28 高中数学等差等比数列证明专题训练

专题十：等差等比数列（例、练及答案）1．等差数列的性质例1：已知数列，为等差数列，若，，则_______． 2．等比数列的性质例2：已知数列为等比数列，若，则的值为（） A ．B ．C ．D ．3．等差、等比综合例3：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，则有（） A ． B ．C ．D ．或练习一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤2．设为等差数列的前项和，若，，则（） A ．66B ．68C ．77D ．843．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（）A ．4B ．2C ．D ．4．已知等差数列的前项和为，，则（）{}n a {}n b 117a b +=3321a b +=55a b +={}n a 4610a a +=()713392a a a a a ++1020100200{}n a {}n b 1q ≠()01,2,3,,i b i n >=L 11a b =1111a b =66a b =66a b >66a b <66a b >66a b <n S {}n a n 540S =9126S =7S ={}n a n n S 122n n S λ+=+λ2-4-{}n a n n S 5714a a +=11S =A ．140B ．70C ．154D ．775．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（） A ．B ．C ．1或D ．或6．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（） A ．B ．0C ．5D ．77．等比数列的各项均为正数，且，则（） A ．12B ．10C ．8D ．8．设公差为的等差数列，如果，那么等于（） A ．B ．C ．D ．9．已知等差数列的前项和为，且，则数列的第三项为（） A ．3B ．C ．D ．610．等差数列的前项和为，若，则（） A ．27B ．36C ．45D ．6611．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误．．的是（） A ． B ．C ．D ．与均为的最大值12．定义函数如下表，数列满足，，若，则（）{}n a q 1a 3a 2a q 12-2-12-1-12{}n a n n S 12a -212a -3a 11a =4S =5-{}n a 564718a a a a +=3132310log log log a a a +++=L 32log 5+2-{}n a 1479750a a a a +++=+L 36999a a a a ++++L 182-78-148-82-{}n a n n S 133215S S -={}n a 4-5-{}n a n n S 81026a a =+11S ={}n a q n K n 56K K <678K K K =>01q <<71a =95K K >6K 7K n K ()f x {}n a ()1n n a f a +=n *∈N 12a =1232018a a a a ++++=LA ．7042B ．7058C ．7063D ．7262二、填空题13．已知等差数列，若，则________．14．已知等比数列的前项和为，若公比，且，则的值是___________．15．设是等差数列的前项和，若，则_______． 16．在等差数列中，，则的值是_______．三、解答题17．已知数列中，，． （1）求；（2）若，求数列的前5项的和．18．设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前{}n a 2376a a a ++=17a a +={}n a n nS q =1231a a a ++=12S n S {}n a n 53109a a =95SS ={}n a 14101619100a a a a a ++++=161913a a a -+{}n a 12a =12n n a a +=n a n n b n a =+{}n b 5S {}n a n ()*n S n ∈N {}n b n项和为．已知，，，． （1）求和；（2）若，求正整数的值．参考答案1．【答案】【解析】∵，为等差数列，∴也为等差数列， ∴，∴． 2．【答案】C【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢，从而，即所求表达式的值为．故选C ． 3．【答案】B【解析】抓住，和，的序数和与，的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，，， 因为，而为等比数列，联想到与有关，所以利用均值不等式可得：；（故，均值不等式等号不成立）所以．即．故选B ．()*n T n ∈N 11b =322b b =+435b a a =+5462b a a =+n S n T ()124n n n n S T T T a b ++++=+L n 35{}n a {}n b {}n n a b +()()()3311552a b a b a b +=+++()()553311235a b a b a b +=+-+=4610a a +=4a 6a ()()22271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+1001a 11a 1b 11b 6a 6b 11a b =1111111111a b a a b b =⇒+=+11162a a a +={}n b 111b b ⋅6b 11162b b b +>=1q ≠111b b ≠1111116622a a b b a b +=+⇒>66a b >练习一、单选题 1．【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知，，求的值． 由等差数列的性质可知：，， 则，即中间三尺共重9斤．故选D ．2．【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式，，化简得，根据等差数列通项公式得，解方程组得，．故选C ．3．【答案】C【解析】根据题意，当时，，故当时，， ∵数列是等比数列，则，故；解得．故选C ． 4．【答案】D【解析】等差数列的前项和为，， ∴．故选D ． 5．【答案】C【解析】由题意知：，∴，即， ∴或．故选C ． 6．【答案】A【解析】设的公比为，由，，成等差数列，可得，若，可得，解得，14a =52a =234a a a ++24156a a a a +=+=15332a a a +==2349a a a ++=53540S a ==959126S a ==35814a a =⎧⎨=⎩1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩123a d =⎧⎨=⎩()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=1n =11224S a λ==+2n ≥112n n n n a S S --=-={}n a 11a =412λ+=2λ=-{}n a n n S 5714a a +=57111111411111177222a a a a S ++=⋅=⋅=⋅=3122a a a =+21112a q a q a =+221q q =+1q =12q =-{}n a q 12a -212a -3a 2132a a a -=-+11a =22q q -=-+()21q =-舍去则，故选A ．7．【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知：， 且， 据此结合对数的运算法则可得：．故选B ．8．【答案】D【解析】由两式的性质可知：， 则．故选D ． 9．【答案】C【解析】设等差数列的公差为d ，∵，∴，∴．故选C ． 10．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，故选D ． 11．【答案】C【解析】设等比数列，是其前项的积，所以，由此，， 所以，所以B 正确，由，各项为正数的等比数列，可知，所以A 正确， ，可知，由，所以单调递减，在，7时取最小值，所以在，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．()()()44141125112a q S q---===----56479a a a a ==110293847569a a a a a a a a a a =====()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===L L 36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-{}n a 133215S S -=()112312321536a a a a a a ++==--1325a d a +=-=81026a a =+610106a a a +=+66a =()1111161111662a a S a +===11n n a a q-=n K n ()121n n nn K a q-=55611K K a q <⇒<66711K K a q =⇒=77811K K a q >⇒>6711a a q ==511a q <01q <<611a q =()121n n n n K a q-=()()113221n n n n n n K a qq--==01q <<x q ()n n 132-6n =n K 6n =12．【答案】C【解析】由题设知，，，，，， ∵，，，∴，，，， ，，……，∴是周期为6的周期数列， ∵，∴，故选C ．二、填空题 13．【答案】4【解析】∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为4． 14．【答案】15【解析】已知，则，又；∴．15．【答案】2【解析】，又，代入得．16．【答案】20【解析】根据等差数列性质，所以， 根据等差数列性质，．()13f =()25f =()34f =()46f =()51f =()62f =12a =()1n n a f a +=n *∈N 12a =()225a f ==()351a f ==()413a f ==()534a f ==()646a f ==()762a f =={}n a 201833662=⨯+()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=L 2376a a a ++=1396a d +=132a d +=42a =17424a a a +==1231a a a ++=()313111a q S q-==-q =11a q =-()()()12121121111511q a q S qq---===--()()19955315992552a a S a S a a a+==+53109a a =95910259S S =⨯=14101619105100a a a a a a ++++==1020a =1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==三、解答题17．【答案】（1）；（2）77． 【解析】（1），，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，； （2），．18．【答案】（1），；（2）4．【解析】（1）设等比数列的公比为，由，，可得． 因为，可得，故．所以．设等差数列的公差为． 由，可得．由得，从而，， 故，所以．（2）由（1），有．由，可得，整理得，解得（舍），或． 所以的值为4．2n n a =12a =12n n a a +={}n a 1222n n n a -=⨯=2n n n b n a n =+=+()()()()()234551222324252S =+++++++++()()23451234522222=+++++++++()515522277212+⨯-⨯=+=-()12n n n S +=21n n T =-{}n b q 11b =322b b =+220q q --=0q >2q =12n n b -=122112nn n T -==--{}n a d 435b a a =+134a d +=5462b a a =+131316a d +=11a =1d =n a n =()12n n n S +=()()112122122221222n n n n n T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---L L ()124n n n n S T T T a b ++++=+L ()1112222n n n n n n ++++--=+2340n n --=1n =-4n =n。

等差数列、等比数列1.如果数列{a n }是等差数列,则 ( ) A 5481a a a a +<+ B 5481a a a a +=+ C 5481a a a a +>+ D 5481a a a a =2.在等差数列{a n }中，已知=++=+=654321132a a a a a a ，则， ( )A 40B 42C 43D 453.等差数列{a n }的前n 项和为Sn,若S 19 = 95,则10a = ( )A 5B 10C 15D 不能确定4.若b a ≠,数列b x x a ,,21，，和数列都是等差数列，则1212y y xx --的值为 ( )A 34B 43C 4D 35.数列{a n }是首项1a =1，公差d=3的等差数列，如果n a =2005,则n 等于 （） A 667 B 668 C 669 D 6706.在等差数列{a n }中，4213=+a a ，则前23项的和S 23 = () A 8 B 23 C 46 D 927.在等差数列{a n }中，1212871=+++a a a a ,则此数列的前13项的和为 () A 39 B 52 C 78 D 1048.等差数列{a n }的前n 项和S n ,若3,132==a a 则S 4等于 () A 12 B 10 C 8 D 69.在等差数列{a n }中，14,1531=+=a a a ,则前n 项和S n =100，则n 等于 （） A 9 B 10 C 11 D 1210.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，186,104,4277===-n n S S S ,则n 的值为 （） A 28 B 23 C 21 D 1911.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为 （） A 41 B 21 C 81D 112.在等比数列{a n }中，已知8,,2753===a m a a ,则m= () A ±4 B 5 C －4 D 413.在等比数列{a n }中，73=a ，前3项之和S 3 = 21,则公比q 的值为 ()A 1B - 21C 1或-21D -1或21 14.若互不相等的实数a,b,c 成等差数列，c,a,b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a 等于（ ）A 4B 2C -2D -415.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若62,622006200720052006+=+=S a S a ,则数列{a n }的公比q 为( )A 2B 3C 4D 516.在等比数列{a n }中，45106431=+=+a a a a ，，则数列{a n }的通项公式为 （ ） A n n a -=42 B 42-=n n a C 32-=n n a D n n a -=3217.在等比数列{a n }中，公比q=2，且==118521313212a a a a a a a ，则 ( )A 2B 4C 8D 1618.在等比数列{a n }中，10208462816a a a a a a ，则，=+== ( ) A 1 B -3 C 1或-3 D -1或319．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13 = .20．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2a 8＝2，则a 13a 11＝________. 21．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 7＝________. 22．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝________.23．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.24．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.25．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，则S 10的值为________．26．在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为前_ ____项的和．27．各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'21f ＝________.28．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知751154==S a ，,T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n的前n 项和，求T n .29.已知数列{a n }中,()+-∈≥-==N n n a a a n n ,212,5311,数列{b n }满足()+∈-=N n a b n n 11. （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }中的最大项与最小项，并说明理由.30. 数列{a n }的前n 项和为S n , 且S n = ()131-n a . (1)求21a a ，; （2）证明数列{a n }是等比数列； （3）求n a 及S n 。

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题05等差数列和等比数列的证明问题【典例1】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+.（1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由.【思路引导】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.【典例2】已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且22213,2n n n S n a S n -=+≥．（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列.（2）求{}n a 的前n 项和n S .【思路引导】（1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，再求出1=6n 3n n a a +++，再证明数列{}1n n a a ++为等差数列；（2）对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解.【典例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【思路引导】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果．【典例4】已知数列{}n a 满足11a =，且1131n n n n a a a a ++-=+.（1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路引导】(1)由1131n n n n a a a a ++-=+，利用定义能证明11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，从而求出21na n =-；(2)由1221nn n n b n a -==⋅+，利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和.【典例5】在正项数列{}n a 中，已知11121n n n n a a a a a ++=-=+,且22nn a b =-.（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）设{}n b 的前n 项和为n S ，证明：123111134n S S S S +++⋯+<.【思路引导】(1)由题设条件证明数列{}2n a 是等差数列，并得出数列{}2n a 的通项公式，进而得出21n b n =+，再由等差数列的定义证明即可；(2)由等差数列的前n 项和公式得出n S ，再由裂项求和法证明不等式.【典例6】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n =．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【思路引导】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用nn a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =；（2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，从而可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得12n na n-=，从而求得12n n a n -=⋅.【典例7】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P-和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．【思路引导】(1)在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出2P .棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点,②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.(2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证.(3)该游戏获胜的概率,即求99P ，由（2）用累加法可求解.1.在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N .（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.已知数列{}n a 中，11a =且()*12621n n a a n n N +=+-∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．3.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n n S a n =-，*n ∈N .（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）若()2log 1n nb a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .4.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，112b =，1122n n n a a b +=+，1122n n nb a b +=+.（1）证明：数列{}n n a b +，{}n n a b -为等比数列；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：103n S <.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+.（1）证明：数列{}23n a n --是等比数列；（2）设2n n b n a =-，证明：1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<.6.设*n N ∈，向量(31,3)AB n =+ ，(0,32)BC n =-，na AB AC =⋅ .（1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .7.已知数列{}n a 满足13a =，()1211n n a a n n n n +=+++.（1）证明：数列{}n na 为等差数列；（2）设()()122n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S .8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S S +=+，n *∈N .（1）证明：数列{}1n S +为等比数列；（2）已知曲线()22:191n n C x a y +-=若n C 为椭圆，求n 的值；（3）若33log 22n n n a a b ⎛⎫⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9.已知数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，1232a a a +=，且对任意的n ∈N*，n≥2都有1112(25)n n n nS n S S ra +--++=．（1）若1a ≠0，213a a =，求r 的值；（2）数列｛n a ｝能否是等比数列？说明理由；（3）当r ＝1时，求证：数列｛n a ｝是等差数列．10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比22340,22,2q S a S a >=-=-.数列{}n b 满足()2*2114,(1)n n a b nb n b n n n N +=-+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（3）设数列{}n c 的通项公式为：24n nn n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，其前n 项和为n T ，求2n T .11.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．参考答案【典例1】解：（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =，由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21nn a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2nn n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.【典例2】解：（1）当2n ≥时，22221113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠，所以21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+，所以11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（又n=2时，2222(3+)129,6a a a =+∴=所以39a =，所以2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(，所以数列{}1n n a a ++为等差数列.（2）当n 为偶数时，12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++- 2(321)323()22nn n n +-=⋅=+当n 为奇数时，1231()()n n n S a a a a a -=+++++21(521)3233(59(21))33(2)322n n n n n -+-=++++-=+=+-+ ()23n n 2=+综上：()23S n n 2n =+【典例3】解：(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b +=，111a b -=，所以1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-，即()1112n n nn a b ab ++++=，所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，(112n n n a b -+=，因为()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-，所以112n n n n a b a b ++=-+-，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n a b n -=-．(2)由(1)可知，(112n n n a b -+=，21n n a b n -=-，所以()111222nn nn n n a ab a b n =++-=+-，()111222nn n n n n b a b a b n 轾=+--=-+臌．【典例4】解：（1）因为1131n n n n a a a a ++-=+，所以113n n n a a a +-=+，两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+，所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n na a +-=++，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，且首项是11112a =+，所以112n n a =+，即21n a n=-.（2）因为1221nn n n b n a -==⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和1211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，①则12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，②由①－②，得()121111212122121n n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=--，所以()121nn S n =-⋅+.【典例5】解：（1）∵112n n n na a a a ++-=+∴2212n n a a +-=，∴数列{}2n a 是公差为2的等差数列.∵11a =∴()2211121n a a n ==+-，，∴221n a n =-，∴22n n a b =-，∴22n n b a =+，∴21n b n =+，∴()123211n n b b n n +-=+-+=，∴数列{}n b 是等差数列.（2）由（1）可得∴()()32122n n n S n n ++==+，∴111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴1231111n S S S S ++++…，11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (1111311131221242124)n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.【典例6】解：（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅．【典例7】解：(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =．棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=．棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -．故211122n n n P P P --=+．(2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--．又因为1012P P -=-，所以1{}(1,2,,100)n n P P n --= 是首项为12-，公比为12-的等比数列．(3)由(2)知，11111222n nn n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+ 99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭．1.【思路引导】（1）由前n 项和与通项关系，求出{}n a 的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法，即可求解.解：（1）因为()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N，所以当2n ≥时，212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+，上述两式相减并整理，得21(2)n a n n =+≥.又因为1n =时，211213a =+⨯=，适合上式，所以()*21n a n n =+∈N .从而得到121n an -=-，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，且其通项公式为()*12n N a n n +∈=.（2）由（1）可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭.所以12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.2.【思路引导】（1）根据递推公式可得111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++===+++,即可证明；（2）由（1）1322n n na =⨯-,进而利用分组法求得数列的和即可解：（1）证明：∵()12621N*n n a a n n +=+-∈,∴1132n n a a n +=+-,∴111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n a a a +++++-++===+++,11131222a +=+= ,∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,首项为32,公比为3（2）解：由（1）得,13133222n n n n a -+=⨯=⨯,∴1322n n na =⨯-,123n n S a a a a =++++……()()12311333312322n n =++++-++++…………()()()23133311112132244n n n n n n --++=-=--12334n n n +---=3.【思路引导】（1）利用1n n n a S S -=-可得121n n a a -=+，再证明111n n a a -++是定值即可；（2）将1n a +代入()2log 1n n b a =+，然后利用裂项相消法求和.解：（1）由题可知2n n S a n =-，①当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n ≥时，()1121n n S a n --=--，②①－②并整理，得121n n a a -=+，所以()1121n n a a -+=+，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知()22log 1log 2nn n b a n =+==，则()1111111n n b b n n n n +==-++，所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=+++⋅⋅⋅+111111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+1n n =+.4.【思路引导】（1）将题中条件分别相加和相减，结合等比数列的定义，即可得证．（2）根据（1）结论可求出1344n nn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则前n 项和n S 为两个等比数列的前n 项和之和，代入公式，即可求解．解：（1）依题：11122122n n n n n n a a b b a b++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相加得：()1134n n n n a b a b +++=+，∴{}n n a b +为等比数列，两式相减得：()1114n n n n a b a b ++-=-，∴{}n n a b -为等比数列.（2）由上可得：13324n n n a b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，11124n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭②，两式相加得：1344nnn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133114444131144n n n S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--1310441331144<+=--.5.【思路引导】（1）由已知当2n ≥时，可得11221n n n n S n S a a --=--+=，整理为[]12322(1)3n n a n a n ---=---，根据等比数列的定义，即可证明结论；（2）由（1）求出n a ，进而求出323nn b =⨯-，根据()111232321nn n b =≤⨯-(1n =取等号），要证1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立，转化为证等比数列12{}32n ⨯前n 项和小于或等于23，即可证明结论.解：（1）当2n ≥时，由221122(1)n n n n S a n S a n --⎧=+⎨=+-⎩1221n n a a n -⇒=-+[]12322(1)3n n a n a n -⇒--=---，令1n =1121S a ⇒=+11a ⇒=-，则12360,230n a a n --=-≠∴--≠，12322(1)3n n a n a n ---=---故{}23n a n --为等比数列；（2）由（1）得1236232n n n a n ---=-⋅=-⨯，2332n n a n =+-⨯，323n n b =⨯-，()111232321n n n b =≤⨯-111(132n n -=⨯=时，取等号），所以原式01111322n -⎡⎤≤⨯+⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦111211312n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⨯-2121323n ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立.6.【思路引导】(1)先求解出AC的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出{}n a 的通项公式，再根据定义判断{}1n n a a +-是否为等差数列；(2)根据(1)中结果求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后根据裂项相消法求解出n S 的表达式.解：（1）(31,31)AC AB BC n n =+=++，2(31)3(31)(31)(34)n a n n n n ∴=+++=++.1(34)(37)(31)(34)6(34)n n a a n n n n n +-=++-++=+ ，()()21118n n n n a a a a +++∴---=为常数，{}1n n a a +∴-是等差数列.（2）111133134n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111111347710313434341216n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ .7.【思路引导】（1）在等式()1211n n a a n n n n +=+++两边同时乘以()1n n +，结合等差数列的定义可证明出数列{}n na 为等差数列；（2）结合（1）中的结论求出数列{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项求和法求出数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）由()1211n n a a n n n n +=+++得()112n n n a na ++-=，又13a =，所以数列{}n na 首项为3，公差为2的等差数列；（2）由（1）得，()32121n na n n =+-=+，所以2112n n a n n+==+.所以11222n a n n ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以1121n a n +-=-+，所以()()()11112211n n n b a a n n n n +=--==-++，所以1111111111112233445111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.8.【思路引导】（1）利用{}n S 的递推公式证明出111n n S S +++为非零常数，即可得出结论；（2）利用（1）中的结论求出n S ，由n a 与n S 之间的关系求出n a ，结合题意得出190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，可求出n 的值；（3）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出n T .解：（1）对任意的n *∈N ，132n n S S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31n n S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩，n N *∈ ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，②①-②得()()012111312312333333132n n n nnnn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=- ，因此，()21314n nn T -⋅+=.9.【思路引导】（1）令2n =，得到321149S S S ra -+=，再将和用项来表示，再结合条件，求得结果；（2）假设其为等比数列，利用21112a a q a q +=，结合10a ≠，得到关于q 的方程，求解得出2q =或1q =-，将其回代检验得出答案；（3）将r ＝1代入上式，类比着写出()()1114213n n n S n a a ra n --=---≥，两式相减得到()()112233n n n na a n a n +-+=+≥，进一步凑成()1124n n n n a a a a n ----=-≥，结合322112a a a a a -=-=，从而证得数列{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列.解：（1）令n ＝2，得：321149S S S ra -+=，即：()()321211149a a a a a a ra ++-++=，化简，得：3211454a a a ra --=，因为，1232a a a +=，213a a =，所以，111145534a a a ra ⨯-⨯-=，解得：r ＝1.（2）假设{}n a 是等比数列，公比为q ，则21112a a q a q +=，且10a ≠，解得2q =或1q =-，由()111225n n n nS n S S ra +--++=，可得()11422n n n S na a ra n +=--≥，所以()()1114213n n n S n a a ra n --=---≥，两式相减，整理得()11223n n n na a n a +-+=+，两边同除以1n a -，可得()2231n q q q -=-，因为1q ≠，所以20q q -≠，所以上式不可能对任意3n ≥恒成立，故{}n a 不可能是等比数列.（3）1r =时，令2n =，整理得1231454a a a ra --+=，又由1232a a a +=可知21313,5a a a a ==，令3n =，可得4321611S S S a -+=，解得417a a =，由（2）可知()11422n n n S na a a n -=--≥，所以()()1114213n n n S n a a a n --=---≥，两式相减，整理得()()112233n n n na a n a n +-+=+≥，所以()()()2121214n n n n a a n a n ---+=+≥，两式相减，可得()()()()()()1111224n n n n n n n n n a a a a a a a a n +-------=---≥，因为()()43320a a a a ---=，所以()()()11204n n n n a a a a n ------=≥，即()1124n n n n a a a a n ----=-≥，又因为322112a a a a a -=-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列.10.【思路引导】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可确定数列的通项公式；(2)由题意结合递推关系证明1n 1n b b n n +-+为定值即可证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(3)首项求得212n n n p c c -=+的表达式，然后结合通项公式的特点错位相减即可确定数列{}n c 的前n 项和n T .解：（1）∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比22340,22,2q S a S a >=-=-.∴3422a a a =-，可得()2222a q a q =-，∴220q q --=，解得2q =.∴12222a a a +=-，即121222a a a =-=-，解得12a =.∴2n n a =.（2）证明：∵214a b =，∴11b =∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴*1n 1,1n b b n N n n +-=∈+，综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111b =，公差是1的等差数列.∵n b n n =，∴2n b n =.（3）令22122221212(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n n p c c n n -----⋅⋅=+=-+=-⋅=-⋅012123474114(41)4n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⋅123243474114(41)4nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⋅01231233444444444(41)4n n n T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⋅--⋅,()12161433(41)414n nn T n -⨯--=+--⋅-2164334(41)433n nn T n -=-+⨯--⋅277123433n n n T --=-+⋅27127499n n n T -=+⋅.11.【思路引导】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .解：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i ii i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.。

等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1，，若数列 { a n }的前 n 项和为 S n 2013），则 S 的值为（A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列 { a n } 满足递推关系： a n+1=，a 1= ，则 a 2017=（ ）A.B.C.D.3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2n-1（n ∈N +），则 a 2017 的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334. 已知正项数列 { a n } 满足，若 a 1=1，则 a 10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295. 若数列{a n } 满足： a 1=2 ，a n+1= ，则 a 7 等于（）A. 2B.C. -1D. 20186. 已知等差数列 { a n n 6 37 ）} 的前 n 项和为 S ，若 2a =a +6，则 S =（A. 49B. 42C. 35D. 287. 等差数列 { a n } 中，若 a 1，a 2013 为方程 x 2-10x+16=0 两根，则a 2+a 1007+a 2012=（） A. 10B. 15C. 20D. 408. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ，若它的第 k 项满足 2＜a k ＜5，则 k=（）A.2B.3C.4D.59.在等差数列 { a n} 中，首项 a1=0，公差 d≠0，若 a k=a1+a2+a3+ +a10，则 k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，则 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则 S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列 { a n} 中，满足 a1=1，a2= ， = （n∈N*），那么a n=______．3.若数列 {a n} 满足 a1=-2，且对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，则 a3=______；数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______．4. 数列 { a n} 中，已知 a1=1，若，则 a n=______，若，则 a n=______．5.已知数列{ a n 1 n+1 n *，则通项公式a n= } 满足 a =-1 ，a =a + ，n∈N______ ．6. 数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），则 a n= ______ ．7. 等差数列 { a n} 中， a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______．三、解答题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列 { a n} 是首项为 23，第 6 项为 3 的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差 d；（Ⅱ）设此等差数列的前 n 项和为 S n，求 S n的最大值；（Ⅲ）当 S n是正数时，求 n 的最大值．3.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）求数列 { S n} 的前 n 项和 T n．4.已知数列 { a n} 具有性质：① a1为整数；②对于任意的正整数 n，当 a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若 a1=64，求数列 { a n} 的通项公式；（2）若 a1，a2，a3成等差数列，求 a1的值；（3）设（m≥3且 m∈N），数列 { a n n} 的前 n 项和为 S ，求证：.等差、等比数列基础练习题答案【答案】 ( 选择题解析在后面 )1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C 9. B 10. D12. 2n 13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2n-116. - 17. 18. 8119.解：（ 1）当 n=1，a1= ，当 n＞1，S n+ a n=1，S n-1+ a n-1=1，∴a n- a n-1 =0，即 a n= a n-1，数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，∴a n= ．（2）S n=1- a n=1-（）n，∴bn=n，∴==-，∴=1-+-+ +- =1- = ．20. 解：（Ⅰ）由 a1=23，a6=3，所以等差数列的公差 d= ；（Ⅱ）= ，因为 n∈N*，所以当n=6 时 S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得 0＜n＜．因为 n∈N*，所以 n 的最大值为 12．21.解：（Ⅰ）列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2①．则： S n+1=2a n+1-2②，②-①得： a n+1=2a n，即：（常数），当 n=1 时， a1=S1=2a1-2，解得： a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- -2，=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，，，，，a9=0，，即{ a n} 的前 7 项成等比数列，从第8 起数列的项均为 0．（2 分）故数列 { a n} 的通项公式为．（ 4 分）（2）若 a1=4k（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知即 2 （2k ）=k+4k，解得 k=0，故a1=0；若 a1=4k+1（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k）=（4k+1）+k，解得 k=-1，故 a1=-3；（ 7 分）若 a1=4k+2（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+2）+k，解得 k=0，故 a1=2；若 a1=4k+3（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+3）+k，解得 k=-1，故 a1=-1；∴a1的值为 -3 ，-1，0，2．（ 10 分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则 a k是奇数，从而，可得当 3≤n≤m+1 时，成立．（ 13 分）又，a m+2=0，故当 n≤m 时， an＞0；当≥（ 15 分）n m+1 时， a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为 a1+a2++a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3 -1）+ +（21-1）=（2m+2m-1+2m-2++21）-m-3=2m+1-m-5，故．（18分）1. 解：∵数列 { a n} 满足 a1=a2=1，，∴从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为a3n-2a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =cos（2nπ- ）=cos（- ）=cos =-cos =- ，∵2013 ÷3=671，即 S2013正好是前 671 组的和，∴S2013=- ×671=-．故选 D．由数列 { a n 12} 满足 a =a=1，，知从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为 a3n-2，由a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =- ，能求出 S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n 项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴- =1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为 1．∴=2+2016=2018．则 a2017= ．故选： C．a n+1=，a1=，可得- =1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2 ×2016+1=2由 a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵2 2，∴a n+1 -2a n a n+1 +a n =9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或 a n+1-a n=-3，∵{ a n} 是正项数列， a1=1，∴a n+1-a n=3，即 { a n} 是以 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选 B．由递推式化简即可得出{ a n} 是公差为 3 的等差数列，从而得出 a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列 { a n} 满足： a1=2，a n+1=，则a2== ，a3= =-1a4==2a5= = ，a6= =-1．a7==2．故选： A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6.解：∵等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选： B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前 n 项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n 项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程 x2-10x+16=0 的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选： B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10 是关键．8. 解：已知数列 { a n} 的前 n 项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1 满足 a n，∴a n=2n-4，∵它的第 k 项满足 2＜a k＜5，即 2＜2k-4＜5，解得 3＜k＜4.5，因为 n∈N，∴k=4，故选 C；先利用公式 a n=求出 a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k 的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9.解：∵a k=a1+a2+a3+ +a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差 d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选 B由已知 a k=a1+a2+a3++a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10.解：由等差数列的性质可得： 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即 a1+a11=6．则 S11=×=11 3=33．故选： D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.解：由 S n=n2+n，得a1=S1=2，当 n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[ （n-1）2+（n-1）]=2n．当 n=1 时上式成立，∴a n=2n．故答案为： 2n．由数列的前 n 项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得 a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，是基础题．13.解：由 = （n∈N*），可得 a2n+1=a n?a n+2，∴数列{ a n} 为等比数列，∵a1=1，a2= ，∴q= ，∴a n= ，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，即可得到数列{ a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14.解：∵对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，∴取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，∴数列 { a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列 { a n} 前 10 项的和 S10= =-110．故答案分别为： -6；-110．对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，可得数列 {a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列 { a n}中，由，可知数列是公差为 2 的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1） =2n-1；由，可知数列是公比为 2 的等比数列，又a1=1，∴．故答案为： 2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为 2 的等差数列，由，可知数列是公比为 2 的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16.解：由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得 a n-a1=1- = ，∵a1=-1，∴a n=- ，故答案为 - ．由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），可知数列 { } 是等差数列，首项为，公差为：5．可得 = +5（n-1），解得 a n═．故答案为：．判断数列 { } 是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18.解：等差数列 { a n} 中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列 { a n} 前 9 项的和：．故答案为： 81．根据等差数列项的性质与前n 项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n 项和公式的应用问题，是基础题目．19.（1）根据数列的递推公式可得数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得 b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20.（1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前 n 项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由 S n＞0，且 n∈N*列不等式求解 n 的值．本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21.（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n 项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n 项和的公式的应用．22. （1）由，可得{ a n}的前7项成等比数列，从第8 起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n} 的通项公式即可；（2）对 a1进行分类讨论：若 a1=4k（k∈Z）时；若 a1=4k+1（k∈Z）时；若 a1=4k+2（k∈Z）时；若 a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出 a1的值；（3）由（m≥3），可得 a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当 3≤n≤m+1 时，成立，又当 n≤m 时，a n＞0；当 n≥m+1 时，a n=0．故对于给定的 m，S n的最大值为 2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。

一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa qa a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知cb a 1,1,1成等差数列，求证： （1）c b a b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b b c a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac bac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+（Ⅱ）设数列),1(2,1,}{2-==n n n n a n S a S n a 且满足项和为的前 （1）求证：}{n a 是等差数列；（2）若数列:}{满足n b62)12(531321+=-+++++n n n a b n b b b求证：{n b }是等比数列. [解析]（1）⎩⎨⎧-+=-=++)1)(1(2)1(211n n n n a n S a n S ②－①得,1)1(1)1(211+=-⇒--+=++n n n n n na a n na a n a:,32,32,1,11321用数学归纳法证明猜想得令得令-===∴=-==n a a n a a n n1）当;,3221,3121,121结论正确时-⨯==-⨯=-==a a n 2）,32,)2(-=≥=k a k k n k 即时结论正确假设)1)(12(1321)32(1)1(,121--=+-=+-=+=-+=∴+k k k k k k ka a k k n k k 时当.,3)1(212,21结论正确-+=-=∴≥+k k a k k由1）、2）知，,32,-=∈*n a N n n 时当.2}{,2,2,,26)1(4),2(2,2)12()52(2)32(2)12(2,6)32(262)2(;2}{,2)32()12(1111111的等比数列是公比为即时当也适合而时当设的等差数列是公差为即n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b N n b n b n n n T T b n n n a T a n n a a =∴=∈∴=+-⨯=≥=∴⨯-=---=-=-≥∴+-=+==---=-∴+*+-+++[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归 纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n ≠==若 求).,(表示用Q P S Q P +[解析]选择公式""2bn an S n +=做比较好，但也可以考虑用性质完成.① ②[解法一]设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴+=bQ aQ QP bP aP PQ bn an S n 222, ①－②得：,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQP Q ≠++-=- .)(])()[(,)(,2PQQ P b Q P a Q P S PQQP b Q P a Q P Q P +-=+++=∴+-=++∴≠+[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P +++=-=-∴>++ 21, .)(,2))((2))((211PQQ P S S QP QP a a Q P Q P Q P a a Q P Q P Q P Q P P Q +-=∴+-=++⋅+-=+-=++++（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列①②.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a d a a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列复习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ）①②①，②（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为 （ ） （A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ）（A ）22-=n a n（B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z--=-，则 （ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为 （ ）（A ）97 （B ）78（C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为 （ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是 ( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n+=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n nab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n+=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n na S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}nb a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

<一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ）（A ）13+=n a n（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为 （ ） （A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）,（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ）（A ）22-=n a n（B ）28-=n a n （C ）12-=n n a（D ）n n a n-=26、已知))((4)(2z y y x x z--=-，则 （ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列】（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为 （ ）（A ）97 （B ）78（C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为 （ ）、（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是 ( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n+=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n nab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n+=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =@14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n na S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 三、解答题 17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}nb a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一 （D ）不存在2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ ）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则yc x a+的值为（ ）（A ）21（B ）2-（C ）2（D ） 不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（ ）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（ ）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n 9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b aa ++的值为（ ）（A ）97（B ）78（C ）2019（D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a 二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 三、解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}nb a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

等差、等比数列练习一、选择题1、等差数列a n中， S10120 ，那么 a1 a10（）A. 12B.24C.36D.482、已知等差数列a， a n2n19 ，那么这个数列的前n 项和 s n（）nA. 有最小值且是整数B.有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D.有最大值且是分数3、已知等差数列a n1a4a10080 ，那么 S100的公差 d， a22A ．80B ．120C ．135D ． 160．4、已知等差数列a n中， a2 a5a9a1260 ，那么 S13A． 390B． 195C． 180D． 1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A. 0B.90C.180D.3606、等差数列a n的前m项的和为30，前2m 项的和为 100，则它的前 3m项的和为 ()A. 130B.170C.210D.2607、在等差数列a n中， a2 6 ， a8 6 ，若数列a n的前 n 项和为 S n，则（）A.S4 S5B. S4 S5C. S6 S5D. S6 S58、一个等差数列前 3 项和为 34 ，后 3 项和为 146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n 项之和 n3为，且前 n 个偶数项的和为 n 2 (4n3) ，则前 n 个奇数项的和为（）A ．3n 2 (n1) B． n2 (4n 3)C．3n 2D．1n3210 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A． 6B．8 C．10D． 12二．填空题1、等差数列a中，若 a6a3a8，则s9.n2、等差数列a n中，若 S n3n22n，则公差 d.3、在小于100的正整数中，被 3 除余 2 的数的和是4、已知等差数列{ a n}的公差是正整数，且 a 3a712, a4 a6 4 ，则前10项的和S10=5、一个等差数列共有 10 项，其中奇数项的和为25，偶数项的和为15，则这个数列的第 6 2项是*6 、两个等差数列a n和 b n的前n项和分别为S n和T n，若 S n7n 3，则a8.T n n3b82、设等差数列a n的前 n 项和为 S n，已知 a3 12 ， S12>0，S13<0，①求公差 d 的取值范围；② S1 , S2 ,L , S12中哪一个值最大并说明原因.3、己知{ a n}为等差数列，a12, a2 3 ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数组成一个新的等差数列，求：（ 1）原数列的第 12 项是新数列的第几项（ 2）新数列的第 29 项是原数列的第几项一、选择题1.(2009 年广东卷文 ) 已知等比数列 { a n } 的公比为正数，且 a 3 · a 9 =2 a 5 2 ， a 2 =1，则 a 1 = A.1B.2 C. 2222、若是1,a,b, c, 9 成等比数列，那么（）A 、 b 3, ac 9B 、 b3, ac 9 C 、 b3, ac 9 D 、 b 3, ac93、若数列 a n 的通项公式是 a n(1) n(3n 2), 则 a 1 a 2a10（ A ）15 （B ）12（C ）D）4. 设 { a n } 为等差数列，公差 d = -2 ， S n 为其前 n 项和 . 若 S 10 S 11 ，则 a 1 =（）5. （ 2008 四川）已知等比数列a n 中 a 2 1，则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 () A.,1 B.,0 U 1,C. 3,D.,1U3,6. （ 2008 福建 ) 设｛ a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7, a 5=16, 则数列｛ a n ｝前 7 项的和为 ( )7. （ 2007 重庆）在等比数列{ a n } 中， a 2 ＝8， a 5＝ 64，，则公比q 为（）A ． 2B． 3C． 4D． 88．若等比数列 { a n } 知足 a n a n+1=16n ，则公比为A ． 2B ． 4C ． 8D ． 169．数列 { a } 的前 n 项和为 S ，若 a =1， a n+1 =3 S （n ≥ 1），则 a =nn 1 n 6（A ）3 ×44（B ）3 ×44+1（C ）44（ D ）44+110.(2007 湖南 ) 在等比数列 { a n } （ n N*）中，若 a 1 1 ， a 41 ，则该数列的前 10 项8和为（ ）A ． 21 B． 21C． 21122210D ． 22421112. （ 2008 浙江）已知 a n a 2， a 51a 2 a 3a n a n 1 =是等比数列， 2，则 a 1a 24（ ）（ 14 n ）（ 12 n ）C. 32（1 4n） D.32（ 1 2 n）33二、填空题：三、 13.（ 2009 浙江理）设等比数列{ a n}的公比q 1S4．，前 n 项和为 S n，则2a414. （ 2009 全国卷Ⅱ文）设等比数列{ a n } 的前 n 项和为s n。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

《等差、等比数列》专项练习题、选择题：1已知等差数列｛a n ｝中，a i =l, d=1，则该数列前9项和S ）等于（ ）A.55B.45C.35D.252.已知等差数列｛an ｝的公差为正数，且 a 3 • a ?=— 12, a 4+a 6=— 4，贝U S 20为（）A. 180 B .— 180 C. 90D.— 903. 已知等差数列｛a n ｝中,a 2+a s =8,则该数列前9项和S 等于（）A.18B.27C.36D.451，则数列b n 的前n 项和T na *a n 134. ______________________________________________ 在等比数歹U ｛ a n ｝中，已知 a 1= — , a 4=12，贝U q= ___________________________________________________ ____ , a n = _______ _______ .25. ________________________________________________________________________ 在等比数列｛ a n ｝中，a n > 0,且a n + 2=a n + a n +1,则该数列的公比 q= ___________________________________________ __ .三、解答题：S 、1.设｛ a n ｝为等差数列，S 为｛ a n ｝的前n 项和，7, 3=75,已知F 为数列｛ - ｝的前n 项数，求T n .2.已知数列 a n 是等差数列，其前n 项和为S n , a 3 6$ 12 .1 .1 或—1 亠1 A .1 B . —C D . — 1 或—225. 在等比数列｛a n ｝中，如果 a 6=6, a 9=9，那么a 3等于( )316A .4B 一C —D . 2296. 若两数的等差中项为 6, 等比中项为5, 则以这两数为两根的 兀一次方程为（ ） 若两数的等差中项为A . .x 2— 6x + 25=0B .x 2+ 12x + 25=0C. x 2+ 6x — 25=0D.x 2— 12x + 25=04.等比数列｛ a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21,则公比q 的值为 （）7.已知等比数列 a n 中，公比 q 2，且 a 1 a ? a 3 L a 3°&等比数列的前 n 项和 S n =k 3n + 1,则 k 的值为()A .全体实数B . — 1C . 1D . 3、填空题：1 .等差数列 a n 2的前n 项和S n n3n .则此数列的公差 d2.数列{ a n } , { b n }满足 a n b n = 1, a n = n 2 + 3n + 2，则｛ b n ｝的前10次之和为____________ 30 2 ，那么a 3 a 6 a 9 L a 3°等于 A . 210 B . 220 C . 216D . 215 3•若a n 是首项为1，公差为2的等差数列，b n23. 已知数列满足 a 1=1, a n + 1=2a n + 1(n € N*)(1) （2）求｛a n ｝的通项公式.4. 在等比数列｛ a n ｝中，a 1 + a n =66, a 2 a n -1=128,且前n 项和S n =126，求n 及公比q .（l ）求数列 a n 的通项公式；（2）求.S 1 S 2求证数列｛a n + 1｝是等比数列；参考答案9 8 、选择题：1.B提示：s9 9 1 ---------------- 12a4+a6=a3+a7=—4 与452.A提示：由等差数列性质，--37>33 37=2 , 33=—6 ,从而得a1=—10, d=2, $0=180.2 ______________________a3 • a7=—12联立，即a3, a?是方程x +4x —12=0的两根，又公差d>0,3.C提示：在等差数列｛a n｝中, 则该数列前9项和S=9（ai知=36CAD B B二、填空题: 1 •答案：2提示: a1 S1 4, a1 a2 S2 22 3 210 ,32提示:1bn= a n = (n+ 1) ( n+ 2)1•- S o= b1+ b+…b n=—23•答案:6n 9提示: an2n 1,b nT n 4.2,6n 9 3 2n—215.2三、解答题:1•解：设数列｛a n｝1n+ 11n+ 2(2n 1)(2n 3)1 12(2n 1 2n 3），用裂项求和法求得的公差为d,贝y S= n◎+ 2 n (n —1) d.78+ 21d= 7T S= 7, S5= 75,「. ,15a1 + 105d= 751 1=a1+ (n—1) d=—2+ a1 = —2d= 1S n• n-(n—1)S n+1n+ 1 •数列是等差数列，其首项为-2,公差为1,--T n= nn (n—1)-(—2)+ 2—2 9n —n.42.解：（1）设数列a n的公差为d,由题意得方程组a12d 63 23a1 d 12，解得a1 2d 2，•数列弘的通项公式为a n a1 (n 1)d 2n，即a n 2n .2/ 、n(a 〔 a n ) (2)v a n 2n S n- - n(n 1) • 21 1 1 1S n 1 22 3 n(n 1)a n 1 13.(1)证明由 a n +1 =2a n +1 得 a n +1 + 仁2(a n + 1)又 a n + 1 工 0 ••• =2 即｛ a n + 1｝为等比数列.a n 1⑵解析： 由(1)知 a n + 1=(a 1 + 1)q nr 即 a n =( a +1) q n 「1— 1=2 玄一1 -仁2n - 14•解析：T a 1a n =a 2a n -1=128，又 a 1 + a n =66,•- a 1、a n 是方程 x 2— 66x + 128=0 的两根，解方程得 X 1=2 , x 2=64, •- a 1=2, a n =64 或 a 1=64 , a n =2，显然1.a 1 a n q右 a 1=2, a n =64，由 一 -=126 得 2 — 64q=126 — 126q ,1 q•- q=2，由 a n =a 1q n 1 得 2n 1=32 ,•• n=6.1 若a 1=64 , a n =2，同理可求得 q= , n=6.21 综上所述，n 的值为6，公比q=2或一.21S 1。

等差数列与等比数列十大例题例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ） 求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例3、 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21－=q 5分 （Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a从而））（（）（））（（n nn 211382112114--=----=S 10分 例 4、已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

等差等比数列综合应用【典型例题】［例1］一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列, 等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为a d,a,a d(a d) (a d) (a 4)2(a d)(a 2d 32) a2 a d2 2 a2 8a 16(1)(a2d2) 232(a d) a (2)2a 8a 16 32 32d 2 a2 3a 4d 0代入（1)d 2 8 1-(4d 2)3163d； 2 32d 64 0 (3d 8)(d 8) 08 26① d 8 a 10 ②d a3 9此三数为2、16、18或-、10、509 9 9｛b n｝所有项和为20，求:（1）求a n,b n2印3d 768a n 6n 399 209 10不等式2声)n11 m(a m 1a2m )160如果再把这个［例2］等差数列｛a n｝中，印393 ,a2 a3 768 ,{g}是等比数列，q (0,1) ,b1 2 ,（2）解不等式•步a2m 160b2101m(6m 393 12m 399)16 18 (m 1)2n 1 n 1 2n2 23 2 29m 2 396m 16 18 (m 1) 02m 12m32 0T n 中共2n 1个数，依次成等差数列2n13 22n 2 3 2n 2(m 4)(1 m 8)0 m{4 ,5,6,7 ,8}[例 3] { a n }等 差，{b n }，等比,a 1b 1 0 , a 2b 2 0 , a 1解:a 2b 2 a 1 da 1q• d a1(q 1)b n a nn 1a 1 (n 1)dad(q n1 1) (n 1)(qa h [(q 1)(q n2n 3q1) (n 1)(q1)]a h (q 1)[(q n21) (n1)]a h (q 1)[(q n2 1) / n(q 3 1) ' (q 1) (1 1)]*q (0,1) q 1 0i q n 1 0 • * 0q (1,)q1 0nq1 0 •* 01)]a 2,求证：a nb n (n 3)[例4](1)求 T n ； (2) S n T n ，求 Sn 。

等差、等比数列的性质及配套练习（优秀范文五篇）第一篇：等差、等比数列的性质及配套练习◇等差数列与等比数列的性质◇等定义式：an 等差数列的概念-an-1=d(d为常数，n≥2,n∈N*)，或an+1-an=d(n∈N*).递推式：an+1=an+d(n∈N*).⎛⎝a+b⎫⎪.2⎭等差中项：任何两个数a,b都有且仅有一个等差中项A A=通项公式：an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d（广义）.特征：an 前n项和：Sn==kn+b，其中k=d,b=a1-d.(a1+an)nn(n-1)n(n-1)=na1+d=nan-d.222特征：Sn=An2+Bn，其中A=dd,B=a1-.22注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n项和的特征，都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式.2.对任何数列，都有an=⎨n=1,⎧S1,⎩Sn-Sn-1,n≥2,n∈N*.等差数列的性质1.若{an}为等差数列，则an=am+(n-m)d(m,n∈N*).2.若{an}为等差数列，且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.3.若{an}为等差数列，则S2n-1=an⋅(2n-1)=中间项⨯项数.S奇n+1=4.若等差数列{an}共有2n+1项，则①S奇-S偶=a中；②.S偶nS偶an+1=5.若等差数列{an}共有2n项，则①S偶-S奇=nd；②.S奇an6.若{an}为各项均不为零的等差数列，前n项和为Sn,，则anS2m-1.=2n-1⋅amS2m-12n-1anS2n-1.=bnT2n-17.若{an}、{bn}均为各项非零的等差数列，前n项和分别为Sn,Tn，则8.在等差数列{an}中，若am=n,an=m(m≠n)，则am+n=0.9.在等差数列{an}中，若Sm=n,Sn=m(m≠n)，则Sm+n=-(m+n).10.在等差数列{an}中，若Sm=Sn(m≠n)，则Sm+n=0.11.若{an}为等差数列，则{kan+b}仍为等差数列，其中k和b是常数.12.若{an}、{bn}为等差数列，则{an+bn}仍为等差数列.13.若{an}为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若{an}为等差数列，{bn}为正整数等差数列，则{a}为等差数列.bn14.Sn为数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列⇔⎨⎧Sn⎫⎬为等差数列.⎩n⎭15.若{an}为等差数列，则{an}依次k项和仍为等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k.…仍为等差数列.等比数列等比数列的概念an+1an=q(n∈N*).=q(常数q≠0,n≥2,n∈N*)，或定义式：anan-1递推式：an+1=anq(n∈N*).等比中项：两个同号的实数a,b才有但有两个等比中项GG=±ab.通项公式：an()=a1qn-1，an=amqn-m（广义）.前n项和：当q=1时，Sn=na1，a1(1-qn)a1-a1qna1-an+1an(1-q-n)当q≠1时，Sn=.===-11-q1-q1-q1-q特征：Sn=A(qn-1)(A≠0).注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.等比数列的性质1.若{an}为等比数列，则an=amqn-m(m,n∈N*).2.若{an}为等比数列，且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则aman=apaq.3.若{an}为等比数列，则{kan}仍为等比数列，其中k是非零常数.．．4.若{an}为等比数列，则当(an)恒有意义时(an)仍为等比数列，其中k是任意常数.k{k}5.若{an}、{bn}为等比数列，则{anbn}、⎨⎧an⎫⎬仍为等比数列.⎩bn⎭6.若{an}为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若{an}为等比数列，{bn}为正整数等差数列，则{a}为等比数列.bn7.Tn为正项数列{an}的前n项积，则{an}为等比数列⇔}为等比数列.n8.若Sk为等比数列{an}的前n项和，且Sk≠0，则{an}依次k项和仍为等比数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k.…仍为等比数列.注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入.等差数列与等比数列的联系1.非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。

高考数学复习等差与等比数列提分专练（含答案）数列是一种特别的函数。

其特别性主要表此刻其定义域和值域上，以下是高考数学复习等差与等比数列提分专练，请考生仔细做题。

一、选择题1.已知等差数列 {an} 的公差和等比数列{bn} 的公比都是d(d1)，且 a1=b1， a4=b4，a10=b10，则 a1 和 d 的值分别为 () A.1 B.-2C.2D.-1答案： D 解题思路：由得由两式得a1=，代入式中， +3d=d3 ，化简得 d9-3d3+2=0 ，即(d3-1)(d6+d3-2)=0 ，d1，由 d6+d3-2=0 ，得 d=-， a1=-d=.2.已知数列 {an} 知足 an+2-an+1=an+1-an， nN* ，且 a5=.若函数 f(x)=sin 2x+2cos2 ，记 yn=f(an) ，则数列 {yn} 的前 9 项和为()A.0B.-9C.9D.1答案： C 命题立意：此题考察等差数列的定义与性质及引诱公式的应用，考察综合剖析能力，难度中等.解题思路：据已知得2an+1=an+an+2，即数列 {an} 为等差数列，又 f(x)=sin 2x+2=sin 2x+1+cos x ，由于a1+a9=a2+a8==2a5=，故 cos a1+cos a9=cos a2+cos a8==cos a5=0，又 2a1+2a9=2a2+2a8==4a5=2，故 sin 2a1+sin 2a9=sin 2a2+sin 2a8==sin 2a5=0 ，故数列 {yn} 的前 9 项之和为9，故选 C.3.已知数列 {an} 知足 an+1=an-an-1(n2) ，a1=1， a2=3，记Sn=a1+a2++an，则以下结论正确的选项是()A.a100=-1 ， S100=5B.a100=-3 ， S100=5C.a100=-3， S100=2D.a100=-1 ， S100=2答案： A 命题立意：此题考察数列的性质与乞降，难度中等.解题思路：依题意，得an+2=an+1-an=-an-1 ，即 an+3=-an，an+6=-an+3=an，数列 {an} 的项是以 6 为周期重复性地出现，且 a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=0; 注意到100=616+4 ，所以S100=160+a1+a2+a3+a4=(a1+a4)+a2+a3=a2+(a2-a1)=2a2-a1= 5， a100=a4=-a1=-1，应选 A.4.已知等差数列 {an} 的公差 d0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a1=1， Sn 是数列 {an} 前 n 项的和，则 (nN*) 的最小值为 () A.4 B.3C.2-2D.答案： A 命题立意：此题考察等差数列的通项公式与乞降公式以及均值不等式的应用，难度中等.解题思路：据题意由a1， a3，a13 成等比数列可得(1+2d)2=1+12d ，解得 d=2，故 an=2n-1，Sn=n2，所以====(n+1)+-2 ，依据均值不等式，知=(n+1)+-22-2=4 ，当 n=2时获得最小值4，应选 A.5.设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 -amA.Sm0 ，且 Sm+10B.Sm0，且 Sm+10C.Sm0，且 Sm+10D.Sm0 ，且 Sm+10答案： A 命题立意：此题考察等差数列的性质及前n 项和公式的应用，难度中等.解题思路：据已知可得a1+am0， a1+am+10，又 Sm=0，Sm+1=0，应选 A.6.在数列 {an} 中， an+1=can(c 为非零常数 )，前 n 项和为Sn=3n+k ，则实数 k 为 ()A.-1B.0C.1D.2答案： A 命题立意：此题考察等比数列的定义、数列的前n 项和公式与通项间的关系，难度中等.解题思路：依题意得，数列{an} 是等比数列， a1=3+k，a2=S2-S1=6， a3=S3-S2=18,62=18(3+k) ，解得 k=-1 ，应选 A.二、填空题7.已知数列 {an} 的首项为 2，数列 {bn} 为等差数列且bn=an+1-an(nN*). 若 b2=-2 ， b7=8，则 a8=________.答案： 16 解题思路：{bn} 为等差数列，且b2=-2， b7=8，设其公差为d，b7-b2=5d，即 8+2=5d. d=2.bn=-2+(n-2)2=2n-6.an+1-an=2n-6.由 a2-a1=21-6，a3-a2=22-6，， an-an-1=2(n-1)-6 ，累加得：an-a1=2(1+2++n-1)-6(n-1)=n2-7n+6 ，an=n2-7n+8. a8=16.8.公差不为 0 的等差数列 {an} 的部分项 ak1，ak2，ak3，组成等比数列，且 k1=1 ， k2=2 ， k3=6 ，则 k4=________.答案： 22 命题立意：此题考察等差与等比数列的定义与通项公式的应用，难度中等.解题思路：据题意知等差数列的a1，a2，a6 成等比数列，设等差数列的公差为d，则有 (a1+d)2=a1(a1+5d) ，解得 d=3a1，故 a2=4a1，a6=16a1ak4=64a1=a1+(k4-1)(3a1) ，解得 k4=22.9.已知数列 {an} 知足 a1=33，an+1-an=2n，则的最小值为________.答案：命题立意：此题主要考察累加法，难度中等.解题思路：由于a1=33， an+1-an=2n，故利用累加法表示.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1 ，那么可知 ==n+-1 ，借助于函数的性质可知当 n=6 时，获得最小值为 .10.已知数列 {an} 知足 a1=1， an=(n2) ，则数列 {an} 的通项公式为 an=________.答案：命题立意：此题主要考察等差数列的定义与通项公式等知识，意在考察考生的察看能力、化归与转变能力、运算能力 .解题思路：依题意，得-=(n2) ，所以数列是以 1 为首项、为公差的等差数列，于是有=1+(n-1) ， an=.三、解答题11.已知 Sn 是正数数列 {an} 的前 n 项和， S， S，， S，是以 3 为首项，以1 为公差的等差数列;数列{bn} 为无量等比数列，其前四项之和为 120，第二项与第四项之和为 90.(1)求 an， bn;(2)从数列中可否挑出独一的无量等比数列，使它的各项和等于?若能的话，请写出这个数列的第一项和公比;若不可以的话，请说明原因 .分析： (1){S} 是以 3 为首项，以 1 为公差的等差数列，所以 S=3+(n-1)=n+2.由于 an0，所以 Sn=(nN*).当n2 时，an=Sn-Sn-1=- ，又 a1=S1=，所以 an=(nN*).设{bn} 的首项为b1，公比为 q，则有所以即 bn=3n(nN*).(2)=n ，设能够挑出一个无量等比数列{cn} ，首项为 c1=p ，公比为 k(p，kN*) ，它的各项和等于=，则有 =，所以 p=.当 pk 时， 3p-3p-k=8 ，即 3p-k(3k-1)=8 ，由于 p， kN* ，所以只有当p-k=0 ， k=2，即 p=k=2 时，数列{cn} 的各项和为 .当 pp，右侧含有 3 的因数，而左侧非 3 的倍数，故不存在p，kN* ，所以存在独一的等比数列{cn} ，首项为，公比为，使它的各项和等于.12.已知数列 {an} 是公比大于 1 的等比数列，对随意的nN* ，有 an+1=a1+a2++an-1+an+.(1)求数列 {an} 的通项公式 ;(2)设数列 {bn} 知足： bn=(log3 a1+log3 a2++log3 an+log3t)(nN*) ，若 {bn} 为等差数列，务实数t 的值及数列 {bn} 的通项公式 .分析： (1) 解法一：设 {an} 的公比为 q，则由题设，得即由-，得 a1q2-a1q=-a1+a1q，即 2a1q2-7a1q+3a1=0.a10， 2q2-7q+3=0 ，解得 q=( 舍去 )或 q=3.将 q=3 代入，得 a1=1，an=3n-1.解法二：设 {an} 的公比为q，则由已知，得a1qn=+a1qn-1+ ，即 a1qn=qn-+ ，比较系数得解得 (舍去 )或 an=3n-1.(2)由 (1)，得bn=(log3 30+log3 31++log3 3n-1+log3 t)=[1+2++(n-1)+log3 t]=+log3 t.{bn} 为等差数列，bn+1-bn 等于一个与n 没关的常数，而 bn+1-bn=-+log3 t=-log3 t ，log3 t=0 ， t=1 ，此时 bn=.13.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=-an-n-1+2(nN*) ，数列 {bn} 知足 bn=2nan.(1)求证数列 {bn} 是等差数列，并求数列{an} 的通项公式 ;(2)设 cn=log2 ，数列的前 n 项和为 Tn，求知足 Tn(nN*) 的 n 的最大值 .分析： (1) 明：在Sn=-an-n-1+2 中，令 n=1，可得 S1=-a1-1+2=a1，得 a1=.当 n2 ， Sn-1=-an-1-n-2+2 ，an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1 ，即2an=an-1+n-1.2nan=2n-1an-1+1.bn=2nan， bn=bn-1+1.又 b1=2a1=1 ， {bn} 是以 1 首， 1 公差的等差数列 .于是 bn=1+(n-1)1=n ， an=.(2) cn=log2=log22n=n ，Tn=+++=1+--.由 Tn，得 1+-- ，即 +， f(n)=+ 减，f(3)= ， f(4)= ， f(5)= ，n 的最大 4.一般来，“教”观点之形成了十分漫的史。

专题：等差（等比）数列的证明1.已知数列{}n a 中，15a =且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）.（Ⅰ）证明：数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .2. 已知数列{}n a 中，12a=且1230n n n a a +-+-=（2n ≥且*n ∈N ）.证明：数列{}2n n a +为等差数列；3. 已知数列{}n a 中，14a=且12250n n a a n +---=（2n ≥且*n ∈N ）.证明：数列{}21n a n --为等比数列；4．数列.23,5,2}{1221n n n n a a a a a a -===++满足（1）求证：数列}{1n n a a -+是等比数列；（2）求数列{n a }的通项公式；5.已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n a 是12nS和的等差中项. 求数列{}na 的通项公式；6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n .(1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； 7.设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*N n ∈，都有23333231n nSa a a a =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，其中nS为数列的前n 项和.（I ）求证：;22n n na S a -=（II ）求数列{}n a 的通项公式；8.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)， (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列；（2）.证明数列{a n2n －2}是等差数列(3)设c n ＝a n3n －1，求证：{c n }是等比数列．9.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足 2S n ＝a n ＋1.求证：{a n }是等差数列．10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2(n －1)(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列,并求{}n a 的通项公式；(2)求数列{1a n ·a n+1}的前n 项和T n ，11.设n S 是数列{}n a （*N n ∈）的前n 项和，已知41=a ，n n n S a 31+=+，设n n nS b 3-=.（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log 22+-=nn n b nb c ，求数列{}n c 的前n 项和n T .12.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋． 问：数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论；13.已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程214450x x -+=的两根，数列{b n }的前n 项的和为S n ，且S n =12nb - (n ∈N *),C n =n a ·n b 。