浙江省杭州市2019年中考数学 复习第8章图形的相似第2节相似3角形的性质及其应用同步测试

相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。

相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。

本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。

二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。

三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。

这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。

这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。

4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。

5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。

6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。

四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

2019中考初三数学相似三角形知识点
初三数学相似三角形知识点
1.相似三角形的定义
对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

如果三边分别对应A,B,C和a，b，c：那么：A/a=B/b=C/c
即三边边长对应比例相同。

2.相似三角形判定
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(AA)
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似(SAS)
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似(SSS)
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

判定定理5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。

其他判定：由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc
3.相似三角形性质
(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。

数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

第八章 图形的相似第一节 相似三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列线段不能成比例线段的是( ) A ．1 cm ，2 cm ，4 cm ，8 cm B ．1 cm ， 2 cm ，2 2 cm ，2 cm C. 2 cm ， 5 cm ， 3 cm ，1 cm D ．2 cm ，5 cm ，3 cm ，7.5 cm 2．已知a b ＝23，那么aa ＋b 的值为( )A.13B.25C.35D.343．下列关于线段AB 的黄金分割的说法中，正确的有( )①线段AB 的黄金分割点有2个；②若C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 可能等于5－12AB ；③若C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 可能等于3－52AB.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在三角形纸片ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，AC ＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )5．若线段AB ＝6 cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点(AC ＞BC)，则AC 的长为__________cm (结果保留根号)． 6．(2019·易错题)已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝______.7．如图，在△ABC 中，MN∥BC，分别交AB ，AC 于点M ，N ，若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为______．8．如图，在△ABC 中，AB≠AC，D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：__________________________，可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)9．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题：①若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠A＝∠A 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1； ②若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠B＝∠B 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1； ③若∠A＝∠A 1，∠C＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1； ④若AC∶A 1C 1＝CB∶C 1B 1，∠C＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1. 其中是真命题的为__________(填序号)．10．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED＝∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且ADAC ＝DF CG.11．已知a b ＝c d ＝23，且b ＋d≠0，则a ＋cb ＋d ＝( )A.23B.25C.35D.1512．在Rt △ACB 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，一直角三角板的直角顶角O 在AB 边的中点上，这块三角板绕O 点旋转，两条直角边始终与AC ，BC 边分别相交于E ，F ，连结EF ，则在运动过程中，△OEF 与△ABC 的关系是( )A ．一定相似B ．当E 是AC 中点时相似C ．不一定相似D ．无法判断13．阅读下列材料：如图1，在线段AB 上找一点C(AC ＞BC)，若BC∶AC＝AC∶AB，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这时比值为5－12≈0.618，人们把5－12称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O 表示数0，点E 表示数2，过点E 作EF⊥OE，且EF ＝12OE ，连结OF ；以F 为圆心，EF 为半径作弧，交OF 于H ；再以O 为圆心，OH 为半径作弧，交OE 于点P ，则点P 就是线段OE 的黄金分割点． 根据材料回答下列问题：(1)线段OP 的长为________，点P 在数轴上表示的数为________； (2)在(1)中计算线段OP 长的依据是____________．14．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC 与△OAB 相似(相似比不能为1)，则C 点坐标为__________________________．15．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求x －4y ＋3zx ＋4y －3z 的值．16．如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF⊥AM，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长．17．(2019·创新题)实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B ，若AM2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝4时，m －n ＝__________．18．如图所示，在△ABC 中，已知BD ＝2DC ，AM ＝3MD ，过M 作直线交AB ，AC 于P ，Q 两点．则AB AP ＋2ACAQ＝______．参考答案【基础训练】 1．C 2.B 3.D 4.D 5．35－3 6.4 7.18．∠A＝∠BDF(答案不唯一) 9.①③④ 10．(1)证明：∵∠AED＝∠B， ∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C. 又∵AD AC ＝DFCG ，∴△ADF∽△ACG.(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴AD AC ＝AF AG. 又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AFFG＝1. 【拔高训练】 11．A 12.A 13．(1)5－15－1 (2)勾股定理14．(4，4)或(5，2) 15．解：设x 2＝y 3＝z4＝k ，∴x＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ， ∴x －4y ＋3z x ＋4y －3z ＝2k －12k ＋12k2k ＋12k －12k＝1.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB.∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠B， ∴△ABM∽△EFA.(2)解：在Rt△ABM 中，AB ＝12，BM ＝5，∠B＝90°， ∴由勾股定理得AM ＝AB 2＋BM 2＝122＋52＝13. ∵F 是AM 的中点，∴AF＝12AM ＝132.∵△ABM∽△EFA，∴AE MA ＝AFMB ，即AE 13＝1325，解得AE ＝16.9. 又AD ＝AB ＝12， ∴DE＝16.9－12＝4.9. 【培优训练】 17．45－8 18.4。

初中数学知识归纳相似三角形的性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它在几何学和应用数学中都具有广泛的应用。

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在本文中，我们将归纳相似三角形的性质，全面了解相似三角形的特点和应用。

一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

具体表达为：若ΔABC∽ΔA'B'C'，则有∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。

二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角相等，即∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。

2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边成比例，即AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。

3. 相似三角形的边比例性质：在相似三角形中，各边之间的比值相等。

例如，若ΔABC∽ΔA'B'C'，则有AB/BC = A'B'/B'C' = AC/BC =A'C'/B'C'。

三、相似三角形的判定1. AA判定法：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

即若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则ΔABC∽ΔA'B'C'。

2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，且两个角的对边成比例，则这两个三角形相似。

即若∠A=∠A'，AB/A'B' = AC/A'C'，则ΔABC∽ΔA'B'C'。

3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。

即若AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，则ΔABC∽ΔA'B'C'。

相似三角形知识点以及典例知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）在四条线段,,,a b c d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b = ②在比例式(::)a ca b c d b d==中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫 比例后项,如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=等。

（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c dcb d ba dbc a⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=． 典型例题：例题1：已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是________cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_________cm ． 例题2：若c b a +＝a c b +＝bca +＝－m 2，则m ＝______． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.(相似)2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． 知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆ (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆． 知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

中考复习相似三角形的性质与判定相似三角形是中考数学中的重要内容之一。

在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

掌握相似三角形的性质与判定方法对于解题有着重要的作用。

本文将详细介绍中考复习相似三角形的性质与判定方法，帮助同学们更好地应对考试。

一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。

即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。

2. 对应边成比例性质：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

即如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。

3. 角平分线定理：如果一条直线分别平分两个三角形的一个内角，并且与该角的两条边相交，则这两个三角形是相似的。

4. 比例线段定理：在一个三角形中，如果一条直线把两边分成相等比例的线段，则这条直线平行于第三边，并且与其他两边成相似比例。

二、相似三角形的判定方法1. 对应角相等判定：当两个三角形的对应角相等时，可以判定这两个三角形是相似的。

2. 三边成比例判定：当两个三角形的三边的比值相等时，可以判定这两个三角形是相似的。

3. 一个角与两边成比例判定：当一个角与另一三角形的两边成比例时，可以判定这两个三角形是相似的。

为了方便判定，通常角与两边的比例用字母表示，例如如果∠A:∠D=AB:DE=AC:DF，可以判定△ABC∽△DEF。

三、相似三角形的应用1. 比较边长：利用相似三角形的性质，可以通过已知三角形的边长比例，求解未知三角形的边长。

2. 测量高度：通过观察两个相似三角形的边长比例，可以测量难以到达的高度，例如房屋或者某一地标的高度。

3. 解决实际问题：相似三角形在实际问题中有着广泛的应用，例如通过测量手机的高度与距离，可以计算出高楼的实际高度。

总结：相似三角形的性质与判定方法是中考数学中的重要知识点，对于解决与比例相关的数学题目有着重要的作用。

第二节 相似三角形的性质及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·广东中考)在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为( ) A.12B.13C.14D.162．如果两个相似多边形的面积比为4∶9，那么它们的周长比为( ) A ．4∶9 B ．2∶3 C.2∶ 3 D ．16∶813．(2018·吉林长春中考)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺4．(2018·四川达州中考)如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连结DE ，DF并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连结GH ，则S △ADGS △BGH的值为( )A.12B.23C.34D ．15．如图，两个三角形相似，AD ＝2，AE ＝3，EC ＝1，则BD ＝______．6．(2018·浙江金华模拟)两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm 和4.5 cm ，如果它们的面积之和为130 cm 2，那么较小的多边形的面积是________cm 2.7．一个三角形的三边长之比为3∶6∶4，与它相似的三角形的周长为39 cm，则与它相似的三角形的最长边为________cm.8．如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5 m，如果小亮的身高为1.7 m，求路灯杆AB的高度．9.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．10．网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米(如图AB 的高度)．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D 点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C 处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为( )A ．1.65米B ．1.75米C ．1.85米D ．1.95米11．已知△ABC 的三边长分别为20 cm ，50 cm ，60 cm ，现要利用长为40 cm 和60 cm 的两根铁丝制作与△ABC 相似的三角形框架，如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段(允许有余料)作为另外两边，可以制成不同的三角形框架有( ) A ．1种 B ．2种 C ．3种D ．4种12．(2018·四川泸州中考)如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF的值是( )A.43B.54C.65D.7613．(2018·山东泰安中考)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H 位于GD 的中点，南门K 位于ED 的中点，出东门15步的A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木(即点D 在直线AC 上)？请你计算KC 的长为________步．14．(2019·易错题)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB ＝2 m ，它的影子BC ＝1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM ＝1.2 m ，MN ＝0.8 m ，则木竿PQ 的长度为__________m .15．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900 cm.丙组：如图3，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.任务要求：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝2602)16．如图，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形上底PQ＝m，下底MN＝n，现在计划把价格不同的两种花草种植在S1，S2，S3，S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻，为了节省费用，园艺师应该把哪两块地种植较便宜的花草？通过计算说明你的理由．参考答案【基础训练】1．C 2.B 3.B 4.C 5.4 6.40 7.18 8．解：∵CD⊥BF，AB⊥BF， ∴CD∥AB，∴△CDF∽△ABF， ∴CD AB ＝DF BF， 同理可得EG AB ＝GHBH ，∴DF BF ＝GH BH ，∴3BD ＋3＝59＋BD， 解得BD ＝6， ∴1.7AB ＝33＋6，解得AB ＝5.1. 答：路灯杆AB 高5.1 m.9．解：∵四边形PQMN 是矩形，∴BC∥PQ， ∴△APQ∽△ABC，∴PQ BC ＝AHAD ，由于矩形长与宽的比为3∶2，∴分两种情况：①若PQ 为长，PN 为宽，设PQ ＝3k ，PN ＝2k ， 则3k 12＝8－2k 8，解得k ＝2， ∴PQ＝6 cm ，PN ＝4 cm.②若PN 为长，PQ 为宽，设PN ＝3k ，PQ ＝2k ， 则2k 12＝8－3k 8，解得k ＝2413， ∴PN＝7213 cm ，PQ ＝4813cm.综上所述：矩形的长为6 cm ，宽为4 cm ；或长为7213 cm ，宽为4813 cm.【拔高训练】 10．D 11.A 12.C 13.2 000314.2.315．解：(1)由题意可知∠BAC＝∠EDF＝90°，∠BCA＝∠EFD， ∴△ABC∽△DEF.∴AB DE ＝ACDF ，即80DE ＝60900， ∴DE＝1 200(cm)， ∴学校旗杆的高度是12 m.(2)与(1)类似得AB GN ＝AC GH ，即80GN ＝60156，∴GN＝208.在Rt△NGH 中，根据勾股定理得NH 2＝1562＋2082＝2602， ∴NH＝260.设⊙O 的半径为r cm ，连结OM. ∵NH 切⊙O 于M ，∴OM⊥NH， 则∠OMN＝∠HGN＝90°. 又∵∠ONM ＝∠HNG， ∴△OMN∽△HGN， ∴OM HG ＝ONHN. 又ON ＝OK ＋KN ＝OK ＋(GN －GK)＝r ＋8，∴r 156＝r ＋8260，解得r ＝12， ∴景灯灯罩的半径是12 cm.【培优训练】16．解：∵△PMN 和△QMN 同底等高， ∴S △PMN ＝S △QMN ，∴S 3＋S 2＝S 4＋S 2，即S 3＝S 4. ∵△POQ∽△NOM，∴QO∶OM＝PQ∶MN＝m∶n， ∴S 1∶S 2＝(OQ∶OM)2＝m 2∶n 2， ∴S 2＝n2m2·S 1.∵S 1∶S 3＝OQ∶OM＝m∶n， ∴S 3＝nm·S 1，∴(S 1＋S 2)－(S 3＋S 4)＝S 1＋n 2m 2·S 1－2·n m ·S 1＝S 1(1＋n 2m 2－2·n m )＝S 1(1－n m )2.∵(1－n m )2＞0，∴S 1＋S 2＞S 3＋S 4，即应该选择S 1与S 2两块地种植便宜花草．。

新浙教版九年级数学相似三角形相似三角形是九年级数学中的一个重要知识点，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。

首先，我们来了解一下相似三角形的定义。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，那么它们就是相似三角形。

相似三角形具有许多重要的性质。

例如，相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

这意味着，如果我们知道两个相似三角形中一组对应边的比例以及其中一个三角形的边长，就可以求出另一个三角形中相应边的长度。

同时，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。

在判断两个三角形是否相似时，我们有多种方法。

其中，最为常见的是“两角对应相等的两个三角形相似”。

因为三角形的内角和为 180 度，当两个角对应相等时，第三个角也必然相等。

另外，“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”以及“三边对应成比例的两个三角形相似”也是常用的判定方法。

相似三角形在实际生活中的应用非常广泛。

比如，在测量建筑物的高度时，如果我们无法直接测量建筑物的高度，可以通过测量建筑物的影子长度以及一根已知长度的标杆的影子长度，利用相似三角形的原理来计算建筑物的高度。

假设我们要测量一座高楼的高度，在同一时刻，我们测量出标杆的高度为 2 米，其影子长度为 1 米，同时测量出高楼的影子长度为 20 米。

由于太阳光线的角度相同，所以标杆和其影子以及高楼和其影子构成的两个三角形相似。

设高楼的高度为 x 米，根据相似三角形对应边成比例的性质，可以列出方程：2/1 ＝ x/20，解得 x ＝ 40 米，即高楼的高度为 40 米。

在地图绘制中，相似三角形也发挥着重要作用。

地图是对实际地理区域的缩小表示，地图上的图形与实际地理区域的图形是相似的。

通过测量实际距离和地图上的距离，利用相似三角形的知识，可以计算出地图的比例尺，从而更准确地反映实际地理情况。

在数学解题中，相似三角形常常与其他几何图形相结合。

相似三角形的性质与计算相似三角形是指具有相同形状但可能不同的大小的两个或多个三角形。

在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它涉及到三角形的性质和计算。

本文将介绍相似三角形的性质以及计算方法。

一、相似三角形的性质相似三角形有几个重要的性质，下面我们逐一介绍。

1. 对应角相等性质如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。

对应角指的是两个三角形中相对应的角。

例如，如果三角形ABC和三角形DEF 的角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，那么这两个三角形是相似的。

2. 边长成比例性质如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们是相似三角形。

边长成比例指的是两个三角形中相对应的边长之间的比值相等。

例如，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。

3. 比例性质如果两个三角形的一个角等于另一个三角形的一个角，而且两个三角形的对边成比例，那么它们是相似三角形。

这被称为三角形的第一个比例性质。

4. 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理也适用于相似三角形。

正弦定理表达式为a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为三角形的对应角。

余弦定理表达式为c² = a² + b² - 2ab*cosC。

二、相似三角形的计算在计算相似三角形时，我们常常需要求解未知的边长或角度。

下面介绍几个常用的计算方法。

1. 边长比例计算如果我们知道两个相似三角形的某两边的长度比，我们可以通过边长比例计算出其他边的长度。

例如，如果相似三角形ABC和相似三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，我们可以通过已知的边长来求解未知边长。

假设我们已知AB的长度为a，则DE的长度为a/k，BC的长度为ka，EF的长度为ka/k=a，AC的长度为√3a等等。

2. 角度比例计算如果我们知道两个相似三角形的某一个角度比，我们可以通过角度比例计算出其他角度的度数。

专题08 相似三角形中的基本模型1.（2019 浙江杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE△BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】C．【分析】先证明△ADN△△ABM得到＝，再证明△ANE△△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．【解答】解：△DN△BM，△△ADN△△ABM，△＝，△NE△MC，△△ANE△△AMC，△＝，△＝．故选：C．2.（2019 浙江温州中考）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD 于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN△BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】如图，连接ALGL，PF．利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可．【解答】解：如图，连接ALGL，PF．由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PH＝，△点A，L，G在同一直线上，AM△GN，△△AML△△GNL，△＝，△＝，整理得a＝3b，△＝＝＝，故选：C．3.（2019 重庆中考）如图，△ABO△△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．【解答】解：△△ABO△△CDO，△＝，△BO＝6，DO＝3，CD＝2，△＝，解得：AB＝4．故选：C．4.（2019 河北辽宁沈阳中考）（2019•沈阳）已知△ABC△△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：9【答案】C．【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．【解答】解：△△ABC△△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，△△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．故选：C．5.（2019•哈尔滨）如图，在△ABCD中，点E在对角线BD上，EM△AD，交AB于点M，EN△AB，交AD 于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D．【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：△在△ABCD中，EM△AD△易证四边形AMEN为平行四边形△易证△BEM△△BAD△△END△＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．6.已知△ABC△△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．【答案】B．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：△△ABC△△A'B'C'，△＝＝＝．故选：B．7.（2019 河北承德二中模拟）如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣4，2）【答案】A．【分析】过B作BC△y轴于C，过B1作B1D△y轴于D，依据△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，即可得到＝，再根据△BOC△△B1OD，可得OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，进而得出点B1的坐标为（2，﹣4）．【解答】解：如图，过B作BC△y轴于C，过B1作B1D△y轴于D，△点B的坐标为（﹣1，2），△BC＝1，OC＝2，△△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，△＝，△△BCO＝△B1DO＝90°，△BOC＝△B1OD，△△BOC△△B1OD，△OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，△点B1的坐标为（2，﹣4），故选：A．（二）填空题1.（2019 上海中考）在△ABC和△A1B1C1中，已知△C＝△C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD△△C1A1D1，那么AD的长是．【答案】．【分析】根据勾股定理求得AB＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，根据全等三角形的性质得出C1D1＝AD＝x，△A1C1D1＝△A，△A1D1C1＝△CDA，即可求得△C1D1B1＝△BDC，根据等角的余角相等求得△B1C1D1＝△B，即可证得△C1B1D△△BCD，根据其性质得出＝2，解得求出AD的长．【解答】解：如图，△在△ABC和△A1B1C1中，△C＝△C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，△AB＝＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，△△ACD△△C1A1D1，△C1D1＝AD＝x，△A1C1D1＝△A，△A1D1C1＝△CDA，△△C1D1B1＝△BDC，△△B＝90°﹣△A，△B1C1D1＝90°﹣△A1C1D1，△△B1C1D1＝△B，△△C1B1D△△BCD，△＝，即＝2，解得x＝，△AD的长为，故答案为．2.（2019 青海中考）（2019•青海）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．【答案】．【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【解答】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM△BN；易知：△ACM△△BCN；△＝，△杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，△＝，即AM＝5BN；△当BN≥10cm时，AM≥50cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm．故答案为：50．3.（2019 内蒙呼和浩特中考）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为．【答案】．【分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证△HDG△△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，△正方形ABCD的面积是2，△AB＝BC＝CD＝DA＝，又△CE＝，△EFC△△EAB，△，即：F是CD的中点，△AH△BE，△△H＝△FBC，△BCF＝△HDF＝90°△△BCF△△HDF（AAS），△DH＝BC＝，△AH△BE，△△H＝△FBC，△HDG＝△BEG△△HDG△△BEG，△，在Rt△ABH中，BH＝，△BG＝，故答案为：4.（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图△，写出完整的证明过程．结论应用：在△ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图△，若△ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图△，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则△ABCD的面积为．【答案】6．【分析】教材呈现：如图△，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE△AC，DE＝AC，那么△DEG△△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；结论应用：（1）如图△．先证明△BEF△△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF ＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF＝；（2）如图△，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG 的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出△ABCD的面积＝4×＝6．【解答】教材呈现：证明：如图△，连结ED．△在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，△DE△AC，DE＝AC，△△DEG△△ACG，△＝＝＝2，△＝＝3，△＝＝；结论应用：（1）解：如图△．△四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，△AD△BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，△△BEF△△DAF，△＝＝，△BF＝DF，△BF＝BD，△BO＝BD，△OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，△正方形ABCD中，AB＝6，△BD＝6，△OF＝．故答案为；（2）解：如图△，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，△＝2．△△BEF与△OEF的高相同，△△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，△△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，△△BOC的面积＝，△△ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．5.（2019 广东茂名中考模拟）如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k 的值为．【答案】8．【分析】根据△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，得出＝＝，进而得出假设BD＝x，AE＝4x，DO＝3x，AB＝y，根据△ABD的面积为1，求出xy＝2即可得出答案．【解答】解：过A作AE△x轴，△△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似是1：3，△＝，△OE＝AB，△＝＝．假设BD＝x，AB＝y△DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，△△ABD的面积为1，△xy＝1，△xy＝2，△AB•AE＝4xy＝8，即：k＝4xy＝8．故答案是：8．6.（2019 山东淄博中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是．【答案】（，）．【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．【解答】解：△正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，△OA：OD＝2：3，△点A的坐标为（1，0），即OA＝1，△OD＝，△四边形ODEF是正方形，△DE＝OD＝．△E点的坐标为：（，）．故答案是：（，）．7.（2019 上海黄浦区中考模拟）（2019秋•黄浦区期中）在△ABC中，△C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是．【答案】或．【分析】分类讨论：当△ABC△△CDE，如图1，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，证明BD＝AD即可解决问题；当△ABC△△DCE，如图2，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△B，接着证明CD△AB，利用面积法可计算出CD＝；当△ABC△△CED，如图3，△CDE＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，证明CD为斜边上的中线，则CD＝DA＝DB＝AB＝．【解答】解：△△ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，△AB＝＝＝5，当△ABC△△C DE，如图1，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，△△ADC为等腰三角形，△CE＝AE，△ED△BC，△BD＝AD，△CD＝AB＝，当△ABC△△DCE，如图2，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△B，而△BCD+△DCE＝90°，△△B+△BCD＝90°，△CD△AB，△CD＝＝，当△ABC△△CED，如图3，△CDE＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，△DC＝DA，△△A+△B＝90°，△DCE+△BCD＝90°，△△B+△BCD＝90°，△DB＝DC，△CD＝DA＝DB＝AB＝，综上所述，CD的长为或．故答案为或．8.（2019 河北张家口中考模拟）（2019秋•大观区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD△BC，AD＜BC，△ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝．【答案】或1．【分析】分情况讨论：△CED＝90°和△CDE＝90°，利用角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．【解答】解：分两种情况：△当△CED＝90°时，如图1，过E作EF△CD于F，△AD△BC，AD＜BC，△AB与CD不平行，△当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，△△BEC＝△CDE＝△ADE，△△A＝△B＝△CED＝90°，△△BCE＝△DCE，△AE＝EF，EF＝BE，△AE＝BE＝AB＝，△当△CDE＝90°时，如图2，△当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，△△CEB＝△CED＝△AED＝60°，△△BCE＝△DCE＝30°，△△A＝△B＝90°，△BE＝ED＝2AE，△AB＝3，△AE＝1，综上，AE的值为或1．故答案为：或1．。

2019年中考数学相似三角形的判定讲解
进入九月，初三的同学们该进入紧张的学习了，教育网小编给大家提前准备了数学相似三角形的判定讲解内容，帮助大家进行知识点复习。

中考数学相似三角形的判定讲解
判定：
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.(此定理用的最多)
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.
直角三角形相似判定定理:
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

上述是数学相似三角形的判定讲解内容，希望大家能够认真进行的复习状态里，祝大家学习进步。

初三数学相似三角形的性质知识精讲 某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：相似三角形的性质二. 教学重难点：应用相似三角形的性质进行有关的计算与证明是本周学习的重点。

应用相似三角形的知识时，由于知识的综合程度较高，对分析思维的能力有一定的要求，所以是学习的难点所在。

三. 知识回顾：（一）相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2. 相似三角形对应的高、中线和对应的角平分线以及周长之比都等于相似比。

3. 相似三角形的面积之比等于相似比的平方。

（二）与相似三角形有关的辅助线主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线。

【典型例题】例1. 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B 、C 是垂足，AC 、BD 交于P 。

过P 作PQ ⊥BC 于Q 。

求证：∠AQP=∠PQD分析：由已知AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，PQ ⊥BC 。

则AB//PQ//DC∴∠AQP=∠QAB ，∠PQD=∠QDC又已知Rt △ABQ 和Rt △DCQ∴只须证明Rt △ABQ ∽Rt △DCQ 即可证明：∵AB//PQ//DC ∴CDPQ BC BQ ,BC QC AB PQ == ∴BQ CD CQ AB BC PQ ⋅=⋅=⋅∴BQ CD CQ AB ⋅=⋅ 即CQ BQ CD AB = 又△ABQ ，△CDQ 均为直角三角形∴Rt △ABQ ∽Rt △CDQ∴∠AQB=-∠DQC∴∠BAQ=∠CDQ∴∠AQP=∠PQDDAPB Q C例2. 如图，△ACB 中，∠ACB=90°，D 在BC 边上，连AD ，过B 作BE ⊥AB ，∠BAE=∠CAD ，过E 作EF ⊥CB 于F ，求证：BF=CD 。

分析：∠C=∠EBA=90°，∠BAE=∠CAD∴Rt △ACD ∽Rt △ABE又易知∠ABC 与∠FBE 互余，且∠C=∠F=90°。

∴Rt △ACB ∽Rt △BEF∴只须寻找与线段AB 、BE 相关的比例式即可证明：Rt △ACD 与Rt △ABE 中，∵∠CAD=∠BAE∴Rt △ACD ∽Rt △ABE①ABBE AC CD BE AB CD AC ⋅=∴=∴ 又BE ⊥AB ，BF ⊥AC∵∠FBE=∠CAB∴Rt △ACB ∽Rt △BFE②ABBE AC BF AB AC BE BF ⋅=∴=∴∴由①、②知：BF=CD例3. 如图，梯形ABCD 中，AD//CB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，设梯形ABCD 的面积为S ，△AOD 、△BOC 、△AOB 的面积分别为321S S S 和、。

相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除板块 考试要求 A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法 欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

第八章 图形的相似第一节 相似三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列线段不能成比例线段的是( ) A ．1 cm ，2 cm ，4 cm ，8 cm B ．1 cm ， 2 cm ，2 2 cm ，2 cm C. 2 cm ， 5 cm ， 3 cm ，1 cm D ．2 cm ，5 cm ，3 cm ，7.5 cm 2．已知a b ＝23，那么aa ＋b 的值为( )A.13B.25C.35D.343．下列关于线段AB 的黄金分割的说法中，正确的有( )①线段AB 的黄金分割点有2个；②若C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 可能等于5－12AB ；③若C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 可能等于3－52AB.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在三角形纸片ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，AC ＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )5．若线段AB ＝6 cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点(AC ＞BC)，则AC 的长为__________cm (结果保留根号)．6．(2019·易错题)已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝______.7．如图，在△ABC 中，MN∥BC，分别交AB ，AC 于点M ，N ，若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为______．8．如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：__________________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)9．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC∶A1C1＝CB∶C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中是真命题的为__________(填序号)．10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG.11．已知a b ＝c d ＝23，且b ＋d≠0，则a ＋cb ＋d ＝( )A.23B.25C.35D.1512．在Rt △ACB 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，一直角三角板的直角顶角O 在AB 边的中点上，这块三角板绕O 点旋转，两条直角边始终与AC ，BC 边分别相交于E ，F ，连结EF ，则在运动过程中，△OEF 与△ABC 的关系是( )A ．一定相似B ．当E 是AC 中点时相似C ．不一定相似D ．无法判断13．阅读下列材料：如图1，在线段AB 上找一点C(AC ＞BC)，若BC∶AC＝AC∶AB，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这时比值为5－12≈0.618，人们把5－12称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O 表示数0，点E 表示数2，过点E 作EF⊥OE，且EF ＝12OE ，连结OF ；以F 为圆心，EF 为半径作弧，交OF 于H ；再以O 为圆心，OH 为半径作弧，交OE 于点P ，则点P 就是线段OE 的黄金分割点． 根据材料回答下列问题：(1)线段OP 的长为________，点P 在数轴上表示的数为________； (2)在(1)中计算线段OP 长的依据是____________．14．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC 与△OAB 相似(相似比不能为1)，则C 点坐标为__________________________．15．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求x －4y ＋3zx ＋4y －3z 的值．16．如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF⊥AM，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N.(1)求证：△ABM∽△EF A ；(2)若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长．17．(2019·创新题)实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B ，若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝4时，m －n ＝__________．18．如图所示，在△ABC 中，已知BD ＝2DC ，AM ＝3MD ，过M 作直线交AB ，AC 于P ，Q 两点．则AB AP ＋2ACAQ ＝______．参考答案【基础训练】 1．C 2.B 3.D 4.D 5．35－3 6.4 7.18．∠A＝∠BDF(答案不唯一) 9.①③④ 10．(1)证明：∵∠AED＝∠B， ∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C. 又∵AD AC ＝DFCG，∴△ADF∽△ACG.(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴AD AC ＝AFAG .又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AFFG＝1. 【拔高训练】 11．A 12.A 13．(1)5－15－1 (2)勾股定理14．(4，4)或(5，2) 15．解：设x 2＝y 3＝z4＝k ，∴x＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ， ∴x －4y ＋3z x ＋4y －3z ＝2k －12k ＋12k2k ＋12k －12k＝1.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠EAM＝∠AMB.∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠B， ∴△ABM∽△EFA.(2)解：在Rt△ABM 中，AB ＝12，BM ＝5，∠B＝90°， ∴由勾股定理得AM ＝AB 2＋BM 2＝122＋52＝13. ∵F 是AM 的中点，∴AF＝12AM ＝132.∵△ABM∽△EFA，∴AE MA ＝AFMB ，即AE 13＝1325，解得AE ＝16.9. 又AD ＝AB ＝12， ∴DE＝16.9－12＝4.9. 【培优训练】 17．45－8 18.4。

第八章 图形的相似第一节 相似三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列线段不能成比例线段的是( ) A ．1 cm ，2 cm ，4 cm ，8 cm B ．1 cm ， 2 cm ，2 2 cm ，2 cm C. 2 cm ， 5 cm ， 3 cm ，1 cm D ．2 cm ，5 cm ，3 cm ，7.5 cm 2．已知a b ＝23，那么aa ＋b 的值为( )A.13B.25C.35D.343．下列关于线段AB 的黄金分割的说法中，正确的有( )①线段AB 的黄金分割点有2个；②若C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 可能等于5－12AB ；③若C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 可能等于3－52AB.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在三角形纸片ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，AC ＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )5．若线段AB ＝6 cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点(AC ＞BC)，则AC 的长为__________cm (结果保留根号)．6．(2019·易错题)已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝______.7．如图，在△ABC 中，MN∥BC，分别交AB ，AC 于点M ，N ，若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为8．如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：__________________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)9．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC∶A1C1＝CB∶C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中是真命题的为__________(填序号)．10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG.11．已知a b ＝c d ＝23，且b ＋d≠0，则a ＋cb ＋d ＝( )A.23B.25C.35D.1512．在Rt △ACB 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，一直角三角板的直角顶角O 在AB 边的中点上，这块三角板绕O 点旋转，两条直角边始终与AC ，BC 边分别相交于E ，F ，连结EF ，则在运动过程中，△OEF 与△ABC 的关系是( )A ．一定相似B ．当E 是AC 中点时相似C ．不一定相似D ．无法判断13．阅读下列材料：如图1，在线段AB 上找一点C(AC ＞BC)，若BC∶AC＝AC∶AB，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这时比值为5－12≈0.618，人们把5－12称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O 表示数0，点E 表示数2，过点E 作EF⊥OE，且EF ＝12OE ，连结OF ；以F 为圆心，EF 为半径作弧，交OF 于H ；再以O 为圆心，OH 为半径作弧，交OE 于点P ，则点P 就是线段OE 的黄金分割点． 根据材料回答下列问题：(1)线段OP 的长为________，点P 在数轴上表示的数为________； (2)在(1)中计算线段OP 长的依据是____________．14．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC 与△OAB 相似(相似比不能为1)，则C 点坐标为__________________________．15．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求x －4y ＋3zx ＋4y －3z 的值．16．如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF⊥AM，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长．17．(2019·创新题)实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B ，若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝4时，m －n ＝__________．18．如图所示，在△ABC 中，已知BD ＝2DC ，AM ＝3MD ，过M 作直线交AB ，AC 于P ，Q 两点．则AB AP ＋2ACAQ ＝______．参考答案【基础训练】 1．C 2.B 3.D 4.D 5．35－3 6.4 7.18．∠A＝∠BDF (答案不唯一) 9.①③④ 10．(1)证明：∵∠AED＝∠B， ∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C. 又∵AD AC ＝DFCG，∴△ADF∽△ACG.(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴AD AC ＝AFAG .又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AFFG＝1. 【拔高训练】 11．A 12.A 13．(1)5－15－1 (2)勾股定理14．(4，4)或(5，2) 15．解：设x 2＝y 3＝z4＝k ，∴x＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ， ∴x －4y ＋3z x ＋4y －3z ＝2k －12k ＋12k2k ＋12k －12k＝1.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠EAM＝∠AMB.∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠B ， ∴△ABM∽△EFA.(2)解：在Rt△ABM 中，AB ＝12，BM ＝5，∠B＝90°， ∴由勾股定理得AM ＝AB 2＋BM 2＝122＋52＝13. ∵F 是AM 的中点，∴AF＝12AM ＝132.∵△ABM∽△EFA，∴AE MA ＝AFMB ，即AE 13＝1325，解得AE ＝16.9. 又AD ＝AB ＝12， ∴DE＝16.9－12＝4.9. 【培优训练】 17．45－8 18.4。

相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学知识体系中有着重要的地位。

相似三角形是指两个或更多个三角形在形状上相似的特殊三角形。

它们的边长比例相等，对应的角度也相等。

通过研究相似三角形的性质和判定条件，我们可以在解决实际问题时更好地应用相似三角形的概念。

首先，我们来介绍一些相似三角形的性质。

相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等性质。

如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。

这是相似三角形的性质中最重要的一条。

2. 对应边比例相等性质。

如果两个三角形的对应边的长度比例相等，那么它们是相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的三条边的对应长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。

这个性质可以直接从三角形的定义和角相等性质推导出来。

其次，我们来介绍一些相似三角形的判定条件。

判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. AA 判定法。

如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。

2. SSS 判定法。

如果两个三角形的三个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。

3. SAS 判定法。

如果两个三角形的一个角相等，而且两个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。

4. 等腰三角形判定法。

如果两个三角形的两条边长比例相等且夹角相等，那么它们一定是相似三角形。

相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用。

例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量实际的距离和角度，计算出高楼的高度。

又如，在地图上测量两个城市之间的直线距离时，我们可以利用相似三角形的判定条件，通过测量两个城市之间的实际距离和角度，计算出直线距离。

这些都是利用相似三角形的性质和判定条件解决实际问题的典型例子。

总的来说，相似三角形是一个重要的几何概念，它涉及到对角、边长比例的研究。

相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用，能够帮助我们计算出实际的距离和角度，解决实际问题。

2019中考初三数学相似三角形知识点
各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
初三数学相似三角形知识点
1.相似三角形的定义
对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

如果三边分别对应A,B,C和a，b，c：那么：A/a=B/b=C/c
即三边边长对应比例相同。

2.相似三角形判定
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似
判定定理3：如果两个三角形的三组
对应边成比例，那么这两个三角形相似判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

判定定理5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。

其他判定：由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc
3.相似三角形性质
相似三角形的对应角相等。

相似三角形的对应边成比例。

相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形的周长比等于相似比。

相似三角形的面积比等于相似比的平方。

各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。

相似三角形的判定、性质及常见模型
1、相似三角形的定义与性质
(1)定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

(2)表示：在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。

(3)性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；推论：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.(4)相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比.设▲ABC 与▲A'B'C'的相似比为k，▲A'B'C'与▲ABC的相似比为k'，则k'=1/k.注意：①两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关;②当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形.反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1.因此全等三角形是相似三角形的特例.2、相似三角形的预备定理和判定定理
相似三角形的3条判定定理证明思路如下：
3、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似，即：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.4、相似三角形的基本图形(1)平行线型：A型与X型.
(2)斜交型.
(3)共边共角型
(4)双垂型
(5)旋转型
5、判定三角形相似的思路
6、三角形相似的性质
相似三角形的性质定理1证明思路如下：。