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五年级数学数学竞赛试题答案及解析1.我国首艘航母辽宁舰的弦号是16，这个数共有个因数．【答案】5【解析】分析：找一个数的因数，可以一对一对的找，把16写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是16的因数，然后从小到大依次写出即可．解答：因为16=1×16=2×8=4×4，所以这个数共有5个因数：1、2、4、8、16．【考点】找一个数的因数的方法．2.同时是2、 3、 5的倍数的数是（）A、75B、18C、120【答案】C【解析】同时是2和5的倍数特征是：个位是0。
只有120符合条件，1+2+0=3,3是3的倍数，120同时也是3的倍数，故本题选C。
3.在15、18、25、30、19中，2的倍数有，5的倍数有，3的倍数有，既是2、5又是3的倍数有．【答案】18、30；15、25、30；15、18、30；30．【解析】根据2、3、5的倍数特征分析解答；①个位上是0、2、4、6、8的数就是2的倍数；②个位上是0或5的数就是5的倍数；③各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；④个位上是0，各个数位上的和是3的倍数，这样的数是2、5、3的倍数．解：在15、18、25、30、19中，2的倍数有 18、30；5的倍数有 15、25、30；3的倍数有 15、18、30；既是2、5 又是3的倍数有：30．故答案为：18、30；15、25、30；15、18、30；30．【点评】本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意牢固掌握2、3、5的倍数特征，灵活运用．4.按要求填数．627 97 100 0 1 41 35 4 3 2奇数：．偶数：．质数：．合数：．【答案】627，97，1，41，35，3；100，0，4，2；97，41，3，2；627，100，35，4．【解析】根据质数与合数、奇数与偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此解答．解：奇数：627，97，1，41，35，3．偶数：100，0，4，2．质数：97，41，3，2．合数：627，100，35，4．故答案为：627，97，1，41，35，3；100，0，4，2；97，41，3，2；627，100，35，4．【点评】解答本题主要明确自然数，合数、质数、奇数、偶数的概念．5.五年级（1）班学生进行队列表演，每行12人或16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，这个班有多少人？【答案】48人．【解析】由题意得：要求这个班有多少人，因为这个班的学生不到50人，所以也就是求12和16的最小公倍数是多少，根据求两个数的最小公倍数的方法进行解答即可．解：12=2×2×3，16=2×2×2×2，因为这个班的学生不到50人，所以12和16的最小公倍数为：2×2×3×2×2=48；答：这个班有48人．【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．6.如果b是a的2倍（a≠0），那么a、b的最大公因数是a，最小公倍数是b．．（判断对错）【答案】×【解析】a、b必须是不为0的自然数，b是a的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数是较大的数；由此解答问题即可．解：由题意得，b÷a=2（a≠0），a、b如果是0.2和0.4不是自然数，则不存在a和b的最大公因数是a，最小公倍数是b．故答案为：错误．【点评】此题主要考查求两个部位0的自然数数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数是较大的数．7.四（1）班的优秀学生进行照相，4人一组或5人一组都正好分完，这批学生至少有多少人？【答案】20人．【解析】由“4人一组或5人一组都正好分完，”可知这批学生人数既是4的倍数又是5的倍数，即求4和5的最小公倍数，据此解答即可．解：4和5的最小公倍数为：4×5=20答：这批学生至少有20人．【点评】此题主要考查最小公倍数的应用：是互质数的两个数，最小公倍数即这两个数的乘积．8.两个数的（）的个数是无限的。
2016 年第27 届亚太小学奥林匹克（上海赛区初赛）五年级A卷90 分钟（总分：150 分）2015 年12 月21 日下午18: 30 20 :00（注意事项）1 尽量解答所有问题。
2 不准使用数学用表或计算器。
3 答案请另填写在所提供的第一回合的作答卷上。
4 只有正确答案才能得分。
【第1 题】计算：91.5 19.8 80.2 ________ 。
【分析与解】计算，加法结合律。
91.5 19.8 80.2 91.5 19.8 80.2 91.5 100 191.5【第2 题】计算：若A* B表示A3B A B，那么8*9 ________ 。
【分析与解】定义新运算。
8*9 8 398 9595【第3 题】某班学生手中分别拿红、黄两种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34 人，手中有黄旗的共有26 人，手中有红、黄两种小旗的有9 人，那么这个班共有_______ 人。
（每个学生手上都拿着小旗）【分析与解】容斥原理。
由容斥原理，这个班共有34 26 9 51人。
如图，每个小方格都是边长为1的正方形，图中共有_______ 个不同的正方形。
【分析与解】图形计数。
将原图右上角补一个小方格，使之变成5 3 的方格网。
11的小方格有5 3 15 个；2 2 的小方格有4 2 8个；3 3 的小方格有31 3 个；其中包含右上角阴影小方格有3个（11的小方格、2 2 的小方格、3 3 的小方格各1个）；故原图中共有15 8 3 3 23个不同的正方形。
从一个正方形的木板上锯下宽1m的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为6m2 ，那么锯下的长方形木条面积是_______ 平方米。
1m6m2【分析与解】几何，面积。
设原来正方形的边长为x米（x1）；则剩下的长方形的长为x米、宽为x1米；故x x1 6 ；经尝试，当x3时，方程成立；当x1时，x越大，x x1越大；故x 6 是方程的唯一正整数解。
锯下的长方形木条面积是31 3 平方米。
2016年第27届亚太小学奥林匹克（上海赛区初赛）四年级A 卷90分钟（总分：150分）2015年12月21日下午18:3020:00-（注意事项）1 尽量解答所有问题。
2 不准使用数学用表或计算器。
3 答案请另填写在所提供的第一回合的作答卷上。
4 只有正确答案才能得分。
【第1题】47258________⨯⨯=。
【第2题】对于任何两个数a 和b ，定义新预案算“⊕”为：1a b a b ⊕=⨯-，那么()532________⊕⊕=。
【第3题】一队学生站成19行19列的方阵，去掉5行5列，变成一个14行14列的方阵，要减少________学生。
【第4题】如图，每个小方格都是边长为1的正方形，图中有________个含有阴影小方格的正方形。
如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，现在把它分成四个小长方形，长方形AEOG 与长方形FCHO 这2个小长方形的周长之和________厘米。
O H G FE DCB A【第6题】小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位上的6与个位的9看反了，结果和是174，那么正确的结果应该是________。
【第7题】小明家的小狗喝水时间很规律，每隔5分钟喝一次水，第一次喝水的时间是8点整，当小狗第20次喝水时，时间是________。
【第8题】若干名学生参加跳远和游泳比赛，其中跳远比赛获奖的有16人，游泳比赛获奖的20人，两项比赛都获奖的有7人。
那么有________名学生获奖。
【第9题】201519表示2015个19连乘，那么所得的积的末位数字是________。
【第10题】3572015++++ 的结果________。
（填写“奇数”或“偶数”）十进制()1023在六进制中表示为()635，()()()661013512________+=。
【第12题】用加减乘除四则运算及添括号将1、2、7、7四个数列式计算得到24。
（每个数都要用一次且只能用一次）__________________________________________________。
知识提要第一讲速算与巧算8．要熟记2x5=10，4x25=100，8x125=1000，一个数乘10，就是在这个数后面加上一个零；乘100，就是在这个在每次数学竞赛中．都有一定数量的计算题，计算题一般可以分为两类：一类是基本题，主要考查同学们对基本知识的理解和掌握的程度；另一类则是综合性较强和灵活性较大的题目．主要是考查同学们灵活、综合应用知识的能力，这就要求同学们必须要有扎实的基础知识和熟练的技能技巧．简便运算主要是应用加法交换律、结合律；减法的性质；一个数减去几个数的和，可以从被减数中依次减去各个减数；一个数连续减去几个数，可以从被减数里一次减去各个减数的和；乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律：除法的性质等进行简便运算．技巧运算主要根据试题的特点，寻找某种规律或应用某些公式把算式变形，从而达到运算简便的目的．常用方法主要有以下几种方法：1．交换法：看哪几个数能凑成整十、整百，就交换它们的位置，把它们凑在一起计算，交换位置时要连同它前面的运算符号一起交换．2．拆数法：就是把一个数拆成两个数或几个数，使分拆后的数能和其他数凑成整十、整百．3．结合法：就是把能凑成整十、整百的数用括号结合在一起，使计算简便．4．去括号法：如果括号前面是加号，去括号后，原数的加、减符号都不变；如果括号前面是减号，去括号后，原来括号里的加号要变为减号，原来的减号要变为加号．5．添括号法：如果需要改变运算顺序，就要添加括号．如果括号前面是加号，括到括号里面的各个数都不用改变符号．如果括号前面是减号，括到括号里面的数原来的加号要变成减号，原来是减号要变成加号．6．基准数法：如果n个数都接近某个数，就把原来的，n个数都看作是这个数．再比较．多加了几要减去几，少加了几，再加上几；多减了几，就加上几，少减了几就减去几．计算结果不变．7．利用等差数列求和法进行简算．数后面加上两个零；乘1000，就是在这个数后面加上三个零．基本技巧一、基本运算律l．加法交换律：a+b=b+a；2．加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)；3．减法的性质：a-b-c=a-(b+c)；4．乘法交换律：axb=bxa；5．乘法结合律：axbxc=(axb)×c=ax(b×c)；6．乘法分配律：ax(b+c)=axb+axc，ax(b-c)=axb-axc；7．除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)．二、数列及特殊公式1．等差数列(1)通项公式：a=a+（n-1）d；n1(2)求项数公式：n=+1；(3)求和公式：S=．2．等比数列：a=a×q n-1；Sn=(q≠1)．n13．1+2+3+…+n=×n×(n+1)；12+22+32+…+n2=×n×(n+1)×(2n+1)．4．1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2．三、常用的运算性质(1)积不变的性质：若一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，则积不变．(2)商不变的性质：被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变．四、一些特殊计算的解题技巧(1)一个两位数乘以11技巧：在这个两位数的数字之间，写这个两位数的数字之和，如果和满十，要向前一位进一，个位仍写在两数中间，如：81x11=891，73x11=8038+17+3(2)一个三位数乘以101技巧：先将三位数加上它的百位数，再自左至右写下这个三位数的后两位数字．如：436x101=44036，348x101=35148．436+4348+3典例精讲例1、计算：321x250x125x32．分析：可将32分解成4x8后，再根据乘法的交换律和结合律进行简便运算．解：原式=321x250x125x8x4=321x(250x4)x(125x8)=321xl000xl000=321000000．例2、计算:2006+200．6+20．06+2．006+994+99．4+9．94+0．994．分析1：通过审题就能够发现2006和994可以凑整为3000，200．6和99．4可以凑整为300，其余各项依次类推．解法1：原式=(2006+994)+(200．6+99．4)+(20．06+9．94)+(2．006+0．994)=3000+300+30+3=333 3．分析2：通过观察，可以发现式子的前半部分和后半部分分别有整数公因数2006和994．解法2：原式=2006×(1+0．1+0．01+0．001)+994×(1+0．1+0．01+0．001)=(2006+994)x1．111=3333．例3、计算:3．56x32+2．5x35．6+0．356x430．分析：可根据“积不变的性质”将算式进行改写：原式=35．6x3．2+2．5x35．6+35．6x4．3．这样每一个乘法算式中都含有相同因数35．6，可用乘法分配律进行合并．解：原式=35．6x3．2+2．5x35．6+35．6x4．3=35．6x(3．2+2．5+4．3)=35．6xl0=356．例4、计算：1995×73+×730+153．3．分析：“73”好像是关键，如果可以提取73．那不是很简单吗？解：原式=1995．5x73+0．24x73x10+73x2．1=73x(1995．5+2．4+2．1)=73x2000=146000．注：(1)提取公因数的两大特征：一是要有“公因数”，“疑似”公因数也不错，我们可以借助下面两招对它加工．二是要有互补数．(2)axb=（ax10）×（），axbxc=ax(bxc)．(3)变招xc=xa例5、计算：（0．523x3+0．227x3）×11-×11．分析：(1)本题中含有几种运算，先算什么？(2)括号内的式子有何特点，能提公因数吗？其余的呢？你能试试吗？相信你能行．解：原式=[3×(0．523+0．227)]x11-×11=(3x0．75)×11-x11=(×)×11-x11=×11-x11=11×=22．例6、计算：1064÷28+1736÷28．分析：1064和1736都除以28．可以将两数合并后再除以28．解：原式=(1064+1736)÷28=2800÷28=100．第二讲巧找规律知识提要1．按一定规律排列的一串数．通常称为数列，从数列中找规律，常见的有三种情况：一种情况是根据前后两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；另一种情况是根据相隔两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；第三种是分群数列．2．关于一些数、图形和事物的变化是循环出现的，这种特殊的规律问题称为周期问题．解答这类问题，关键掌握以下几点：(1)数、图形或事物的变化是不是具有周期性；(2)每个周期的长度是多少；(3)每个周期内变化的次序；(4)解答此类问题，用问句中的数据除以周期的长度，并把所得余数同一个周期内某种状态相对应．常用规律1．两个整数和与积的尾数分别等于这两个整数尾数的和与积的尾数．2．求若干个整数连乘的积的末尾有多少个零．要研究这些整数中含有多少个因数2和多少个因数5，一般求较少的一个即可．3．对分数串问题要注意观察是不是分群数列；观察分子、分母的变化，观察是不是呈等差或等比数列的形式出现．4．研究循环小数中重复出现的周期现象．首先找出变化周期．确定循环小数的循环节长度及每一循环节中的数字结构，找出规律，灵活解答问题．5．整数计算的个位数字有一些常见的规律：(1)一个数的平方，其个位数字只能是0、1、4、5、6、9；(2)设a是任意整数，a5与a的个位数字相同；(3)一个整数，如果它的个位数字是1，5或6，那么这个整数的平方的个位数字也是1，5或6；(4)两个连续自然数的乘积的个位数字只能是0，2，6．典例精讲例1、在下列图中填出所缺的数．(1)(2)分析：图形有趣吧！仔细观察两组图像什么？哈！(1)题像不像张衡发明的地震仪，就是癞蛤蟆少了几只，你发现大圆中的数与四周小圆中数的区别了吗？它们之间有什么样的关系呢？先看一下一个图形中各数之间的关系，再看其他图形中的数是否也符合这个关系，记住几个图形中的关系要一致！(2)题的“拖拉机”怎么样，后轮（圆）与“拖拉机”之间留有空隙，这给你什么启示？设想一下，找出规律．解：(1)分析图形中数据可知：(5+4+6+2)x2=34，(3+4+6+7)x2=40，(5+7+3+4)x2=38，(1+3+5+7)x2=32．规律：4个小圆内数的和等于大圆内数的一半．则最后一个图形中大圆中的数为：(8+4+2+6)×2=40．(2)由图中数据可知：(3-1)x6=12，(5-2)x2=6，（6-3）×7=21．. .规律：两个三角形中的数之差（大数减小数）与正方形中 的数相乘，结果应等于圆内的数．则空白处应填(7-3)x4=16．例 2、一串数排成一行，前两个数都是 1．从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即 1，1，2，3，5，8，13，…，这串数的前 2009 个数中，共有 5 的倍数多少个？分析：(1)这串数按要求写下去会发现什么规律呢？(2)问“5 的倍数”，你有什么想法？会找到规律吗？(3)把这串数按要求多写出一些，除以 5 的余数看看吧！ 你会发现奇迹的！解：在此数列中，除以 5 的余数为 1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3， 0，…，可见，依上面的顺序余数的排列规律是 20 个为一周期， 每 20 个数中是 5 的倍数的有 4 个．2009-20=100．．．9．即这串数的前 2009 个数中．5 的倍数共有 4xl00+1=401（个）．例 3、下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…，问：(1)第 2009 个算式是()+()；(2)第几个算式的和是 3000．分析：观察每一个式子有什么特点？有几个加数，每一个 加数有规律吗？沿着这个思路，你也会发现新大陆！解：(1)第 1 个加数依次为 1，2，3，4，1，2，3，4，…，每 4 个数循环一次，重复出现．因为 20094 商 502 余 1，所 以第 2009 个算式中的第 1 个加数是 1．这些算式中的第 2 个加数依次是 1，3，5，7，9，…，形若 3+x=3000，则 x=2997．根据等差数列的项数公式， 得(2997-l)÷2+1=1499，这说明 2997 是等差数列 1，3，5，7， 9，…中的第 1499 个数，又 1499-4=374……3，说明第 1499 个算式中的第 1 个加数是 3，所以，第 1499 个算式为3+2997=3000．因此，第 1499 个算式的和是 3000．例 4、有一串数按下面的规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…问从左边第一个数起，数 100 个数， 这 100 个数的和是多少？分析：观察这组数，我们发现这些数的排列有这样的规律：把它们三个三个地分组(1，2，3)、(2，3，4)、(3，4，5)、 (4，5，6)、…，每一组数都是由 3 个连续自然数组成，它们 的和等于中间一个数的 3 倍．100÷3=33……1，也就是说，第100 个数在第 34 组中，并且是 34，求前 100 个数的和，就是 求前 33 组数的和与 34 的和是多少．解：由题意，得 2x3+3x3+4x3+…+34x3+34=3x(2+3+……+34)+34=3× ×(2+34)×(34-2+1)+34=3× ×36x33+34=1782+34=1816．例 5、我国古代数学家祖冲之在数学上的重大贡献是推算 出圆周率 π 的值在 3．1415926 与 3．1415927 之间，比欧洲早 1000 多年， 是 π 的近似值， 化为小数后小数点后的第 2010 位上的数字是多少？分析： 是纯循环小数，循环节是多少？解： =3．142857，循环节的长度为 6．成了首项为 1，公差为 2 的等差数列．根据等差数列的通项公 式可知第 2009 个算式的第 2 个加数是：1+(2009-1)x2=1+4016=4017．即第 2009 个算式是 1+4017．(2)由于“和”3000 是偶数，根据这些算式所得和的排列规 律可知，只有 1+x=3000 或 3+x=3000．其中 x 是数列 1，3，5，7，9，…中的某个数．下面用试验法求出 x 值．若 1+x=3000．则 x=2999，根据等差数列的项数公式，得(2999-1)÷2+1=1500，这说明 2999 是数列 1，3，5，7，9，…中的第 1500 个数，而 1500-4=375．这说明第 1500 个 算式中的第一个加数是 4．与假设 1+x=3000 矛盾．所以 x≠2999．2010÷6=335．因为循环节的第 6 个数字是 7．所以为小数后的第 2010 位上的数字是 7．化□□x□13□ □□x □□错误!□□ □知识提要第三讲定义新运算例 3、有一个数学运算符号“#”，使下列算式成立： 3#4=2，5#3=7，3#5=1，8#2=14．求 9#3=?18#24=?学数学离不开运算，运算可以说是一种规定，一种对 应．在小学数学竞赛中，常出现一些按新定义进行运算的问 题．解这类题虽不需要新的数学知识．但必须仔细阅读题目， 认真理解新运算的意义，严格按新规定进行运算，这样才能求 得正确的结果．什么是定义新运算呢？就是用一种特定的符号来表示特定分析：解这类题目的关键是弄清新运算的实质．通过给出 的几个算式，你有什么新发现吗？要认真啊！解：由已知算式可知：3#4=3x2-4=2，5#3=5x2-3=7，3#5=3x2-5=1，8#2=8x2-2=14．故我们发现 A#B=2A-B ．因此：9#3=2x9-3=15，18#24=2x18-24=12．的运算，在特殊的场合下有特殊的作用，它们与我们常用的“+、-、×、÷”这些运算有可能不相同．运算时要严格按照新 运算的定义进行代换，再进行计算，具体程序如下：5 例 4、如果 6△2=6+7=13，△4 3=4+5+6=15，△4=5+6+7+8=26，而 6△2+4△3+5△4=(6+7)+(4+5+6)1．代换：即按照定义符号的运算方式方法进行代换，注 +(5+6+7+8)=13+15+26=54．意此程序不能轻易改变原有的运算顺序．那么，1△50+2△50+3△50+…+50△50 的值是多少？2．计算：对代换后的算式准确地计算其结果．典例精讲例 1、对于任意两个数 a 、b ，定义运算“※”：a ※ b=2a+3b ．分析：由题中几例可知，△a 6 表示 6 个连续自然数的和 且 a 是最小的一个，解：△l 50=1+2+3+4+…+48+49+50==1275，计算：5※6 的值．分析：根据题中的定义运算“※”知，a ※b=2a+3b ．要求2△50=2+3+4+5+…+50+515※6，即当 a=5，b=6 时 a ※b 的值，把给出的数值代入并计 算可得．= =1325，解：5※6=2x5+3x6=10+18=28．3 △50=3+4+5+…+51+52例 2、假设一种运算符号 ， y 表示把 x 和 y 加起来被4 除．= =1375，…………(1)求 17 的值：(2)求 2 （3 5）的值，50 △50=50+51+52+---+98+99分析：明确 y=(x+y)÷4．解：(1)13 17=(13+17)÷430÷4=7．5．(2)25)=2 [(3+5)÷4]= =3725．所以 1△50+2△50+3△50+…+50△50=1275+1325+1375+…+3725（ ）=2 (8÷4)=2 2=(2+2)÷4=1．=第四讲数字谜=125000知识提要在一个数学算式里，缺少一些数字，或用别的符号字母、文字来代替算式中的某些数字．要我们求出算式中缺少的数字或被替代的数字是什么？我们称它为数字谜．数字谜是与数字有关的一种有趣的数学问题，一般情况下，相同的汉字、字母或符号代表相同的数字，不同的汉字、字母、符号代表不同的数字，解答这类问题一般分三步：审清题意，寻找突破口，试验解答．（1)审清题意．分析算式中隐含的数量关系及数的性质．（2)选择题中有特征的部分作为解题的突破口．先做一些局部推理．（3)在确定所求的数字时，可采用试验法，为了减少试验的次数，要掌握估算的方法，对数字进行合理的估计，逐步排除一些取值的可能，缩小取值范围，尽快得到准确答案．典例精讲例1、在图1的算式中，汉字“河、北、数、学、素、质、杯”代表1、2、3、4、5、6、7、8、9中的7个数字．不同的汉字代表不同的数字，使得加法算式成立．“河、北、数、学、素、质、杯”所代表的7个数字的和等于多少？分析：(1)你对l，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字很熟悉是吗？那你了解它们吗？知道它们中任意两个数字之和的最大值和最小值吗？(2)“2009”特殊吧！仔细研究它．解：根据加法法则：“河”=1．“学”+“杯”9．“数”+“质”=10．“北”+“素”=9．所以“河”+“北”+“数”+“学”+“素”+“质”+“杯”=1+9+10+9=29．例2、在图2的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，如果巧+解+数+字+谜=30．求出“数字谜”所代表的三位数是什么？分析：(1)“金字塔”式竖式，你找到突破口了吗？(2)个位上的“谜”字擦亮你的眼睛了吗？它是几？(3)沿着这个思路向下推理，“金字塔”你也能征服．解：(1)由个位五个“谜”字的和的末位数字还是“谜”，可知谜字只可能是0或5，如果谜=0，那么字=0，与题中条件不符，所以谜=5．(2)五个“谜”的和为25，向十位进2．又因为四个“字”的和加上2的末位数字还是“字”，所以字=6．(3)四个“字”的和加上2等于26，向百位进2，则满足条件的“数”可能是4或9．如果数=4，向千位进1，则解=9．故解+数+字+谜=9+4+6+5=24，又因为巧+解+数+字+谜=30，所以巧=30-24=6．则“巧”和“字”相等，不符合条件．故数只能为9．向千位进2，那么解=8，巧=30-8-9-6-5=2．符合题意．综上所述，“数字谜”所代表的三位数是965．例3、图3的残缺算式中只知道三个“4”．那么补全后它的乘积是．分析：为了好说话，让我们用字母表示数，如图4所示．A中4出现在最高位，可以利用此突破，好好想想！解：如图4，(1)由cx4a=A，A百位数为4，可知c=8或9，若c=8，则c×a必须向前进8，不可能，所以c=9．(2)c=9时，ax9至少向前进4，即ax9≥40，知a≥5，故a=5，6，7，8，9．(3)对a=5，6，7，8，9进行逐一验算．若a=5，则A=405，f=4，但5xb末位数字不可能为4，排除．若a=6，则A=414，f=3，但6xb末位数字不可能为3，排除．若a=7，则A=423，f=2，7xb末位数字为2，则b=6，所以乘积为3243．若a=8，则A=432，f=l，但8xb末位数字不可能为1．排除．若a=9，则A=441，f=0，但9xb末位数字不可能为0，排除．□即残缺算式为 48x69=3243．所以补全后残缺算式的乘积是 3243．例 4、已知图 5 的除法算式中，每个 表示一个数字，那 么被除数应是．分析：此题属于数字谜中的复杂题型．题目给出的已知数字只有两个．不能直接使用个位分析法与高位分析法．但可以 结合数位考虑利用数值大小估值的方法进行分析．解：在必要的地方填上字母，如图 6 所示．(1)易知 d=0，因为 8xab=B ，而 B 是两位数，所以可估 算推知 ab=10，11，12．(2)又因为 cxab=A ，A 为 3 位数，结合 ab=10，11，12可知 c=9 且 ab=12．将其他各数补充完整即可．则被除数=12x9807=117684．知识提要第五讲数的整除性质 5 如果数 a 能被数 b 整除．那么 am 也能被 bm 整除， 即如果 b ｜a ，那么 bm ｜am(m 为非 0 整数)．在整数范围内，两个数相除，余数为零（没有余数）或不 为零．两种结果必定有一种成立，如果余数为零．我们就说被 除数能被除数整除，即整数 a 除以整数 b(a≠0)，除得的商正 好是整数，我们就说 a 能被 b 整除（也可以说 6 能整除 a ）， 记为 b|a ．如果数 a 能被数 b(6≠0)整除，a 就叫做 b 的倍数，6 就叫做 a 的因数（或约数）．由于 0÷b=0(b≠0)，就是说零能被任何非零整数整除．因 此．零是任意非零整数的倍数．1 是任意一个整数的因数，也就是说，对于整数 a ，都能 保证 1｜a 成立．同样，由于 a÷a=1（a≠0），也就保证一个 非零整数必能整除它本身，也就是 a ｜a(a≠0)．1．整除的性质性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或 差也能被 c 整除，即如果 c ｜a ，c ｜b ，那么 c ｜（a±b ）．性质 2 如果数 a 能被数 b 整除．b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b ｜a ，c ｜b ，那么 c ｜a ．性质 3 如果数 a 能被数 6 与数 c 的积整除．那么 a 也能被b 或c 整除．即如果 bc ｜a ，那么 b ｜a ，c ｜a ．性质 4 如果数 a 能被数 b 整除．也能被数 c 整除，且数 b和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除．即如果 b ｜a ，c ｜a 且(b ，c)=l ，那么 bc ｜a ．性质 6 如果数 a 能被数 b 整除．且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除，即如果 b ｜a ，且 d ｜c ，那么 bd ｜ac ．2．数的整除具有如下的特征：(1)能被 2 或 5 整除的数的特征：个位上的数字分别能被2 或 5 整除．(2)能被 4 或 25 整除的数的特征：末两位数能被 4 或 25整除．(3)能被 8 或 125 整除的数的特征：末三位数能被 8 或125 整除．(4)能被 3 或 9 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 或 9 整除．(5)能被 11 整除的数的特征：奇数位数字之和与偶数位数 字之和的差（以大减小）能被 11 整除．(6)能被 7、11、13 整除的数的特征：末三位以前的数字所表示的数与末三位数字所表示的数的差（以大减小）能被 7、 11、13 整除．典例精讲例 1、按要求填空：□□ □□□5500…0 这个数，只要判断，44□55 能被□18□0□在 1278、4632、54684、119375、37625、93648、87615、1448764 中，(1)能被 9 整除的数有；(2)能被 4 整除 的数有；(3)能被 25 整除的数有；(4)能被 125 整除的数有；(5)能被 7 整除的数有；；(6)能被 11 整除的数有；(7)能被 8 整除的数有．分析：要判断上述数能被哪些数整除，可以用直接试商的方法．也可以从能被特殊数整除的数的特征入手，因能被 4、 25、125、8 整除的数的特征简易判断，所以先判断哪些数能 被 4、25、125、8 整除，然后判断能被 9 整除的数的特征， 最后选择能被 7 和 11 整除的数．解：(1)能被 9 整除的数有：1278、54684、87615；(2)能被 4 整除的数有：4632、54684、93648、1448764：(3)能被 25 整除的数有：119375、37625；(4)能被 125 整除的数有：119375、37625；(5)能被 7 整除的数有：54684，37625；(6)能被 11 整除的数有：87615；(7)能被 8 整除的数有：4632、93648．例 4、一个 41 位数，444…4 555…5 能被 7 整除，那20 个 420 个 5么中间方格内的数是几？分析：我们可以将这个 4l 位数，分成三部分来考虑能否被 7 整除 444…4 555…5=444…400…0+44 5500…0+20 个 420 个 518 个 423 个 018 个 055…5．18 个 5因为 444444=4x111111，555555=5x111111，而 111111=3x7x11x13x37．这样 18 个 4 和 18 个 5 分别 组成的数也都能被 7 整除．解：原数=444...400...0+44 5500...0+55 (5)18 个 423 个 018 个 018 个 5能被 7 整除 只要能被 7 整 能被 7 整除除，原数就能例 2、若四位数 8a9a 能被 15 整除，则 a 代表的数字是多 而 44被 7 整除少？分析：3 和 5 是两个互质数，如果一个数能被两个互质数中的每个数整除．那么这个数也能被这两个互质数的积整除．解：因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以 8a9a 既能被 3 整除， 也能被 5 整除，因为能被 5 整除的数的个位数字是 0 或 5．能 被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数．所以当 a=0 时，8+a+9+a=17，不是 3 的倍数，所以a≠0，当 a=5 时，8+a+9+a=27，是 3 的倍数，所以 a 代表的数字是 5．例 3、各位数字是 0、1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少？分析：因为 225=25x9．所以分别考虑能被 25 和 9 整除的数的特征．解：因为 225=25x9，所以所求的自然数一定能被 25 和9 整除，要能被 25 整除，最后两位就是 00．要能被 9 整除， 所有数字的和是 9 的倍数，为了使得自然数位数尽可能少，只 能是 4 个 2 和 1 个 1，这样得到 1222200．即满足条件的最小 的自然数是 1222200．个7 整除即可，44 55→ 55-44= 11 要能被 7 整除，判断□11 中应填上 5，所以中间方格应填上“5”．例 5、三位数 1a2 加 326 得 4b8，如果 4b8 是 3 的倍数．a+b 的值是．分析：因为 4b8 是 3 的倍数，所以 4+b+8=12+b 是 3 的倍数，容易求出 b 的值，则 4b8 可知，根据题意可求出 a 值， 则 a+b 的值也得知．解：因为 4b8 是 3 的倍数，所以 4+b+8=12+b 是 3 的倍数，b=0、3、6、9．若 b=0，则 4b8=408，又 1a2+326=408，a 无解；若 b=3，则 4b8=438，又 1a2+326=438，a=1，则 a+b=1+3=4；若 b=6，则 4b8=468，又 1a2+326=468，a=4，则 a+b=6+4=10；若b=9，则4b8=498，又1a2+326=498，a=7，则a+b=9+7=16．综上所述，a+b的值是4或10或16．例6、从2至9这8个数字中选出七个数字分别组成被12整除的最大与最小的七位数．分析：能被12整除的数，必能被3和4整除．为了保证能被3整除，这七个数字之和应能被3整除．又2+3+…+9=44，因此，只能去掉2或8．要保证能被4整除，必须末两位数字所组成的两位数能被4整除．解：(1)作为最大的七位数，应该去掉2，即取3、4、5、6、7、8、9，较大的数字应居高位，最小的3和6组成36能被4整除，于是最大的七位数为9875436；(2)作为最小的七位数应去掉较大的8，即取2、3、4、5、6、7、9，使较大的数在低位．最大的96能被4整除，于是最小的七位数是2345796．第六讲分解质因数知识提要一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）．如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除．那么它就叫做合数．但要注意1既不是质数，也不是合数．如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．把一个数分解质因数的方法是：用这个数的质因数逐次去除，直到除得的商是质数为止．常用的是100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个，其中2是惟一的偶数，5是惟一的个位是5的质数．分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征，同学们必须熟练掌握100以内及其他常用合数的分解质因数．部分特殊数的分解：111=3x37；1001=7xllx13；11111=41x271；10001=73x137；1995=3x5x7x19；1998=2x3x3x3x37；2007=3x3x223；2008=2x2x2x251；2007+2008=4015=5xllx73:10101=3x7x13x37．典例精讲例1、792共有多少个因数？分析：如果要求一个比较小的数的因数的个数，我们只要列出它的所有因数，然后数一数就知道了．但要写出792的所有因数不是一件容易的事，如果比792更大的数就更不容易．那怎样能非常简捷地求出792的因数个数呢？我们先将792分解质因数：792=23x32x11．显然792的任何一个因数只能合有质因数2、3、11．对于792的某个因数a，质因数2可能不出现，也可能出现1个、2个或3个，共4种可能；同理，质因数3在a中也可能不出现，也可能出现1个或2个共3种．最后用乘法原理即可求出792共有多少个因数．解：因为792=23x32x11，所以792的因数个数为：(3+1)×(2+1)×(1+1)=24（个）．例2、求1x2x3x4x5x…x100的积的末尾连续有多少个零？分析：如果硬算计算量太大，可以这样想：2x5=10，22x52=100，23x53=1000，在相乘的各个因数中．如果把它们分解质因数，有1个2和1个5相乘积的末尾就会出现一个0，2个2和2个5相乘积的末尾就会出现两个0，而1—100各数的乘积中所含质因数2的个数一定比5多，所以只要找质因数5的个数就可以确定积的末尾有多少个零．解：100÷5=20（有20个5的倍数就合有20个质因数5），100÷25=4（因为25中含有两个质因数5．而在5的倍数中计算过一次还应再算一次）．20+4=24．即算式1x2x3x4x-xl00的乘积末尾连续有24个零．例3、将14、33、35、30、75、39、143、169这八个数平均分成两组，使这两组乘积相等，怎样分？分析：由题意知，用分解质因数方法求解．解：先将各数分解质因数如下：14=2x7，33=3x11，35=5x7，30=2x3x5，75=3x5x5，39=3x13，143=11x13，169=13x13．其中质因数3，5，13各四个，质因数2，7，11各两个．在分组时应将相同的质数分在两个组内，即每组中应有质因数3，5，13各两个；2，7，11各一个．由于其中有两个5169（ ”和两个 13 属于同一个数，故分时应先考虑，于是得到如下两 个组：75（3x5x5），143(11x13)， 第一组：14（2x7）；39(3x13)．第二组： 13x13），35(5x7)，33（3x11）；30(2x3x5)．由此可得以下两种不同的方法：（1）75，14，143，39；35，30，169，33；（2）75，14，169，33；35，30，143，39．例 4、把 26、33、34、35、63、85、91、143 分成若干 组，要求每组中任意两个数的最大公因数是 1，那么至少要分 几组?分析：要使每组中任意两个数的最大公因数都是“1，就必须保证每组中的数没有相同的质因数．解：先把这 8 个数分解质因数．26=2x13，33=3x11，34=2x17，35=5x7，63=3x3x7，85=5x17，91=7x13，143=11x13．从中我们可以看出，每一个数都有 2 个不同的质因数，并 且 35，63，91 中都有质因数 7；26，91，143 中都有质因数13，显然有相同质因数的 3 个数不能同在一组，因此至少要 分 3 组才有可能把这两组 3 个数分开．例 5、有一些长方形，它们的长和宽为互质数．而这些长方形的面积都是 1992cm 2，这样的长方形有多少个？分析：因为长方形面积等于长×宽．我们应首先将 1992写成两个整数之积的形式，然后再从中选出互质的几组来，这 就是本题的解答．要想找到哪两个数的乘积是 1992．我们可以将之分解质因数，再从质因数中适当搭配就行了，为使分成的两数为互质 数，我们应从以下的几种情况去寻找：①两个不同指数；②1 与另一个自然数；③两个相邻的自然数；④不含相同因数的两 个合数．解：将 1992 分解质因数是 23x3x83．为使 1992 分成两个互质数之积，其一应为 1×1992；又 2 的因数不应在两因数中都具有，故还可以分为 23x(3x83)， 即 8x249；(23x3)x83，即 24x83 及(23x83)x3，即 664x3．故本题一共有 4 组解：lcmx1992cm ，3cmx664cm ，8cmx249cm ，24cmx83cm ．例 6、4950 乘以一个自然数 a ，乘积是某个数的平方，a最小是多少？分析：如果 4950xa 的积等于某数的平方，那么积里所包含的质因数个数应该是偶数．4950=2x3x3x5x5x11，观察 4950 的质因数发现：质因数 3，5 的个数是偶数，2，11 的个 数是奇数．根据某数平方的特点，这个数最少应该含有两个 2，3，5，11，缺少一个 2，一个 11，那么 a 最小为 11x2=22．解：因为 4950=2x3x3x5x5x11．所以 a 的最小值为：2x11=22．例 7、春天到了，赵老师带领本班学生上山种树，学生们恰好平均分成 3 组，师生共植树 175 棵，赵老师植树棵数与 所有学生都一样多．一共有多少学生植树？（学生平均每人植 树不超过 20 棵）分析：由于 175=平均每人植树棵数×人数．所以 175 分解质因数后，可以根据题意推断出人数及每人植树棵数．175=5x5x7=25x7=5x35．根据题意，分析 35x5，5 只能是平均每人植树棵数，35 减去 1 得 34，34 人不能平均分成 3 份．所以这个组合不符合题意．再看 25x7，7 只能是平均每人植树棵树．25 人减去 1 人得 24，24 人可以平均分成 3 组，符合题意，即有学生 24 人 植树．解：175=5x5x7=25x7=35x5．经检验 25x7，符合题意，即共有 25 人植树，其中学生有 24 人．例 8、某商店出售 0．25 元的笔记本，根本没人买，但经过降价后，立即把全部笔记本卖光了，共卖得 13．91 元，每 个笔记本降价多少元？共卖了多少本笔记本？分析：13．91 元=1391 分，而 1391=13x107，所以 13与 107 必有一个是单价．一个是本数．解：13．91 元=1391 分，而 1391=13x107，因为是降价，所以单价只能是 13 分，而本数是 107 本．降价金额是：0．25-0．13=0．12 元，答：每本笔记本降价 0．12 元，共卖了 107 本笔记本．。
