平行四边形

平行四边形的概念平行四边形（parallelogram），是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。

平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。

注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。

平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

相比之下，只有一对平行边的四边形就是梯形。

平行四边形的三维对应就是平行六面体。

定义两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

1、平行四边形属于平面图形。

2、平行四边形属四边形。

3、平行四边形属于中心对称图形。

性质（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。

）矩形（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（详述为“平行四边形的两组对边分别成正比”[1] ）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（详述为“平行四边形的两组对角分别成正比”[1] ）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

（详述为“平行四边形的邻角优势互补”）（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。

（简述为“平行线间的高距离处处相等”）（5）如果一个四边形就是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”[1] ）（6）相连接任一四边形各边的中点税金图形就是平行四边形。

（推断）（7）平行四边形的面积等于底和高的积。

（可视为矩形。

）（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分为全等的两部分图形。

（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形就是中心对称图形。

矩形和菱形就是轴对称图形。

备注：正方形，矩形以及菱形也就是一种特定的平行四边形，三者具备平行四边形的性质。

（11）平行四边形abcd中e为ab的中点，则ac和de互相三等分，一般地，若e为ab上靠近a的n等分点，则ac和de互相(n+1)等分。

平行四边形的概念无论我们处在哪个角落，都会时不时遇见一些奇异而迷人的事物。

这些事物以其独特之姿吸引着我们的目光，给我们带来了诸多想象与思考。

其中，特殊的平行四边形就是其中之一。

一、平行四边形的起源与定义——几何学之谜平行四边形概念：在平面几何中，四个边两两平行且相等长的四形被称作平行四边形。

透过对平行四边形的研究，我们发现它是几何学中独特而神秘的一种形态。

它的起源可追溯至希腊古代，从那时起人们开始意识到平行四边形所蕴含的奥秘与美。

二、平行四边形的不寻常之处——扭曲的现实世界1. 平行线永不交汇的神奇性质平行四边形之奇特即体现在其四条边平行且永不相交的属性上。

这一性质使得平行四边形成为了一种脱离实际情况的几何存在，仿佛是现实世界的扭曲之物。

2. 平行四边形在建筑中的运用——视觉的错觉建筑与平行四边形在建筑设计领域，我们经常能够目睹平行边形的巧妙应用。

例如，某些建筑中的立面设计利用平行四边形的特殊形状，增强了空间感的错觉，使人们产生一种宽敞、开放的感受。

3. 平行四边形在艺术中的体现——无尽的创造艺术中的平行四边形平行四边形也在艺术领域中展现出其独有的魅力。

许多画家通过运用平行四边形的形态和色彩，创造出了令人惊叹的绘画作品。

这些作品以其独特的构图和视觉效果，为观者呈现出一幅幅生动而诡异的场景。

三、平行四边形的独特之美——赋予生活新的想象力平行四边形的奇异魅力是如此引人入胜，以至于我们无法抗拒地其吸引。

在这个多彩的世界中，平行四边形为我们带来了新的思考与想象。

结语：赋予生活新的神奇平行四边形的存在对我们而言仿佛是一道难题，通过它，我们能够更深入地探索几何学与美学之间的联系。

它显示出人类创造力的无穷可能性，并赋予了生活新的神奇。

或许在未来的某一天，平行四边形的奥秘将继续为我们带来无限的惊喜。

有没有人愿意在爱案作家路上一起探平行四边形的奇妙之处？。

第九节平行四边形的性质【知识要点】1．平行四边形的有关概念（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）对边、对角、对角线的概念：平行四边形共有四条边，四个角，把不相邻的边称为对边，不相邻的角称为对角，因此平行四边形有两组对边，两组对角。

对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫对角线。

平行四边形有两条对角线，它们交于四边形内一点。

2．相关性质边：平行四边形的对边平行且相等。

角：平行四边形中对角相等，邻角互补，内角和是360°。

对角线：平行四边形的对角线互相平分。

3．平行线间的距离（1）两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

（2）平行线之间的垂线段处处相等。

4. 平行四边形的面积公式：S=底×高【典型例题】例1 在平行四边形ABCD中（1）若∠A=40°，则∠B= ，∠C= ，∠D= 。

（2）若∠A－∠B=80°，则∠A= ，∠B= 。

（3）若∠A+∠C=220°，则∠A= ，∠B= 。

（4）若周长为44cm，AB－BC=2cm，则CD= ，AD= 。

灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算例2 如图，四边形ABCD为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD 各边长和各内角的度数。

例3 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAB:∠ABC=1:3，AB=4，BD与AC相交于O，且BD⊥AB，求AD，BC和AC的长。

利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围例4 如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O 点，若AC=8，BD=6，则边AB 长的取值范围为（ ） A ．1﹤AB ﹤7 B ．2﹤AB ﹤14 C ．6﹤AB ﹤8D ．3﹤AB14灵活运用平行四边形的面积公式计算例5 小强家承包了一块苗圃用来养花。

平行四边形的三个特点一、什么是平行四边形平行四边形是指具有两对对边互相平行的四边形。

在平行四边形中，相邻两边互相平行，对边长度相等，对角线互相平分。

平行四边形是几何学中的一个基本概念，具有一些独特的特点和性质。

二、平行四边形的三个特点平行四边形的三个特点分别是：内角和相等、对边平等、对角线互相平分。

2.1 内角和相等在平行四边形中，对边互相平行，因此它的相邻内角呈同位角关系，即对应角相等，内角和相等。

可以通过数学公式加以证明，设平行四边形的两对边分别为AB、CD和BC、AD，其中AB∥CD，AD∥BC。

则平行四边形的内角A、B、C、D满足以下关系：A + B = 180° B + C = 180° C + D = 180° D + A = 180°2.2 对边平等平行四边形的两对对边分别平行，对边长度相等。

设平行四边形的两对对边分别为AB、CD和BC、AD，其中AB∥CD，AD∥BC。

则平行四边形的对边满足以下关系：AB = CD AD = BC2.3 对角线互相平分平行四边形的两条对角线互相平分。

设平行四边形的两对对边分别为AB、CD和BC、AD，其中AB∥CD，AD∥BC。

则平行四边形的对角线AC和BD满足以下关系： AC平分BD：AC = BD BD平分AC：BD = AC三、平行四边形的性质及应用除了上述三个特点之外，平行四边形还具有一些其他的性质和应用。

3.1 平行四边形的对角线长度关系在平行四边形中，对角线的长度满足以下关系：AC² + BD² = 2AB² + 2AD²3.2 平行四边形的面积公式平行四边形的面积可以通过底边和高的乘积来计算，即：面积 = 底边× 高3.3 平行四边形在日常生活中的应用平行四边形的概念和性质在日常生活中有许多应用。

例如，在工程和建筑中，平行四边形可以用来描述桌子、柜子、门窗等物体的形状。

平行四边形十种画法平行四边形是一种简单的几何形状，它具有四个相等的边和四个相等的角。

它们几乎可以在任何地方都可以看到，如椅子的腿，建筑物的墙壁，网格，以及许多其他事物。

在数学中，有许多不同的方法可以画出平行四边形。

这些方法包括：一、直线法：这是最简单的画法，只需用直线连接四个点即可。

二、多边形法：这种方法使用多边形来画出平行四边形，这种方法可以用来画出更复杂的图形，比如五边形，六边形，七边形等等。

三、圆弧法：这种方法使用圆弧来画出平行四边形，例如用圆弧画出椅子的腿，用圆弧画出一个网格。

四、折线法：这种方法使用折线来画出平行四边形，例如用折线画出一个椅子的腿，用折线画出一个网格。

五、多折线法：这种方法使用多折线来画出平行四边形，例如用多折线画出一个椅子的腿，用多折线画出一个网格。

六、锯齿形法：这种方法使用锯齿形来画出平行四边形，例如用锯齿形画出一个椅子的腿，用锯齿形画出一个网格。

七、填充法：这种方法使用填充来画出平行四边形，例如用填充画出一个椅子的腿，用填充画出一个网格。

八、旋转法：这种方法使用旋转来画出平行四边形，例如用旋转画出一个椅子的腿，用旋转画出一个网格。

九、弹性法：这种方法使用弹性来画出平行四边形，例如用弹性画出一个椅子的腿，用弹性画出一个网格。

十、梯形法：这种方法使用梯形来画出平行四边形，例如用梯形画出一个椅子的腿，用梯形画出一个网格。

以上就是十种画平行四边形的方法。

每种方法都有其优点和缺点，例如直线法可以画出简单的平行四边形，但是无法画出复杂的图形，而多边形法可以画出复杂的图形，但是它需要一定的技巧。

因此，在使用这些方法时，要根据要求的精确程度来选择最合适的方法。

总的来说，画出平行四边形的方法很多，每种方法都有其优缺点，必须根据要求的精确程度来选择最合适的方法。

这种能力可以通过多种方式获得，例如在绘图软件中练习，以及多看图书，多看画作。

什么是平行四边形？
平行四边形是什么？
平行四边形是一个四边形，它的对边是平行的。

它具有以下几个重要特征：
1. 对边平行：平行四边形的两对对边是平行的，即相对的两边永远不会相交。

2. 对角线相互平分：平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点是对角线的中点。

3. 对边相等：平行四边形的对边长度相等。

平行四边形有以下几个常见的性质：
1. 同一边上的相邻角是补角：即平行四边形中的两个相邻角的和为180度。

2. 对角线等分内角：平行四边形的对角线会等分内部的角，即对角线所切割的角相等。

3. 临补角互补：平行四边形的相对临补角是互补的，即两个相对临补角的和为180度。

为了更好地理解平行四边形，我们可以结合示意图和具体的例子进行说明。

下面是一个示例：
A --------- B
/ \
/ \
D --------- C
在这个示例中，AB和CD是平行四边形的对边，AC和BD是平行四边形的对角线。

根据平行四边形的性质，我们可以得出以下结论：
1. AB和CD是平行的，且相等长度。

2. AC和BD是平行的，且互相平分。

3. 角D和角B是补角，角A和角C是补角。

总之，平行四边形是一个具有特定几何特征的四边形，其中对
边平行，对角线相互平分，对边长度相等。

它具有一些常见的性质，如同一边上的相邻角是补角，对角线等分内角等。

通过示意图和具
体的例子，可以更好地理解平行四边形的概念和性质。

平行四边形的计算公式
1、平行四边形的面积公式：底×高
2、平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值。

3、平行四边形周长：四边之和。

周长c=2(a+b)。

平行四边形是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，一般用图形名称加四个顶点依次命名。

平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且其相反的角度是相等的，只有一对平行边的四边形是梯形，其三维对应是平行六面体。

该图形的特点是对边平行且相等、容易变形
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

平行四边形属于平面图形。

平行四边形属于四边形。

平行四边形属于中心对称图形。

平行四边形的性质：
1、平行四边形的两组对边分别相等。

2、平行四边形的两组对角分别相等。

3、平行四边形的邻角互补。

4、平行线间的高距离处处相等。

5、平行四边形的对角线互相平分。

1。

平行四边形在生活中的例子
平行四边形在生活中的
应用1：有一种衣架就是根据平行四边形的不稳定性设置的，可以用根据需要改变挂钩之间的距离，美观又实用。

应用2：还有电动伸缩门，也是利用平行四边形的不稳定性。

应用3：有很多地板砖是就平行四边形的，铺上地面无缝隙也无重叠，而且铺成后缝线也是很整齐的。

应用4：利用平行四边形的容易变形性，生活中的楼梯扶手、折叠椅子、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏和手工编的篮子等都利用了这一特性。

应用5：比如桌凳、橱柜床、门窗、书本、报刊、电视机、电脑、手机等。

平行四边形判定条件
判定平行四边形的条件有：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。

平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。

注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。

平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，在几何学中具有独特的性质和特点。

本文将详细探讨平行四边形的性质，包括四边形定义、性质、形状特征以及与其他几何形状的关系。

一、平行四边形定义平行四边形是指具有两组对边相互平行的四边形。

这意味着两对对边分别平行，分别相互等长。

二、1. 对边性质：平行四边形的对边互相平行且相等。

其中，对应的边相等，对立的边平行。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且对角线相交的点能够将对角线等分。

3. 内角性质：平行四边形的内角相对必定相等，即相对的内角相等。

4. 外角性质：平行四边形的补角（外角）互相补角，并且相等。

5. 邻边性质：平行四边形的邻边互相补角，且互相领对。

6. 周长性质：平行四边形的周长等于四边分别长度之和。

7. 对面性质：平行四边形的对面两边是平行的，对面两边的夹角互为补角，即一个内角和一个外角。

三、平行四边形的形状特征1. 平行四边形的边相等且对边平行，使其具有近似矩形的形状。

2. 平行四边形的内角互相相等，使其具有近似菱形的形状。

3. 平行四边形的对角线相等且互相平分，使其具有对称性。

四、平行四边形与其他几何形状的关系1. 矩形：矩形是一种特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，同时还具有直角特征。

2. 菱形：菱形是一种特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，同时还具有边长相等、对角相等、对角平分等特征。

3. 正方形：正方形是一种特殊的矩形和菱形，同时具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质，边长相等且所有角都是直角。

总结：平行四边形是一种具有两组平行边的四边形，具有丰富的性质和特点。

它的定义包括对边平行且相等，对角线互相平分和周长为各边长之和。

平行四边形的形状特征使其近似矩形和菱形，同时与其他几何形状如矩形、菱形和正方形有密切的关系。

通过研究平行四边形的性质，我们可以更好地理解和应用它在几何学中的重要性。

《平行四边形及其性质》说课稿洛阳市第十六中学樊素敏各位领导、各位评委，大家好：（播放幻灯片1）我叫樊素敏，洛阳市第十六中学数学教师。

今天我展示给大家的题目是《平行四边形及其性质》的第一个课时。

我将从以下五个方面阐明本节课的设计理念（播放幻灯片2）一、教材分析1 .教材所处的地位和作用。

《平行四边形及其性质》是人教版八年级数学第二学期第十九章第一节内容。

纵观整个初中教材，它是在学生掌握了平行线、三角形及简单图形的平移和旋转等知识的基础上学习的。

平行四边形及其性质在实际生活中有广泛的应用，它是本节的重点，又是全章的重点。

学习它不仅是对已学平行线、三角形等知识的综合应用和深化，又是下一步学习矩形、菱形、正方形及梯形等知识的基础，起着承上启下的作用。

2. 教材的编写及内容的处理。

教材从学生的年龄特征和知识的实际水平出发，让学生用“观察、猜想、操作、验证、归纳”等方法探索平行四边形的定义及性质，这样既符合学生的认知规律，同时也培养了学生主动探求知识的精神和思维的条理性。

本节的教学任务分两课时完成，而本节课是第一课时，主要探究平行四边形的定义及有关性质，以提高学生逻辑思维能力。

3.教学目标。

根据新课标的要求及学生的实际情况，本节课我制定了如下目标：（播放幻灯片3）（1）知识目标理解平行四边形的定义，探究平行四边形的性质；利用平行四边形的性质进行有关的计算和证明，解决简单的实际问题。

（2）能力目标通过观察、猜测、归纳、证明，能运用数学语言进行讨论与质疑，发展学生合理的推理意识，培养主动探究的习惯。

从而提高逻辑思维能力。

（3）情感目标通过平行四边形性质的应用过程，培养学生独立思考的习惯，在数学学习活动中获得成功的体验。

进一步认识数学与生活的密切联系，体验数学来源于生活，又服务于生活。

4. (播放幻灯片4)重点和难点基于以上的分析，我认为本节课的重点是：平行四边形性质的探究与应用；难点是：平行四边形性质的探究，即如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题来解决。

平行四边形的定义及性质知识点讲解：一、平行四边形定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(如图)，记作“□ABCD”。

平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成□ACBD，也不能表示成□ADBC。

二、平行四边形的性质①平行四边形的对边平行且相等四边形ACBD为平行四边形、②平行四边形的对角相等；四边形ACBD为平行四边形③平行四边形的对角线互相平分四边形ACBD为平行四边形④平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边四边形ABCD为平行四边形，E、F在AD，BC上，且线段EF过点OOE＝OF形的对称中心对称。

⑤平行四边形中重要结论：在□ABCD中，①若∠A－∠B＝40°，则∠A＝____；②若周长为54cm，AB－BC＝5cm，则AB＝____cm；③若AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系为____。

④若∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则＝ ____。

⑤若E为AD上一点，且则＝ ____。

例题精讲【例1】⑴(2009东营)如图，在□ABCD中，已知AD＝8cm ，AB＝6cm ，DE平分∠ADC交BC边于点E ，则BE等于 cm。

⑵(2008—2009十一学校练习题)已知□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于O点，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，则AB的长度为cm。

⑶(2008—2009十一学校练习题) 已知三角形ABC，若存在点D使得以A，B，C，D的为顶点的四边形是平行四边形，则这样的点D有___个。

若已知△ABC的周长为3，则以所有D点围成的多边形周长为____。

【例2】⑴如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于E，F。

则图中的全等三角形共有____对。

平行四边形的判定
根据平行四边形的定义来判断：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

简单记就是：两组对边分别平行。

平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。

平行四边形性质
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，包括长方形、菱形、正方形和一般平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。

两组对边平行且相等；
两组对角大小相等；
相邻的两个角互补；
对角线互相平分；
对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；
四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

1 八年级（下）数学提高讲义 第六讲 平行四边形的性质 知识点分析 1、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2、平行四边形的性质 （1）边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； （2）角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； （3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； （4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。 3、平行线间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。注：距离是指垂线段的长度，是正值。 （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度。两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。 4、平行四边形的面积： 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. 例题精析 例1、如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（ ） A．12个 B．9个 C．7个 D．5个 2

例2、（1）如图，在平行四边形ABCD中，边AB在x轴上，顶点D在y轴上，AB=5，AD=4，点A的坐标为（﹣1，0），求B、C、D点的坐标。

（2）已知点A（3，0）、B（-1，0）、 C（0，2），以A、B、C为顶点画平行四边形，求出第四个顶点D的坐标。

例3、在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE。 3

例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F。 （1）求证：AB=AF； （2）若BC=2AB，∠BCD=110°，求∠ABE的度数。

例5、已知：如图，A为EF上一点，四边形ABCD是平行四边形且∠EAD=∠BAF． （1）求证：△CEF是等腰三角形． （2）△CEF的哪两边之和恰好等于平行四边形ABCD的周长？证明你的结论。 4