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线性代数习题1.5行列式按行(列)展开

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线性代数课件1-4行列式按行(列)展开

线性代数课件1-4行列式按行(列)展开


实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
1-5行列式按行列展开ppt课件

1-5行列式按行列展开ppt课件


a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31

a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33

a13
a21 a31
a22 a32
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a14
a D a21 a22
2233 a24 M 23 a31 a32 a34
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a44
a41 a42 a43 a44
A23 1 23 M 23 M 23 .

ai1, j1

ai 1,n



anj an, j1 ann
aij 0 0



1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n



anj an, j1 ann
aij 0 0



1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
狼爪划到了左臂，厚实の衣裳不堪一击便撕裂了个大口子，血丝慢慢渗了出来，闻到这血腥味，黄狼更加兴奋地低嚎。
贺腾几次闪避开攻击，可每一次の涉险过关，身上便会多添道伤痕。突然黄狼又一高扑，他乘机一蹲身，抓住了一条狼腿，黄狼落地不稳一踉跄，匕首已刺进了它の肚子
行列式按行(列)展开-线性代数

行列式按行(列)展开-线性代数


矩阵求逆
通过行列式按行(列)展开，可以计算矩阵的 逆矩阵。
矩阵求行列式
行列式按行(列)展开是计算矩阵行列式的基 本方法之一。
在特征值与特征向量中的应用
1 2
特征值求解
行列式按行(列)展开可以用于求解矩阵的特征值。
特征向量求解
通过行列式按行(列)展开，可以求解矩阵的特征 向量。
3
判断特征值的个数
通过行列式不为0的条件，可以判断特征值的个 数。
替换元素
将选定列中的其他元素替换为零。
03
02
提取因子
将选定列中的元素按照对应行提取 出来，作为新的因子。
计算行列式
根据二阶行列式的计算方法，计算 得到新的行列式。
04
计算实例
假设有一个三阶行列式|A|，其元素如下
| a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 |
计算实例
01
| a31 a32 a33 |
$|a_{21} quad a_{22}|$
行列式的定义
三阶行列式：由三个元素 $a_{11}$，$a_{12}$， $a_{13}$和$a_{21}$， $a_{22}$，$a_{23}$以及 $a_{31}$，$a_{32}$， $a_{33}$构成的二阶行列式， 记作
$|a_{11} quad a_{12} quad a_{13}|$
03
2023
PART 03
行列式按列展开
REPORTING
定义与性质
定义
行列式按列展开是将行列式中的元素 按照某一列的对应行进行展开，得到 一个与原行列式等价的二阶行列式。
性质
行列式按列展开后，其值不变，即 |A|=|A|'，其中A为原行列式，A'为按列 展开后的行列式。
行列式按一行(列)展开

行列式按一行(列)展开


证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的 实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展 开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的 定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指 将该行列式拆分成若干个二阶子行列 式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的 应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的 值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运 算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
感谢观看
3. 将上述求和结果作 为分子，分母保持不 变，得到按选定行 （或列）展开后的行 列式。
02
行列式按一行(列)展开的 公式
展开公式
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答


(C)0, 2
(D)0,1
解 按 三 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则 得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ， 则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（ ）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解 按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章 行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （ ）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （ ）．
分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，
线性代数03-行列式按行(列)展开

线性代数03-行列式按行(列)展开


1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
行列式按行列展开定理

行列式按行列展开定理


00 00
x 1 a2 a1 x
1 0 x 1 an (1)n1 0 x
00
于是, 得递推公式 而由递推公式, 得 继续递推公式, 得
Dn xDn1 an Dn1 xDn2 an1 D1 x a1
第18页，共48页。
00 00 00 x 1
18
故 Dn x( xDn2 an1 ) an x2 Dn2 an1 x an
定义1.5 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和
第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素 aij的
余子式. 记为 Mij . 称 Aij 1i j Mij 为元素 aij
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
第20页，共48页。
20
1
1
0
x2 x1
0 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
1 xn x1 xn ( xn x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
xnn2 ( xn x1 )
按第1列展开,再把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出,
问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n -1阶行 列式来计算？
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.
线性代数1.6行列式按行(列)展开

线性代数1.6行列式按行(列)展开


感谢您的观看
THANKS
某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
行列式按行展开

行列式按行展开

当系数行列式D等于0时，克莱姆法则 失效，无法判断方程组是否有解以及 解的个数。
利用矩阵的秩
通过分析系数矩阵的秩和常数项矩阵的秩， 判断方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等 于常数项矩阵的秩时，方程组有解；否则无 解。
引入参数法
通过引入参数将原方程组转化为参数方 程组，利用克莱姆法则求解参数方程组 的解，再回代求解原方程组的解。
• 适用性广：该方法适用于任何阶数的行列式，具有普适性。
行列式按行展开的优点与不足
要点一
计算量较大
要点二
难以直接观察行列式性质
对于高阶行列式，按行展开可能涉及大量的计算，导致计 算效率低下。
按行展开后，原行列式的结构和性质可能被掩盖，不利于 进一步分析和研究。
对未来研究的展望
探索更高效的计算方法
利用高斯消元法
通过高斯消元法将原方程组化简为阶 梯形方程组或最简形方程组，从而直 接求解方程组的解。
06 总结与展望
行列式按行展开的优点与不足
简化计算
通过按行展开，可以将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的和，从而简化计算过程。
直观性
按行展开的方法较为直观，易于理解和掌握。
行列式按行展开的优点与不足
行列式按行展开有助于理解行列式的本质和性质，加深对线性代数相关概 念的理解。
02 行列式按行展开的基本原 理
代数余子式的概念
代数余子式定义
在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行 列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$， $A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
行列式按行展开的公式为：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$，其中$a_{ij}$是所选行中的元素，$A_{ij}$ 是对应的代数余子式。
练习1.3 行列式按行(列)展开定理与克莱姆法则

练习1.3 行列式按行(列)展开定理与克莱姆法则

练习1.3 行列式按行(列)展开定理与克莱姆法则一、填空题:1. 已知,表示第行第列元素的余子式, 则 . 解：因为，故应填.2. .解：，故应填3. 当时, 方程组有非零解.解：方程组有非零解，由于，所以或.故应填或.二、选择题：1．设, 则多项式次数最高可能为 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：，将其按第一行展开，得.若，则是常数；若，则是一次多项式，故应选(A).2. 设,且其每列元素之和为, 则的第一行元素的代数余子式之和 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：, 显然，与第一行元素的代数余子式相同，所以，故应选(B).3. 行列式非零的充分条件是 [ ](A) 的所有元素非零； (B) 的任意两行元素之间不成比例；(C) 至少有个元素非零； (D) 以为系数行列式的齐次线性方程组有唯一解.解：选项(A),(B),(C)均不是非零的充分条件，故应选(D).4. 齐次线性方程组只有零解, 则应满足的条件是 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：齐次线性方程组只有零解, 而，所以，故应选(D).三、证明: (1) ; (2)证明：（1），得证.(2) ，得证.四、计算下列行列式:(1) ； (2) .解：(1)将的第行经次行的调换调至第一行，第行经次行的调换调至第二行,…, 第2行经1次行的调换调至第行, 于是经过次行调换，故得（2）将按第列展开，得，但此递推公式难以推出的表达式. 由于于是我们猜测. 事实上，假设结论对于小于阶的行列式均成立，则对于阶，由递推公式有，故由数学归纳法，得.。

线性代数 北京理工大学出版社 习题解答

线性代数 北京理工大学出版社 习题解答

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1-5行列式按行(列)展开

§1.5 行列式按行（列）展开
将高阶行列式转化为低阶行列式
定义1.7 (余子式，代数余子式) 在Dn aij 中（n 2), 划去 aij 所在的第 i 行和第 j 列，
剩余的 n 1 阶行列式称为 aij 的余子式，记作 M ij , 而把 Aij det ( 1) i j M ij 称为 aij 的代数余子式.
k 3 2 k 2 2
xk 1 xk xk 1 ( xk 1 xk ) x ( xk 1 xk ) x ( xk 1 xk )
k 3 1 k 2 k 1
x ( x1 xk ) x ( x2 xk ) x ( x1 xk ) x ( x2 xk )
1 x1 1 k =（1 ） ( x1 xk )( x2 xk ) ( xk 1 xk ) x12
a21 a12 M12 a31 a11 a22 M 22 a31
Hale Waihona Puke a23 1 2 a21 , A12 ( 1) a33 a31 a13 2 2 a11 , A22 ( 1) a33 a31
a23 a33 a13 a33
定理1.3 D aij n 等于其任一行（列)
yi xi
系数 行列式为
1 1 D 1 1
x1 x2 x3 x4
2 x1 2 x2 2 x3 2 x4
3 x1 3 x2 3 x3 3 x4
1 x1 T D 2 x1 3 x1
1 x2 2 x2 3 x2
1 x3 2 x3 3 x3
1 x4 2 x4 3 x4
证明：用数学归纳法 （1）当 n = 2 时，D2 1 1 x2 x1 ，公式成立。 x1 x2

线性代数第一章§1.4-1.6,习题


互换 i, j (i < j)两行得到
a11 a j1 D1 ai1 an1

a1 p a jp aip anp

a1n a jn ain ann
b11 bi1 b j1 bn1

b1 p bip b jp bnp
r4 – 3r1
1 1 2 3 0 0 1 0 0 2 0 4 0 2 1 5
r2 r3

1 0
1 2
2 0
3 4
0 0 1 0 0 2 1 5
1 0 0 0 1 2 0 0 2 0 1 1 3 4 0 1
r4 + r2

r 4 + r3
1 1 2 3 0 2 0 4 2 0 0 1 0 0 0 0 1
n
更一般的有
1 0 Dn 1 0 0 an
（形如
1 0 0 0

1 0
1 a1 0 0 0
a0 1 1 1 1
(a1a2 an 0)
a2 0 0
an 1
，称为箭形（或爪形）行列式）
另外还有
§1.6 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式
定义：
0 b11 b1n bn1 bnn ,
a11 a1k b11 b1n D1 , D2 , a k 1 a kk bn1 bnn 证明: D = D1D2.
证明: 对D1作行运算 ri + t rj , 把D1化为下三角形 行列式: p 0
11
D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
则D = D1D2.

理1.5行列式的按行按列展开-28页精选文档

22
22Leabharlann 例题 已知5阶行列式求
和
其中
为 的第4行第
23
列元素的代数余子式.
23
解答 将行列式按第4行展开有
第2行元素与第4行元素的代数余子式乘积之和为零
联立以上两式可解得
24
24
课堂练习：行列式的计算
练习 计算行列式
25
25
课后作业
习题1.5 （第48-49页）
1， 3（1， 2）
26
谢谢你的阅读
练习 计算行列式
答案 该题答案为4.
19
19
定理 设 阶行列式
表 中元素 的代数余子式， 表
表 的第 行的元素
被
换为
后的行列式，则
20
20
即
21 提醒 对阶行列式的列，有类似的结论成立！
21
定理 行列式某一行的元素与另一行的对应元素 的代数余子式乘积之和等于零，即
提醒 行列式某一列的元素与另一列的对应元素 的代数余子式乘积之和等于零，即
个元素排成 行 列； 个数 排成 行 列；
提醒 由行列式性质1
15
及以上公式有
15
提醒 由行列式的性质3及前面两个公式有
其中 是 个元素排成 行 列； 是 个元素排成 行 列；
16
16
例题 计算行列式 解答 直接由以上公式有
原行列式
17
17
例题 计算行列式
解答
18
上面 公式
18
课堂练习：行列式的计算
1
2
3
§1.5.1 余子式及代数余子式
设
在 阶行列式 中，划掉元
素 所在的行与列后所得到的

1.5.11.4行列式按行列展开学习资料


ann1
证
数学归纳法.当
n
2
时,
1 a1
1 a2
a2 a1，
结论成立．
假设对于 n 1 阶范德蒙行列式结论成立．
下证对于n 阶范德蒙行列式 Dn 结论也成立. 把 Dn 从第n-1行开始，每行乘以 (a1) 后加到下一行，得
1.4 行列式按行（列）展开 02 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 法 则
n aik Ajk ai1 Aj1 ai 2 Aj2
ain Ajn
D 0
i i
j j
,
k 1
n aki Akj a1i A1 j a2i A2 j
ani Anj
D 0
i j i j.
k 1
1.4 行列式按行（列）展开 02 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 法 则
1.4 行列式按行（列）展开 02 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 法 则
推 论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
1.4 行列式按行（列）展开 02 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 法 则
定 理 4 在一个 n 阶行列式 D 中，如果第 i 行所有元素除 aij 外都为零，那末这个行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积,即
D aij Aij .
a11 例 如 : D a21
a12 a22
a13 a23
a11 a12
a1n
相同
第i行 第 j行
ai1 ai2 ai1 ai2

线性代数 1.5 行列式按 k 行(列)展开——拉普拉斯(Laplace)定理

. #;
第一章 行列式
1.5 行列式按 k 行(列)展开 ——拉普拉斯(Laplace)定理
一、 拉普拉斯定理 二、 小结、思考题
. #;
一、拉普拉斯定理
定义（见课本 P32-33）
方阵的 k 阶子式
k 阶子式的余子式
k 阶子式的代数余子式
例如:
a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25
A 为 5 阶方阵, | A | a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
比较元素 aij 的余子式、代数余子式.
. #;
再例:
a11 a12 a13 | A | a21 a22 a23
a31 a32 a33
A 的第1, 2行元素 组成的 2 阶子式:
(a 2 b2 )2 D2(n2) (a 2 b2 )n1 D2
(a2 b2 )n1 a b (a2 b2 )n . ba
证明二：（数学归纳法）见课本 P34 .
. #;
a1 0 b1 0 例 计算 4 阶行列式 : 0 c1 0 d1 .
b2 0 a2 0 0 d2 0 c2
a12 a13 a22 a23
a11 a13 a21 a23
a11 a12 a21 a22
2 阶子式的余子式:
a31
a32
a33
2 阶子式的 代数余子式:
(1)(12)(23) a31 a31 (1)(12)(13) a32 a32 (1)(12)(12) a33 a33
. #;
观察 3 阶行列式 aij 按第三行展开式 :
. #;

1.5 行列式按行(列)展开


D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1, 2 n) D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1, 2 n)
---行列式按行(列)展开法则
a11 a12 a1n
D ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain a n1 an 2 ann
a11 ( 1)
a12 ( 1)
1 1
a23 a33
a22 a32
a21 a31 a21 a31
a23 a33
a23 a33 a22 a32
1 2
代 数 余 子 式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
18
1 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 ( x3 x1 ) x 3 ( x 3 x1 )

1 ( x n x1 ) x n ( x n x1 )
Dn 0

n 2 n 2 n 2 0 x2 ( x2 x1 ) x3 ( x 3 x1 ) x n ( x n x1 )
行列式按行(列)展开
按第1行展开
a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 a21 a22 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33
a22 a11 ( 1) a32 A11
1 1
a11 A11 a12 A12 a13 A13
a11
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n n1
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
现在假设结论对于 n 1 阶范德蒙德行列式成 立，要证结论对 n 阶范德蒙德行列式也成立，为 此，要将 Dn 降阶， 将前一行乘以 x1 加到后一行上 （从后往前）
1 x1
1 x2 x x
2 2
1 x3 x x
1
例1. 设D
2 3 0 5
4
1 0 6
按第二列展开得
D 2
4
5
1 6
0
1
3
1 6 5
0
1 3 4 5 0
首页
2 29 58
按第一行展开得
D 1
线性代数
0 5 0 6
2
4
1 6
3
4
1 0

2 29 58
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§1.5 行列式按行（列）展开
n
D ,当 i j , aik A jk k 1 0 ,当 i j;
n
3. 牢记范德蒙行列式的形式和计算结果.
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
4. 行列式的计算方法：
1).依定义计算行列式; 2).用对角线法则计算行列式; 仅适用于二、三阶行列式 3).利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式． 三角形行列式 一行（列）全为零的行列式 两行（列）成比例的行列式 范德蒙行列式
a11 a1 j a1n i 1 D 1 ai 1,1 ai 1, j ai 1,n ai 1,1 ai 1, j ai 1,n an1
线性代数

anj

首页
ann
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§1.5 行列式按行（列）展开
再把第j列依次与第 j 1列，第j 2列， ，第 1列对调，得
n 2 x2
1 x3

1 xn
n 2 n 2 x3 xn
n-1 阶范德蒙德行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 2
( xi x j )
n i j 1
( xi x j ).
证毕
a1 b1 c1 d1

bn
递推法
dn
bn1 0
0 a n1
a1 b1 c1 d 1

bn1
D2n a n cn1 0
线性代数
( 1)2 n1 bn

d n1 0 0 dn
首页
c n1 cn
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d n1 0
结束
§1.5 行列式按行（列）展开




ai1 ai 2 ain
推论：n 阶行列式 D
i行 s行

a s1 a s 2 a sn
的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的
代数余子式的乘积之和为零，即
ai1 As1 ai 2As 2 ain Asn 0 , i s
a1 j A1t a2 j A2 t anj Ant 0, j t .
1 aij M ij aij Aij
i j
线性代数
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证毕
结束
§1.5 行列式按行（列）展开
定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与
其对应的代数余子式乘积之和，即
按i行展开 :
D a i 1 Ai 1 a i 2 Ai 2 a in Ain i 1,2,, n
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线性代数
§1.5 行列式按行（列）展开
1 2 ex : 2 2 23
1 3 32 33
1 4 42 43
1 5 52 53
(3 2)(4 2)(5 2) (4 3)(5 3)
(5 4)
12
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
a11 a12 a1n ai 1 0 0 a n1 a n 2 a nn

a11 a12 a1n 0 ai 2 0 a n1 a n 2 a nn
n i j 1
x
n1 2
x
n 1 n
1
证: 用数学归纳法 x2 x1 x3 x1 xn x1 1 1 ( x3x x xx D2 x x 2 ni 2 j), x 2 1 x1 x 2 2 i j 1 当 n 2 时（ 1 ）式成立． x x
a11 a12 a1n 0 0 a in ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n a n1 a n 2 a nn
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
an1

D2 n a n cn1 0
a1 b1 c1 d1

bn1 0
( 1)2 n1 bn
0 a n1
a1 b1 c1 d 1

bn1

再按最后一行展开得递推公式 D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2 n a1 b1 a1d1 b1c1 于是 D2 n (ai d i bi ci ) D2 ，而 D2 i 2 c1 d1 n 所以 D2 n (ai d i bi ci )
中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原 来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式. 元素aij的余子式记作Mij ； 元素aij的代数余子式记作Aij=(-1)i+jMij.
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§1.5 行列式按行（列）展开
1
0
4 7 ，求M 32和A32 . 3
3
例2. D
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3
5 2 1
5
1
1 ( 1)3 3 11 1 1 5 5 0
1 1 1 3 1 11 1 解:D 0 1 0 0 5 5 3 0 1 6 2 0
5
11 1 1 5 5 0
第三行只 有1个非零 的元素， 故按该行 展开
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
3
例5. 设 D
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3
5 2 1
1. D 40
; ; .
2.2 A14 4 A24 A34 3 A44 40 3.2 A11 0 A12 A13 A14
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
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§1.5 行列式按行（列）展开
内容小结
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式化为低阶行列式计算的重要工具.
D ,当 i j , 2. aki Akj k 1 0 ,当 i j;
19
ex1. 设 D 3 9 2 1
M 32
1 4 3 7
3 2
A32 ( 1)
1 4 3 7
19
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
二、行列式展开定理
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元 素除 a ij 外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的
a 22 0 a 42
线性代数
§1.5 行列式按行（列）展开
证： 当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
i 1
线性代数
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d n1 0 0 dn
c n1 cn
d n1 0
§1.5 行列式按行（列）展开
例4. 范德蒙行列式
1 x1
1 x2
2 x2

1 xn
2 xn
D x1 , x2 , , xn x12 x
n 1 1
( xi x j )
2 3

1 xn x
2 n
x1r1 x1r2
Dn x
x
线性代数
rn x1rn1
r3 x1r2 r2 x1r1
2 1

n1 1

n1 2

n1 3
x
n1 n

x1rn1
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§1.5 行列式按行（列）展开
Dn 1 0 0 0 1 x 2 x1 x 2 ( x 2 x1 ) n 2 x2 ( x 2 x1 ) 1 x 3 x1 x 3 ( x 3 x1 ) 1 x n x1 x n ( x n x1 )