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第六节-定积分的应用PPT课件

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最新06第六节定积分的几何应用

最新06第六节定积分的几何应用

06第六节定积分的几何应用第六节定积分的几何应用分布图示★面积表为定积分的步骤★定积分的微元法★直角坐标情形★例1★例2★例3★例4★参数方程情形★例5★极坐标情形★例6★例7★例8★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9★例 10★例 11 ★例 12★例 13★平行截面面积为已知的立体的体积★例 14 ★例 15★内容小结★课堂练习★习题5-6内容要点：一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量«Skip Record If...»（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如«Skip Record If...»为积分变量，并确定它的变化区间«Skip Record If...»，任取«Skip Record If...»的一个区间微元«Skip Record If...»，求出相应于这个区间微元上部分量«Skip Record If...»的近似值，即求出所求总量«Skip Record If...»的微元«Skip Record If...»；(2) 由微元写出积分根据«Skip Record If...»写出表示总量«Skip Record If...»的定积分«Skip Record If...»微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量«Skip Record If...»关于区间«Skip Record If...»应具有可加性，即如果把区间«Skip Record If...»分成许多部分区间, 则«Skip Record If...»相应地分成许多部分量, 而«Skip Record If...»等于所有部分量«Skip Record If...»之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量«Skip Record If...»的近似表达式«Skip Record If...»，即使得«Skip Record If...». 在通常情况下，要检验«Skip Record If...»是否为«Skip Record If...»的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意«Skip Record If...»的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 «Skip Record If...»所求曲边扇形的面积 «Skip Record If...»三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 «Skip Record If...»所求旋转体的体积 «Skip Record If...»四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 «Skip Record If...»所求立体的体积 «Skip Record If...»例题选讲：直角坐标系下平面图形的面积例1（E01）求由«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元: «Skip Record If...»所求面积: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2（E02）求由抛物线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»所围成的面积.解如图,并由方程组«Skip Record If...»解得它们的交点为«Skip Record If...»选«Skip Record If...»为积分变量, 则«Skip Record If...»的变化范围是«Skip Record If...»任取其上的一个区间微元«Skip Record If...»则可得到相应面积微元«Skip Record If...»从而所求面积«Skip Record If...»例3（E03）求由«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元:«Skip Record If...»所求面积: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4计算由曲线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元:(1) «Skip Record If...»«Skip Record If...»(2) «Skip Record If...»«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例5求椭圆«Skip Record If...»所围成的面积.解椭圆面积: «Skip Record If...»面积微元: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例6（E04）求双纽线«Skip Record If...»所围平面图形的面积.解面积微元:«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»例7（E05）求心形线«Skip Record If...»所围平面图形的面积«Skip Record If...»解面积微元:«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»例8求出«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的图形的公共部分的面积（其中«Skip Record If...»）.解如图(见系统演示)，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»上. 令«Skip Record If...»代入方程«Skip Record If...»得其极坐标方程为«Skip Record If...»于是所求面积可表示为«Skip Record If...»«Skip Record If...»例9（E06）连接坐标原点«Skip Record If...»及点«Skip Record If...»的直线、直线«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴围成一个直角三角形. 将它绕«Skip Record If...»轴旋转构成一个底半径为«Skip Record If...»高为«Skip Record If...»的圆锥体, 计算圆锥体的体积.解体积微元:«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例10（E07）计算由椭圆«Skip Record If...»围成的平面图形绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴所围成的图形绕«Skip Record If...»轴旋转而成的立体 .取«Skip Record If...»为自变量，其变化区间为«Skip Record If...»任取其上一区间微元«Skip Record If...»相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为«Skip Record If...»高为«Skip Record If...»的扁圆柱体的体积，即体积微元«Skip Record If...»故所求旋转椭球体的体积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«SkipRecord If...»特别地，当«Skip Record If...»时，可得半径为«Skip Record If...»的球体的体积«Skip Record If...»例11求星行线«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋构成旋转体的体积.解体积微元 :«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12计算由连续曲线«Skip Record If...»、直线«Skip Record If...»、«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴所围成的曲边梯形绕«Skip Record If...»轴旋转一周而成的立体的体积.解体积微元:«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»例13（E08）求由曲线«Skip Record If...» «Skip Record If...»所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.解画出草图,并由方程组«Skip Record If...»解得交点为«Skip Record If...»及«Skip Record If...»于是,所求绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积«Skip Record If...»所求绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积«Skip Record If...»例14（E09）一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角«Skip Record If...»（图5-6-18），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解截面面积:«Skip Record If...»体积微元: «Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»例15求以半径为«Skip Record If...»的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为«Skip Record If...»的正劈锥体的体积.解取底圆所在的平面为«Skip Record If...»平面，圆心«Skip Record If...»为原点,并使«Skip Record If...»轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程为 «Skip Record If...»过«Skip Record If...»轴上的点«Skip Record If...»作垂直于«Skip Record If...»轴的平面,截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为«Skip Record If...»于是所求正劈锥体的体积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»即正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半.课堂练习1.求正弦曲线«Skip Record If...»和直线«Skip Record If...»及x轴所围成的平面图形的面积.2.求由曲线«Skip Record If...»及直线«Skip Record If...»所围成的平面图形的面积.3.求由抛物线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»围成的图形,绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积.。

定积分的简单应用PPT优秀课件(定积分在几何中的应用等3个)

定积分的简单应用PPT优秀课件(定积分在几何中的应用等3个)

x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标
是什么？
y
y＝x－4
4
y = 2x
(8,4)
(0,0)
O
4 8x
(4,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边
梯形的面积？ y
y＝x－4
4 C
y = 2x
B
A
O
D4 8 x
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表
示？
y
y＝x－4
f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
b
S = ò | f(x)| dx a
y y＝|f(x)|
Oa
bx
y＝f(x)
作业： P58练习：（1），（2）. P60习题1.7B组：1，2，3.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
DA
O
1
y2＝x x
蝌 1
S= xdx-
1x2dx
0
0
思考4：利用微积分基本定理计算，该图
形的面积等于多少？
y
y＝x2
y2＝x
Hale Waihona Puke 1C BDAO
1
x
S
=
2x23 3
|10
-
1x3 3
|10=
1 3
探究（二）：直线y＝x－4与曲线y = 2x 及x轴所围成图形的面积

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?

定积分及其应用高数(共68张PPT)

定积分及其应用高数(共68张PPT)
例2 计算广义积分
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx

定积分及其应用概要精品PPT课件

定积分及其应用概要精品PPT课件

若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B

定积分的应用课件

定积分的应用课件

V
a [ f ( x)]2dx
a
2
a3
2
x3
3
dx
32
a3 .
a
a
105
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x ( y) 直线
y c 、 y d 及 y 轴所围成的曲边梯形 绕y轴旋转
一周而成的立体, 体积为
y
d
V d [ ( y)]2 dy c
x (y) c
熟记
o
x
例 3 求由抛物线 y 2x2，直线x 1及x轴所围成的
间 [ y, y dy]
y2 x
dA
y x2
x
面积微元 dA ? ( y y2 )dy
A 01dA 01(
y y2 )dy
2 3
3
y2
y3 1
3
0
1 3
例 3 计 算 由 曲 线 y2 2x和 直 线 y x 4所 围
成的图形的面积.
y+dy
解 求两曲线的交点
y
y2 2x
(2,2), (8,4).
h 0
r 2h .
3
例2 计算椭圆
x2 a2
y2 b2
1
绕x轴旋转而形成的旋转体
的体积.
y x2 y2 a2 b2 1
解 这个旋转体可以看成
以半个椭圆 y b a2 x2 a o
ax
a
绕x轴旋转而成的立体
取积分变量为x, x [a,a]
利用旋转体体积公式，知: 所求的体积为
V
a a
y x4
选 x 作积分变量时, 需求
两块面积
dA
y x4
y2 2x
选 y 为积分变量 y [2, 4] 作面积微元 dA

《定积分的简单应用》课件

极限思想
通过令小区间的长度趋近于0，可以得 到更精确的面积计算结果。
不等式的应用
通过定积分可以推导出许多有用的不等式，如柯西不等式、黎曼和不等式等，从而解决数学中的各种问题。
定积分在物理学中的应用
1 速度与位移
定积分可以用于计算速度 与位移之间的关系，从而 描述物体的运动。
2 力与功
定积分可以计算力与功之 间的关系，用于描述物体 受力时的能量变化。
化学平衡
利用定积分可以计算化学反应平衡时不同物质 的浓度。
化学反应速率
定积分可以描述化学反应速率与反应进程的关 系，研究反应动力学。
电化学
通过定积分可以研究电化学反应中电荷传递和 离子浓度的变化。
定积分在工程学中的应用
工程学中广泛应用定积分，如在建筑设计中计算结构的受力情况、电力系统 中计算电能的变化等。
通过计算三角形的定积分，可以 得到三角形面积公式，即底乘高 除以2。
多边形的面积
对于规则多边形，可以通过计算 边长和高的定积分来得到多边形 的面积。
拆分区间求面积的方法
1
逼近面积
2
将每个小区间的面积逼近为矩形或梯形
的面积，再求和得到总面积。
3
区间拆分
通过将区间拆分成多个小区间，可以更 准确地计算曲线下的面积。
定积分的符号表示为∫f(x)dx，表示求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。它表示了函数f(x)所围成的曲线与x轴之 间的面积。
如何计算定积分
计算定积分可以通过求导数的逆运算——不定积分。利用不定积分的基本公 式和技巧，可以将定积分转化为更简单的求导数的问题。
定积分的性质及其应用
线性质
定积分具有线性性质，即对函数的和与差的定 积分等于对应的定积分的和与差。

《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用

2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
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二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
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例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长

定积分在几何中的应用 课件

定积分在几何中有着广泛的应用，特别是在计算平面图形面积方面。对于由一条曲线和直线围成的图形，如果曲线函数在积分区间内有时取正值有时取负值，那么定积分等于各小曲边形面积的代数和。当涉及两条曲线和直线围成的图形时，如果一条曲线始终在另一条曲线上方，那么两者围成的面积可以通过计算Байду номын сангаас条曲线函数之差的定积分来求得。对于不规则图形，通常需要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积。此外，文档还通过具体例题展示了如何确定积分区间、被积函数，以及如何将图形的面积问题转化为定积分计算。这些方法和技巧为解决几何中的面积问题提供了有力的工具。

第六章 定积分 《经济数学》PPT课件


6.4.2 定积分的分部积分法
设函数u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上有连续导数,则有 (uv)'=u'v+uv',即uv'=(uv)'-u'v,等式两端在[a,b]上的定积分为 ，即:
➢ 这就是定积分的分部积分公式.
06 P A R T
6.5
广义积分
前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理
CHAPTER
06
第6章 定 积分
PART
06
6.1
定积分的概念
6. 1. 2 定积分的定义
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-
1,xi](i=1,2,…,n),其长度为Δxi=xi-xi-1,在每个小区间[xi-1,xi]上
一个有效数为6位数的近似值.
• 注意:对于分段函数不能求其积分的精确值,但可求近似值,即再
用“N”命令.
由定理可知,在运用换元法计算定积分时应注意以下两点:
用变量代换x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t 时,积分限一定要换成相应于新变量t的积分限;
求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数F[φ(t)]后,不需要 再把t变换成原来变量x的函数,而只需把新变量t 的上、下限分别代入F[φ(t)]中,然后求出增量即 可.
பைடு நூலகம்
的值与
被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关,而与积分变量用什么字母表
示无关,即:
➢ (2)定义中假定a<b,如果b<a,我们规定
,特
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A(y)2xytan
2tan yR2y2
V 2tan
R
y
R2y2dy
0
y
o
R (x, y) x
-
练习题
1.求ysix,n y0,0x绕 x 轴和 y 轴旋转一周的旋转体 的体积. 解：由公式有 V x 0 si2x nd 2 x 0 (1 co 2 x)d s x 2 2
-
例20. 求由星形线xaco 3t,syasi3tn0t
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x)1(R2x2)tan(RxR)
2 利用对称性
V20 R1 2(R 2x2)tan dx
2tanR2x1x3R 2R3 tan
3 03
y
ox
R x
-
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
方法2 利用椭圆参数方程
x a cost
y
b sin
t
则
V2 a y2dx 2
2
ab2sin3tdt
0
0
2ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b =
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3 .
-
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例2. 求由曲线 y , 直x 线 及 x轴 所1 围x成的平面图形 绕 轴旋转x一周所生成的旋转体的体积.
例1 由曲线
x2 a2
y2 b2
1
所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
yba2x2 ( axa) a
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2ba22
a(a2x2)dx
0
2ba22a2x13x30a
4 ab2
3
-
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 x4dy
0
2 x5 2 8
16 5
5
y
0
绕 y 轴旋转体的体积
1
Vy
(
0
4y)2dy
1
4 ydy
0
4
y2
1
2
2
0
-
例3 计算摆线 yxaa((1tcsiontts)) (a0)的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
绕 x 轴旋转 一周所得的旋转体的体积. 解: 利用公式有
V a2sin7t3acos2tdt 0
6a3 2(sin7tsin9t)dt32a3
0
105
-
第八章
第五节 定积分的应用 求旋转体的体积
-
一 旋转体的体积
圆柱
-
圆锥
圆台
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
在[ a , b ] 上任取小区间[x,xdx]
yf(x)
取积分变量为 x x[a,b]
上连续, 则对应于小区间[x,xdx]的体积元素为
dVA (x)dx
y
yf(x)
因此所求立体体积为
b
Va A(x)dx
oa
bx
-
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例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 x2y2R2
o
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴
x
x xdx
旋转而成的薄片的体积为体积微元，
dV[f(x)]2dx
V b[f(x)]2dx by2dx
a
a
-
类似的当考虑连续曲线段 x (y )(c y d )
绕y 轴旋转一周所形成的立体体积为
V d[(y)]2 d y c -
y
d
y x(y) c ox
解：选为积分变量，由旋转体的体积公 式，得到
1
Vx
(
0
x)2dx
1
xdx
0
x2
1
2
0
2
-
例3 求由曲线 x 2 4 y ，直线y 1 及 y 轴所围成的图形
分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积Βιβλιοθήκη yyx x
-
解：绕 x 轴旋转体的体积
Vx
122 2(x2)2dx
04
2
16
y
Vx
2ay2dx
0
y
o a 2a x
2a2(1cot)s2a(1co t)d st 0
利用对称性
2a30 (1cot)3 sdt16a30si6n2 t dt
(令u
t) 2
32a302sin6udu32
a3
5 6
3 4
1 2
2
52a3
-
1应用平行截面函数求旋转体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A(x)在[a,b]