等差等比数列的证明例举

等差数列、等比数列的证明例1．已知数列{}n a 满足11a =，()13232n n a a n n -=+-≥， （Ⅰ）求证：数列{}n a n +是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

例2．已知数列{}n a 满足12a =，112nn na a a +=+，（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

例3．已知数列{}n a ，n S 是它的前n 项和，且()*142n n S a n N +=+∈，11a =（Ⅰ）设()*12n n n b a a n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）设2nn n a c =，求证：数列{}n c 是等差数列； （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式。

练习1．已知数列{}n a 满足15a =，()*123n n n a a n N +=+∈， （Ⅰ）求证：数列{}3nn a -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

2．已知数列{}n a 满足11a =，()1222n n n a a n -=+≥， （Ⅰ）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

3．数列{}n a 的前n 项和n S ，且()131-=n n a S ,（1）证明数列{}n a 等比数列；（2）求通项公式.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，数列{}n n S a +是公差为2的等差数列. （1）证明{}2-n a 是等比数列；（2）求通项公式.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，正整数n 对应的n n S a n ,,成等差数列. （1）证明{}2++n S n 成等比数列；（2）求n S求通项公式（一） 给出递推公式求通项公式类型一、，可利用累加法已知关系式)(1n f a a n n +=+例1{}中在数列n a ，已知,11=a 当2≥n 时，有)2(121≥-+=-n n a a n n ，求数列的通项公式.变式：{}中在数列n a ，,11=a )2(311≥+=--n a a n n n ，求通项.类型二、)(1n n f a a n ∙=+已知关系式，可利用累乘法例2{}中在数列n a ，已知11=a ，有()()211≥+=-n a n na n n ，求数列的通项公式.变式{}中在数列n a ，已知211=a ，有n n n a a 21=+，求数列的通项公式.类型三、构造新数列① 递推关系形如()1,01≠≠+=+p p q pa a n n ，利用待定系数法求解令)(1c a p c a n n +=++，其中c 为待定系数，化为等比数列{}c a n +求通项. 例3已知数列{}n a 中，若)1(32,111≥+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式.变式上例中递推关系变为)1(31≥+-=+n a a n n ，求数列的通项公式.② 递推关系形如111,)"0,("---≠=-n n n n n n a a q p a qa pa a 两边同除以递推关系形如“)0,,(11≠+=--r q p rqa pa a n n n ”，取倒数法 例4{}中已知数列n a ，2),2(2111=≥=---a n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式.变式{}中已知数列n a ，21=a ，)(421++∈+=N n a a a nnn ，求数列{}n a 的通项公式.练习1.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

等差等比数列性质以及证明知识点：1．等差数列的性质 ⑴(),m nm n a a a a m n d d m n-=+-=- ⑵在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+ ⑶若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．⑷在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ．⑸等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等差数列，公差为2n d ．⑹若等差数列的项数为2n ，则有1,nn S a S S nd S a +-==奇偶奇偶． ⑺等差数列的项数为奇数n ，则n n S S S a S S =+=-奇偶中间项奇偶且，11S n S n +=-奇偶． ⑻{}n a 为等差数列，()2121n n S n a -=-．⑼通项公式是n a An B =+ ()0A ≠是一次函数的形式；前n 项和公式()20n S An Bn A =+≠是不含常数项的二次函数的形式．（注当0d =时，1n S na =，1n a a =）（10）若10a >，0d <，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≥≤来确定n ．若10a <，0d >，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≤≥来确定n ．2.等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）：⑴n m n m a a q -=，n q =； ⑵若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅； ⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．3．主要方法⑴解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．⑵深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键． ⑶错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{}n n a b ⋅，此数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．等比数列的n 项和也构成一个等比数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等比数列，公比为n q ．通项公式：11n n m n m a a q a q --==；前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．等比数列前n 项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知2132121,,,,n n n n a a q a a q a a q a a q ---====， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =． 法二：211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一． 法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．板块一 等差数列与等比数列——性质以及运用 一、 利用“下标和相等” ①等差数列3071020251.30255,.S a a a a =+++（二星）等差数列前项的和求答案：34 123181920201.24,78,.a a a a a a S ++=-++=（二星）等差数列求 510131621251.20,_______.a a a a a S ++++==（二星）等差数列则 1.421467286（二星）等差数列前项和为，末项和为，且各项和为，求项数. 211212.(){0(2),4.2.0.1.2n n n n n a a a a n S n A B C D +---+=≥-=-（二星）江西文在各项均不为零的等差数列}中,若则（ ）221:20,2,42(21)42,.n n n n a a a S n n n A --=∴=∴-=--=-解选2.（一星）(2015全国2文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S = A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 答案：A3.（二星）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且9420S S =+，则13S 的值为 . 解：S9-S4=a5+a6+a7+a8+a9=5a7=20，所以a7=4，S13=13(a1+a13)/2=13a7=526.（二星）（2016广州市调研）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（D ）（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72②等比数列{}2199205080371127124.0,,10160[]28,512,.n n a a a a x x a a a a a a a a a q >-+=⋅⋅=++=⋅⋅=（二星）等比数列中为方程的两根，则类似题求答案：64 243546355.0,225,n a a a a a a a a a >⋅+⋅+⋅=+=（二星）等比数列则 答案：53.1100,2,.n n n +（二星）在与之间插入个正数使这个数成等比数列求插入的个数的积 答案：略 5631323106.0,9,log log log n a a a a a a >⋅=+++=（二星）等比数列则答案：10二、利用“连续等长片段和”为等差（比） ①等差数列101001101.3021003[]100,10,.m m m S S S ===（二星）等差数列中前项和为，前项和为，前项和类似题求答案：210。

数学中的等差数列与等比数列公式整理与推导在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

它们在数学、科学和日常生活中都有重要的应用。

本文将对这两种数列的公式进行整理和推导。

一、等差数列等差数列是一种数列，其中相邻两项之差保持恒定。

设首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d（1）其中，a₁为首项，n为项数，d为公差。

为了更好地理解等差数列的公式，我们可以通过一个例子进行推导。

假设我们有一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...，其中首项a₁=2，公差d=3。

我们可以按照公式（1）计算第5项的值：a₅ = a₁ + (5-1)d= 2 + 4 × 3= 2 + 12= 14因此，这个等差数列的第5项为14。

二、等比数列等比数列是一种数列，其中相邻两项之比保持恒定。

设首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ × r^(n-1)（2）其中，a₁为首项，n为项数，r为公比。

同样，我们通过一个例子来推导等比数列的公式。

假设我们有一个等比数列：2, 4, 8, 16, 32, ...，其中首项a₁=2，公比r=2。

按照公式（2），我们可以计算第5项的值：a₅ = a₁ × r^(5-1)= 2 × 2^4= 2 × 16= 32因此，这个等比数列的第5项为32。

三、等差数列的公式整理与推导在前面的讨论中，我们已经给出了等差数列的通项公式，即公式（1）。

现在，我们来推导这个公式的正确性。

设等差数列的首项为a₁，公差为d。

我们知道第n项aₙ与前一项aₙ₋₁之间的关系是：aₙ = aₙ₋₁ + d（3）我们使用数学归纳法来证明等差数列的通项公式。

（1）初始条件：当n=1时，等式（3）成立，即a₁=a₁+0，初始条件满足。

（2）归纳假设：假设当n=k时等式（3）成立，即aₙ=aₙ₋₁+d。

高中数学数列等差等比公式推导数列是高中数学中的一个重要概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的。

在数学中，我们常常会遇到等差数列和等比数列，它们有着重要的应用和推导公式的需求。

本文将从等差数列和等比数列的概念入手，逐步推导出它们的公式，并举例说明其应用。

一、等差数列的推导与应用等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有如下关系式：aₙ = a₁ + (n - 1)d我们可以通过一个具体的例子来说明等差数列的应用和推导公式的过程。

例1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项的值。

解：根据等差数列的推导公式，我们可以得到第10项的值为：a₁₀ = a₁ + (10 - 1) × 4= 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39在实际应用中，等差数列的推导公式可以帮助我们计算数列中的任意一项的值，而不需要逐项进行计算。

这在数学题目中经常出现，例如求等差数列的和、确定某一项的值等。

例2：已知等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。

解：根据等差数列的求和公式，我们可以得到前10项的和为：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2= (2 + (2 + (10 - 1) × 3)) × 10 ÷ 2= (2 + (2 + 27)) × 10 ÷ 2= (2 + 29) × 10 ÷ 2= 31 × 10 ÷ 2= 310 ÷ 2= 155二、等比数列的推导与应用等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则有如下关系式：aₙ = a₁ × q^(n - 1)我们可以通过一个具体的例子来说明等比数列的应用和推导公式的过程。

数学中的等差数列与等比数列推导数学中的等差数列和等比数列是常见的数列形式，它们在各个领域都有广泛的应用。

在本文中，我们将对等差数列和等比数列进行推导和分析。

首先，我们来介绍等差数列的推导。

一、等差数列的推导等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有以下推导过程：1. 推导首项a₁：根据等差数列的定义，首项与它的前一项之差相等，即a₁-a₀=d。

由于a₀未知，我们将其设为a₁-d，代入上式得到a₁-(a₁-d)=d，整理得到a₁=d。

2. 推导第n项aₙ：根据等差数列的定义，第n项与它的前一项之差相等，即aₙ-aₙ₋₁=d。

代入a₁=d，得到aₙ-d=aₙ₋₁，整理得到aₙ=aₙ₋₁+d。

通过以上推导过程，我们可以得到等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。

二、等比数列的推导等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则有以下推导过程：1. 推导首项a₁：根据等比数列的定义，首项与它的前一项之比相等，即a₁/a₀=r。

由于a₀未知，我们将其设为a₁/r，代入上式得到a₁/(a₁/r)=r，整理得到a₁=r。

2. 推导第n项aₙ：根据等比数列的定义，第n项与它的前一项之比相等，即aₙ/aₙ₋₁=r。

代入a₁=r，得到aₙ/r=aₙ₋₁，整理得到aₙ=aₙ₋₁*r。

通过以上推导过程，我们可以得到等比数列的通项公式为aₙ=a₁*r^(n-1)。

三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学中有广泛的应用。

下面我们将介绍它们在几个具体应用中的运用。

1. 财务管理：等差数列和等比数列在财务管理中常用于计算资金的增长或减少情况。

例如，如果某项投资每年增长固定金额，那么投资的总额可以表示为等差数列的和；如果某项投资每年增长固定比例，那么投资的总额可以表示为等比数列的和。

2. 物理学：等差数列和等比数列在物理学中常用于描述物体的运动情况。

等差数列与等比数列十大例题例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ） 求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例3、 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21－=q 5分 （Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a从而））（（）（））（（n nn 211382112114--=----=S 10分 例 4、已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。

证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。

专题：等差（等比）数列的证明1.已知数列{}n a 中，15a =且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）.（Ⅰ）证明：数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .2. 已知数列{}n a 中，12a=且1230n n n a a +-+-=（2n ≥且*n ∈N ）.证明：数列{}2n n a +为等差数列；3. 已知数列{}n a 中，14a=且12250n n a a n +---=（2n ≥且*n ∈N ）.证明：数列{}21n a n --为等比数列；4．数列.23,5,2}{1221n n n n a a a a a a -===++满足（1）求证：数列}{1n n a a -+是等比数列；（2）求数列{n a }的通项公式；5.已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n a 是12nS和的等差中项. 求数列{}na 的通项公式；6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n .(1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； 7.设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*N n ∈，都有23333231n nSa a a a =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，其中nS为数列的前n 项和.（I ）求证：;22n n na S a -=（II ）求数列{}n a 的通项公式；8.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)， (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列；（2）.证明数列{a n2n －2}是等差数列(3)设c n ＝a n3n －1，求证：{c n }是等比数列．9.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足 2S n ＝a n ＋1.求证：{a n }是等差数列．10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2(n －1)(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列,并求{}n a 的通项公式；(2)求数列{1a n ·a n+1}的前n 项和T n ，11.设n S 是数列{}n a （*N n ∈）的前n 项和，已知41=a ，n n n S a 31+=+，设n n nS b 3-=.（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log 22+-=nn n b nb c ，求数列{}n c 的前n 项和n T .12.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋． 问：数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论；13.已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程214450x x -+=的两根，数列{b n }的前n 项的和为S n ，且S n =12nb - (n ∈N *),C n =n a ·n b 。

证明或判断等差（等比）数列的常用方法一．定义法（1）{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列（2）{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 注意事项： 1n n a a d --=与1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义；等比中一样有：2n ≥时，有1n n a q a -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n n a q a +==（常数0≠）．二．中项法(1){}122n n n n a a a a ++=+⇔是等差数列注：三个数c b a ,,为等差数列c a b+=⇔2，三内角A 、B 、C 等差︒=⇔60B （2）221(0)n n n n a a a a ++=≠ {}n a ⇔是等比数列例1.已知数列前n 项和n s n n 22+=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。

例2.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+， （1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列；例3.设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--，求证{}n a 为等比数列。

证明：由题意：()t s t ts n n 33231=+--，()t s t ts n n 332321=+---两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t ， 即()03231=+--n n a t ta ， 所以tt a a n n 3321+=-为定值，所以{}n a 为等比数列。

证明等差数列（7篇）第1篇：等差数列证明[推荐]设数列｛an｝的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn=n(a1+an)/2,求证：｛an｝是等差数列解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n －1）d（n∈N*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有Skk(a1ak)(k1)(a1ak1),Sk1，22(k1)(a1ak1)k(a1ak)+ak+1又Sk+1=Sk+ak+1，所以将ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k （k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1时等式成立.由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，Sn1(n1)(a1an1)n(a1an),Sn所以an Sn Sn1n(a1a2)(n1)(a1an1)22(n1)(a1an1)n(a1an)同理有an1从而an1an(n1)(a1an1)(n1)(a1an1)n(a1an)整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n－1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.第2篇：等差数列的证明等差数列的证明1三个数abc成等差数列，则c-b=b-ac^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列等差：an-(an-1)=常数(n≥2)等比：an/(an-1=常数(n≥2)等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4下面用数学规纳法来证明：1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2于是S(k+1)=a(k+1)+Sk而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4即知n=k+1时，推测仍成立。

数列的等差与等比关系数列是离散的数值序列，其中的各个数值按照某种规律排列。

在数列中，常见的两种关系分别是等差关系和等比关系。

本文将详细解释数列的等差与等比关系，并提供实例加深理解。

一、等差关系等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

等差数列的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，$d$为公差。

举例来说，假设一个数列的首项$a_1=2$，公差$d=3$，我们可以按照通项公式计算该数列的前几项：$a_2 = a_1 + d = 2 + 3 = 5$$a_3 = a_2 + d = 5 + 3 = 8$$a_4 = a_3 + d = 8 + 3 = 11$由此可见，在等差数列中，每一项与它前面的项相差的值都是相等的。

这种差值的恒定性使得等差数列非常容易计算和理解。

二、等比关系等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。

等比数列的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$$其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，$r$为公比。

举例来说，假设一个数列的首项$a_1=2$，公比$r=3$，我们可以按照通项公式计算该数列的前几项：$a_2 = a_1 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6$$a_3 = a_2 \cdot r = 6 \cdot 3 = 18$$a_4 = a_3 \cdot r = 18 \cdot 3 = 54$可以观察到，在等比数列中，每一项与它前面的项的比值都是相等的。

这种比值的恒定性使得等比数列具有很多特殊性质，在数学和实际应用中都十分重要。

三、等差与等比关系的联系与区别等差关系和等比关系都是数列中常见且重要的关系。

它们之间的联系和区别如下：1. 联系：等差数列和等比数列都是在数列中形成某种规律的关系。

它们都具有一定的计算公式，可以用来推断数列中的任意项，这对于数学问题的解决非常有帮助。

等差等比数列综合应用【典型例题】［例1］一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列, 等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为a d,a,a d(a d) (a d) (a 4)2(a d)(a 2d 32) a2 a d2 2 a2 8a 16(1)(a2d2) 232(a d) a (2)2a 8a 16 32 32d 2 a2 3a 4d 0代入（1)d 2 8 1-(4d 2)3163d； 2 32d 64 0 (3d 8)(d 8) 08 26① d 8 a 10 ②d a3 9此三数为2、16、18或-、10、509 9 9｛b n｝所有项和为20，求:（1）求a n,b n2印3d 768a n 6n 399 209 10不等式2声)n11 m(a m 1a2m )160如果再把这个［例2］等差数列｛a n｝中，印393 ,a2 a3 768 ,{g}是等比数列，q (0,1) ,b1 2 ,（2）解不等式•步a2m 160b2101m(6m 393 12m 399)16 18 (m 1)2n 1 n 1 2n2 23 2 29m 2 396m 16 18 (m 1) 02m 12m32 0T n 中共2n 1个数，依次成等差数列2n13 22n 2 3 2n 2(m 4)(1 m 8)0 m{4 ,5,6,7 ,8}[例 3] { a n }等 差，{b n }，等比,a 1b 1 0 , a 2b 2 0 , a 1解:a 2b 2 a 1 da 1q• d a1(q 1)b n a nn 1a 1 (n 1)dad(q n1 1) (n 1)(qa h [(q 1)(q n2n 3q1) (n 1)(q1)]a h (q 1)[(q n21) (n1)]a h (q 1)[(q n2 1) / n(q 3 1) ' (q 1) (1 1)]*q (0,1) q 1 0i q n 1 0 • * 0q (1,)q1 0nq1 0 •* 01)]a 2,求证：a nb n (n 3)[例4](1)求 T n ； (2) S n T n ，求 Sn 。

一、证明等差或等比数列的方法① n S 与n a 的关系式②写定义式④写结论：数列{}是一个以 为首项，以 为公差的等差/等比数列 . 例题1：已知数列{}n a 满足41=a ，()2441≥-=-n a a n n ，并记21-=n n a b . (1) 求证：数列{}n b 是等差数列. (2) 求数列{}n a 的通项公式.利用1--=n n n S S a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧n a 与1-n a 的关系式 n a 与1+n a 的关系式 1+n a 、n a 与1-n a 的关系式（递推公式）化简、整理 )常数，较小角标大角标,n a f a =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧（1）证等差：前项后项- （2）证等比：前项后项 ③将化简整理好的递推公式代入定义式中（只代入下角标最大的项中），然后接着往下计算，直到算出一个常数.（写出来的定义式格式一定要跟题目保持一致）例题2：已知数列{}n a 满足11=a ，131+=+n n a a ，证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列,并求{}n a 的通项公式.例题3：在数列{}n a 中，211=a ，n n a nn a 211+=+，+∈N n . （1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 为等比数列.（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .例题4：已知数列{}n a 满足51=a ,52=a ,116-++=n n n a a a ()2≥n . （1）求证：{}n n a a 21++是等比数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.（3）设()n n n n a n b -=33，求n b b b +++ 21.例题5：数列{}n a 满足11=a ,52=a ,1212+-=++n n n a a a .（1）设n n n a a b -=+1，证明{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式. （2）设1tan tan +⋅=n n n b b c ，求数列{}n c 的前n 项和n S .例题6：已知数列{}n a 满足11=a ，22=a ，212+++=n n n a a a ，+∈N n . （1）令n n n a a b -=+1，证明：{}n b 是等比数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.例题7：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*∈N n ,已知11=a ，232=a ，453=a ，且当2≥n 时，112854-+++=+n n n n S S S S .（1）求4a 的值; (2)证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a a 211为等比数列.。