《函数的最大(小)值与导数》教案完美版

《函数的最大（小）值与导数》教案§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（1）【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．【教学过程】一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．二、讲解新课：1．函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4．例2 已知23()log x ax b f x x++=,x ∈(0,+∞)．是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．解：设g (x )=xb ax x ++2 ∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数．∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a 经检验，a =1,b =1时，f (x )满足题设的两个条件．四、课堂练习：1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D ．1213 4．函数y =122+-x x x 的最大值为( ) A ．33 B ．1 C ．21 D ．23 5．设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( )A ．27B ．－3C ．－1D ．16．设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则( )A ．a =2,b =29B ．a =2,b =3C ．a =3,b =2D ．a =－2,b =－3答案：1．D 2．A 3．A 4．A 5．D 6．B五、小结 ：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．六、课后作业：§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（2）【教学目标】1．进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2．初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学重点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学难点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．6．函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．7．利用导数求函数的最值步骤：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为xcm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ． 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去），x =40， 并求得 V(40)=16000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答：当x =40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000cm 3解法二：设箱高为xcm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πR h +2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，R=32V π，从而h =2V R π=23()2V ππ=34V π=23V π即h =2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所x x xx6060x 60-2x 60-2x 60-2x x60-2x 6060用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214L q '=-+，令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =． 答：产量为84时，利润L 最大．三、课堂练习：1．函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________．2．函数f (x )=sin 2x －x 在［－2π,2π］上的最大值为_____；最小值为_______． 3．将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___．4．使内接椭圆2222by a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____． 5．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大． 答案：1． －15 2．2π －2π 3．2a 2a 4．2a 2b 5．23R 四、小结 ：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单．五、课后作业：1．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 解：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25) V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <25),V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18． 2．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b ． 解：由梯形面积公式，得S =21 (AD +BC )h ,其中AD =2DE +BC ，DE =33h ,BC =b ，∴AD =332h +b , ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ① ∵CD =h h 3230cos =︒,AB =CD ．∴l =h 32×2+b ②由①得b =33-h S h ,代入②,∴l =hS h h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h =43S , 当h <43S 时，l ′<0,h >43S 时，l ′>0． ∴h =43S 时，l 取最小值，此时b =S 3324． 六、板书设计（略）七、教学后记：b。

1．3.3 函数的最大(小)值与导数(二)教学目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题． 教学梳理知识点 用导数求函数f (x )最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f (x )的导函数f ′(x )；(2)求极值嫌疑点：即f ′(x )不存在的点和f ′(x )＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f ′(x )与f (x )随x 变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f (x )的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f (x )在其定义域内的最大值和最小值. 教学案例类型一 由极值与最值关系求参数范围例1 若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，11) B ．(－1,4) C ．(－1,2] D ．(－1,2)【答案】C【解析】由f ′(x )＝3－3x 2＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由此得a 2－12<－1<a ，解得－1<a <11. 又当x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递减， 且当x ＝2时，f (x )＝－2.∴a ≤2. 综上，－1<a ≤2.教学反思 函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 【答案】D【解析】由题意得，函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点， 且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且(3－6b )>0， ∴0<b <12，故选D.类型二 与最值有关的恒成立问题例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0， 解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 教学反思 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，4]【解析】由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x＋x (x >0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.(2)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．①求L 的方程；②证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． ①解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln xx 2，所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.②证明 设g (x )＝x －1－f (x )，除切点外，曲线C 在直线L 的下方等价于∀x >0且x ≠1，g (x )>0. g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增；所以，∀x >0且x ≠1，g (x )>g (1)＝0. 所以除切点外，曲线C 在直线L 的下方. 当堂检测1．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2【答案】B【解析】f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )， ∴当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 当1≤x ≤4时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1e .故选B.2．函数f (x )＝x ln x 的最小值为( ) A ．e 2 B ．－e C ．－e －1 D ．－103【答案】C【解析】∵f (x )＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，∴函数在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 故当x ＝1e 时，函数取最小值－1e，故选C.3．已知函数f (x )＝e x －x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]【答案】A【解析】f ′(x )＝e x －1， 令f ′(x )>0，解得x >0， 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a ， 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.4．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M 的最小值是________． 【答案】4【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当0<x ≤1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，也为最大值，f (0)＝2， 又f (－1)＝－2，f (1)＝0， 所以f (x )的最小值为－2， 对[－1,1]上任意x 1，x 2， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，等价于M ≥4，即M 的最小值为4.5．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数． (1)试确定a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 解 (1)由f (x )在x ＝1处取得极值－3－c 知f (1)＝b －c ＝－3－c ，得b ＝－3. 又f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x ＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )，由f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，a ＝－4b ＝12. (2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．因此，f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0.从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1.故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.。

§1.3.3 函数的最大（小）值与导数教学目标1．知识和技能目标（1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。

（2）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的方法和步骤。

（3）复习巩固求函数最值的其他方法，例如单调性，基本不等式等。

2．过程和方法目标（1）问题驱动，自主探究，合作交流。

（2）培养学生在生活中学习数学的方法。

3．情感和价值目标（1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． （4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点与难点重点：求闭区间上连续可导的函数的最值的求解，理解确定函数最值的方法，并联系函数单调性的应用。

难点：求函数的最值的方法的提炼，同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系教学方法发现探究式、启发探究式本节课教学基本流程： 复习检查→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→布置作业、课后升华教学过程设计量的数学信息，达到前呼后应的目的。

六、课堂练习见PPT深化检查学生运用知识解决问题的能力，学生课堂解决，发现问题，及时纠正，力求课堂效果达到更好。

七、课堂小结（一）、求函数最值的一般方法：1、利用不等式2、利用函数的图像与性质3、利用导数（二）、本节课获得了哪些数学思想与方法？通过课堂小结，深化对知识的理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力。

复习以前学习的求函数最值的方法，接着师生共同小结本节课所感所悟，力求将知识点连成面。

八、课后作业1、思考题：已知函数axxxf+-=2362)(在[－2，2]上有最小值－37，1）求实数a的值；2）求)(xf在[－2，2]上的最大值。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并掌握求解函数最大值和最小值的方法。

2. 让学生掌握导数的定义和性质，并能运用导数求解函数的极值。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。

2. 求解函数最大值和最小值的方法。

3. 导数的定义和性质。

4. 运用导数求解函数的极值。

5. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数的定义和性质，运用导数求解函数的极值。

2. 教学难点：导数的运算规则，运用导数求解复杂函数的最大值和最小值。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。

2. 使用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3. 引导学生通过合作、探究、实践等方式，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入函数的最大值和最小值的概念。

2. 讲解：讲解求解函数最大值和最小值的方法，并举例演示。

3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4. 讲解：讲解导数的定义和性质，并举例演示。

5. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

6. 讲解：讲解如何运用导数求解函数的极值，并举例演示。

7. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

8. 讨论：分组讨论实际问题，运用所学知识解决问题。

9. 总结：对本节课的内容进行总结，回答学生提出的问题。

10. 作业：布置作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习题：评估学生在练习题中的表现，检验学生对知识的掌握程度。

3. 实际问题解决：评估学生在讨论实际问题时的表现，检验学生运用知识解决问题的能力。

4. 作业：评估学生的作业完成情况，检验学生对知识的掌握程度。

七、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 多媒体课件3. 练习题4. 实际问题案例八、教学进度安排1. 第一课时：介绍函数的最大值和最小值的概念，讲解求解方法。

《函数的最大值和最小值与导数》教学设计教学设计：函数的最大值和最小值与导数一、教学目标：1.知识与技能目标：了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求解函数最大值和最小值的方法，理解导数与函数最大值和最小值的关系。

2.过程与方法目标：培养学生观察、分析和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和创新思维能力。

3.情感态度价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生的数学自信心，培养学生的合作与交流能力。

二、教学重难点：1.教学重点：函数的最大值和最小值的概念、求解函数最大值和最小值的方法、导数与函数最大值和最小值的关系。

2.教学难点：导数与函数最大值和最小值的关系的理解与运用。

三、教学过程：1.导入新概念（15分钟）2.探索函数的最大值和最小值（20分钟）教师出示一个简单的函数图像，并引导学生观察图像中的极值点。

学生可以自由讨论，提出他们观察到的现象和规律。

3.寻找函数的最大值和最小值的方法（20分钟）教师向学生介绍函数的最值存在定理，并讲解寻找函数最大值和最小值的方法：通过函数图像、函数的性质、函数的导数等途径。

然后，教师通过例题的形式，具体讲解每种方法的步骤和注意事项。

4.导数与函数最大值和最小值的关系（25分钟）教师向学生介绍导数的概念，并讲解导数与函数最大值和最小值的关系。

通过导数的定义和极值的判定条件，教师引导学生理解导数与函数最值的关系，并通过例题进行实际应用。

5.综合运用（15分钟）教师出示一些综合运用的问题，要求学生通过函数的最值和导数的知识进行求解。

学生可以自由讨论，提出解决问题的思路，并互相交流讨论。

6.总结与拓展（15分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并引导学生对本节课所学内容进行思考和拓展。

教师可以提出一些拓展问题，要求学生进行独立思考和解决。

四、教学手段：1.多媒体投影仪、计算器等教学工具。

2.学生课前预习和课堂讨论，学生自主学习与合作学习相结合。

3.教师示范讲解、学生自主探究、小组讨论、问题解决等多种教学方法相结合。

函数最大(小)值与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，知道它们在数学分析中的重要性。

2. 引导学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 实际例子中的应用。

三、教学方法采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法，让学生在理解函数最大值和最小值的概念的基础上，学会利用导数求解实际问题。

四、教学步骤1. 引入函数最大值和最小值的概念，通过图形和实际例子让学生直观地理解。

2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法，引导学生掌握判断极值点和确定最大值、最小值的方法。

3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

4. 通过讨论，让学生理解在实际问题中如何运用函数最大值和最小值。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，加深对函数最大值和最小值以及导数的应用的理解。

3. 选择一个实际问题，尝试运用函数最大值和最小值的知识进行解决。

六、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习题的成绩，评价学生对函数最大值和最小值以及导数求解方法的掌握程度。

七、教学资源1. 教学PPT。

2. 课后练习题及答案。

3. 实际问题案例。

八、教学时长1课时（40分钟）九、教学难点1. 函数最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。

十、教学准备1. 提前准备教学PPT。

2. 准备课后练习题及答案。

3. 收集实际问题案例。

六、教学拓展1. 引导学生思考：在求函数最大值和最小值时，还有哪些方法可以运用？2. 讲解其他求解函数最大值和最小值的方法，如构造法、函数图像分析法等。

3. 对比各种方法的应用范围和优缺点，让学生学会选择合适的方法解决问题。

七、教学实践1. 安排一次课堂实践，让学生分组讨论并解决一个实际问题。

2. 各组汇报讨论成果，教师进行点评和指导。

函数最大(小)值与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数的极值概念，掌握函数的极大值和极小值的求法。

2. 引导学生理解导数与函数单调性的关系，能够运用导数判断函数的单调性。

3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

二、教学内容1. 函数的极值概念2. 函数的极大值和极小值的求法3. 导数与函数单调性的关系4. 运用导数解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的极值概念，函数的极大值和极小值的求法，导数与函数单调性的关系。

2. 教学难点：运用导数解决实际问题。

四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 教学手段：利用多媒体课件辅助教学，结合板书进行讲解。

五、教学安排1课时教案一、导入新课通过复习导数的基本概念，引导学生回顾导数的计算公式，为新课的学习做好铺垫。

二、讲解函数的极值概念1. 定义：如果函数在某一区间内的任意一点的导数都小于（或大于）0，在这个区间内函数是单调递减（或单调递增）的。

2. 极值：在函数的单调区间内，如果函数在某一点取得局部最大值或最小值，这一点称为函数的极大值点或极小值点。

三、讲解函数的极大值和极小值的求法1. 求极值的方法：求出函数的导数，令导数为0，解方程得到可能的极值点。

2. 判断极值点的性质：根据导数的符号变化来判断极值点的性质。

如果导数从正变负，函数在这一点取得极大值；如果导数从负变正，函数在这一点取得极小值。

四、讲解导数与函数单调性的关系1. 单调性判断：如果函数的导数大于0，函数是单调递增的；如果函数的导数小于0，函数是单调递减的。

2. 单调区间：函数的单调递增区间为导数大于0的区间，单调递减区间为导数小于0的区间。

五、运用导数解决实际问题1. 问题提出：如何求解函数在实际问题中的最大值和最小值？2. 方法指导：建立函数模型，求出函数的导数，分析导数的符号变化，找出函数的极值点，根据实际意义选取合适的极值点作为最大值或最小值。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案章节一：函数的导数与最大值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最大值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节二：函数的导数与最小值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最小值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节三：函数的单调性与最大值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最大值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节四：函数的单调性与最小值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最小值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节五：实际问题中的最大(小)值问题1. 教学目标：让学生学会将实际问题转化为函数的最大(小)值问题。

让学生学会利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

2. 教学内容：实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法。

利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

3. 教学步骤：介绍实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

介绍利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

章节六：利用导数求函数的最大值和最小值1. 教学目标：让学生能够熟练运用导数求解函数的最大值和最小值。

函数最大(小)值与导数教案一、教学目标：1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，并能运用导数求解一些简单函数的最大值和最小值。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 让学生掌握利用导数研究函数的单调性，从而求解函数的最值。

二、教学内容：1. 函数最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求解函数的最大值和最小值。

3. 利用导数研究函数的单调性。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：利用导数求解函数的最大值和最小值，以及利用导数研究函数的单调性。

2. 教学难点：如何判断函数在某个区间内的单调性，以及如何求解分段函数的最大值和最小值。

四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念，以及利用导数求解最值的方法。

2. 利用多媒体课件，展示函数图像，帮助学生直观地理解函数的最值和单调性。

3. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用数学知识解决实际问题。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾导数的基本概念，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。

2. 讲解函数最大值和最小值的概念，解释其在实际应用中的意义。

3. 讲解利用导数求解函数最值的方法，引导学生掌握判断函数单调性的技巧。

4. 利用多媒体课件，展示函数图像，让学生直观地理解函数最值和单调性之间的关系。

5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用导数求解函数最值，巩固所学知识。

6. 课堂练习：布置一些有关函数最值的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。

8. 布置作业：布置一些有关函数最值的课后作业，巩固所学知识。

六、教学案例与分析：1. 案例一：求函数f(x) = x^2 4x + 5 的最大值和最小值。

分析：求导数f'(x) = 2x 4，令f'(x) = 0，得到x = 2。

将x = 2 代入原函数，得到f(2) = 1。

函数在x = 2 处取得最小值1。

2. 案例二：求函数g(x) = (x 1)^2 在区间[0, 3] 上的最大值和最小值。

一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握函数的最大值和最小值的求解方法。

2. 让学生掌握导数的定义，了解导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求函数的最大值和最小值。

3. 函数的单调性及其与导数的关系。

4. 函数的极值及其与导数的关系。

5. 实际问题中的最大值和最小值问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。

2. 教学难点：利用导数求函数的最大值和最小值的具体步骤，理解导数与函数单调性、极值之间的关系。

四、教学方法与手段1. 采用讲解、例题、练习、讨论相结合的教学方法。

2. 使用多媒体课件，直观展示函数图像，帮助学生理解函数的最大值、最小值和导数之间的关系。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如购物、optimization problems等，引导学生思考函数的最大值和最小值问题。

2. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 例题：挑选典型例题，引导学生运用导数求解函数的最大值和最小值。

4. 练习：学生自主练习，巩固求解函数最大值和最小值的方法。

5. 讨论：分组讨论，分享解题心得，互相学习。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数在研究函数单调性、极值等方面的重要性。

7. 作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：监测学生在课堂上的学习效果，通过练习题目的完成情况了解学生对函数最大值和最小值概念以及导数应用的掌握程度。

2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的吸收情况，作业应包括不同难度的题目，以检测学生的理解力和应用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们能否运用所学知识解决实际问题。

函数最大(小)值与导数教案章节一：函数极值概念的引入1. 导入新课，通过复习导数的概念和性质，引导学生思考导数与函数极值之间的关系。

2. 讲解函数极值的定义，解释局部最大值和局部最小值的概念。

3. 通过具体例子，让学生理解函数极值在实际问题中的应用。

章节二：利用导数求函数的极值1. 讲解利用导数求函数极值的方法，强调先求导数，再判断导数的正负，确定极值。

2. 通过具体例子，让学生掌握利用导数求函数极值的基本步骤。

3. 引导学生思考如何利用导数求解实际问题中的函数极值。

章节三：函数的最大值和最小值1. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释全局最大值和全局最小值的概念。

2. 通过具体例子，让学生理解函数最大值和最小值在实际问题中的应用。

3. 引导学生思考如何利用导数求解函数的最大值和最小值。

章节四：利用导数求函数的最大值和最小值1. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法，强调先求导数，再判断导数的正负，确定最大值和最小值。

2. 通过具体例子，让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的基本步骤。

3. 引导学生思考如何利用导数求解实际问题中的函数最大值和最小值。

章节五：函数最大值和最小值的应用1. 通过具体例子，让学生了解函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、成本最小化问题等。

2. 引导学生思考如何运用函数最大值和最小值解决实际问题。

3. 总结本节课的重点内容，强调函数最大值和最小值在实际问题中的重要性。

章节六：利用导数求解实际问题中的函数极值1. 引入实际问题，如物体的运动速度、商品的销售利润等，让学生理解实际问题中的极值意义。

2. 讲解如何将实际问题转化为函数极值问题，引导学生运用导数求解。

3. 通过具体例子，让学生掌握将实际问题转化为函数极值问题的方法。

章节七：利用导数求解实际问题中的函数最大值和最小值1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等，让学生理解实际问题中的最大值和最小值意义。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案第一章：函数的导数与最大值1.1 复习导数的定义与性质引入导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。

复习导数的性质，如单调性、连续性等。

1.2 导数与函数的单调性解释导数与函数单调性的关系，即导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。

举例说明导数与单调性的应用。

1.3 利用导数求函数的最大值引入函数的最大值的定义，即函数在某一区间内的最大值。

讲解利用导数求函数最大值的方法，即先求导数，令导数为0，解出临界点，再判断临界点的单调性。

第二章：函数的导数与最小值2.1 复习导数的定义与性质引入导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。

复习导数的性质，如单调性、连续性等。

2.2 导数与函数的单调性解释导数与函数单调性的关系，即导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。

举例说明导数与单调性的应用。

2.3 利用导数求函数的最小值引入函数的最小值的定义，即函数在某一区间内的最小值。

讲解利用导数求函数最小值的方法，即先求导数，令导数为0，解出临界点，再判断临界点的单调性。

第三章：函数的极值与导数3.1 复习导数的定义与性质引入导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。

复习导数的性质，如单调性、连续性等。

3.2 极值的定义与判定引入极值的定义，即函数在某一点的局部最大值或最小值。

讲解极值的判定条件，即导数为0且在导数为0的两侧符号相反。

3.3 利用导数求函数的极值引入利用导数求函数极值的方法，即先求导数，令导数为0，解出临界点，再判断临界点的单调性。

举例说明导数与极值的應用。

第四章：函数的最大值与最小值的判定4.1 利用导数判断函数的最大值与最小值讲解利用导数判断函数最大值与最小值的方法，即导数为0的点可能是最大值或最小值，还需判断两侧的单调性。

举例说明导数与最大值、最小值的判断应用。

4.2 利用二阶导数判断函数的最大值与最小值引入二阶导数的定义，即函数的一阶导数的导数。

《函数的最大（小）值与导数》教学设计《函数的最大（小）值与导数》教学设计《函数的最大（小）值与导数》教学设计1、知识与技能（1）理解闭区间上函数存在最值的定理和函数的极值和最值的区别与联系；（2）掌握用导数求函数在[a,b]上的最值的方法。

2、过程与方法结合学生已学知识，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法，尝试分类讨论的数学思想。

3、情感态度价值观通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养；通过引导探究，开发学生的学习潜能，逐步培养学生养成运用数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯。

教学重难点教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法。

教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系；求最值的方法。

教学准备1．学生的学习准备：复习131和132两节内容，预习133内容。

2．教师的教学准备：教学内容的合理设计，多媒体制作。

3教学方法与手段：启发引导，合作探究，利用计算机多媒体辅助教学。

教学过程导入过程一．复习引入、预习检查、总结疑惑1师提问：单调性与导数；极值的求解步骤生：回答问题设计意图：温故而知新，为最值的导入作铺垫。

2检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

教学步骤（重难点突破的过程、巩固方法）函数的最大（小）值与导数教学设计一．复习引入、预习检查、总结疑惑二．新讲授问题探究（师：PPT展示，引导学生观察图象，提出问题；生：通过观察与比较发现规律，回答问题）（用问题串的形式让学生体会从特殊到一般的过程，提高自身归纳总结的能力）【问题3】函数的极大值和极小值是否就是函数的最大值与最小值？【探究】变化图象端点函数值的大小，观察最值的变化。

“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的；⑵函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个；⑶最值可以在区间的端点处取得，而极值只能在定义域内部取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．三．典例分析例2 求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．解: f′(x)＝3x2－4x令f′(x)＝0，有3x2－4x＝0，解得x＝0，34当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)3434，242f′(x) ＋－＋f(x)－2函数的最大（小）值与导数教学设计1函数的最大（小）值与导数教学设计－27函数的最大（小）值与导数教学设计1从上表可知，最大值是1，最小值是－2点评:注意比较求函数最值与求函数极值的不同．变式1：求函数f(x)＝x3－2x2+1＋2x在区间[－1,2]上的最值．提示：导函数函数值恒大于零，原函数单调递增。

函数的最大（小）值与导数教案
教学反思：
对于这次公开课，我充分考虑学生的基础，对复习的内容，课题的引入，例题与练习，我都作了认真的选择。

在课堂上力争作到以学生为主体，教师为主导的授课模式，学生的课堂反应及掌握情况都达到了预期效果。

当然，这次公开课也存在许多不足，在听取了于老师、李老师和其他几位老师的点评后，收获很多：
1、引入课题时图象缺少端点大小的变化
2、例2用时过少，没有给学生充足的思考与整理时间；
3、求最值时，对x代导函数还是原函数强调不到位；
4、在例题或练习讲解完后应给学生消化知识和整理答案的时间；
5、在课后练习的设置上可适当增加含参和指数、对数题目，以提升学生解题能力
在以后的教学中，我要多汲取老教师的教学经验，多听课，多向其他老师学习。

在平时上课时也要多请有经验的老教多听自己的课，更好的改正自己上课中出现的不足，使自己的教育教学水平更上一个台阶。

《函数的最大值与导数》教案
一、教学内容
本课时的教学内容为：函数的最大(小)值与导数。

二、教学目标
1、理解函数的定义，并熟练求解函数的最大(小)值；
2、熟练掌握函数的导数的概念，并能够正确计算函数的导数；
3、理解曲线与导数的关系，并掌握求解函数极值的方法。

三、教学过程
1、介绍函数
①首先，向学生讲解函数的定义，即函数是一种信息传递的过程，它是将一个特定的输入信息转换成一个特定的输出信息的过程；
②接下来，让学生熟练掌握关于函数的语言表述，以及如何使用函数表达式来表述一个函数；
③并结合实例来让学生分析函数的性质，界定函数的域，以及函数的定义域。

2、求函数的极值
①首先，概念性地讲解函数的最大(小)值，即函数在有限定义域内取得的最大值或最小值；
②然后，教师讲解如何求解函数最大(小)值的方法，包括关键点的求法、微商法以及求导数求极值的方法等；
③并结合实例来让学生加深理解，并熟练掌握求解极值的方法。

3、介绍函数的导数
①首先，概念性地讲解函数的导数概念，即表示函数的变化率的量；
②然后，教师讲解如何计算函数的导数。

§3·3·3函数的最大（小）值与导数教学目标：1、使学生理解函数的最大（小）值的概念，掌握可导函数)f在(x区间]a上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值,[b必有的充分条件。

2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值得方法和步骤。

教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。

教学过程：复习：1.函数的极大（小）值的概念则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值函数的极大值与极小值统称 为极值.求函数的极值的方法与步骤（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f ’(x)（3）求方程f ’(x)=0的根（4）解不等式并列成表格（5）求出极值f ’(x)左正右负--极大值，左负右正--极小值3、 观察下列图形,你能找出函数的极值吗？设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对X 0附近的所有点，都有f(x)<f(x 0),如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值；观察图象，我们发现， )(),(),(531x f x f x f 是函数y=f(x)的极小值， )(),(),(642x f x f x f 是函数y=f(x)的 极大值. 引入新课：极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小新课讲解：那么函数在什么条件下一定有最大、最小？它们与函数极值关系又如何呢？探究问题一：观察下面一个定义在区间],[b a 上的函数)(x f 的图像x问题1：这个函数f(x)在区间[a,b]上有极值吗？问题2：指出它的极值点有哪些，并分别说明是极大值点还是极小值点．问题3：f(x)在[a,b]上存在最值吗？你觉得它的最小值和最大值分别在哪里取得？问题4：你是如何得出最大（小）值的？探究二：观察下列图形，你能找出函数的最值吗？通过以上的图像，你能否给出某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件呢？问题1：你是如何理解“连续不断的曲线”的？问题2：给定函数的区间[a,b]能否改为(a,b)？结论：一般的，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。

《函数的最大(小)值与导数》教学案教学目标：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点(包括端点b a ,)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．教学过程：一．创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大(小)值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大(小)的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大(小)值，那么()0f x 不小(大)于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值．二．新课讲授观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ． 1．结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．(可以不给学生讲)⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(可以不给学生讲)2．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑵ 求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三．典例分析例1．（课本例5）求44x x 31f(x)3+-=在[0,3]在的最大值与最小值 解： 由例4可知，在上[0,3]，当时x=2，)(x f 有极小值，并且极小值为34f(2)-=, 又由于1f(3)4f(0)==, 因此，函数44x x 31f(x)3+-=在[0,3]的最大值是4，最小值是34-. 上述结论可以从函数44x x 31f(x)3+-=在[0,3]上的图象得到直观验证四．课堂练习1．下列说法正确的是( )A .函数的极大值就是函数的最大值B .函数的极小值就是函数的最小值C .函数的最值一定是极值D .在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y =f (x )在区间［a ，b ］上的最大值是M ，最小值是m ，若M =m ，则f ′(x ) ( ) A .等于0 B .大于0 C .小于0 D .3．函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为A .0 B .－2 C .－1 D .1213 4．求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值．5．课本 练习五．回顾总结 1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3．闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间（a ，b ）内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.4．利用导数求函数的最值方法．。