2)连结AF、FD、DH、 HE，得到所求的图形。
H
14
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）
点P（a，b）关于y轴对y 称的点的坐标为（-a，b）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上。
4
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形 和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止 一条对称轴。
5
二、题目特点：
• 判断轴对称图形或对称轴的条数 • 根据轴对称图形的性质作对称轴 • 用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理 三、解题切入点：
4
A5E来自FG3
12
∴ AB=DB， ∠1= ∠2=60° 从而有 ∠3= ∠1=60° 在△ABF和△DBG中
∠3= ∠1
BC
∠4= ∠5
AB=DB
∴ △ABF≌ △DBG
∴ＢF＝ＢG
1.如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，求 △PED的周长 .
3
2
B1

全品大讲堂
数学
八年级 上册
新课标（RJ）
第十三章 轴对称
章末复习
第十三章 轴对称
章末复习
知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接
章末复习
知识框架
轴对称
等腰三角形
用坐标表 示轴对称
轴对称
章末复习
有关概念 轴 对 线段的垂 称 直平分线
有关性质
轴对称
轴对称图形 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 性质：线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等 判定：与一条线段两个端点距离相等 的点, 在这条线段的垂直平分线上 对应线段相等,对应角相等
相关题 5-3 如图13-Z-14, 已知：△ABC是等腰直角三角形, ∠A=90°, BD平分∠ABC交AC于点D, CE⊥BD, 交BD的延长 线于点E.求证：BD=2CE．
章末复习
证明：如图，延长 BA 和 CE 交于点 M. ∵CE⊥BD, ∴∠BEC＝∠BEM＝90°. ∵BD 平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.
章末复习
专题四 等边三角形与全等三角形的综合应用
【要点指导】等边三角形的性质与判定和全等三角形等知识综合, 为证明线段相等、角相等、线段的倍分问题提供了很好的思路和 理论依据, 此类题难度不大, 但是步骤烦琐, 属于中档题.
章末复习
例4 如图13-Z-7, △DAC, △EBC均是等边三角形, 点A, C, B在同一条 直线上, 且AE, BD分别与DC, EC交于点M, N, 连接MN. 求证：(1)AE=DB； (2)△CMN为等边三角形.
解 如图13-Z-3所示.
章末复习
相关题2 [绥化中考] 如图13-Z-4,在8×8的正方形网格中,每个 小正方形的边长都是1. 已知△ABC的三个顶点都在格点上, 画 出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.

正方形ABCD面积的一半，∵正方形ABCD的边长为4cm， ∴S阴影＝42÷2＝8(cm2).故选B.
方法归纳：正方形是轴对称图形，在轴对称图形中 求不规则的阴影部分的面积时，一般可以利用轴对 称变换，将其转换为规则图形后再进行计算.
当堂练习
1.观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形？
√
√
√
√
√
方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度 时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度 数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.
例2 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中 阴影部分的面积为( B )
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于
（1）
（2）
思考：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， 点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′， BB′，CC′与直线MN有什么关系？
A
AA′⊥MN，
M A′
BB′⊥MN，
B
B′
CC′⊥MN.
C
C′
N
知识要点
线段垂直平分线的定义
M
经过线段中点并且垂直于这条
线段的直线，叫做这条线段的
A
P
垂直平分线.
B
如图，MN⊥AA′， AP=A′P.
C
直线MN是线段AA ′的垂直平分线.
N
图形轴对称的性质
A'
B' C'
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任 何一对对应点所连线段的垂直平分线.
一个轴对称图形的对称轴是否也具有上述性质呢？ 请你自己找一些轴对称图形来检验吧！

84°
B
42°
A
12. 如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形
13. 等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？ 两腰上的高呢？证明其中的一个结论.
14. 如图，P，Q 是△ABC 的边 BC 上的两点，并且 BP = PQ = QC = AP = AQ，求 ∠BAC 的度数.
D
C
A
E
B
6. 如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上. AB = AC， AD = AE. 求证 BD = CE.
A
B
D
EC
7. 如图，AB = AC，∠A = 40°，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D. 求∠DBC 的度数.
A
M D N
B
C
综合运用
8. 尺规作图: 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
算一算∠AMB 等于多少度.
A
B NM
4．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 AB = AC，立柱 AD⊥ BC，且顶角∠BAC = 120°. ∠B，∠C，∠BAD，∠CAD 各是多少度？
A
B
C
5. 如图，∠A = ∠B，CE // DA，CE 交 AB 于点 E. 求证: △CEB 是等腰三角形.
A
E
B
D
C
综合运用
7. 平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形吗？ 如果是，它有几条对称轴？
8. 如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？
d c
e
b
f
a
解: 虚线 b，d，f 是图形的对称轴.
9. 如图，AD 与 BC 相交于点 O，OA = OC，∠A =∠C， BE = DE. 求证: OE 垂直平分 BD.

_△__A_B_C_、__△__D_B__A_、_△__B_C_D____.
A
D
B
C
随堂即练
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于 点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若 BM＋CN＝9，则线段MN的长为___9__.
随堂即练
6.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小
第十三章 轴对称
13.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
学习目标
1 .掌握等腰三角形的判定方法.（重点） 2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计
算.（难点）
情境引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被 墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问， 有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
求证：AB=AC．
E
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， A 1
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
2D
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
B
C
新课讲解
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.
证明：∵ AD∥BC，
A
D
∴∠ADB=∠DBC.
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
随堂即练
3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直
线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点
的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ D ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
b
1
O

在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
探究新知
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长
A
连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥
C.
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
C′ D ′
于则是四A边D形=AFDF′D, ′D为平行四边形， 同理，BE=GE′，
E E′
由两点之间线段最短可知，GF最小.
BG
课堂检测
拓广探索题
1如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点 组 成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
A 图① B
A
P
O 图②
BO
A
M
N B
图③
课堂检测
D C
AP
PA
'
E
P
C' 图①
O
F
B
图② P''
B
A M'
E
M
N
O
B F
图③ N'
课堂小结 原 理 线段公理和垂线段最短
最短路径 问题
最 短路 径 问题
解题方法
轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
解题方法
关键是将固定线段“桥” 平移

CD⊥AB 于点 D，试推导 BD 与 AD 的数量关系． 解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴BC＝12AB. ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∠1＋∠B＝90°. 又∠A＋∠B＝90°，∴∠1＝∠A＝30°. ∴BD＝12BC.∴BD＝14AB，即 AB＝4BD. ∴AB－BD＝3BD，即 AD＝3BD.
命题点 含 30°角的直角三角形的性质 9. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠CAB 的平分 线交 BC 于点 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E.若 BC＝3，则 DE 的长为( A )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】∵DE 垂直平分 AB，∴DA＝DB，∴∠B＝ ∠DAB，∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∵∠C ＝90°，∴3∠CAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∵AD 平分
∴AB∶BC＝2x∶x＝2∶1； 当(BC＋CD)∶(AB＋AD)＝3∶2，即(BC＋x)∶(2x＋
7 x)＝3∶2 时，解得 BC＝2x，
7 ∴AB∶BC＝2x∶2x＝4∶7.
4. (2017·湘潭)如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE 垂直平分 AB，垂足为 E 点，请任意写出一组相等的线段 BE＝EA等 ．
5. (2017·安徽节选)如图，在边长为 1 个单位长度的小 正方形组成的网格中，给出了格点△ ABC 和△ DEF(顶点 为网格线的交点)，以及过格点的直线 l.
解：(1)如图所示； (2)∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝50°， ∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝100°.
命题点 等腰三角形与等边三角形 6. 如图，点 B，C，E 在同一直线上，△ ABC 与△ CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是( D )

6．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形， 且∠BDC＝120°.以D为顶点作一个60°角， 使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN. (1)求证：MN＝BM＋NC； (2)求△AMN的周长为多少？
解：(1)证明：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴∠BCD＝∠DBC＝30°. ∵△ABC是边长为3的等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°， ∴∠DBA＝∠DCA＝90°， 延长AB至点F，使BF＝CN，连接DF，
AB＝AC， 在 Rt△ABF 和 Rt△ACE 中，BF＝CE， ∴Rt△ABF≌Rt△ACE(HL)，∴∠ACE＝∠B
2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于 点D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.
证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝12 AC.
5．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°， BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB＝AD＋BC.
证明：方法一：(截长法)，如图①，在AB上截取BE＝BC， 连接ED，△BCD≌△BED， 易求∠AED＝∠ADE＝72°，∴AD＝AE，∴AB＝BE＋AE＝BC＋AD. 方法二：(补短法)，如图②，延长BC至F，使BF＝AB，连接FD， 只证AD＝DF＝CF即可
第十三章 轴对称
专题训练(八) 特殊三角形中常见添加辅助线的方法
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，CE⊥AE 于点 E，CE＝12 BC， 点 E 在△ABC 外，求证：∠ACE＝∠B.
证明：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，∵AB＝AC，∴BF＝CF. ∵CE＝12 BC，∴BF＝CE.∵CE⊥AE，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，

的直线就是角的对称轴.
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？ 画出它们的对称轴.
练习4：如图，在Rt△ABC
中，∠C＝90°，AD是角平
分线且AD＝BD，AC＝10.
求AB的长度.
A
提示：过点D作
E
DE⊥AB于E
B
D
C
课堂小结
（1）说一说本节课我们 学习了哪些内容？你有什 么收获？
M
1.垂直平分线的定义：
例2：如图是一颗五角星，你能作出它的所有对称 轴吗？
作法：
A
A’
1.找出 l.
用类似的的方法，就可
l
以作出其他四条对称轴.
你也试一试！
练习1：作出下列图形的一条对称轴，和同学比较 一下，你们作出的对称轴一样吗？
练习2：如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的 对称轴是什么？角是轴对称图形，角平分线所在
2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点， 以及对称轴的位置．
3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称 例子．
4．概念应用：(1)教材第60页练习第1题． (2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴 对称图形，它们的对称轴是什么？
(二)两个图形关于某条直线对称 1．观察教材中的图13.1－3，思考：图中的每对图形有什 么共同的特点？ 2．两个图形成轴对称的定义． 观察右图：
的直线垂直平分线段AB．其中正确的C个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平 分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周 长。
解：∵ED是线段AB的垂直平分线
E
∴ BD=AD
∵ C△BCD=BD+DC+BC

•
新课讲解
作法：（1）分别以点A和B为圆心，
以大于1 AB的长为半径作弧，
2
两弧交于C、D两点.
A
（2）作直线CD.
CD就是所Байду номын сангаас作的直线.
C B
D
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图， 我们也可以用这种方法确定线段的中点.
新课讲解
2 作轴对称图形的对称轴
【想一想】下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这
距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从 而作出线段AB的垂直平分线.
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.8.1021.8.10T uesday, August 10, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。21:41:1121:41:1121:418/10/2021 9:41:11 PM
些对称轴呢？
l
作法：（1）找出五角星的一对
A
B
对称点A和B，连结AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线l．
则l就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴， 所以五角星有五条对称轴．
新课讲解
方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出 对称点所连线段的垂直平分线，就能得此图形的对称轴.
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月下 午9时41分21.8.1021:41August 10, 2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021年8月10日星期 二9时41分11秒21:41:1110 August 2021

•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 1:39:25 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/152021/9/152021/9/15Sep-2115-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/152021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月15日星期三2021/9/152021/9/152021/9/15 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/152021/9/15September 15, 2021 •17、儿童是中心，教பைடு நூலகம்的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/15