2012届高三理科一轮总复习教学案《第三章导数及其应用》

第三章 导数及其应用 3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，令Δx ＝x －x 0，Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，比值ΔyΔx＝__________称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率__________通常称为f (x )在点x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝__________＝__________.(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的________，相应地，切线方程为________．3．函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内的每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为__________．(1)[f (x )±g (x )]′＝__________； (2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝__________(g (x )≠0)．6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )．A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)或(－1，－1) D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )． A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．y ＝sin 2x 的导数为__________．一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】 已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2 f x －3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【例1－2】 用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导 【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ；(3)y ＝x 2＋2x ＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2 三、导数的几何意义【例3】 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率； (2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.答案：A 答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点； (2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点． 2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键； (2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f－f－2x2x＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )．A．2 B．－1 C．1 D．－22．y＝x2cos x的导数y′＝__________.3．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________．4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a＞0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．(1)lim Δx →0 Δy Δx lim Δx →0 ΔyΔxlim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(2)切线的斜率 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．f ′(x )或y ′(或y x ′)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1， 当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4， ∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 考点探究突破【例1－1】 C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2 f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0 f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】 解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. 【例3】解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为：y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则x 20＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0 f (1－2x )－f (1)－2x ＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2.2x cos x －x 2sin x解析：y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x3＜0.∴a ＜0.4．解：(1)(方法一)由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。

§9.2 导数的应用考点核心整合1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数f(x)的定义区间.(2)求f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f′(x)在各小开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.求函数的极值、最值(1)求出可疑点,即f(x)=0的解x0;(2)用极值的方法确定极值;(3)在［a,b］上的最值的求法:将(a,b)内的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当f(x)在(a,b)内有一个可疑点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以确定f(x)在该点处取到最大(小)值.3.函数最值与极值的区别与联系:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体的概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.(4)如果函数不在闭区间［a,b］上可导,则确定函数的最值时,不仅要比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.考题名师诠释【例1】(2006山东高考，17)已知f(x)=2x3-3(a-1)x2+1(a≥1)(Ⅰ)求其单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值.解析：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1.(Ⅰ)当a=1时，f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当a＞1时，f′(x)=6x［x-(a-1)］.从表上可知函数f(x)在（-∞，0）上单调递增，在(0,a-1)上单调递减，在（a-1,+∞）上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知.当a=1时，函数f(x)没有极值.当a＞1时，函数f(x)在x=0处取得极大值1，在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.评述：正确求导，利用导数的正负与单调性的关系进行求解，主要考查利用导数求单调区间与极值，考查分类讨论的思想方法.【例2】(2006江西高考，17)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x=-32与x=1时都取得极值. (1)求a 、b 的值及函数f(x)的单调区间; (2)若对x ∈［-1,2］，不等式f(x)＜c 2恒成立，求c 的取值范围. 解析：（1）f(x)=x 3+ax 2+bx+c, f ′(x)=3x 2+2ax+b, 由f ′(-32)=912-34a+b=0,f ′(1)=3+2a+b=0, 得a=-21,b=-2, 2所以函数f(x)的递增区间为（-∞，-3）与（1，+∞）；递减区间为（-3，1）. （2）f(x)=x 3-21x 2-2x+c, x ∈［-1,2］,且当x=-32时，f(x)=2722+c 为极大值.而f(2)=2+c,则f(2)=2+c 为最大值，要使f(x)＜c 2(x ∈［-1,2］)恒成立，只须c 2＞f(2)=2+c,解得c ＜-1或c ＞2.评述：本题借助于导数，重点考查了函数与不等式的综合应用，将不等式转化为函数的最值，利用导数求函数的最值，具有一定的综合性. 链接·思考f ′(x)=0,f(x)的单调性怎样? 答:不具有单调性.【例3】(2006湖北高考，19)设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,在x=1处取极值-2，试用b 表示a 和b ，并求f(x)的单调区间.解析：依题意有f(1)=-2,f ′(1)=0,而f ′(x)=3x 2+3ax+b,故⎩⎨⎧=++-=-++,02321b a c b a 解得⎩⎨⎧--==.32,c b c a从而f ′(x)=3x 2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1)令f ′(x)=0,得x=1或x=-332+c . 由于f(x)在x=1处取得极值，故-332+c ≠1,即c ≠-3. (1)若-332+c ＜1,即c ＞-3,则当x ∈(-∞,-332+c )时，f ′(x)＞0;当x ∈(-332+c ,1)时，f ′(x)＜0;当x ∈(1,+∞)时，f ′(x)＞0.从而f(x)的单调区间为（-∞,-332+c],［1，+∞)；单调减区间为［-332+c,1］.(2)若-332+c＞1,即c＜-3，同上可得，f(x)的单调增区间为（-∞，1]，［-332+c,+∞)；单调减区间为［1，-332+c］.评述：本小题主要考查导数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.由导数公式和已知条件利用待定系数法求出a、b、c，然后分类讨论思想由f′(x)的符号判断单调区间，最后单调区间要分开写，不能使用并集符号.【例4】(2005重庆高考,19文)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.分析：在x=3处取极值,则x=3使导函数等于零;在(-∞,0)上为增函数,则f′(x)在(-∞,0)上恒正. 解：(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).因f(x)在x=3处取得极值,所以f′(3)=6(3-a)(3-1)=0.解得a=3.经检验知当a=3时,x=3为f(x)的极值点.(2)令f′(x)=6(x-a)(x-1)=0,得x1=a,x2=1.当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数.从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数.综上所述,当a∈［0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.评述：本题考查了导数、极值、单调性等知识,考查了函数与方程的转化思想.。

导数综合复习【教学目标】1.了解导数的概念．2.理解导数的几何意义3.理解导数的运算；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．4.理解导数在研究函数中的应用．能利用导数研究函数的单调性；函数的极大(小)值；函数的最大(小)值．5.理解导数在实际问题中的应用【重点与难点】1.导数的概念和切线方程2.利用导数来解决函数的单调性与最值问题【教学过程】一、热身训练1．(2009年高考宁夏、海南卷)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析：y ′＝e x ＋x ·e x ＋2，y ′|x ＝0＝3，∴切线方程为y －1＝3(x －0)，∴y ＝3x ＋1.答案：y ＝3x ＋12.(2010年江苏无锡模拟)已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π4)＝________.解析：f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ， ∴f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2， 即f ′(π2)＝－1，∴f (x )＝－sin x ＋cos x ， f (π4)＝cos π4－sin π4＝0. 答案：03.(2009年高考江西卷改编)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于________．解析：令过(1,0)的直线与y ＝x 3切于点(x 0，y 0)，切线斜率为k ＝3x 02.设切线方程为y ＝3x 02(x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 03，y 0＝3x 02(x 0－1)⇒x 03＝3x 03－3x 02⇒2x 03－3x 02＝0⇒x 0＝0或x 0＝32. 故切线方程为y ＝0或y ＝274(x －1)． ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9⇒ax 2＋154x －9＝0， ∵Δ＝0，∴a ＝－2564.⎩⎨⎧ y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9⇒ax 2＋154x －9＝274(x －1)，∵Δ＝0， ∴a ＝－1.答案：－1或－25644．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在( 0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)5.(2008年高考湖北卷)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0(x >－1)恒成立，即b ≤x (x ＋2)恒成立．又x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1>－1，∴b ≤－1.答案：b ≤－16．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极大值和极小值分别为________和________．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0.即2p ＋q ＝3， ①又f (x )过点(1,0)，∴1－p －q ＝0, ②由①②：p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，则x 1＝13，x 2＝1， 当x ＝13时，f (x )极大值＝427；当x ＝1时，f (x )极小值＝0. 答案：4270 7.(2010年江苏盐城模拟)若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 解析：f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意，∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.答案：3－1二、知识要点1．平均变化率及瞬时变化率(1)f (x )从1x 到2x 的平均变化率是： 。

第三章 导数及其应用3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y =.2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′.3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．45(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )．A ．－1B ．－2C ．2D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________．6．y ＝sin 2x 的导数为__________． 一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导 【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ；(3)y ＝x 2＋2x ＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率；(2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 03)，所以切线方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，即y ＝3x 02x －2x 03.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A ．答案：A答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点．2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－22．y ＝cos(x 2＋3)的导数y ′＝__________.3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________．4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．f ′(x )3．y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26．f ′(u )·v ′(x ) y u ′·u x ′ 基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4， ∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 6．y ′＝2cos 2x 考点探究突破【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (3)y ′＝(x 2＋2x ＋5)′ ＝12(x 2＋2x ＋5)－12·(2x ＋2)＝x ＋1x 2＋2x ＋5.【例3】解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎪⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．－2x sin(x 2＋3) 解析：y ′＝[cos(x 2＋3)]′＝2x ·[－sin(x 2＋3)]＝－2x sin(x 2＋3)．3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x 3＜0.∴a ＜0.4．解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增； 当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。

专题三 导数与其应用一、考试内容导数概念及其几何意义 导数及其应用 二、考试要求（1）理解导数概念及其几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.。

（2）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.。

（3）会利用导数解决实际问题。

三、命题热点分析近几年的高考试题，导数这一知识点是高考的必考内容，对导数的考查主要是有三个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.。

在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有导数试题，而且常考常新.以函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查是高考命题的新趋势。

四、知识回顾（一）导数的概念及几何意义（1）平均变化率一般地，函数21,),(x x x f y =是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子2121)()(x x x f x f --表示，这个式子称，函数的到从21),(x x x f y =平均变化率，记为=∆∆xf 2121)()(x x x f x f --=x x f x x f ∆-∆+)()(21（2）曲线的切线切线的斜率:x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(000lim lim ,切线的方程为：)(00x x k y y -=- （4）导数的概念一般地，函数0)(x x x f y ==在处的瞬间变化率是xyx x f x x f x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆lim lim0000)()(，称它为0)(x x x f y ==在处的导数，记为0)(0x x y x f =/''或，即x yx x f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆lim lim0000)()()(（5）导数的几何意义0)(x x f y 在点=处的导数)(0x f '的几何意义是：曲线0)(x x f y 上过点=的切线的斜率。

§3.3 导数的综合应用考点1 利用导数研究生活中的优化问题［典题1］某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米,体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率)．(1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；（2)讨论函数V(r）的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元,底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意，得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝错误!（300－4r2),从而V(r）＝πr2h＝错误!（300r－4r3）．因为r>0，又由h>0可得0＜r<5错误!，故函数V（r）的定义域为(0,5错误!)．(2）因为V（r）＝错误!（300r－4r3），故V′（r)＝错误!（300－12r2),令V′（r)＝0，解得r＝5或－5(r＝－5＜0，舍去）．当r∈(0，5）时,V′(r）〉0，故V(r）在(0，5）上为增函数；当r∈(5,5错误!)时，V′(r）〈0，故V（r)在(5,5错误!）上为减函数．由此可知，V（r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8。

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．[点石成金] 利用导数解决生活中的优化问题的四步骤（1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′（x)，解方程f′(x)＝0；(3）比较函数在区间端点和f′（x)＝0的点的函数值的大小,最大（小)者为最大（小)值;(4)回归实际问题作答。

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克）与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝错误!＋10（x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1)求a 的值；（2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为当x ＝5时,y ＝11， 所以错误!＋10＝11，a ＝2.(2）由（1)知，该商品每日的销售量y ＝错误!＋10（x －6)2。

第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2导数的计算求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5.[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018， 所以2 018＋ln x 0＝2 018， 所以x 0＝1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x .(3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程(1)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1， 所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)． 又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x， 所以y ′＝－e －x，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2， 所以y 0＝eln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)C (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.2．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝12 018.则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 01812 018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.1．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条D ．0条解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x－4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝0[基础题组练]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1解析：选B.因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A.12 B ．1C.32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.4．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.7．已知f (x )＝ln x x 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2. 答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________． 解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[综合题组练]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos (πx )＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

2012届高三理科一轮总复习教学案《第三章导数及其应用》第三章导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望知识网络3.1 导数的概念与运算典例精析题型一 导数的概念【例1】 已知函数f (x )＝2ln 3x ＋8x ， 求0Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)Δx的值.【解析】由导数的定义知： 0Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)Δx＝－2Δlim→x f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时， 平均变化率ΔyΔx的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可以近似地表示为f (t )＝t 2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/min B.14 mm/min C.12mm/min D.1 mm/min 【解析】选A. 题型二 求导函数【例2】 求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (2)y ＝(x 2－2x ＋3)e 2x ； (3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y ′＝1x ＋1＋x 2(x ＋1＋x 2)′＝1x ＋1＋x 2(1＋x 1＋x 2)＝11＋x 2.(2)y ′＝(2x －2)e 2x ＋2(x 2－2x ＋3)e 2x ＝2(x 2－x ＋2)e 2x . (3)y ′＝13(x1－x 32)-1－x ＋x (1－x )2 ＝13(x 1－x 32)-1(1－x )2 ＝13x 32- (1－x ) 34- 【变式训练2】如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝ ；0Δlim →x f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(用数字作答).【解析】f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2， 由导数定义0Δlim x f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f (x )＝4－2x ，f ′(x )＝－2，f ′(1)＝－2.题型三 利用导数求切线的斜率【例3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ， 直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点P (x 0，y 0) (x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.【解析】由l 过原点，知k ＝y 0x 0(x 0≠0)，又点P (x 0，y 0) 在曲线C 上，y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以 y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. 而y ′＝3x 2－6x ＋2，k ＝3x 20－6x 0＋2. 又 k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝x 20－3x 0＋2，其中x 0≠0，解得x 0＝32.所以y 0＝－38，所以k ＝y 0x 0＝－14，所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.【解析】设切点为P (x 0，y 0)，则由y ′＝3x 2－3得切线的斜率为k ＝3x 20－3.所以函数y ＝x 3－3x ＋4在P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(3x 20－3)(x －x 0). 又切线经过点(－2,2)，得 2－y 0＝(3x 20－3)(－2－x 0)，①而切点在曲线上，得y 0＝x 30－3x 0＋4， ② 由①②解得x 0＝1或x 0＝－2. 则切线方程为y ＝2 或 9x －y ＋20＝0.总结提高1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求0Δlim →x Δy Δx ＝0Δlim →x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值；(2)先求导函数f ′(x )，再将x ＝x 0的值代入，即得f ′(x 0)的值.2.求y ＝f (x )的导函数的几种方法： (1)利用常见函数的导数公式； (2)利用四则运算的导数公式； (3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)，就是函数y ＝f (x )的曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率.3.2 导数的应用(一)典例精析题型一 求函数f (x )的单调区间【例1】已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R)，求函数f (x )的单调区间.【解析】函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)的定义域是(1，＋∞).f ′(x )＝2x －a －a x －1＝2x (x －a ＋22)x －1， ①若a ≤0，则a ＋22≤1，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤0时，f (x )的增区间为(1，＋∞).②若a ＞0，则a ＋22＞1，故当x ∈(1，a ＋22]时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≤0； 当x ∈[a ＋22，＋∞)时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≥0， 所以a ＞0时，f (x )的减区间为(1，a ＋22]，f (x )的增区间为[a ＋22，＋∞). 【点拨】在定义域x ＞1下，为了判定f ′(x )符号，必须讨论实数a ＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围.【解析】因为f ′(x )＝2x ＋1x －a ，f (x )在(0,1)上是增函数，所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，即a≤2x＋1x恒成立.又2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时，取等号).所以a≤22，故a的取值范围为(－∞，22].【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时⇒f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时⇒f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二求函数的极值【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.【解析】(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根. 由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-② ,13① ,032a c a b又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ， 所以当f ′(x )＝32x 2－32＞0时，有x ＜－1或x ＞1； 当f ′(x )＝32x 2－32＜0时，有－1＜x ＜1. 所以函数f (x )＝12x 3－32x 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲，f(x)在点x＝x0处取极值的必要条件是f′(x)＝0.但是，当x0满足f′(x0)＝0时，f(x)在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.【变式训练2】定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有()A. f(x1)＜f(x2)B. f(x1)＞f(x2)C. f(x1)＝f(x2)D.不确定【解析】由f (3－x )＝f (x )可得f [3－(x ＋32)]＝f (x ＋32)，即f (32－x )＝f (x ＋32)，所以函数f (x )的图象关于x ＝32对称.又因为(x －32)f ′(x )＜0，所以当x ＞32时，函数f (x )单调递减，当x ＜32时，函数f (x )单调递增.当x 1＋x 22＝32时，f (x 1)＝f (x 2)，因为x 1＋x 2＞3，所以x 1＋x 22＞32，相当于x 1，x 2的中点向右偏离对称轴，所以f (x 1)＞f (x 2).故选B.题型三 求函数的最值【例3】 求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f ′(x )＝11＋x －12x ，令11＋x －12x ＝0，化简为x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2或x 2＝1，其中x 1＝－2舍去.又由f ′(x )＝11＋x －12x ＞0，且x ∈[0,2]，得知函数f (x )的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝.【解析】若x＝0，则无论a为何值，f(x)≥0恒成立.当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥3x2－1 x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， x ∈(0，12)时，g ′(x )＞0，x ∈(12，1]时，g ′(x )＜0. 因此g (x )max ＝g (12)＝4，所以a ≥4. 当x ∈[－1,0)时，f (x )≥0可以化为a ≤3x 2－1x 3，此时g ′(x )＝3(1－2x )x 4＞0， g (x )min ＝g (－1)＝4，所以a ≤4.综上可知，a ＝4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f (x )的定义域D ；(2)求导数f ′(x )；(3)根据f ′(x )＞0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递增区间；根据f ′(x )＜0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是：(1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)判断f ′(x )在方程根左右的值的符号，确定f (x )在这个根处取极大值还是取极小值.3.求函数最值的步骤是：先求f (x )在(a ，b )内的极值；再将f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3 导数的应用(二)典例精析题型一 利用导数证明不等式【例1】已知函数f (x )＝12x 2＋ln x . (1)求函数f (x )在区间[1，e]上的值域；(2)求证：x ＞1时，f (x )＜23x 3. 【解析】(1)由已知f ′(x )＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，因此f (x )在 [1，e]上为增函数.故f (x )max ＝f (e)＝e 22＋1，f (x )min ＝f (1)＝12， 因而f (x )在区间[1，e]上的值域为[12，e 22＋1]. (2)证明：令F (x )＝f (x )－23x 3＝－23x 3＋12x 2＋ln x ，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x， 因为x ＞1，所以F ′(x )＜0，故F (x )在(1，＋∞)上为减函数.又F (1)＝－16＜0， 故x ＞1时，F (x )＜0恒成立，即f (x )＜23x 3. 【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0【解析】选B.题型二优化问题【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【解析】(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256(m x －1)＋mx (2＋x )x ＝256mx ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知f ′(x )＝－256m x 2＋12mx 21＝m2x2(x 23－512).令f ′(x )＝0，得x 23＝512.所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数.所以f (x )在x ＝64处取得最小值. 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).令f(r)＝2.4πr－3πr2，则f′(r)＝2.4π－6πr.令f′(r)＝0得r＝0.4.所以当0＜r＜0.4，f′(r)＞0；当0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.所以r＝0.4时S最大，S max＝1.51.题型三导数与函数零点问题【例3】 设函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R.(1)当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)当m ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2＋5x ，f ′(x )＝x 2－6x ＋5.因为f (2)＝23，f ′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，则所求的切线方程为y －23＝－3(x －2)，即9x ＋3y－20＝0.(2)f ′(x )＝x 2－2mx ＋(m 2－4).令f ′(x )＝0，得x ＝m －2或x ＝m ＋2.当x ∈(－∞，m －2)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，m －2)上是增函数；当x ∈(m －2，m ＋2)时，f ′(x )＜0，f (x )在(m －2，m ＋2)上是减函数；当x ∈(m ＋2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(m ＋2，＋∞)上是增函数.因为函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且f (x )＝13x [x 2－3mx ＋3(m 2－4)]，所以⎩⎨⎧≠->--.0)4(3,0)4(12)3(222m m m解得m ∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4). 当m ∈(－4，－2)时，m －2＜m ＋2＜0， 所以α＜m －2＜β＜m ＋2＜0.此时f (α)＝0，f (1)＞f (0)＝0，与题意不合，故舍去. 当m ∈(－2,2)时，m －2＜0＜m ＋2，所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β.所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1.当m∈(2,4)时，0＜m－2＜m＋2，所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β.所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).综上可知，m的取值范围是{－1}.【变式训练3】已知f (x )＝ax 2(a ∈R)，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围.【解析】(1)当a ＞0时，F (x )的递增区间为(1a ，＋∞)，递减区间为(0，1a)；当a ≤0时，F (x )的递减区间为(0，＋∞). (2)[12ln 2，1e). 总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4 定积分与微积分基本定理典例精析题型一 求常见函数的定积分【例1】 计算下列定积分的值. (1)⎰21(x －1)5d x ；(2)⎰2π0(x ＋sin x )d x .【解析】(1)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5，所以⎰21(x －1)5d x ＝6)1(61-x 12＝16. (2)因为(x 22－cos x )′＝x ＋sin x ，所以⎰2π0(x ＋sin x )d x ＝)cos 2(2x x -12π＝π28＋1. 【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f (x )是偶函数时，则⎰-aa f (x )d x ＝2⎰af (x )d x ；②若f (x )是奇函数时，则⎰-a af (x )d x ＝0.【变式训练1】求⎰-55(3x 3＋4sin x )d x .【解析】⎰-55(3x 3＋4sin x )d x 表示直线x ＝－5，x ＝5，y ＝0和曲线y ＝3x 3＋4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.又f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x ) ＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x ).所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎰05(3x 3＋4sin x )d x ， 所以⎰-55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎰05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图， 由⎩⎨⎧-==,4,22x y x y得交点A (2,2)，B (8，－4)，则S ＝⎰02[2x －(－2x )]d x ＋⎰28[4－x －(－2x )]d x＝223324x ＋28)32224(232x x x +-＝163＋383＝18. 方法二：S ＝⎰-42[(4－y )－y22]d y ＝42)61214(32---y y y ＝18.【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为x ＝φ(y )的形式，同时，积分上、下限必须对应y 的取值.【变式训练2】设k 是一个正整数，(1＋x k )k 的展开式中x 3的系数为116，则函数y ＝x 2与y ＝kx －3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为 .【解析】T r ＋1＝C r k (x k )r ，令r ＝3，得x 3的系数为C 3k 1k3＝116，解得k ＝4.由⎩⎨⎧-==34,2x y x y 得函数y ＝x 2与y ＝4x －3的图象的交点的横坐标分别为1,3.所以阴影部分的面积为S ＝⎰13(4x －3－x 2)d x ＝(2x 2－3x －13)313x ＝43. 题型三 定积分在物理中的应用【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时阻力所做的功.【解析】(1)当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )≤0，所以前2秒内所走过的路程为s ＝⎰01v (t )d t ＋⎰12(－v (t ))d t＝⎰01(1－t 2)d t ＋⎰12(t 2－1)d t =01)31(3t t -＋12)31(3t t -＝2.2秒末所在的位置为x 1＝x 0＋⎰02v (t )d t ＝1＋⎰02(1－t 2)d t ＝13. 所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x 1＝13. (2) 物体的速度为v ＝(bt 3)′＝3bt 2.媒质阻力F 阻＝kv 2＝k (3bt 2)2＝9kb 2t 4，其中k 为比例常数，且k ＞0.当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝t 1＝(a b )31， 又d s ＝v d t ，故阻力所做的功为W 阻＝⎰阻F d s ＝⎰01tkv 2·v d t ＝k ⎰01tv 3d t ＝ k ⎰01t (3bt 2)3d t ＝277kb 3t 71 ＝ 277k 3a 7b 2. 【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v (t )＝⎰a ba (t )d t ，s (t )＝⎰a bv (t )d t 和W ＝⎰a bF (x )d x 这三个公式.【变式训练3】定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F [1，log 2(x 2－4x ＋9)]的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与线段OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解析】因为F (x ，y )＝(1＋x )y ，所以f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))＝)94log(22+-x x ＝x 2－4x ＋9，故A (0,9)，又过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，f ′(x )＝2x －4. 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=,42,942n n t n n t 解得B (3,6)，(x 33－所以S ＝⎰03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝3x 2＋9x )03=9.总结提高1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案.。