数字特征和茎叶图(课堂PPT)

用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， 一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布 规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值 百分比。
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
1. 众数、中位数、平均数
一 、复习众数、中位数、平均数的概念
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数．
频率 组距
0.6
0.5
频率分布直方图 思考：小长方形面 积、对应这个组的
频率、这个组占的 比例的关系。
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
月均用水量/t
频率 组距
0.6
频率分布直方图
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
2.25
月均用水量/t
（2）样本容量越大，这种估计越精确。
（3）当样本容量无限增大，组距无限缩小， 那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑
曲线——总体密度曲线。
总体密度曲线
频率 组距
月均用 水量/t
ab
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的 百分比,精确地反映了总体的分布规律。是研究总 体分布的工具.
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处 在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均 数）叫做这组数据的中位数．
3、平均数: 一般地，如果n个数 x1, x2,..., xn，那
么，
1 xn(x1x2 ...xn)
叫做这n个数的平均数。
众数、中位数、平均数都是描述一组数
据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不
频率 组距
0.6
频率分布直方图 提示：在频率分布
直方图中,各个组的 平均数如何找？
0.5
0.4
0.25
0.3
0.22
0.2
0.15
0.1
0.08
二 、 众数、中位数、平均数与频率分布直方图 的关系
例如，在上一节抽样调查的100位居民的 月均用水量的数据中，我们得知这一组样本 数据的 众数、中位数和平均数 ，并画出过 这组数据的频率分布直方图.
众数 =2.3（t）
中位数=2.0（t）
平均数=2.0（t）
现在，观察这组数据的频率分布直方图，能 否得出这组数据的众数、中位数和平均数？
归纳总结得：
因为在频率分布直方图中，各小长方形 的面积表示相应各组的频率，也显示出样本 数据落在各小组的比例的大小，所以从图中 可以看到，在区间[2，2.5）的小长方形的面 积最大，即这组的频率是最大的，也就是说 月均用水量在区间[2，2.5）内的居民最多， 即众数就是在区间[2，2.5）内。
众数在样本数据的频率分布直方图中， 就是最高矩形的中点的横坐标。
0 90 100 110 120 130 140 150 次
数
频率分布直方图如下：
频率
连接频率分布直方图
组距
中各小长方形上端的
中点,得到频率分布折
线图
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
月均用水量
/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
利用样本频分布对总体分布进行相应估计
（1）上例的样本容量为100，如果增至1000， 其频率分布直方图的情况会有什么变化？假如增 至10000呢？
同，其中以平均数的应用最为广泛.
1、求下列各组数据的众数
（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8
（2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：3
2、求下列各组数据的中位数
（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5
（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
频率 组距
0.6
频率分布直方图 提示：中位数左边的 数据个数与右边的数 据个数是相等的。
0.5
0.4
0.25
0.3 0.22
0.2 0.15
0.1
0.08
0.04
0
0.5
1
1.5
2
0.14
0.06 0.04 0.02
2.5
3
3.5
4
4.5
月均用水量/t
频率
频率分布直方图
组距
0.6 前四个小矩形的 面积和=0.49
0.5
0.4
0.25
后四个小矩形的 面积和=0.26
0.3 0.22
0.2 0.15
0.1
0.08
0.04
0
0.5
1
1.5
0.14
2
2.5
2.02
0.06 0.04 0.02
3
3.5
4
4.5
月均用水量/t
归纳总结得：
在样本中，有50％的个体小于或等于中位数， 也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频 率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 面积应该相等，由此可以估计中位数的值。在这 个频率分布直方图中，左边的直方图的面积代表 50个单位，右边的直方图也是代表50个单位，它 们的分界线与x轴交点的横坐标就是中位数。
0 90 100 110 120 130 140 150 次
数
(2)若次数在110以 上（含110次）为 达标，试估计该学 校全体高一学生的 达标率是多少？
1-0.12=0.88
即达标率是88%
频率/组距
0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
中位数在样本数据的频率分布直方图中，就 是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分 界线与x轴交点的横坐标。
思考讨论以下问题：
1、2.02这个中位数的估计值，与样本的中 位数值2.0不一样，你能解释其中原因吗？
答：2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样，这是因为样本数据的频 率分布直方图，只是直观地表明分布的形 状，但是从直方图本身得不出原始的数据 内容，直方图已经损失一些样本信息。所 以由频率分布直方图得到的中位数估计值 往往与样本的实际中位数值不一致.
复习练习：
为了了解高一学生的 体能情况,某校抽取部分学 生进行一分钟跳绳次数测 试，将所得数据整理后， 比为2：4： 17：15：9：3，第三小组 频数为51. (1)第三小组的频率是多 少?样本容量是多少?
0.34 150
频率/组距
0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004