2020-2021学年山东省泰安一中高二上学期期中数学试卷 (解析版)

山东省泰安市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）“命题∃x∈R，x2+ax﹣4a≤0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知命题p：函数y=loga（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A . “p∧q”为真B . “p∨q”为假C . p真q假D . p假q真3. （2分） (2018高一下·芜湖期末) 我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（）B . 7C . 8D . 94. （2分） (2019高二上·龙潭期中) 已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则取值范围为（）A .B .C .D .5. （2分）已知椭圆的两个焦点分别为、，．若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·绍兴期末) 如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）B . 椭圆C . 一条直线D . 两条平行直线7. （2分） (2019高二上·齐齐哈尔期末) 将甲、乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲、乙两人成绩的中位数分别为，则下列说法正确的是（）A . ；乙比甲成绩稳定B . ；甲比乙成绩稳定C . ；乙比甲成绩稳定D . ；甲比乙成绩稳定8. （2分） (2016高二下·丰城期中) 袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为（）A .B .C .D .9. （2分）已知两个样本，甲：2，4，6，8，10；乙：1，3，5，7，9．样本方差分别为，则二者的关系是（）A .B .C .D . 无法确定10. （2分） (2017高一上·肇庆期末) 已知变量x，y有如表中的观察数据，得到y对x的回归方程是，则其中a的值是（）x0134y 2.4 4.5 4.6 6.5A . 2.64B . 2.84C . 3.95D . 4.3511. （2分）下列试验中,是古典概型的为（）A . 种下一粒花生,观察它是否发芽B . 向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合C . 从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率D . 在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率12. （2分）(2016·安庆模拟) 在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得≥1的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·宜昌期中) 已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________．14. （1分） (2016高二上·如东期中) 过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M 为线段AB的中点，则直线l的方程为________15. （1分） (2018高三上·湖南月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为________．16. （1分）在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为________ ．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知椭圆的焦点为，，（），为椭圆上一点，且是，的等差中项.（1）求椭圆方程；（2）如果点在第二象限且，求的值.18. （5分） (2017高二下·长春期末) 已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围．19. （10分） (2015高二上·柳州期末) 已知F1 ， F2是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在椭圆上，且• =0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B（1）求椭圆的标准方程；（2）当• =λ，且满足≤λ≤ 时，求弦长|AB|的取值范围．20. （15分） (2016高二下·赣州期末) 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．21. （10分） (2018高二下·长春期末) 已知与之间的数据如下表：附：，，， .（1）求关于的线性回归方程；（2）完成下面的残差表：并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）.22. （10分）(2018·朝阳模拟) 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．（1）求每个家庭能中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

高二数学试题第页（共4页）试卷类型:A高二年级考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

2022.111.经过A (0,3-1)，B (3,-1)两点的直线的倾斜角为A.π6 B.π3C.2π3D.5π62.若a =(-2,4,1)与b =(2,m ,-1)共线，则m =A.-4B.-2C.2D.43.已知圆M 的方程为x 2+y 2+2x -4y +1=0，则圆心M 的坐标为A.（1，-2）B.（-1，2）C.（2，-4）D.（-2，4）4.两条平行直线l 1:3x -4y +6=0与l 2:3x -4y -9=0间的距离为A.13B.35 C.3 D.55.已知平面α的一个法向量为n =(-1,-2,2)，点A (0,1,0)是平面α内一点，则点P (1,0,1)到平面α的距离为A.1B.2C.3D.46.已知圆M :(x -2)2+y 2=4内有点P (3,1)，则以点P 为中点的圆M 的弦所在的直线方程为A.x +y -2=0B.x -y -2=0C.x +y -4=0D.x -y +2=07.已知m ,n 为两条异面直线，在直线m 上取点A 1,E ，在直线n 上取点A ,F ，使AA 1⊥m ，且AA 1⊥n （称AA 1为异面直线m ,n 的公垂线）.已知A 1E =2,AF =3,EF =5,AA 1=32，则异面直线m ,n 所成的角为1高二数学试题第页（共4页）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.若直线kx +y +k =0与曲线y =1+2x -x 2仅有一个公共点，则实数k 的取值范围是二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1. 直线l 1:ax +2y +a =0与直线l 2:2x +ay −a =0互相平行，则实数a =( ) A.4 B.−4 C.−2 D.22. 如图，已知三棱锥O −ABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 为线段MN 上一点，且MG =2GN ，若记OA →＝a →，OB →＝b →，OC →＝c →，则OG →=( )A.13a →+13b →+16c →B.13a →+13b →+13c →C.16a →+13b →+13c →D.16a →+16b →+13c →3. 若圆C 1:x 2+y 2＝1与圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +m ＝0外切，则m ＝（ ） A.19 B.21 C.−11 D.94. 已知a →=(2, −1, 2)，b →=(−1, 3, −3)，c →=(13, 6, λ)，若向量a →，b →，c →共面，则λ=( ) A.3 B.2 C.4 D.65. 对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A.开口向上，焦点为(0,116) B.开口向上，焦点为(0, 1) C.开口向右，焦点为(1, 0) D.开口向右，焦点为(0,116)6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤2，若将军从点A(3, 0)处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A.√17−√2 B.2√5 C.3−√2 D.√177. 已知F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2＝1(a >0, b >0)的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2=60∘，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A.√72 B.√7 C.√14 D.√1428. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF =a ，且a ∈[π12, π4]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A.[√22, √63]B.[√22, 1]C.[√63, 1)D.[√22, √32]二、多选题（共4小题）正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为CC 1、BC 、CD 、BB 1的中点，则下列结论正确的是（ ）A.平面AEF ∩平面AA 1D 1D =AD 1B.B 1G ⊥BCC.A 1H // 面AEFD.二面角E −AF −C 的大小为π4已知直线x sin α+y cos α+1=0(α∈R)，给出下列命题正确的是（ ） A.无论α如何变化，直线不过原点 B.直线的倾斜角是π−αC.无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1已知曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k ＝1(k ∈R)，则下列结论正确的是（ ） A.当k =0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y ＝±√3x B.当k =4时，曲线C 为圆C.“k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为√2已知F 1、F 2是椭圆C:x 2a2+y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 、N 是左、右顶点，e 为椭圆C 的离心率，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，已知AF 1→⋅BF 1→=0，3AF 2→＝2F 2B →，|AF 1|=2|AF 2|，设直线AB 的斜率为k ，直线AM 和直线AN 的斜率分别为k 1，k 2，直线BM 和之间BN 的斜率分别为k 3，k 4，则下列结论一定正确的是（ ） A.k =12B.e =√55C.k 1⋅k 2=−45D.k 3⋅k 4=45三、填空题（共4小题）已知点P(2, −3)，Q(3, 2)，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是________．如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，则异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值为________．若△ABC 的两个顶点坐标A(−4, 0)、B(4, 0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________．设F 1，F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则△PF 1F 2的面积等于________四、解答题（共6小题）已知P(3, 2)，一直线l 过点P ，①若直线l 在两坐标轴上截距之和为12，求直线l 的方程；②若直线l 与x 、y 轴正半轴交于A 、B 两点，当△OAB 面积为12时，求直线l 的方程．已知过点M (0, 2)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x −1)2+y 2=1交于A ，B 两点． （1）求斜率k 的取值范围；（2）以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围；（3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值．如图，四面体ABCD 中，平面DAC ⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AC ＝4，AD ＝CD =2√2，O 是AC 的中点，E 是BD 的中点．（1）证明：DO ⊥底面ABC ；（2）求二面角D −AE −C 的余弦值．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y =±√3x ，且双曲线过点(√2, √3) （1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为π4的直线交双曲线于A ，B ，求|AB|．已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；(Ⅲ)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为12，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(−2, 1)是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1.【答案】此题暂无答案【考点】直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定圆的水射方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题（共4小题）【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线验周面垂直直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件曲常与树程双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题（共4小题）【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（共6小题）【答案】此题暂无答案【考点】待定系数因求滤线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线验周面垂直二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用椭圆较标准划程直线与椭常画位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

山东省2021年高二上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2020高一下·句容期中) 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）A .B .C .D .2. （1分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O 的表面积为（）A . 8πB .C .D .3. （1分）直线与圆的位置关系是（）A . 相离B . 相切C . 相交且过圆心D . 相交但不过圆心4. （1分）如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（）A . 2B . －2C . 2,－2D . 2,0,－25. （1分） (2016高二上·宜昌期中) 若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（）A . 1B . ﹣2C . 1或﹣2D .6. （1分） (2016高二上·温州期中) 已知直线m和平面α，β，若α⊥β，m⊥α，则（）A . m⊥βB . m∥βC . m⊂βD . m∥β或m⊂β7. （1分）(2020·山东模拟) 已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（）A .B . 2C . 4D .8. （1分）一几何体的主视图，左视图与俯视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A . 2B .C .D . 19. （1分） (2017高二上·荆门期末) 已知等边△ABC的边长为2 ，动点P、M满足| |=1，，则| |2的最小值是（）A .B .C .D .10. （1分）在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面的中心，则AD与平面所成角的大小是（）A .B .C .D .11. （1分） (2018高三上·河北月考) 已知点是圆内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么（）A . 且与圆相切B . 且与圆相切C . 且与圆相离D . 且与圆相离12. （1分）以过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（）A . 相交B . 相切C . 相离D . 不能确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·辽源期中) 直线交椭圆于两点，线段中点坐标为，则直线的方程为________14. （1分） (2016高三上·嘉兴期末) 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，若二面角A1﹣BD﹣A的大小为，则BD1与面A1BD所成角的正弦值为________．15. （1分） (2018高二上·梅河口期末) 已知两圆相交于两点，两圆圆心都在直线上，则的值是________．16. （1分） (2019高二下·深圳期末) 在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为________．三、解答题 (共6题；共9分)17. （2分） (2019高二上·哈尔滨月考) 已知圆的方程：．（1）求的取值范围；（2）若圆与直线：相交于，两点，且，求的值．18. （1分）如图，底面半径为1，高为2的圆柱，有A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？19. （1分）已知动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1：x=﹣1的距离（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．20. （2分））如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．21. （1分）(2017·凉山模拟) 如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF 平行且等于2CE，G是线段BF上的一点，AB=AF=BC=2．（1）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．22. （2分）已知圆，直线．（1）求证：对任意的，直线与圆恒有两个交点；（2）求直线被圆截得的线段的最短长度，及此时直线的方程．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共9分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

山东省泰安第一中学2020学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】由可得，所以当成立时可得到成立，反之不成立，所以是的必要不充分条件，选B.2.等差数列{a n}中，a4=13，a6=9，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A. 66B. 99C. 144D. 297【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可得，a1+a9=a4+a6，代入求和公式S9=可求．【详解】等差数列{a n}中，a4=13，a6=9，∴a1+a9=a4+a6=22，则数列{a n}前9项的和S9==99.故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．3. 下列结论正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】出题考查不等式的性质所以不能推导出，A错B对因为不知道的正负情况，所以C,D是错的答案 B点评：不等式两边同时乘以或者除以一个负数时，不等式要变化。

4.命题“∀，||”的否定是（）A. ∀， ||B. ∀， ||C. ∃，||D. ∃，||【答案】C【解析】试题分析：根据全称命题的否定形式，可知应该为，||，故选C．考点：含有量词命题的否定．5.已知数列{a n}，a1=1，a n+a n+1=3，则S2020等于（）A. 3009B. 3025C. 3010D. 3024【答案】B【解析】【分析】由数列的递推式可得奇数项为1，偶数项为2，S2020=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2020+a2020）+a2020，计算可得所求和．【详解】数列{a n}，a1=1，a n+a n+1=3，可得a2=2，a3=1，a4=2，…，即奇数项为1，偶数项为2，则S2020=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2020+a2020）+a2020=3+3+…+3+1=3×1008+1=3025．故选B．【点睛】本题考查数列的求和，注意运用分组求和，考查运算能力，属于基础题．6.已知2m+n=1，m，n＞0，则+的最小值为（）A. B. 8 C. 9 D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意可知，+=(+)(2m+n)，展开利用基本不等式即可求解．【详解】∵2m+n=1，m，n＞0，则+=(+)(2m+n)=5++≥5+4=9，当且仅当m=n=时取等号，故+的最小值为9.故选C.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是进行1的代换．7.等差数列的首项，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设出抽取的为第n项，根据所给的条件求出第六项求出公差，根据首项和求出的公差d写出等差数列的通项公式，令通项公式等于15列出关于n的方程，解方程即可．解答：解：设抽去的是第n项．∵前11项的平均值为5，从前11项中抽去某一项后，余下的10项平均值为4.6∴S11=55，S11-a n=46，∴a n=9，又∵S11=11a6=55．解得a6=5，由a1=-5，得d==2，令9=-5+2（n-1），∴n=8故选B点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，本题解题的关键是熟练应用公式，注意能够把所求的问题的实质看清楚，本题是一个中档题目．8.已知，给出下列四个结论：①a＜b ②a+b＜ab ③|a|＞|b| ④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A. ①②B. ②④C. ②③D. ③④【解析】试题分析：，∴b＜a＜0．①a＜b，错误．②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．④，∵b＜a＜0，∴a-b＞0，即，∴ab＜b2成立．∴正确的是②④．考点：不等式的性质9.已知F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．【详解】根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|=，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac-c2＞0，两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）.故选A．【点睛】本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．10.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和为A n和B n，且=，则为（）A. 13B. 11C. 10D. 9【解析】【分析】由等差数列的性质和前n项和公式，将转化为,再代入求值．【详解】∵等差数列{a n}和{b n}的前n项和为A n和B n，且=, 则= =9.故选D.【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式灵活应用，是常考的题型，注意总结．11.若点O（0，0）和点分别是双曲线-y2=1（a＞0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点M，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据M，F，O的坐标表示, 进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得的取值范围．【详解】设M（m，n），A（a，0），则=（m，n）•（m-a，n）=m2-am+n2．由F（，0）是双曲线-y2=1（a＞0）的右焦点，可得a2+1=3，即a=, 则双曲线方程为-y2=1, 由点M为双曲线右支上的任意一点，可得-n2=1（m≥）即有n2=-1, 则=m2- m+n2=m2-m+-1=-m-1可得函数在[,+∞）上单调递增，即有m2-m+n2≥2-2+1-1=0.【点睛】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．12.设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：设，则，又，，所以，，则，由得，又，所以，即，所以．故选B．考点：椭圆与双曲线的性质．【名师点睛】本题是椭圆与双曲线的综合题，解题时要注意它们性质的共同点和不同点，如离心率是相同的，准线方程是，但椭圆中有，，双曲线中有，，这在解题时要特别注意不能混淆，否则易出错．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列{a n}中，若前n项的和为S n=2n-1，则a12+a22+…+a n2=______．【答案】【解析】【分析】等比数列{a n}中，由前n项的和为S n=2n-1则可求出即可得出等比数列的公比，即可求得a n2的表达式，即可求和.【详解】由题意可得 a1=1，a2=s2-s1=3-1=2，则等比数列{a n}的公比为2，所以{ a n2}的公比为4，首项为1,所以a12+a22+…+a n2=.故答案为【点睛】本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题.14.已知双曲线的渐近线方程为, 并且焦距为20,则双曲线的标准方程为【答案】【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线的标准方程为有，又焦距为20,所以；则双曲线的标准方程为有，又焦距为20,所以；则双曲线的标准方程为15.当时，不等式恒成立，则的取值范围是_______．【答案】【解析】不等式恒成立，则：恒成立，考虑区间为开区间，则，结合二次函数的性质可得，对于二次函数，当时，函数取得最大值，综上可得，的取值范围是.点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．16.已知为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是__________．【答案】[5,21]【解析】因为.又因为椭圆的，N(1,0)为椭圆的右焦点，∴∴.故答案为：[5,21].三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设命题p：实数x满足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≥0．（Ⅰ）若a=1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）[2，3）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把a=1代入x2-2ax-3a2＜0，化为x2-2x-3＜0，可得-1＜x＜3；求解分式不等式可得q 为真命题的x的范围，取交集得答案；（Ⅱ）求解x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得-a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，由q是p的充分不必要条件，可得[2，4）⊊（-a，3a），由此列关于a的不等式组求解．【详解】（Ⅰ）a=1，则x2-2ax-3a2＜0化为x2-2x-3＜0，即-1＜x＜3；若q为真命题，则≥0，解得2≤x＜4．∴p，q都为真命题时x的取值范围是[2，3）；（Ⅱ）由x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，∵q是p的充分不必要条件，∴[2，4）⊊（a，3a），则，即．【点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．18.已知数列{a n}为等比数列，a1=2，公比q＞0，且a2，6，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，，求使的n的值．【答案】（1）；（2）n的取值为1，2，3，4，5.【解析】【分析】（1）由a2，6，a3成等差数列，知12=a2+a3，由{a n}为等比数列，且a1=2，故12=2q+2q2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n＝log22n＝n，知b n b n+1＝由此利用裂项求和法能够求出由的n的取值．【详解】（1）由a2，6，a3成等差数列，得12=a2+a3又{a n}为等比数列，且a1=2，故12=2q+2q2,解得q=2，或q=-3，又q＞0,∴q=2，∴,（2）∵，∴,∴,故由，得n＜6，又n∈N*∴n的取值为1，2，3，4，5．【点睛】本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作x 轴的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+=，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=±（x﹣2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得，，解出求出、的值即可得出椭圆的方程；（Ⅱ）由题意得点，设直线方程为，将直线，代入椭圆方程得到，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系列方程即可得出的值，从而可求得直线方程．试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意得=， +=1，a2=b2+c2．解得a2=6，b2=c2=3，则椭圆C： ==1．（Ⅱ）由题意得点Q（2，0），设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），由3+=，得3y1+y2=0，y1+y2=﹣2y1，y1y2=﹣3，得到=﹣（*）将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=，代入（*）式，解得：t2=，∴直线l的方程为：y=±（x﹣2）．【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量的线性运算，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.20.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2.当n≥2时，S n－1＋1，a n，S n＋1成等差数列．(1)求证：{S n＋1}是等比数列；(2)求数列{na n}的前n项和T n.【答案】（1）见解析（2）T n＝【解析】解：(1)证明：∵S n－1＋1，a n，S n＋1成等差数列，∴2a n＝S n＋S n－1＋2(n≥2)．∴2(S n－S n－1)＝S n＋S n－1＋2，即S n＝3S n－1＋2，∴S n＋1＝3(S n－1＋1)(n≥2)．∴{S n＋1}是首项为S1＋1＝3，公比为3的等比数列．(2)由(1)可知S n＋1＝3n，∴S n＝3n－1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2×3n－1.又a1＝2，∴a n＝2×3n－1(n∈N*)．na n＝2n·3n－1∴T n＝2＋4×3＋6×32＋…＋2(n－1)×3n－2＋2n×3n－1，①3T n＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n×3n，②由①－②得，－2T n＝2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－2n×3n＝－2n×3n＝3n－1－2n×3n，∴T n＝.21.某科研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：百元）．（1）求的函数关系式；当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．【解析】【分析】（1）收入等于售价乘以产量：，减去成本即为利润（2）求分段函数最值，先求各段函数最大值，再取两者最大值中较大的，一个是二次函数最值，注意研究对称轴与定义区间位置关系，一个是对勾函数，利用基本不等式求最值，注意等于号是否取到.【详解】（1）（2）当当当且仅当时，即时等号成立答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．【点睛】这个题目考查了函数的实际应用；对于这种题目，首先理解好题意，找到函数模型，列出数学表达式，注意函数的定义域要结合实际。

2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±23．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．35．已知A （﹣2，0），B （4，a ）两点到直线l ：3x ﹣4y +1＝0的距离相等，则a ＝（ ） A ．2B ．92C ．2或﹣8D ．2或926．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．√22C ．13D ．167．若圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 1：x 2+y 2+2x −4y =0的交点为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为x +y ＝0 B ．线段AB 的垂直平分线的方程为x +y +1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 8．已知曲线x −1=√4−y 2，则√x 2+(y −4)2的最大值，最小值分别为（ ） A ．√17+2，√17−2B ．√17+2，√5C ．√37，√17−2D ．√37，√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝011．已知圆C ：x 2+y 3﹣4x ﹣4y +7＝0，一条光线从点P （4，1）射出经x 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A ．若反射光线平分圆C 的周长，则反射光线所在直线的方程为3x +2y ﹣10＝0 B ．圆C 关于直线y ＝x +1对称的圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣6y +9＝0C ．若反射光线与圆C 相切于点A ，与x 轴相交于点B ，则|PB|+|BA|=2√3D ．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则△CMN 的面积的最大值为1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ ．14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 ．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ． 16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点（1，﹣3），圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段CD中点，现将△ADE沿AE折起，使得点D到点P位置，且AP⊥BE．（1）求证：平面AEP⊥平面ABCE；（2）已知点M是线段CP上的动点（不与点P，C重合），若使平面MAE与平面APE的夹角为π4，试确定点M的位置．22．（12分）如图，已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，动点P（m，﹣1）（m∈R），过点P引圆的两条切线，切点分别为A，B．（1）求证：直线AB过定点；（2）若两条切线P A，PB与x轴分别交于E，F两点，求△PEF的面积的最小值．2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）解：根据题意，圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，即（x +2）2+（y ﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1）， 故选：C ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意， 当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意，故m ＝﹣2． 故选：A ．3．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵BM →=BB 1→+B 1M →=c →+12BD → =c →+12(BA →+BC →) =c →+12(−a →+b →) =−12a →+12b →+c →故选：A ．4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．3解：∵向量a →，b →，c →共面，∴存在实数m ，n 使得c →=m a →+n b →．∴{7=2m−n6=m+2nλ=3m−2n⇒{m=4n=1λ=10，∴λ＝10．故选：A．5．已知A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，则a＝（）A．2B．92C．2或﹣8D．2或92解：∵A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，∴22=22，解得a＝2或92．故选：D．6．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．12B．√22C．13D．16解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得AD1=√2，AC=CD1=√5，则S△ACD1=12×√2×√5−12=32，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由V D1−ABC =V B−ACD1，得13×12×1×2×1=13×32×2ℎ，解得h=13．故选：C．7．若圆O1：x2+y2−2x=0和圆O1：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则下列结论正确的是（）A．公共弦AB所在直线的方程为x+y＝0 B．线段AB的垂直平分线的方程为x+y+1＝0C．公共弦AB的长为√2 2D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1解：对于A，依题意知，两圆相交于AB，故两圆方程作差可得4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，即为两圆公共弦AB所在直线方程，故A错误；对于B，圆O1：x2+y2−2x=0，则其圆心为（1，0），k AB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣1，故线段AB的垂直平分线方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B错误；对于C，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，所以|AB|=2√1−(22)2=√2，故C错误；对于D，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1，故D正确．故选：D．8．已知曲线x−1=√4−y2，则√x2+(y−4)2的最大值，最小值分别为（）A．√17+2，√17−2B．√17+2，√5C．√37，√17−2D．√37，√5解：由x−1=√4−y2，可知x≥1，﹣2≤y≤2，且有（x﹣1）2+y2＝4，表示的图形为以A（1，0）为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为√x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P（0，4）的距离，又因为|P A|=√12+42=√17，所以√x2+(y−4)2的最大值为|P A|+2=√17+2，当动点与图中B （1，2）点重合时，√x 2+(y −4)2取最小值， 此时|PB |=√(1−0)2+(4−2)2=√5． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 解：对于A ，因为a →⋅b →=(−1)×(−2)+1×(−1)+(−2)×12=0， 可知a →⊥b →，所以l 与m 垂直，故A 正确；对于B ，因为a →⋅n →=1×0+1×(−1)+(−1)×(−1)=0， 可知a →⊥n →，所以l ⊂α或l ∥α，故B 错误；对于C ，因为n 1→⋅n 2→=1×0+0×1+3×2=6≠0， 所以平面α，β不相互垂直，故C 错误；对于D ，若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则MP →，MA →，MB →为共面向量，所以P ，M ，A ，B 共面，故D 正确． 故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝0 解：选项A ：当直线倾斜角为π2时，该直线斜率不存在．判断错误；选项B：直线y＝x+1与直线y＝x+2的距离为√1+1=√22．判断错误；选项C：直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴的交点分别为（2，0）和（0，﹣2），则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2=2．判断正确；选项D：经过（1，1）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为x+y﹣2＝0和x﹣y＝0．判断错误．故选：ABD．11．已知圆C：x2+y3﹣4x﹣4y+7＝0，一条光线从点P（4，1）射出经x轴反射，则下列结论正确的是（）A．若反射光线平分圆C的周长，则反射光线所在直线的方程为3x+2y﹣10＝0B．圆C关于直线y＝x+1对称的圆的方程为x2+y2+2x﹣6y+9＝0C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|=2√3D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CMN的面积的最大值为1 2解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，故圆心为C（2，2），半径为1，点P（4，1）关于x轴的对称点为Q（4，﹣1），对于A：由题意知，反射光线过圆心C，则k QC=2−(−1)2−4=−32，反射光线所在直线的方程为y﹣2=−32（x﹣2），即3x+2y﹣10＝0，A正确；对于B：将x＝2代入y＝x+1得y＝3，将y＝2代入y＝x+1得x＝1，圆C关于直线y＝x+1对称的圆心为：（1，3），对称圆的半径r＝1，所以对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，B错误；对于C：如图，P关于x轴的对称点Q，B，切点A三点共线，|PB|+|BA|＝|QB|+|BA|＝|QA|，而|QC|2＝（4﹣2）2+（﹣1﹣2）2＝13，|CA|＝1，所以|QA|=√|QC|2−|CA|2=2√3，C正确；对于D：如图S△CMN=12|CM||CN|sin∠MCN=12×12•sin∠MCN≤12，（当∠MCN＝90°时取等号），D正确．故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33解：对于A ，因为BM =√52，所以M 在以B 为球心，√52为半径的球上． 又M 为侧面AA 1D 1D 上的点，所以M 在球被平面AA 1D 1D 截得的交线上． 因为AB ⊥平面AA 1D 1D ，AM ⊂平面AA 1D 1D ，可得AB ⊥AM ，由AB ＝1，BM =√52，所以AM =√BM 2−AB 2=12，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上，如图，则M 的轨迹长度为14⋅2π⋅12=π4，故A 正确；对于B ，如上图，取A 1D 中点M 1，由正方形AA 1D 1D 的边长为1，可得AM 1=12√1+1=√22，由M 在以A 为圆心，12为半径的14圆弧上运动，可得M 到直线A 1D 的距离的最小值为√22−12，故B 错误；对于C ，如图，连结AC ，AD 1．因为CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ．又BD ⊥AC ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1，AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1．又AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1．因为D 1C 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以D 1C 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C 1，D 1C 1⊂平面AD 1C 1，AD 1∩D 1C 1＝D 1， 所以A 1D ⊥平面AD 1C 1．又AC 1⊂平面AD 1C 1，则A 1D ⊥AC 1．又BD ⊂平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，A 1D ∩BD ＝D ， 所以AC 1⊥平面A 1BD ．又B 1N ⊥AC 1，B 1∉平面A 1BD ，所以直线B 1N ∥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴的正方向，如上图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， DA 1→=(1，0，1)，DB →=(1，1，0)，DB 1→=(1，1，1)．因为M ∈A 1D ，设DM →=λDA 1→=(λ，0，λ)，（0≤λ≤1），B 1M →=DM →−DB 1→=(λ−1，−1，λ−1)． 设m →=（a ，b ，c ）是平面A 1BD 的一个法向量， 则{m →⋅DA 1→=a +c =0m →⋅DB →=a +b =0， 取a ＝1，则b ＝c ＝﹣1，m →=（1，﹣1，﹣1）是平面A 1BD 的一个法向量． 则cos ＜B 1M →，m →＞=m →⋅B 1M→|m →|⋅|B 1M →|=1√3×√(λ−1)2+1+(λ−1)2=1√3×√2λ−4λ+3，又2λ2﹣4λ+3＝2（λ﹣1）2+1≥1，当λ＝1时，有最小值1， 所以，√3√2λ2−4λ+3≤√3=√33，即cos ＜B 1M →，m →＞≤√33，所以，B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最大值为√33，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ 103． 解：因为a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →， 则2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x ＝0，则x =103， 故答案为：103． 14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 2x +3y ﹣12＝0 ．解：设两直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点为P ， 联立方程组{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，可得两直线的交点为P （3，2）．由直线3x ﹣2y +4＝0的斜率为32，可得所求直线的斜率为k =−23，所以所求直线的方程为y −2=−23(x −3)，即2x +3y ﹣12＝0．故答案为：2x +3y ﹣12＝0．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1 ．解：设M （x ，y ），B （x 1，y 1），由定点A （4，6），且M 是线段AB 的中点， 由中点坐标公式可得{x =4+x 12y =6+y 12，即{x 1=2x −4y 1=2y −6， 又点B 在圆上，故x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣6）2＝4，整理得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，所以线段AB 中点M 的轨迹方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1． 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1．16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 √2 ．解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于|AB |＝2，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2， 整理得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4， 由于|P A |=√2|PB |，所以|P A |2＝2|PB |2，整理得(x +x 1−2x 2)2+(y +y 1−2y 2)2=2(x 1−x 2)2+2(y 1−y 2)2=8， 故点P 是以（2x 2﹣x 1，2y 2﹣y 1）为圆心，2√2为半径的圆， 易得圆心在x ﹣y ﹣6＝0上， 由于点（0，0）到直线的距离d =√2=3√2， 所以|OP|min =3√2−2√2=√2． 故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．解：（1）AB →=(1，−1，0)，AC →=(2，0，−1)， 设m →=(x ，y ，z)，∵m →⊥AB →，m →⊥AC →， ∴m →⋅AB →=0，m →⋅AC →=0． ∴{x −y =02x −z =0，整理得{y =x z =2x ，∵|m →|=√x 2+y 2+z 2=√6x 2=2√6，∴x ＝±2， ∴m →=(2，2，4)或m →=(−2，−2，−4)；（2）取u →=AB →|AB →|=(√22，−√22，0)，a →=AC →=(2，0，−1)，则a →⋅u →=√2，a →2=5． ∴C 到直线AB 的距离为√a →2−(a →⋅u →)2=√5−2=√3．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．解：（1）∵A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1），∴直线AB 的斜率k AB ＝2，可得直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0， 点C 到直线AB 的距离d =65=65√5， ∵|AB|=√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴S △ABC =12|AB|⋅d =12×65√5×2√5=6；（2）由题知，直线AC 的斜率k AC ＝﹣1，可得直线AC 的方程为x +y ﹣2＝0， 设M （x 0，y 0），则N （2﹣x 0，﹣y 0），∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴{2x 0−y 0−1=02−x 0−y 0−2=0，解得{x 0=13y 0=−13， 因此，直线l 的斜率k l =0+131−13=12，l 的方程为y −0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．解：（1）由题意有：EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DD 1→−(AB →+13BB 1→)=AD →+23AA 1→−AB →−13AA 1→=−AB →+AD →+13AA 1→，故x +y +z =−1+1+13=13； （2）令AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则由题意有：|a →|=|b →|=2，|c →|=3，＜a →，b →＞=90°，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=120°，由（1）知：EF →=−a →+b →+13c →，则|EF →|=√(−a →+b →+13c →)2=√4+4+1+2−2=3，所以cos ＜EF →，AB →＞=−a →2+a →⋅b →+13a →⋅c →3×2=−4−16=−56，故直线EF 与AB 所成角的余弦值为56．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点（1，﹣3），圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， ∵圆心C 在直线x +y ﹣1＝0上， ∴a +b ﹣1＝0①， ∵圆C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |②，又∵圆C 被x 轴截得的弦长为2√3， ∴b 2+3＝r 2③，联立①②③解得，a ＝2，b ＝﹣1，r ＝2， ∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝4． （2）∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1， ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝r ﹣1＝1． 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1， 圆心C （2，﹣1）到直线l 的距离为1，符合题意； 当直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为y +3＝k （x ﹣1）， 即kx ﹣y ﹣k ﹣3＝0， ∴圆心C 到直线l 的距离d =|2k+1−k−3|√k +1=|k−2|√k +1=1，解之得，k =34，∴直线l 的方程为3x ﹣4y ﹣15＝0．综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y ﹣15＝0．21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段CD 中点，现将△ADE 沿AE 折起，使得点D 到点P 位置，且AP ⊥BE ．（1）求证：平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）已知点M 是线段CP 上的动点（不与点P ，C 重合），若使平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，试确定点M 的位置．（1）证明：∵E 为CD 中点，AB ＝4，∴DE ＝CE ＝2， 又∵AD ＝2，四边形ABCD 为矩形， ∴AE 2=BE 2=2√2， ∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴AE ⊥BE ，又∵AP ⊥BE ，AE ∩AP ＝A ，AP ，AE ⊂平面APE ， ∴BE ⊥平面APE ，又∵BE ⊂平面ABCE ， ∴平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）解：过点E 作EQ ⊥平面ABCE ，以E 为坐标原点，以EA ，EB ，EQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2√2，0，0)，P(√2，0，√2)，C(−√2，√2，0)，E （0，0，0），B(0，2√2，0)， ∴CP →=(2√2，−√2，√2)，EC →=(−√2，√2，0)，EA →=(2√2，0，0)， 设CM →=λCP →，λ∈（0，1），则EM →=EC →+CM →=(2√2λ−√2，√2−√2λ，√2λ)， 设n →=(x ，y ，z)是平面AME 的一个法向量，则有{n →⋅EM →=0n →⋅EA →=0，即{2√2x =0(2√2λ−√2)x +(√2−√2λ)y +√2λz =0， 取y ＝λ，可得平面AME 的一个法向量为n →=(0，λ，λ−1)， 又EB →=(0，2√2，0)为平面APE 的一个法向量， ∴cos〈n →，EB →〉=√2λ2√2√λ+(λ−1)=√λ+(λ−1)，∵平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，∴√λ2+(λ−1)2=√22，解得λ=12，∴当点M 为线段PC 的中点时，平面MAE 与平面APE 的夹角为π4．22．（12分）如图，已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，动点P （m ，﹣1）（m ∈R ），过点P 引圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）若两条切线P A ，PB 与x 轴分别交于E ，F 两点，求△PEF 的面积的最小值．解：（1）证明：由题意知，圆心C （0，2），半径r ＝1， ∵P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，∴A ，B 在以PC 为直径的圆上， ∵|PC|=√m 2+9，PC 的中点M(m 2，12)，∴以PC 为直径的圆M 的方程为(x −m 2)2+(y −12)2=m 2+94，即x 2+y 2﹣mx ﹣y ﹣2＝0．∵AB 为圆C 与圆M 的公共弦， ∴直线AB 的方程为mx ﹣3y +5＝0． ∴直线AB 过定点(0，53)．（2）①当P A ，PB 斜率均存在，即m ≠±1时， 设P A ，PB 的方程为y +1＝k （x ﹣m ）， 即kx ﹣y ﹣km ﹣1＝0，∵P A ，PB 与圆C 相切，∴圆心C到直线的距离d=√k+1=1，∴（m2﹣1）k2+6mk+8＝0．设P A，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1+k2=−6mm2−1，k1k2=8m2−1，∴|k1−k2|=√(−6mm2−1)2−48m2−1=√4m2+32(m2−1)2，x E=m+1k1，x F=m+1k2，∴|EF|=|x E−x F|=|m+1k1−m−1k2|=|1k1−1k2|=|k1−k2||k1k2|=|2√m2+8m2−1||8m2−1|=√m2+84．∵当m∈R且m≠±1，∴当m＝0时，|EF|min=√22，此时，S△PEF=12×√22×1=√24．②当P A，PB有一条斜率不存在，即m＝±1时，不妨设P A的斜率不存在，则直线P A的方程为x＝﹣1，P（﹣1，﹣1），E（﹣1，0），设直线PB的方程为y+1＝k（x+1），由圆心（0，2）到PB的距离d=√k+1=1，解得k=43，∴直线PB的方程为4x﹣3y+1＝0，∴F(−14，0)，此时|EF|=34，S△PEF=12×34×1=38．由38＞√24，可得△PEF面积的最小值为√24．。

山东省泰安市2021-2022学年上学期期中考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线的离心率为( )A. B.C.D.2.直线的倾斜角为( )A. B.C.D.3.已知直线与平行，则( ) A. 1 B.C. 0D. 1或4.已知，，，则点A 到直线BC 的距离为( )A. B.C.D.5.若圆与圆恰有2条公切线，则m 的取值范围为( )A.B. C.D.6.如图，平面平面ABCD ，是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，且，E 是CD的中点，F 是AD 上一点，当时，( )A. 3B.C.D. 27.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为( )A.B.C.D.8.如图，把椭圆的长轴AB 分成6等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点，，，，，F 是椭圆C 的右焦点，则( )A. 20B.C. 36D. 30二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知曲线C的方程为，则( )A. 曲线C可以表示圆B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线10.直线与圆的交点个数可能为( )A. 0B. 1C. 2D. 311.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，O 为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则PB平分D. 若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，l交正方体的表面于M，N两点，下列说法不正确的是( )A. 平面B. 四边形面积的最大值为C.若四边形的面积为，则D. 若，则四棱锥的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年山东省泰安市肥城市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线l的倾斜角，则其斜率( )A. B. C. 1 D.2.如图，已知平行六面体，点E是的中点，下列结论中错误的是( )A. B.C. D.3.圆的圆心坐标、半径分别是( )A. 、5B. 、5C. 、D. 、4.已知直线l：，则直线l经过哪几个象限( )A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限C. 二、三、四象限D. 一、三、四象限5.若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为( )A. B. C. D.6.已知，，若点在线段AB上，则的最小值为( )A. B. 3 C. 7 D. 87.如图，梯形ABCD中，，，点O为空间内任意一点，，，，向量，则x，y，z分别是( )A. 1，，2B.C.D.8.圆和圆交于A，B两点，则两圆公共弦的弦长为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B. 直线l的方向向量，平面的法向量是，则C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则D. 直线l的方向向量，平面的法向量是，则10.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的可能取值是( )A. B. 2 C. 4 D. 611.在正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点．则下列结论正确的是( )A. B.C.平面 D. EF和所成角为12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是( )A. 圆C的方程是B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为C. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为D. 在直线上存在异于A，B的两点D，E，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年山东省泰安市新泰二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在空间直角坐标系中，点关于Oxy平面的对称点为B，则( )A. B. C. 4 D. 102.若圆：和：相交，则m的取值范围是( )A. B.C. 或D. 或3.如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于( )A. B.C. D.4.已知，，，则点A到直线BC的距离为( )A. B. 1 C. D.5.若圆与圆有三条公切线，则m的值为( )A. 2B.C. 4D. 66.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )A. B. 或C. D.以上都不对7.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为( )A. B. C. D.8.已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则( )A. C的焦距为B. C的离心率为C. 圆D在C的内部D. 的最小值为10.已知实数x，y满足方程，则下列说法错误的是( )A. 的最大值为B. 的最大值为C. 的最大值为D. 的最大值为11.设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )A.B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是( )A. 线段上存在点F，使得B. 平面ABCDC. 的面积与的面积相等D. 三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.四棱锥的底面是一个正方形，平面ABCD，，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是__________.14.在长方体中，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为__________.15.已知、是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆C交于A，B 两点，且，，则椭圆C的离心率为__________；若，则椭圆方程为__________.16.给出下列命题：直线与线段AB相交，其中，，则k的取值范围是；点关于直线的对称点为，则的坐标为；圆C：上恰有3个点到直线的距离为1；直线与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切．其中正确的命题有__________把所有正确的命题的序号都填上四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020学年度第一学期阶段检测高二数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.若数列的前4项分别是1,1,1,1，则此数列的一个通项公式为（）2345A .(1)n1B.(1)nC.(1)n(1)n1 n1n1D.nn2.已知实数a,b,c,d R，且a b，c d，那么以下不等式必定正确的选项是（）A．ac2bc2B．acbd C．acbd D．adbc3.对于x的方程x2mx10有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围是（）A.m2B.m0C.m1D.m0中国古代数学著作《张丘建算经》卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日趋功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日趋几何，其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，并且每日增添的长度都是同样的，已知第一天织5尺，经过一个月（30天）后，共织布九匹三丈，问每日多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）.A．390B．16 C.16D．133129295.对于x的不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，则实数a的范围为（）A.(2,6)B.[2,6)C.[2,6]D.[2,6)U{2}55556.若m,n R,且m n0,则对于x的不等式(m x)(n x)0的解集为（）A．xx n或xm B．xnxm C.xmxn D.xxm或xn7.已知各项为正的等比数列a n中，a4与a14的一个等比中项为22，则2a7a11的最小值为（）B．4 C.22D．88. 若对于x 的不等式ax23的解集为x 5 x 1 ，则实数a （）3 3A.15B ．-3C.3D ．3559. 已知数列为等差数列，若，且它们的前 n 项和 有最大值，则使得 的的最大值为A ．19 B.20C.21D.2210.设{a n }是等差数列，以下结论中正确的选项是（）A ．若a 1 a 3 0，则a 1a 2 0C.若a 1 a 30，则a 1 a 2B．若0a 1a 2，则a 2 a 1a 3D.若a 10，则(a 2a 1)(a 2a 3)011.已知函数 f(x)xmx 5，当1x9时，f(x)1恒建立，则实数 m 的取值范围为（ ）A ．m13B ．m5C ．m4D ．m5312.定义函数 f(x)以下表，数列a n 知足a n1f(a n )，nN *.若a 12，则a 1+a 2+a 3+ +a 2018=（）A.7042B.7058C.7063D.7262第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13. 函数yx1(x3)的最小值为．x314. 已知正实数a,b 知足1+41，则ab 的最小值为 ．a b15. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 12，S n =2a n+1，nN *.则S 6=．16．将等差数列1，4，7，按必定的规则排成了以下图的三角形数阵.依据这个摆列规则，数阵中第 20行从左至右的第 3个数是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（本小题满分10分）解以下对于x的不等式：（1）x13；（2）x2ax 2a20(a R).2（本小题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，且a11，b11，a2b22.（1）若a3b35，求{b n}的通项公式；（2）若T321，求S3.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n.此中a12，a24，且n2时，有S n1S n12S n2建立.（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列1b n的前n项和为T n. 2b n是首项与公比均为2的等比数列，求数列a n1（本小题满分12分）已知数列{a n}中，a11，a21.且对n N*，有a n21 a n.22（1）设b n a2n1a2n，求证：数列{b n}为等比数列，并求{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n.21.（本小题满分12分）一个生产企业投资A生产线500万元，每万元可创建收益万元.该企业经过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的收益提升了0.5x%；若将少用的x万元所有投入B生产线，每万元创建的收益为1.5(a13x)万元，此中a0.1000（1）若技术改良后A生产线的收益不低于本来A生产线的收益，求x的取值范围；（2）若生产线B的收益一直不高于技术改良后生产线A的收益，求a的最大值.（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列a n的首项为1，且a2,a5,a14组成等比数列．（1）求数列an+1的前n项和为T n；a n的通项公式，并求数列2n（2）令c n a n+1a n2cos(n1)，若c1c2c n tn2对nN*恒建立，务实数t的取值范围.2020学年度第一学期阶段监测高二数学试题第Ⅰ卷（共 60分）ADACBBDBABCC13.515.24316三、解答题（本大题共6小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2x 7x17.解：（I ）将原不等式化为2，即(2x7)(x2) 0(x2),2 x 7,2{x2x 7所以原不等式的解集}2.（II ）当a0时，不等式的解集为 {0} ；当a0时，原不等式等价于 (x a)(x 2a)0，所以当a 0 时， a 2a ，a x2a,当a0时，a 2a ，2a xa,综上所述，当a0时，不等式的解集为 {0} ，当a 0时，不等式的解集为，{xa x2a},当a0时，不等式的解集{x2ax a}.18.解：设 a n的公差为d ，b n的公比为q ，则a n 1n1d,b n q n1,由a 2 b 22得：dq3 ①（1）由a 3b 35得：2dq 26②d 3 d 1 联立 ①和②解得q,（舍去），q，2所以b n 的通项公式b n2n1(2)由b 1 1,T 3 21得q 2 q20解得q5,q4当q5 时，由①得d8，则S 321.当q4，由①得d 1，S 36.19.解：（1）；（2）∴-+2n 12步步高黄皮11815 解：（1）由意得：1.5(500x)(10.5x%)500．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分整理得：x 2300x 0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分故0x300．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）由意知，生B 的利1.5(a13x)x 万元，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分1000技改后，生生A 的利1.5(500x)(10.5x%)万元，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分1.5(a13 x)x 1.5(500x)(1x%)恒建立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分1000∴axx 2500 3x ，且x 0，125 2∴ax5003 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分x．1252∵x500 4，当且当x250等号建立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分125x 0x ，∴a的最大 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分22.（Ⅰ）a n2n 12 1 1 2 2 12 3 12n 1T n222232n，1T n211221231 2(n1)12n1，22223242n2n1得1T n 3 222 2n1 ， 2 223n2n12225 2n 522n1 .T n 52n5.2n(2)c n(2n1)(2n3)cos(n1),当n为奇数时，cos(n1)1，c1c2c n355779911(2n1)(2n3)354(7112n1)154(2n8)(n1)2n26n7.4T n tn2,2n26n7tn2,t 7627(13)25t2. n2n n7,7当n为偶数时，cos(n1)1，c1c2c n355779911(2n1)(2n3) 4(59132n1)2n26n.T n tn2,2n26ntn2,t26,t 5.n综上所述，t 5.。

山东省新泰二中、泰安三中、宁阳二中高二数学上学期期中联考试题2021.11本试卷分I 卷选择题〔60分〕II 卷非选择题〔90分〕,总分值150分，时间120分钟第I 卷〔选择题60分〕一．选择题：本大题共12个小题每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，那么sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边区分为a ，b ，c ，假定b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，那么△ABC 的外形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假定a 1＝2，S 3＝12，那么a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．144. 如图从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角区分为75°，30°，此时气球的高是60 m ，那么河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m5. 在△ABC 中，假定a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，那么A ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66．等差数列{a n }的公差为－2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，那么a 2＝( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8 7．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，如今有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需求( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟 8．假定a >b >0，c ＜d ＜0，那么一定有( )A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d9. 假定数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，那么a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－1510. 某企业消费甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，消费1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．假设消费1吨甲、乙产品可获利润区分为3万元、4万元，那么该企业每天可取得最大利润为( )A.12万元 B 万元11. {a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，假定a 3，a 4，a 8成等比数列，那么( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞012. 假定直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0的周长，那么2a ＋1b的最小值是( )A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D ．3－2 2第II 卷〔非选择题 共90分〕二．填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分，把答案填在题横线上 13. 函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，那么a ＝________. 14. 不等式(k －2)x 2－2(k －2)x －4＜0恒成立，那么实数k 的取值范围是________． 15. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，那么△ABC 的面积等于________．16．在△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，那么B 的取值范围是________． 三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解容许写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤17．〔本小题总分值10分〕f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解不等式f (1)>0 , 求a 的范围(2)假定不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，务实数a 、b 的值． 18. 〔本小题总分值12分〕设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长区分是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值． 19. 〔本小题总分值12分〕设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.20. 〔本小题总分值12分〕提高过江大桥的车辆通行才干可改善整个城市的交通状况．在普通状况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度到达200辆/千米时，形成梗塞，此时车流速度为0；当车流密度不超越20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研讨说明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内经过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时) f (x )＝x ·v (x )可以到达最大，并求出最大值．(准确到1辆/小时) 21．〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边区分为a ，b ，c .sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)假定角B 为锐角，求p 的取值范围． 22. 〔本小题总分值12分〕数列{a n }是公比为12的等比数列，且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比拟1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．2021年高二上学期期中考试数学试题 2021.11二．填空题：本大题共4小题，每题5分共20分13. 36 14. (－2,2] 15. 2 3 16. 0＜B ≤π3三．解答题：本大题共6小题。

2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1. 直线l 1:ax +2y +a =0与直线l 2:2x +ay −a =0互相平行，则实数a =( ) A.4 B.−4 C.−2 D.22. 如图，已知三棱锥O −ABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 为线段MN 上一点，且MG =2GN ，若记OA →＝a →，OB →＝b →，OC →＝c →，则OG →=( )A.13a →+13b →+16c →B.13a →+13b →+13c →C.16a →+13b →+13c →D.16a →+16b →+13c →3. 若圆C 1:x 2+y 2＝1与圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +m ＝0外切，则m ＝（ ） A.19 B.21 C.−11 D.94. 已知a →=(2, −1, 2)，b →=(−1, 3, −3)，c →=(13, 6, λ)，若向量a →，b →，c →共面，则λ=( ) A.3 B.2 C.4 D.65. 对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A.开口向上，焦点为(0,116) B.开口向上，焦点为(0, 1) C.开口向右，焦点为(1, 0) D.开口向右，焦点为(0,116)6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤2，若将军从点A(3, 0)处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A.√17−√2 B.2√5 C.3−√2 D.√177. 已知F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2＝1(a >0, b >0)的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2=60∘，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A.√72 B.√7 C.√14 D.√1428. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF =a ，且a ∈[π12, π4]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A.[√22, √63]B.[√22, 1]C.[√63, 1)D.[√22, √32]二、多选题（共4小题）正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为CC 1、BC 、CD 、BB 1的中点，则下列结论正确的是（ ）A.平面AEF ∩平面AA 1D 1D =AD 1B.B 1G ⊥BCC.A 1H // 面AEFD.二面角E −AF −C 的大小为π4已知直线x sin α+y cos α+1=0(α∈R)，给出下列命题正确的是（ ） A.无论α如何变化，直线不过原点 B.直线的倾斜角是π−αC.无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1已知曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k ＝1(k ∈R)，则下列结论正确的是（ ） A.当k =0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y ＝±√3x B.当k =4时，曲线C 为圆C.“k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为√2已知F 1、F 2是椭圆C:x 2a2+y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 、N 是左、右顶点，e 为椭圆C 的离心率，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，已知AF 1→⋅BF 1→=0，3AF 2→＝2F 2B →，|AF 1|=2|AF 2|，设直线AB 的斜率为k ，直线AM 和直线AN 的斜率分别为k 1，k 2，直线BM 和之间BN 的斜率分别为k 3，k 4，则下列结论一定正确的是（ ） A.k =12B.e =√55C.k 1⋅k 2=−45D.k 3⋅k 4=45三、填空题（共4小题）已知点P(2, −3)，Q(3, 2)，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是________．如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，则异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值为________．若△ABC 的两个顶点坐标A(−4, 0)、B(4, 0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________．设F 1，F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则△PF 1F 2的面积等于________四、解答题（共6小题）已知P(3, 2)，一直线l 过点P ，①若直线l 在两坐标轴上截距之和为12，求直线l 的方程；②若直线l 与x 、y 轴正半轴交于A 、B 两点，当△OAB 面积为12时，求直线l 的方程．已知过点M (0, 2)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x −1)2+y 2=1交于A ，B 两点． （1）求斜率k 的取值范围；（2）以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围；（3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值．如图，四面体ABCD 中，平面DAC ⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AC ＝4，AD ＝CD =2√2，O 是AC 的中点，E 是BD 的中点．（1）证明：DO ⊥底面ABC ；（2）求二面角D −AE −C 的余弦值．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y =±√3x ，且双曲线过点(√2, √3) （1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为π4的直线交双曲线于A ，B ，求|AB|．已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；(Ⅲ)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为12，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(−2, 1)是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1.【答案】此题暂无答案【考点】直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定圆的水射方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题（共4小题）【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线验周面垂直直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件曲常与树程双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题（共4小题）【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（共6小题）【答案】此题暂无答案【考点】待定系数因求滤线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线验周面垂直二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用椭圆较标准划程直线与椭常画位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(,a x =2，1)-，(2,b =4，2)-，如果//a b ，那么x 等于( ) A ．1-B ．1C ．5-D ．52．直线320x my ++=的倾斜角为23π，则m =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与1C M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --- D ．1122a b c --+ 5．直线():11l y k x -=-和圆2240x y x +-=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切或相交C ．相交D ．相切6．“13m ”是“曲线131m m +=--表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设点()4,3A -，()2,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．1k或4k ≤- B ．413k k ≥≤-或 C ．41k -≤≤D ．413k -≤≤8．已知圆221:0C x y kx y +--=和圆222:210C x y ky +--=的公共弦所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线1mx ny +=的最小值为（ ）A ．B ． 15C D ．45 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．经过点()4,2P -的抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =B ．28x y =C ．28xy D ．28y x =-10．已知1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中正确的有（ ）A ．1212//v v l l ⇔⊥B ．1212v v l l ⊥⇔⊥C ．12////n n αβ⇔D ．12//n n αβ⊥⇔11．已知曲线C 的方程为1()26k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．不存在k 使得曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为3y x =±C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要而不充分条件D ．存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为212．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是（ ）A ．11//C D 平面CHDB ．直线EF 与1BC 所成的角为60° C ．三棱锥11—D BAC 的体积为13D ．1AC ⊥平面1BDA 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.14．已知双曲线221612x y -=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是双曲线上一点，若1260F MF ∠=，则三角形12F MF 的面积为______.15．已知圆22:(3)4C x y ++=及点(3,0)A ，Q 为圆周上一点，AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，则动点M 的轨迹方程为__________．16.有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则221211e e+的值为_______．四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本题满分10分）已知向量(2,1,2)=--a，(1,1,2)b=-，(,2,2)x=c.（Ⅰ）当||22c=时，若向量ka b+与c垂直，求实数x和k的值；（Ⅱ）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值.18．（本题满分12分）已知圆C与直线1x y+=相切于()2,1A-，且圆心在直线2y x=-上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.19．（本题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，,,E F G分别是1,,AB CC AD的中点．（1）求异面直线1B E与BG所成角的余弦值；（2）棱CD上是否存在点T，使得//AT平面1B EF？请证明你的结论．20．（本题满分12分）已知抛物线C ：2y 2px(p 0)=>过点()M 4,42.-()1求抛物线C 的方程；()2设F 为抛物线C 的焦点，直线l ：y 2x 8=-与抛物线C 交于A ，B 两点，求FAB 的面积．21．（本题满分12分）如图，在等腰梯形PDCB 中，3PB =，1DC =，2PD BC ==，AD PB ⊥，将PAD ∆沿AD折起，使平面PAD ⊥平面ABCD .（1）若M 是侧棱PB 中点，求证：//CM 平面PAD ； （2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 22．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率6e =，短轴长为2，M 、M '是椭圆C 上、下两个顶点，N 在椭圆C 上且非顶点，直线M N '交x 轴于点P ，1A ，2A 是椭圆C 的左，右顶点，直线1A M ，2A N 交于点Q ．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线PQ与y轴平行．期中考试数学试题 参考答案1．B 2．A 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A 9．AC 10．BC 11．BC 12．ACD 13．y x =-或11542y x =-+ 14．15． 2218y x -= 16． 217．解：(Ⅰ)因为||22c =,0x ==. 且ka b =+(21,1,22)k k k ---+.因为向量ka b +与c 垂直, 所以()0ka b c =+⋅.即260k +=.所以实数=03x k =-；(Ⅱ)因为向量c 与向量a ，b 共面,所以设c a b λμ=+（,R λμ∈）. 因为(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-,2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩ 所以1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以实数x 的值为12-. 18.（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a -，又因为圆C 与直线1x y += 相切于(2,1)A -，=，化简为2210a a -+=，解得1a =，所以圆心为(1,2)-，半径r =22(1)(2)2x y -++=；（2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，由题意可得211k =+，解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =-.综上所述，则直线l 的方程为0x =或3+40x y =.19.以D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为2a则()2,2,0B a a ，()12,2,2B a a a ，()2,,0E a a ，(),0,0G a ，()0,2,0C a ，()0,0,0D ，()0,2,F a a ，()2,0,0A a（1）设异面直线1B E 与BG 所成角为θ()10,,2B E a a =--，(),2,0BG a a =--2112cos 555B E BGa a B E BGθ⋅∴===⋅，即异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为：25（2）假设在棱CD 上存在点()0,,0T t ，[]0,2t a ∈，使得//AT 平面1B EF 则()10,,2B E a a =--，()2,,EF a a a =-，()2,,0AT a t =-设平面1B EF 的法向量(),,n x y z =12020B E n ay az EF n ax ay az ⎧⋅=--=∴⎨⋅=-++=⎩，令1z =，则2y =-，12x =- 1,2,12n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭20AT n a t ∴⋅=-=，解得：2at =14DT DC ∴= ∴棱CD 上存在点T ，满足14DT DC =，使得//AT 平面1B EF20.（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>：过点(4,M -，所以(2832p -==，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =．（2）由抛物线的方程可知()2,0F ，直线:28l y x =-与x 轴交于点()4,0P ，联立直线与抛物线方程2288y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 可得24320y y --=， 所以128,4y y ==-，所以12112121222FAB S PF y y ∆=⨯-=⨯⨯=， 所以FAB ∆的面积为12．21.（1）在梯形PDCB 中，3PB =，1DC =，PD BC ==AD PB ⊥，2AB ∴=，1PA =，1AD =，取PA 的中点N ，连接MN 、DN ，则////MN AB CD ，且1MN CD ==， 则四边形MNDC 为平行四边形，//CM DN ∴，CM ⊄平面PAD ，DN ⊂平面PAD ，//CM ∴平面PAD ；（2）∵PA AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PA ⊂面PAD ，PA ∴⊥面ABCD ，以A 为坐标原点，以AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系如图：则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()0,0,1P ，()1,1,0C ， 则()0,2,1PB =-，()0,1,0DC =，()1,0,1DP =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则由00n DC y n DP x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，令1x =，则1z =，即()1,0,1n =，设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，则110sin cos ,102510n PB PB n n PBθ⋅-=<>====⨯.22.（1）由题意可得6c e a ==，22b =，又222c a b =-， 所以可得23a =，21b =，所以椭圆的方程为：2213x y +=；（2）证明：因为M ，M '是椭圆的上下两个顶点，则(0,1)M ，(0,1)M '-，设(,0)P m ，0(N x ，0)y ，设直线MN 的方程为：x ty m =+，又(0,1)M '-，故直线M N '的方程为x my m =+，令0y =，可得P x m =，11 联立2233x my mx y =+⎧⎨+=⎩，整理可得2222(3)2(3)0m y m y m +++-=， 则42244(3)(3)360m m m ∆=-+-=>， 202313m y m --⋅=+，则20233m y m -=+，由题意可得1(A 0)，2A ，0)， 所以直线1A M的方程为：13y x =+，直线2A N的方程为：y x =，联立方程：1y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即13Q Q x x +，解得Q x ===222233)333)3m m m m m m m -+⋅-+===--++，所以P Q x x m ==，所以直线//PQ y 轴．。