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高中数学 第1章 4数据的数字特征课件 北师大版必修3

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高中数学 第一章 统计 数据的数字特征课件 北师大版必修3

高中数学 第一章 统计 数据的数字特征课件 北师大版必修3

第四页，共23页。
1、求下列(xiàliè)各组数据的众数
（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9
众数(zhònɡ shù) （2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8是，9：，39和8
2、求下列各组数据的中位数
众数(zhònɡ shù)是：3
（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9
数据(shùjù)的数 字特征
第一页，共23页。
在一次射击(shèjī)比赛中,甲、乙两名运动员各 射击(shèjī)10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发 挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律 ，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。 ——用样本的数字特征估计总体的数字特征
员工 /人
1
2
4
6 12 8 20 5 2
1、计算工资(gōngzī)的平均数、中位数、众数
2、公司经理会选上面哪个(nǎ ge)数代表该公司员工的 月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
第十页，共23页。
三种数字(shùzì)特征的 优缺1、点众数体现了样本数据(shùjù)的最大集中点，但
它对其它数据(shùjù)信息的忽视使得无法客观地反映总 体特征。
7.39(h)
第八页，共23页。
5.下面是一次考试结果的频数(pín shù)分布图。 估计这ห้องสมุดไป่ตู้考试成绩的中位数、众数和平均数。
10
人8 数6
4 2
0
20
40
60
80
100

1.4数据的数字特征 课件(北师大版必修三)

1.4数据的数字特征 课件(北师大版必修三)

BS ·数学教学教法分析教学方案设计课前自主导学必修3 易错易误辨析当堂双基达标【解析】 A，不是分层抽样，因为抽样比不同． B，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知． 86＋94＋88＋92＋90 C，五名男生成绩的平均数是 x ＝＝ 5 90， 88＋93＋93＋88＋93 五名女生成绩的平均数是 y ＝＝ 5 91， 1 2 五名男生成绩的方差为 s1＝ (16＋16＋4＋4＋0＝8， 5 课时作业课堂互动探究教师备课资源菜单
BS ·数学教学教法分析教学方案设计课前自主导学必修3 易错易误辨析当堂双基达标五名女生成绩的方差为 1 2 s2＝ (9＋4＋4＋9＋4＝6， 5 显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差． D，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩．【答案】 C 课时作业课堂互动探究菜单教师备课资源。

高中数学 1.4 数据的数字特征配套课件 北师大版必修3

高中数学 1.4 数据的数字特征配套课件 北师大版必修3
(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征． (4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
2．过程与方法 通过对实例的探究，感知平均数、中位数和众数刻画了 一组数据的集中趋势，极差、方差、标准差刻画了一组数据 的离散程度，而标准差的单位与原始测量单位相同． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习，感受数据的数字特征的意义和作用， 从而提高根据问题的需要而选择不同的统计量来表达数据的 信息的能力．
极差、方差、标准差
【问题导思】 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的 环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 1．甲、乙两战士命中环数的平均数 x 甲、 x 乙各是多少？ 【提示】 x 甲＝7 环； x 乙＝7 环．
2．由 x 甲， x 乙能否判断两人的射击水平？ 【提示】 由于 x 甲＝ x 乙，故无法判断． 3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳 定？
●重点难点 重点：会求一组数据的平均数、方差、标准差． 难点：方差、标准差在实际问题中的应用．
●教学建议 本节内容安排在学生学习了抽样方法、统计图表等知识 之后，是在初中学习过平均数、中位数、众数、极差、方差 等统计量的基础上对数据的数字特征的进一步研究，在教学 过程中，要在教师的引导下，充分发挥学生的主体作用，让 学生分析案例，对不同的数字特征进行对比，在对比中，发 现其差异、明确其特点，体会其作用，并让学生进行交流、 总结并适时给出点拨，从而达到会用数字特征解决问题的目 的．
1．由此题可见，平均数受数据中的极端值的影响较大， 这时平均数对总体估计的可靠性反而不如众数和中位数．
2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许 多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．

第1章4数据的数字特征课件北师大版必修3

第1章4数据的数字特征课件北师大版必修3

课堂互动讲练
考点一
考点突破 众数、中位数、平均数的应用
例1 某企业员工的月工资资料如下(单位： 元)：
(1)计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数； (2)假如你去这家企业应聘职位，你会如何看待员工 的收入情况？ 【思路点拨】 (1)平均数、中位数和众数根据定义 即可求得；(2)主要根据月工资的平均数来看待员工 的收入情况，当然也要考虑中位数和众数．
【点评】 平均数是将所有的数据都考虑进去得 到的度量，它是反映数据集中趋势最常用的量， 中位数可靠性较差，当一组数据中个别数据变动 较大时，常用中位数表示数据的集中趋势．而众 数求法较简便，也经常被用到．考查一组数据的 特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑．
大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中 的最大与最小值处，把最高工资作为一个单位工 资的评价，这是一种错误的评价方式．
【点评】 (1)平均数与方差是重要的数字特 征数，是对总体的一种简明的描述，它们反 映的情况有着重要的实际意义，从而要掌握 其计算公式，为正确分析其含义打下基础． (2)当两组数据的平均数相同或相近时，用方 差或标准差比较它们的波动大小，样本方差 或标准差越大，样本数据的波动越大，稳定 性越差，反之，样本数据波动就越小，稳定 性越好．
(3)实际应用 方差与原始数据单位不同，平方后可能夸大了偏 差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数 据的离散程度上是一样的，但实际解决问题时一 般采用标准差． 3．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情 况的特征数，方差和标准差的大小与数据的波动 有何关系？
方差(标准差)越大，波动越大，稳定性越差； 方差(标准差)越小，波动越小，稳定性越好．
2．如何理解方差与标准差的意义和应用？ (1)引入方差、标准差刻画数据的原因 单从众数、中位数、平均数、最大值、最小值、 极差来分析数据，各个数据的波动情形无法更 好更全面的体现． (2)方差、标准差的意义 方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动 的大小，体现了样本数据到平均数的一种平均 距离．

高中数学 1.4 数据的数字特征一课件 北师大必修3

高中数学 1.4 数据的数字特征一课件 北师大必修3

众数140
分组 频率/组距频率 [122,126) 0.01 0.04 [126,130) 0.0175 0.07 [130,134) 0.02 0.08 [134,138) 0.045 0.18 [138,142) 0.07 0.28 [142,146) 0.0425 0.17 [146,150) 0.0225 0.09 [150,154) 0.0125 0.05 [154,158) 0.01 0.04
提问：1、电视里评委是怎样给选手打分的？ 2、为什么这么做？直接取中位数和众数的值不好么？
特征数 特征值
众数 9．3
中位数 9．4
平均数 9．49
去掉一个最高分和 最低分后的平均分
9．42
去掉两个最高分 和最低分后的平 均分
9．44
例2、报纸上招聘栏目内，某电脑销售公 司招聘台前售货员，进货员，售后服务员， 前台经理等多名业务人员，广告打出该公 司月平均工资本950元，小张想找到一分 这样的工作，理想的工资价位是900元应 聘，现请你参考，你怎么样看待这则广告？
应立即劝这位同学查阅一下这所大学招生的其 它信息。查看一下这所大学近几年招生的平均 数，如果平均数低于550分，说明这所大学每 年的招生中，存在只招入少数高分学生的现象， 大部分学生都是低于中位数录取的,可以报报看， 否则不能报。如果能查到该校每年录取的最低 分数线那是最好的
用一个数 a代表n个数 x1,x2,x3, ,xn的值，a怎
例3 某工厂人员及工资构成如下：
人员 周工资 人数 合计
经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
2200 250
220
200 100
16
5
10 1 23
2200 1500 1100 2000 100 6900

1.4 数据的数字特征 (北师大版必修3)新ppt课件

1.4 数据的数字特征 (北师大版必修3)新ppt课件

甲直径 /mm
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙直径 /mm
40.0
40.0
39.9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
经过简单计算可以得出:甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均数都是40mm,
但从上表中的数据不难发现, 甲生产的产品波动幅度比乙大,我们用折线统计图 可以直观地表示出这两组数据的离散情况:
6
例2.在上一节中, 从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶 图表示. 如图所示:
865
88400 752 00 31 8 甲
0 1 028
（1）甲、乙两组数据中的中位数、众数、极差分 别是多少?
2 0 2 3 3 7 （2）你能从左图中分别比较甲、乙两组数据平均 3 1 2 4 4 8 数和方差的大小吗?
5.方差 样本数据x1, x2, …, xn的方差为
s2 1 n [(x 1 x )2 (x 2 x )2 (x n x )2 ]
注意: 方差描述一组数据围绕平均数波动的大小, 反映了一组数据变化的幅度和离
散程度的大小.
方差大, 数据离散程度大; 方差小, 数据的离散
程度小. 取值范围是
[0,).
样本数据x1, x2, …, xn的方差的计算步骤:
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙直径 /mm
40.0
40.0

高中数学第1章统计§44142数据的数字特征课件北师大版必修3

高中数学第1章统计§44142数据的数字特征课件北师大版必修3

可以是中位数、平均数或众数，若是平均数，则需进一步了解企业各
类岗位收入的离散情况．
28
2．极差与方差是怎样刻画数据离散程度的？ 提示：方差与极差越大，数据的离散程度就越大，也越不稳定， 数值越小，离散程度就越小，越稳定．
29
【例 3】 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50
60 70 80 90
数是5，那么该组数据的众数是________，平均数是________．
20
(1)C (2)6 5 [判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前 8 位，所以只要知道其他 15 位同学的成绩中是不是有 8 位高于他，也 就是把其他 15 位同学的成绩排列后看第 8 位的成绩即可，小刘的成 绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个 第 8 位的成绩就是这 15 位同学成绩的中位数．
3．平均数的定义
6
如果有 n 个数 x1，x2，…，xn，那么 x ＝
x1＋x2＋x3＋…＋xn n
，叫作这
n 个数的平均数．
二、极差、方差、标准差
1．标准差、方差 (1)标准差的求法： 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示．
s＝ 1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2] .
(2) x 甲＝2＋5＋10＋113＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13 ＋90×14＋100×6)
＝510×4 000＝80(分)，
x
乙
＝
1 4＋4＋16＋2＋12＋12
(50×4
＋
60×4
＋
70×16
＋
80×2
＋
90×12
＋

【北师大版】必修三：1.4《数据的数字特征》ppt课件

【北师大版】必修三：1.4《数据的数字特征》ppt课件

[规律总结] (1)平均数与每一个样本数据有关，任何一个
样本数据的改变都会引起平均数的改变，而中位数、众数都不 具有该性质． (2)众数考查各数据出现的次数，大小只与这组数据中的部 分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众
数往往更能反映问题.
(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中 位数没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在该 组数据中．
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
统 计
第一章
§4 数据的数字特征
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
某酒店打出的招聘宣传语是“本酒店待 遇丰厚，平均工资是每周 400 元”，小强应 聘上后工作了一段时间，发现上当了，前去 质问经理：“您宣传工资一周是 400 元是欺 诈行为，我问过其他员工了，没有一个人每周的工资超过 400 元．”而经理说：“我当时说的是平均周工资 400 元，我的周 工资大概是 2 000 元，6 名副经理的周工资都是 380 元，5 名领 班的周工资是 350 元，10 名服务员的周工资是 300 元，1 名清 洁工的周工资是 250 元．”小强一听，哭笑不得．同学们，你 认为经理的说法合理吗？
位：元) 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 工资 1 5 500 1 5 000 2 3 500 1 3 000 5 2 500 3 2 000 20 1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长 的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、 众数又是多少？(精确到1元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？

高中数学北师大版 必修3 第一章 统计 §4 数据的数字特征 4.2标准差 课件(共15张PPT)

高中数学北师大版 必修3 第一章 统计 §4 数据的数字特征 4.2标准差 课件(共15张PPT)

甲乙两组数据的条形图是：
从上图看，还是有差异的.很明显，甲的成绩比较分散， 乙的成绩相对集中，因此，我们还需要从另外的角度来 考察这两组数据.
提示： 在作统计图、表时我们提到过极差，还记得什么是极差吗？
极差：一组数据的最大值与最小值的差 极差：在一定程度上表明了样本数据的分散程度，极差 越大，数据越分散；极差越小，数据越集中
一、回顾旧知，完成练习
问题1：在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动 员的成绩如下：
成绩/ 米 人数 1.50 2 1.60 3 1.65 2 1.70 3 1.75 4 1.80 1 1.85 1 1.90 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数、平均数（保留到小 数点后两位），并分析这些数据的含义.
三、推进新课，探究新知
为了考察样本数据的分散程度的大小，统计学上最常 用的量是标准差. 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s表示. 假设样本数据是 的距离是 xi x (i 1,2,n). 于是，样本数据
S
，其平均数为
xi 到 ，
到 的“平均距离”是 x
n .
x1 x x2 x xn x
例2：为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后 必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天 数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．
天数 灯泡数 151～ 180 1 181～ 210 11 211～ 240 18 241～ 270 20 271～ 300 25 301～ 330 16 331～ 360 7 361～ 390 2
解：各组组中值依次为165，195，225，255，285，315，345， 375，由此算得平均数为

高中数学 第1部分 第一章 §4 数据的数字特征配套课件 北师大版必修3

高中数学 第1部分 第一章 §4 数据的数字特征配套课件 北师大版必修3
[答案(dáàn)] D
第三十一页，共40页。
[一点通] 解决此类问题，一般有两种方法： (1)由图形得到对应(duìyìng)的样本数据，计算出平均数 、方差(标准差)； (2)从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数 的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小． 此点可称为方差(标准差)的几何意义．
10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05.
从交货天数的平均数来看，甲供货商的供货天数短一些；从
方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲供货商的交
货时间较具有一致性与可靠性.
第二十八页，共40页。
[例3] 样本数为9的四组数据(shùjù)，他们的平均数都是5 ，条形图如图所示，则标准差最大的一组是 ( )
第二十二页，共40页。
[精解详析] －x 甲＝110(100＋97＋…＋100)＝100.3， －x 乙＝110(97＋97＋…＋102)＝100.3， 则 s甲 2 ＝110[(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2]＝5.61， s2乙＝110[(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2]＝9.21， 所以甲队的标准差为 s 甲＝ 5.61≈2.37，乙队的标准差为 s 乙 ＝ 9.21≈3.03. 由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此 甲队在联赛中发挥更为稳定一些．
(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极
分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大.
第二十一页，共40页。
[例2] 甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛 ，得分如下：
甲队：100,97,99,96,102,103,104,101,101,100. 乙队：97,97,99,95,102,100,104,104,103,102. 请计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断(pànduàn)哪支 球队发挥更为稳定？ [思路点拨] 直接利用方差、标准差的公式计算，然后通过 比较方差或标准差的大小得出结论．
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如果 xk＝xk′＋a，k＝1,2，…，n，则 s2＝1n[(x1′2＋x2′2 ＋…＋xn′2)－n x ′2]，其中 x ′＝1n(x′1＋x′2＋…＋x′n)＝ x －a.
(2)关于统计的有关性质及规律 ①若 x1，x2，…，xn 的平均数为－x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，…， mxn＋a 的平均数是 m－x ＋a. ②数据 x1，x2，…，xn 与数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的 方差相等. ③若 x1，x2，…，xn 的方差为 s2，那么 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2.
W1、W4、W8依次为三个班考评分的中位数； Z1、Z4、Z8顺次为三个班考评分的众数．
则 P1＝15(10＋10＋6＋10＋7)＝8.6 分． P4＝51(10＋8＋8＋9＋8)＝8.6 分． P8＝51(9＋10＋9＋6＋9)＝8.6 分； W1＝10 分，W4＝8 分，W8＝9 分； Z1＝10 分，Z4＝8 分，Z8＝9 分． ∴平均数不能反映这三个班的考试结果的差异，而用中位 数(或众数)能反映差异，且 W1>W8>W4(或 Z1>Z8>Z4)．
1.平均数、中位数、众数 刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众 数． _1n_(x_1_＋_平_x_均2＋__数…__：＋__nx_个n_)_数. ：x1，x2，…，xn，那么它们的平均数为＝ 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_最__中__间___位 置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)称为中位数． 众数：一组数据中，出现次数___最__多___的数 [特别提示] 中位数不一定在这组数据中，而众数必定在该组数据中， 有时一组数中有好几个众数.
课堂典例讲练
平均数、众数、中位数
、(8)班这三个班中推荐一个班为
市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，
下表是它们五项素质考评的得分表：(以分为单位，每项满分为
10班分级) 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生
高一(1)班 10
10
6
10
7
高一(4)班 10
8
8
9
8
高一(8)班
9
10
9
6
9
请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计 量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映 差异的统计量将它们的得分进行排序．
[思路分析] 正确理解平均数、中位数和众数的概念是解 题关键.
[规范解答] 设P1、P4、P8顺次为三个班考评分的平均 数；
2．极差、方差、标准差 刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差． 极差：把一组数据中最大值与最小值的___差_____ 叫作这组 数据的极差．极差对极值非常敏感，一定程度上表明了该组数 据的分散程度． 方差：设一组数据为：x1，x2，…，xn，其平均数为 x ，则 方差为 s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]，其单位是原 始观测数据单位的平方．
1.下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是
()
A．众数
B.平均数
C．标准差
D.中位数
[答案] C
[解析] 反应一组数据离散程度的量有极差、方差、标准
差，故选C.
2．(2015·重庆理，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数 据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是( )
A．19
B.20
C．21.5
标准差：它是方差的正的平方根． s＝ s2＝_____1n_[_x_1_－__x__2_＋__x_2_－__x__2_＋__…__＋___xn_－__x__2_]____， 其单位与原始测量单位__相__同____． 在统计中，我们通常用_标__准__差___来刻画数据的离散程度．
3．关于统计的计算
成才之路 ·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
统计 第一章
§4 数据的数字特征 第一章
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
某酒店打出的招聘宣传语是“本酒店待 遇丰厚，平均工资是每周 400 元”，小强应 聘上后工作了一段时间，发现上当了，前去 质问经理：“您宣传工资一周是 400 元是欺 诈行为，我问过其他员工了，没有一个人每周的工资超过 400 元．”而经理说：“我当时说的是平均周工资 400 元，我的周 工资大概是 2 000 元，6 名副经理的周工资都是 380 元，5 名领 班的周工资是 350 元，10 名服务员的周工资是 300 元，1 名清 洁工的周工资是 250 元．”小强一听，哭笑不得．同学们，你 认为经理的说法合理吗？
5．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位： 克)：
125 124 121 123 127 则该样本的标准差s＝________(克)(用数字作答)． [答案] 2 [解析] ∵ x ＝15(125＋124＋121＋123＋127)＝124， ∴s2＝15[(125－124)2＋(124－124)2＋(121－124)2＋(123－ 124)2＋(127－124)2]＝4，∴s＝2.
4．如图所示的是甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情
况的茎叶图，则甲运动员的得分的中位数是________.
甲
乙
508 521346 542368 9 7 66213389 9 44 0 51
[答案] 34
[解析] 把甲运动员的得分按从小到大顺序排列为 5,12,15,24,25,31,32,36,36,37,39,44,49,50 ， 中 间 的 两 个 数 为 32,36，故中位数为32＋2 36＝34.
D.23
[答案] B
[解析] 根据茎叶图的显示易知中位数为20.
3．一组数据按从小到大顺序排列为1,2,4，x,6,9，这组数
据的中位数为5，那么这组数据的众数和极差分别为( )
A．4,7
B.5,8
C．5.5,8
D.6,8
[答案] D [解析] 中位数为4＋2 x＝5，∴x＝6.极差为 9－1＝8.
(1)求方差的公式：①定义法：s2＝n1[(x1－－x )2＋(x2－－x )2 ＋…＋(xn－－x )2]；
②简化法：s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－n x 2]；
③如果在 n 个数中，x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，xk 出现 fk 次，则加权方差公式 s2＝1n[(f1x21＋f2x22＋…＋fkx2k)－n x 2]．