第三节特殊三角形
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2019·原创)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰直角三角形
2．(2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．(2018·兰州)如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，则∠2的度数是( )
A．50° B．60° C．65° D．70°
4．(2018·湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A. 20° B．35° C．40° D．70°
5．(2018·扬州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )
A. BC＝EC
B. EC＝BE
C. BC＝BE
D. AE＝EC
6．(2018·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC ＝2，则EF的长度为( )
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 3
7．(2018·淄博)如图，在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB 交AB 于点M ，过点M 作MN∥BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC.若AN ＝1，则BC 的长为( )
A ．4
B ．6
C ．4 3
D ．8
8．(2018·黄冈)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD ＝2，CE ＝5，则CD ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．2 3
9．(2017·海南)已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )条 A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10．(2018·陕西)如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为( )
A ．2 2
B ．3 2
C.4
3
2
D.83
2 11．(2018·成都)等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为________． 12.(2018·湘潭)如图，在等边三角形ABC 中，点D 是边BC 的中点，则∠BAD＝________．
13．(2018·永州)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则∠BDC ＝________．
14．(2017·绥化)在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交直线BC 于点D ，若AD ＝1
2BC ，则△ABC 的顶角的度数为________．
15．(2018·遵义)如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，BD ＝AD ＝AC ，E 为CD 的中点，若∠CAE＝16°，则∠B＝________度.
16．(2018·南宁)如图，在△ABC 中，∠A＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．
17．(2018·邵阳)如图所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝36°，将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处，若AE ＝3，则BC 的长是________.
18．(2018·曲靖)如图：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE ，CD ，如果DE ＝2.5，那么△ACD 的周长是________．
19．(2018·嘉兴) 已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E 、F ，且DE
＝DF.
求证：△ABC是等边三角形.
1．(2018·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
A. 2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．(2018·娄底)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF ＝________cm.
3．(2018·十堰)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为________．
4．(2018·天津)如图，在边长为4的等边△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，EF⊥AC 于点F ，G 为EF 的中点，连接DG ，则DG 的长为________．
5．(2018·武汉)如图．在△ABC 中，∠ACB＝60°，AC ＝1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长是____．
6．(2018·漳州质检)阅读：所谓勾股数就是满足方程x 2
＋y 2
＝z 2
的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数，我国古代数学专著《九章算术》一节，在世界上第一次给出该方程的解为：x ＝12(m 2－n 2
)，y ＝mn ，
z ＝12
(m 2＋n 2
)，其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数． 应用：当n ＝5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长．
参考答案
【基础训练】
1．B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11．80° 12.30° 13.75° 14.30°或90°或150° 15.37 16．3 17.3
18．18 【解析】∵D，E 分别是AB ，BC 的中点，∴AC＝2DE ＝5，AC∥DE，又AC 2
＋BC 2
＝52
＋122
＝169，AB 2
＝13
2
＝169，∴AC 2＋BC 2＝AB 2
，∴∠ACB＝90°，∵AC∥DE，∴∠DEB＝90°，又∵E 是BC 的中点，∴直线DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC＝BD ，∴△ACD 的周长＝AC ＋AD ＋CD ＝AC ＋AD ＋BD ＝AC ＋AB ＝18，故答案为：18. 19．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ， ∴∠AED＝∠CFD＝90°， ∵D 为AC 的中点，∴AD＝DC ，
在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩
⎪⎨⎪⎧AD ＝DC ，
DE ＝DF ，
∴Rt △ADE≌Rt △CDF，∴∠A ＝∠C， ∴BA＝BC ，∵AB＝AC ， ∴AB＝BC ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形． 【拔高训练】 1．B 2.6 3.16
3
4.
19
2
【解析】如解图，连接DE.∵D，E 分别为AB ，BC 的中点，∴CE＝12BC ＝12×4＝2，DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥AC，DE ＝12AC ＝1
2×4＝2，∴∠DEB ＝
∠C＝60°.∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，∠FEC＝180°－90°－60°＝30°，∴∠DEG＝180°－∠DEB－∠FEC＝180°－60°－30°＝90°.在Rt △EFC 中， EF ＝CE·cos ∠CEF＝2×
32＝3.∵G 是EF 的中点，∴EG＝3
2
.在Rt △DEG 中，
根据勾股定理，得DG ＝DE 2
＋EG 2
＝
22
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
＝192.
5.
3
2
【解析】如解图，延长BC 至M ，使CM ＝CA ，连接AM ，作CN⊥AM 于N ，∵DE 平分△ABC 的周长，
∴ME＝EB ，又AD ＝DB ，∴DE＝1
2AM ，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA ，∴∠ACN＝60°，
AN ＝MN ，∴AN＝AC·sin ∠ACN＝
32.∴AM＝3.∴DE＝32
. 6．解： ∵n＝5，直角三角形一边长为12，∴有三种情况：
①当x ＝12时，12
(m 2－52
)＝12.
解得m 1＝7，m 2＝－7(舍去)，∴y＝mn ＝35.
∴z＝12(m 2＋n 2)＝12×(72＋52
)＝37.∴该情况符合题意．
②当y ＝12时，5m ＝12，m ＝
125.∵m 为奇数，∴m ＝12
5
舍去． ③当z ＝12时，12(m 2＋52)＝12，m 2
＝－1，
此方程无实数解．
综上所述：当n ＝5时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37.。
