2.3 均值、方差、自相关函数的估计

统计与预测的基本方法统计与预测的基本方法是中小学数学课程中的一部分，它涉及到数据的收集、整理、分析和解释。

以下是统计与预测的基本知识点：1.数据收集：数据收集是统计与预测的第一步，可以通过调查、观察、实验等方式获取。

收集数据时要注意数据的真实性、完整性和可靠性。

2.数据整理：数据整理包括数据的清洗、排序和分类。

常用的整理方法有制作表格、绘制图表等，以便更好地理解和分析数据。

3.数据分析：数据分析是对数据进行解释和推理的过程。

常用的分析方法有描述性统计、推断性统计和概率论等。

描述性统计包括计算均值、中位数、众数等，推断性统计包括假设检验和置信区间等。

4.数据预测：数据预测是根据已有的数据来估计未来的趋势或结果。

常用的预测方法有趋势分析、时间序列分析和回归分析等。

5.概率论：概率论是统计与预测的基础，它研究随机事件的可能性。

常用的概率计算方法有排列组合、条件概率和贝叶斯定理等。

6.假设检验：假设检验是用来判断样本数据是否支持某个假设的方法。

常用的假设检验方法有t检验、卡方检验和F检验等。

7.置信区间：置信区间是用来估计总体参数的一个范围。

常用的置信区间计算方法有t分布、正态分布和卡方分布等。

8.相关性分析：相关性分析是用来衡量两个变量之间关系的强度和方向。

常用的相关性分析方法有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数等。

9.线性回归：线性回归是用来建立自变量和因变量之间线性关系的模型。

常用的线性回归方法有最小二乘法和最大似然估计等。

10.时间序列分析：时间序列分析是用来研究时间上的数据变化的规律。

常用的时间序列分析方法有平稳性检验、自相关函数和滑动平均模型等。

11.指数平滑：指数平滑是一种用于时间序列预测的方法，它根据历史数据的权重来预测未来的趋势。

12.决策树：决策树是一种用于分类和回归的方法，它通过树状结构来表示不同特征的组合，并预测相应的结果。

13.聚类分析：聚类分析是一种无监督学习方法，它将数据分为若干个类别，以发现数据中的潜在模式和结构。

矩估计的应用场景
矩估计是一种常用的参数估计方法，它的应用场景非常广泛。

在实际应用中，矩估计可以用来估计各种统计量，如均值、方差、协方差等。

下面我们将从几个方面来介绍矩估计的应用场景。

1. 统计分析
在统计分析中，矩估计可以用来估计样本的均值、方差、偏度、峰度等统计量。

例如，我们可以使用矩估计来估计某个产品的平均寿命、标准差、偏度和峰度等参数，从而对产品的质量进行评估。

2. 金融风险管理
在金融风险管理中，矩估计可以用来估计股票、债券等金融资产的风险和收益。

例如，我们可以使用矩估计来估计某只股票的平均收益率、标准差和偏度等参数，从而对该股票的风险进行评估。

3. 信号处理
在信号处理中，矩估计可以用来估计信号的均值、方差、自相关函数、互相关函数等参数。

例如，我们可以使用矩估计来估计某个信号的平均功率、自相关函数和互相关函数等参数，从而对信号的特性进行分析。

4. 机器学习
在机器学习中，矩估计可以用来估计模型的参数。

例如，在线性回归模型中，我们可以使用矩估计来估计回归系数和截距等参数，从而对模型进行训练和预测。

矩估计是一种非常实用的参数估计方法，它的应用场景非常广泛。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的矩估计方法，从而得到准确的参数估计结果。

6. 相关函数的估计（循环相关）6.1. 相关函数与协方差函数 6.1.1. 自相关函数和自协方差函数1、 自相关和自协方差函数的定义相关函数是随机信号的二阶统计特征，它表示随机信号不同时刻取值的关联程度。

设随机信号)(t x 在时刻j i t t ,的取值是j i x x ,，则自相关函数的定义为ji j i j i j iNn n jn iN j i j i x dxdx t t x x f x xx xNx x E t t R ⎰⎰∑====∞→),;,(1lim ][),(1)()(式中，上角标“（n ）”是样本的序号。

自协方差函数的定义与自相关函数的定义相似，只是先要减掉样本的均值函数再求乘积的数学期望。

亦即：ji j i j i x j x iNn x n jx n iN x j x i j i x dxdx t t x x f m x m xm x m xNm x m x E t t C j i j i j i ⎰⎰∑--=--=--==∞→),;,())(())((1lim )])([(),(1)()(当过程平稳时，);,(),;,(τj i j i j i x x f t t x x f =。

这时自相关函数和自协方差函数只是i j t t -=τ的函数，与j i t t ,的具体取值无关，因此可以记作)(τx R 和)(τx C 。

对于平稳且各态历经的随机信号，又可以取单一样本从时间意义上来求这些统计特性：时间自相关函数为：⎰+-∞→+=22)()(1lim)(TT T x dt t x t x TR ττ时间自协方差函数为：⎰+-∞→-+-=22])(][)([1lim)(TT x x T x dt m t x m t x TC ττ在信号处理过程中，有时会人为地引入复数信号。

此时相应的定义变成][),(*j i j i x x x E t t R =)]()[(),(*j i x j x i j i x m x m x E t t C --=式中，上角标*代表取共轭。

应⽤时间序列分析习题标准答案第⼆章习题答案2.1（1）⾮平稳（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本⾃相关图2.2（1）⾮平稳，时序图如下（2）-（3）样本⾃相关系数及⾃相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本⾃相关图2.3（1）⾃相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118（2）平稳序列（3）⽩噪声序列2.4，序列LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。

显著性⽔平=0.05不能视为纯随机序列。

2.5（1）时序图与样本⾃相关图如下（2）⾮平稳（3）⾮纯随机 2.6（1）平稳，⾮纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)）（2）差分序列平稳，⾮纯随机第三章习题答案3.1 解：1()0.7()()t t t E x E x E ε-=?+0)()7.01(=-t x E 0)(=t x E t t x ε=-）B 7.01(t t t B B B x εε)7.07.01()7.01(221 +++=-=- 229608.149.011)(εεσσ=-=t x Var49.00212==ρφρ 022=φ3.2 解：对于AR （2）模型：=+=+==+=+=-3.05.02110211212112011φρφρφρφρρφφρφρφρ解得：==15/115/721φφ3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：0)(=t x E原模型可变为：t t t t x x x ε+-=--2115.08.02212122)1)(1)(1(1)(σφφφφφφ-+--+-=t x Var2)15.08.01)(15.08.01)(15.01()15.01(σ+++--+==1.98232σ=+==+==-=2209.04066.06957.0)1/(1221302112211ρφρφρρφρφρφφρ ??=-====015.06957.033222111φφφρφ 3.4 解：原模型可变形为：t t x cB B ε=--)1(2由其平稳域判别条件知：当1||2<φ，112<+φφ且112<-φφ时，模型平稳。

实验一 随机序列的产生及数字特征估计实验目的1. 学习和掌握随机数的产生方法。

2. 实现随机序列的数字特征估计。

实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。

进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。

伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。

伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。

(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布，即U(0,1)。

实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：Ny x N ky y y nn n n ===-) (mod ,110 （1.1）序列{}n x 为产生的(0,1)均匀分布随机数。

下面给出了（1.1）式的3组常用参数：① 1010=N ，7=k ，周期7105⨯≈；②（IBM 随机数发生器）312=N ，3216+=k ，周期8105⨯≈； ③（ran0）1231-=N ，57=k ，周期9102⨯≈；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理1.1 若随机变量X 具有连续分布函数)(x F X ，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X X -= （1.2）由这一定理可知，分布函数为)(x F X 的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按（1.2）式进行变换得到。

2.MATLAB 中产生随机序列的函数 （1）(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。

（2）正态分布的随机序列 函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。

误差理论与数据处理_北京航空航天大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.平稳随机信号自相关函数【图片】在【图片】情况下最大，说明在这种情况下相关性最强。

参考答案:正确2.各态历经平稳随机过程特征值的计算方法是（）。

参考答案:时间平均法3.随机性数据可以通过明确的数学表达式来描述。

参考答案:错误4.方法误差属于（）参考答案:系统误差5.测量精度评价术语正确度表示（）参考答案:测量值与真实值的接近程度6.下列表示测量值的为（）参考答案:3.5V7.各态历经随机平稳随机过程的特征参数求取方法可以用（）参考答案:以上三种方法都可以8.随机过程在某个特定时刻的形式为（）参考答案:随机变量9.平稳随机过程的自相关函数【图片】满足（）参考答案:与t无关10.下列哪个信号不是平稳信号（）参考答案:以上三项都是平稳信号11.方法误差属于参考答案:系统误差12.提高测量数据的准确性可以提高提高回归方程的稳定性。

参考答案:正确13.为提高回归方程的稳定性，以下哪个方法是不可取的。

（）参考答案:减小自变量数据的取值范围14.为获取一个或多个未知量的最可靠值，根据最小二乘原理应从对同一量的多次观测结果中求出，一般要求测量次数总要（）未知参数的数目参考答案:大于15.用算术平均值作为被测量的最佳估计值是为了减少（）的影响参考答案:随机误差16.最小二乘处法所确定的估计量的精度取决于（）和（）。

参考答案:测量数据的精度_待估量的函数关系17.测量某导线在一定温度x下的电阻值y，如下表所示：【图片】则利用一元线性回归方程，该导线电阻与温度之间拟合直线的斜率近似为（）（4位有效数字）。

参考答案:0.282418.残差平方和指的是所有观测点相对于回归直线的残余误差的平方和。

参考答案:正确19.描述两个变量之间关系的最简单的回归模型称为一元线性回归模型。

参考答案:正确20.不等精度测量最小二乘原理的条件为误差平方和最小。

时间序列是指按照一定的时间顺序排列的一组数据或观测值，通常是在连续的时间点上进行收集的。

时间序列分析是研究这些时间序列数据的性质、规律和预测方法的统计学方法。

在时间序列分析中，序列的均值和方差是两个非常重要的统计量，它们可以帮助我们了解时间序列数据的集中趋势和离散程度。

1. 序列的均值序列的均值是一组数据的平均值，它是描述这组数据集中趋势的统计量。

在时间序列分析中，我们通常关心的是序列的期望值，也就是均值。

计算时间序列的均值可以帮助我们了解数据的总体水平，从而更好地理解数据的发展趋势。

对于给定的时间序列数据，计算其均值可以采用简单平均法，即将所有数据相加然后除以数据的个数。

另一种方法是加权平均法，通过为每个数据点分配一个权重来计算加权平均值，使得某些数据点对均值的贡献更大。

在时间序列分析中，均值可以帮助我们判断数据的总体水平是否发生了变化，从而帮助我们进行预测和决策。

如果时间序列数据的均值在一段时间内呈现上升趋势，我们可以认为数据整体的水平在上升。

反之，如果均值呈现下降趋势，我们可以认为数据整体的水平在下降。

2. 序列的方差序列的方差是一组数据的离散程度的度量，它可以告诉我们数据集中的数据点离均值的距离。

在时间序列分析中，方差通常用来衡量数据的波动性或不确定性。

方差越大，数据的波动性就越大，反之则波动性较小。

计算时间序列数据的方差需要先计算数据点与均值的偏差，然后将所有偏差的平方求和并除以数据的个数。

方差的计算过程中，偏差的平方使得距离均值较远的数据点对方差的贡献更大，从而更好地反映了数据的波动性。

在时间序列分析中，方差可以帮助我们了解数据的波动性以及不确定性。

如果时间序列数据的方差较大，我们可以认为数据的波动性较大，风险也较高。

相反，如果方差较小，数据的波动性和风险则相对较低。

3. 时间序列的均值和方差的应用时间序列的均值和方差在金融、经济、气象等领域有着广泛的应用。

在金融领域，股票价格的时间序列数据的均值和方差可以帮助投资者了解股票价格的总体水平和波动性，从而更好地决策。

一.时间序列分析的相关概念♦随机过程：若对于每一个特定的t ∈T ，X(t)是一个随机变量，则称这一族无穷多个随机变量{X(t),t ∈T}是一个随机过程。

♦纯随机过程：随机过程X(t)(t=1,2,…)，如果是由一个不相关的随机变量序列构成的，即对于所有s ≠t ，随机变量X t 和X s 的协方差均为零，则称其为纯随机过程。

♦♦♦♦独立增量随机过程：任意两相邻时刻上的随机变量之差是相互独立的，则称其为独立增量随机过程。

二阶矩过程：若随机过程{X(t),t ∈T}，对每个t ∈T ，X(t)的均值和方差存在，则称其为二阶矩过程。

正态过程：若{X(t)}的有限维分布都是正态分布，则称{X(t)}为正态随机过程。

平稳过程(严平稳)：如果对于时间t 的任意n 个值t 1,t 2,…,t n 和任意实数 ，随机过程X(t)的n 维分布函数满足关系式F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1,t 2,…,t n ) = F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1+ε,t 2+ε,…,t n+ε)，则称X(t)为平稳过程。

即是统计特性不随时间的平移而变化的过程。

♦宽平稳：若随机过程{X(t),t ∈T}的均值和协方差存在，且满足①EX t ∈a,∀t ∈T ；②E[X t+τ-a][X t -a]=R(τ),∀t,t+τ∈T ，则称{X(t),t ∈T}为宽平稳随机过程，R(τ)为X(t)的协方差函数。

♦非平稳随机过程：不具有平稳性的过程就是非平稳过程。

即序列均值或协方差与时间有关时，就可以认为是非平稳的。

♦♦自相关：指时间序列观察资料互相之间的依存关系。

动态性(记忆性)：指系统现在的行为与其历史行为的相关性。

如果某输入对系统后继n 个时刻的行为都有影响，就说该系统具有n 阶动态性。

二.刻画时间序列统计特性的各种数字特征的定义、性质等♦均值函数其中，F t (x)为随机序列X t 的分布密度函数。

9.2.3 自相关函数和自协方差函数上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性，不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。

例如，随机信号X(t) 分别在t 1，t 2时刻的随机取值X(t1)，X(t2) 之间的关联程度如何，这种关联称为自关联。

同样，我们也要研究两个随机信号X(t)和Y(t)数值之间的关联程度，这种关联性称为X 与Y 之间的互关联（下一小节介绍）。

1．自相关函数(Autocorrelation function)自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t 1，t 2，的取值之间的相关程度。

定义6 实随机信号X(t)的自相关函数定义为（9.2.7）由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设, 则有。

所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t 的函数，记为R xx (t).2．自协方差函数(Autocovariance function)自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t 1，t 2，的取值之间的二阶混合中心矩，用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对与均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。

定义7 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为（9.2.8）当 时，有 。

显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。

对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔t 的函数，记为C xx (t),且有:(9.2.9) 当均值 时，有 。

当随机过程X(t)的均值为常数，相关函数只与时间间隔有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。

它是由一维、二维数字特征定义的。

一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。

3．平稳随机信号自相关函数的性质设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为，自协方差函数，则有如下性质：(1) (9.2.10)(9.2.11)即时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差。

(2) (9.2.12)即当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数。

第二章第一节信号特征检测一、填空题（10）1.常用的滤波器有、低通、带通、四种。

2.加速度传感器，特别是压电式加速度传感器，在及的振动监测与诊断中应用十分广泛。

3.传感器是感受物体运动并将物体的运动转换成的一种灵敏的换能器件。

4.振动传感器主要有、速度传感器、三种。

5.把模拟信号变为数字信号，是由转换器完成的。

它主要包括和两个环节。

6.采样定理的定义是：。

采样时，如果不满足采样定理的条件，会出现频率现象。

7.电气控制电路主要故障类型、、。

8.利用对故障进行诊断，是设备故障诊断方法中最有效、最常用的方法。

9.振动信号频率分析的数学基础是变换；在工程实践中，常运用快速傅里叶变换的原理制成，这是故障诊断的有力工具。

10．设备故障的评定标准常用的有3种判断标准，即、相对判断标准以及类比判断标准。

可用制定相对判断标准。

二、选择题（10）1.（）在旋转机械及往复机械的振动监测与诊断中应用最广泛。

A位移探测器B速度传感器C加速度计D计数器2.当仅需要拾取低频信号时，采用（）滤波器。

A高通B低通C带通D带阻3.（）传感器，在旋转机械及往复机械的振动监测与诊断中应用十分广泛。

A压电式加速度B位移传感器C速度传感器 D 以上都不对4.数据采集、谱分析、数据分析、动平衡等操作可用（）实现。

A传感器B数据采集器C声级计D滤波器5.（）是数据采集器的重要观测组成部分。

A. 滤波器B. 压电式传感器C数据采集器D数据分析仪6.传感器是感受物体运动并将物体的运动转换成模拟（）的一种灵敏的换能器件。

A力信号B声信号C光信号 D. 电信号7.在对（）进行电气故障诊断时，传感器应尽可能径向安装在电机的外壳上。

A单相感应电机B三相感应电机C二相感应电机D四相感应电机8.从理论上讲，转速升高1倍,则不平衡产生的振动幅值增大（）倍。

A1 B2 C3 D49.频谱仪是运用（）的原理制成的。

A绝对判断标准B阿基米德C毕达哥拉斯D快速傅立叶变换10.伺服控制上常用三环结构，三个环都是调节器，其中有的采用P调节器，有的采用PI 调节器，有的采用PID调节器。

自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型。

实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。

1、自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。

由第一节知随机过程{t x }中的每一个元素t x ，t = 1, 2, … 都是随机变量。

对于平稳的随机过程，其期望为常数，用μ表示，即()t E x μ=，1,2,t=随机过程的取值将以 μ 为中心上下变动。

平稳随机过程的方差也是一个常量2()t xVar x σ=，1,2,t=2x σ用来度量随机过程取值对其均值μ的离散程度。

相隔k 期的两个随机变量t x 与t k x -的协方差即滞后k 期的自协方差，定义为：(,)[()()]k t t k t t k Cov x x E x x γμμ--==--自协方差序列：k γ，0,1,2,k=称为随机过程{t x }的自协方差函数。

当k = 0 时，20()t x Var x γσ==。

自相关系数定义：k ρ=因为对于一个平稳过程有：2()()t t k x Var x Var x σ-==所以220(,)t t k k kk x x Cov x x γγρσσγ-===，当 k = 0 时，有01ρ=。

以滞后期k 为变量的自相关系数列k ρ（0,1,2,k =）称为自相关函数。

因为k k ρρ-=，即(,)t k t Cov x x -= (,)t t k Cov x x +，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。

2、自回归过程的自相关函数 （1）平稳AR(1)过程的自相关函数 AR(1) 过程：11t t t x x u φ-=+，|φ1| < 1。

已知()0t E x =（why?）。

用t k x -同乘上式两侧t x t k x -11t t k t t k x x u x φ---=+上式两侧同取期望：k γ11k φγ-=其中()0t t k E u x -=（why?）（由于x t = u t + φ1 u t -1 + φ12u t -2 +… ，所以x t-k = u t-k + φ1u t-k-1 + φ12 u t-k-2 +…，而u t 是白噪音与其t - k 期及以前各项都不相关）。

第一章 时域离散随机信号的分析1.1. 引言实际信号的四种形式：连续随机信号、时域离散随机信号、幅度离散随机信号和离散随机序列。

本书讨论的是离散随机序列()X n ，即幅度和时域都是离散的情况。

随机信号相比随机变量多了时间因素，时间固定即为随机变量。

随机序列就是随时间n 变化的随机变量序列。

1.2. 时域离散随机信号的统计描述 1.2.1概率描述1. 概率分布函数（离散情况）随机变量n X ，概率分布函数： ()()n X n n n F x ,n P X x =≤ （1）2. 概率密度函数（连续情况）若n X 连续，概率密度函数： ()()n n X X n nF x,n p x ,n x ∂=∂ （2）注意，以上两个表达式都是在固定时刻n 讨论，因此对于随机序列而言，其概率分布函数和概率密度函数都是关于n 的函数。

当讨论随机序列时，应当用二维及多维统计特性。

()()()()121212,,,121122,,,12,,,1212,1,,2,,,,,,,1,,2,,,,1,,2,,,NNNx XX N N N N x XX N x XX N NF x x x N P X x X x X x F x x x N p x x x N x x x =≤≤≤∂=∂∂∂1.2.2 数字特征1. 数学期望 ()()()()n xx n n m n E x n x n p x ,n dx ∞-∞==⎡⎤⎣⎦⎰ （3）2. 均方值与方差均方值： ()()22n n x n n E X x n p x ,n dx ∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰ （4）方差： ()()()2222xn x n x n E X m n E X m n σ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦（5）3. 相关函数和协方差函数自相关函数：()()n m**xxn m n m X,X n m n m r n,m E X X x x p x ,n,x ,m dx dx ∞∞-∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ （6）自协方差函数：()()()()**cov ,,n m nmn m n XmX xx XXX X E X m Xm r n m m m ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦=- （7）由此可进一步推出互相关函数和互协方差函数。