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初中数学最值问题解题技巧
在学习数学的过程中，最值问题是我们必须掌握的重要知识点，它涉及到最大值和最小值的概念，跨越初中和高中的层面。
学好最值问题对数学的后续学习也有重要的意义。
下面，我们就来聊聊初中数学最值问题解题技巧。
首先，我们要明确一个最值问题的特征：最值问题会出现在一组数据中，即求解的数值必然属于这一组数据。
有了这一特点，我们就可以运用比较法来解决这些问题。
其次，针对最大值问题，我们可以采用枚举法。
所谓枚举法就是把一组数据中的每一个数据罗列出来，然后逐个进行比较，找出其中最大的数，就是所求的解。
再次，针对最小值问题，我们可以采用反枚举法。
反枚举法与枚举法相似，只是着重于找出最小的数。
同样地，我们可以将一组数据中的每一个数据列举出来，然后逐个进行比较，最后得出最小值即可。
最后，在解决最值问题时，我们应尽量简化解题过程，以减少计算量。
比如，当出现一个较长的数列时，我们可以判断最大值就出现在最后一个数上，那么就可以将这数列缩减为只有一个数，以减少计算过程。
以上就是初中数学最值问题解题技巧，希望大家在以后的数学学习中，能够运用上述解题技巧来更好地解决问题。
解题不仅要有技术，而且还要有思想，在解题时要多思考，多发散，我们将能够更快速地得出正确的答案。
最值问题求解初探摘要：最值是高中数学内容重要部分之一，下面介绍了八种求最值的方法。
它们分别是配方法、利用线性规划、利用基本不等式、利用导数、利用点到直线的距离公式、利用三角公式、利用三角函数的有界性、利用换元法求最值。
关键词：高中数学最值在高中数学课本里面，最值求解是比较常见的题型，也是在高考中经常出现的。
最值，通常分为最大值和最小值，是变量取值时的极端值，在高中数学中，与最大值或最小值有关的题目很多，类型复杂，本文例析求解最值问题的几种方法。
第一种：配方法对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解问题的要求，采用配方法来解决，对于含有二次三项式的函数，也常用配方法求最值。
例：求函数y=5+4x-x2的最值。
分析：这是二次函数在定义域范围内求最值的问题，可用配方法。
解：∵y=5+4x-x2=-（x-2）2+9显然，y1=5+4x-x2的最大值是9，故函数y=5+4x-x2的最大值是3，且y≥0，∴函数y=5+4x-x2的最大值是3，最小值是0。
第二种：利用简单的线性规划求解最值问题例：设变量x，y满足约束条件，则z=3x-2y的最大值为（）。
A.0B.2C.4D.6解析：不等式组表示的平面区域如右图所示，当直线z=3x-2y过点B时，在y轴上截距最小，z最大,由B（2,2）知z的最大值为4。
第三种：利用基本不等式求最值基本不等式是不等式中重要内容，是学习高中数学的桥梁，很多章节的内容都可以与基本不等式联系，利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式适用的条件。
例：已知x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值。
解：∵x>0，y>0，+=1，∴x+y=（x+y）（+）=+x+10≥6+10=16，当且仅当= x时，上式等号成立，又+=1，∴x=4，y=12时（x+y）的最小值为16。
第四种：利用导数求函数的最值求函数的最值，最常用的方法是导数法，通过判断导数的符号来确定原函数的单调性，从而得到所求函数的最值。
最值问题解题技巧
最值问题是指在某个条件下，求某个函数的最大值或最小值的问题。
解决最值问题的常用方法有：
1. 直接法：根据已知条件和函数的性质，直接求出函数的最大值或最小值。
2. 导数法：利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最值。
3. 配方法：将函数化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求最值。
4. 换元法：通过引入新的变量，将原函数转化为易于求最值的形式。
5. 利用基本不等式：利用均值不等式、柯西不等式等基本不等式求解最值问题。
也谈一类条件最值问题的求解王全（陕西师大附中）问题1:设+∈R c b a ,,,1=++c b a ,abc c b a u λ+++=222(参数R ∈λ).试问:u 一定有最值吗？何时有最大值？何时有最小值？其大小如何？这是文[1]提出讨论的问题.该文用不等式进行放缩得出了部分结论.文[2]用换元减参的想法给出了四种解法,并得到了完整的结论,但过程有些繁杂.笔者用文[1]中不等式放缩的想法给出完整的解答.首先,我们先求解下面的问题2.问题2:设非负实数,,a b c 满足1a b c ++=,求p ab bc ca mabc =++-的最小值和最大值. 解:(1)若9m ≤,不妨设max{,,}a a b c =,则190a -<,于是: 9()(19)p ab bc ca mabc ab bc ca abc a b c a bc =++-≥++-=++- 22(1)1(1)(19)(1)(31)044a a a a a a -≥-+-=--≥. 事实上,当1,0abc ===时,p 取得最小值0.若9m >,则99(9)(9)27m p ab bc ca mabc ab bc ca abc m abc m abc -=++-=++-+-≥-≥. 事实上,当13a b c ===时,p 取得最小值927m -. 综上可知,当9m ≤时,p 的最小值为min 0p =；当9m >时,p 的最小值为min 927m p -=. (2)若94m ≥,不妨设min{,,}a a b c =,则9104a ->,于是: 99()(1)44p ab bc ca mabc ab bc ca abc a b c a bc =++-≤++-=++- 229(1)111(1)(1)(31)441644a a a a a a -≤-+-=--+≤. 事实上,当10,2abc ===时,p 取得最大值14. 若94m <,则99199()()444427m p ab bc ca mabc ab bc ca abc m abc m abc -=++-=++-+-≤+-≤.事实上,当13a b c ===时,p 取得最大值927m -. 综上可知,当94m ≥时,p 的最大值为max 14p =；当94m <时,p 的最大值为max 927m p -=. 综上(1),(2)知:当94m <时,p 的最小值为min 0p =,最大值为max 927m p -=；当949≤≤m 时,p 的最小值为min 0p =,最大值为max 14p =；当9m >时,p 的最小值为min 927m p -=,最大值为max 14p =. 需要指出的是,这种方法求解问题2只需用基本不等式进行放缩,而关注到取等条件也就有了这样的解法.事实上,考虑1a b c ++=的三种特殊情况:①13a b c ===；②10,2a b c ===；③0,1a b c ===,由此可以得到p 的三个取值:①927m p -=；②14p =；③1p =.于是,讨论927m -与1,14的大小关系就可得知应分m 与9,94的大小来进行研究.其次,我们由)2(21)(21222abc ca bc ab abc ca bc ab abc c b a u λλλ-++-=+++-=+++=可知:若令m 2=λ,则p u 21-=,于是可得问题1的结论如下: 当29≤λ时,1279<≤+u λ,即当31===c b a 时,u 取得最小值279λ+,此时u 没有最大值,但有上界,最小的上界(即上确界)为1； 当1829<<λ时,121<<u ,即此时u 没有最小值,但有下界,最大的下界(即下确界)为21,u 也没有最大值,但有上界,最小的上界(即上确界)为1；当18≥λ时,27921λ+≤<u ,即当31===c b a 时,u 取得最大值279λ+,此时u 没有最小值,但有下界,最大的下界(即下确界)为21.最后,有兴趣的读者可以用问题2的求解方法或结论解答以下几道数学竞赛试题:问题3:(第二十五届国际数学奥林匹克试题,1984年)已知,,x y z 是满足1x y z ++=的非负实数,求证:70227xy yz zx xyz ≤++-≤. 问题4:(第十七届全俄数学奥林匹克试题,1991年)已知,,x y z 是满足1x y z ++=的非负实数,求证:(1)(1)(1)8(1)(1)(1)x y z x y z +++≥---.问题5:(第三届中国东南地区数学奥林匹克试题,2006年)求最小的实数k ,使得对任意和为1的非负实数,,a b c ,都有333222()6()1k a b c a b c ++≥+++. 问题6:(中国数学奥林匹克国家集训队测试试题,1991年)求最小的实数k ,使得对任意和为1的非负实数,,a b c ,都有2221()327k k a b c abc +++≥+.参考文献:[1] 胡书军,于国清.对一道最值问题临界情况的研究[J].中学数学教学参考:上旬,2013(5):45.[2] 陈云烽.一类条件最值问题的求解[J].中学数学教学参考:上旬,2013(9):20；2013(10):38.作者联系方式:王全,陕西师大附中,710061,wangquan1978@.。
最值问题的常用解法及模型最值问题是指在一定条件下，找出某一组数据中的最大值或最小值。
这类问题在实际生活中经常出现，比如求最大收益、最小成本、最短路程等。
常用解法：1.暴力枚举法暴力枚举法是指对于所有可能的情况都进行尝试，然后找出其中符合条件的最大值或最小值。
虽然该方法在理论上是可行的，但是在实际情况下往往需要耗费大量时间和计算资源。
2.贪心算法贪心算法是指每次选择当前状态下的最优解，然后再基于该解进一步进行优化。
该方法通常适用于具有单调性或者局部最优解等特点的问题。
3.动态规划动态规划是指将原问题拆分成若干个子问题，并将其逐步求解，直到得到原问题的解。
该方法通常适用于具有重叠子问题和无后效性等特点的问题。
4.分治算法分治算法是指将原问题拆分成若干个相互独立的子问题，并对每个子问题进行求解，然后将各个子问题的结果合并起来得到原问题的解。
该方法通常适用于具有可重复性和可并行性等特点的问题。
模型：1.最大子序列和问题最大子序列和问题是指在一个数列中找到一个连续的子序列，使得该子序列的元素之和最大。
该问题可以采用动态规划或贪心算法进行求解。
2.最小生成树问题最小生成树问题是指在一个带权无向图中找到一棵包含所有顶点且权值之和最小的生成树。
该问题可以采用Prim算法或Kruskal算法进行求解。
3.背包问题背包问题是指在一定容量下，选择若干个物品放入背包中，使得这些物品的价值之和最大。
该问题可以采用动态规划或贪心算法进行求解。
4.矩阵链乘法矩阵链乘法是指给定若干个矩阵，将它们相乘得到一个结果矩阵，使得计算过程中所需的乘法次数最少。
该问题可以采用动态规划进行求解。
总结：最值问题是一类重要的数学计算问题，在实际生活中具有广泛应用。
针对不同类型的最值问题，我们可以采用不同的解决方法和模型进行求解。
通过深入理解这些方法和模型，并灵活运用它们，我们可以更加高效地解决各种实际问题。
最值问题的试题种类和解题方法高中一、试题种类1. 在高中数学中，最值问题是一个常见的类型，通常包括最大值和最小值问题。
2. 最值问题可以出现在各种数学题型中，如函数、集合、几何等方面。
二、解题方法1. 最值问题的解题方法通常包括代数法、几何法和推理法。
2. 代数法包括利用函数的性质、导数的概念等进行求解；3. 几何法可以利用图形的性质、三角形的特性进行求解；4. 推理法则是通过逻辑推理、数学推理等方法进行求解。
三、深度评估1. 在解答最值问题时，要先对问题的条件和要求进行深度评估，明确题目的要求和限制条件。
2. 根据题目的要求和条件，选择合适的解题方法进行求解，往往需要灵活运用多种解题方法。
四、广度评估1. 最值问题不仅需要求解具体数值，还需要对最值问题的背后原理和方法进行广度评估。
2. 熟练掌握各种解题方法，并能够灵活运用于不同类型的最值问题，才能更好地应对考试和应用实践中的问题。
五、个人观点1. 最值问题在高中数学中占据重要地位，是数学知识的一个重要组成部分。
2. 对最值问题的深度和广度评估，可以帮助我们更好地理解数学知识，提高解题能力和数学应用能力。
六、总结回顾1. 通过对最值问题的深度和广度评估，我们可以更加全面、深刻和灵活地理解和应用数学知识。
2. 熟练掌握最值问题的解题方法，并能够灵活运用于不同类型的题目，是我们在学习和考试中需要重点关注和提高的能力。
七、结语通过深度和广度的评估，我们能够更好地掌握最值问题的解题方法，提高数学解题能力，为未来的学习和应用奠定良好的基础。
最值问题在高中数学中是一个非常重要的内容，因为它涉及到了数学中的最基本的性质和概念，也涉及到了数学在实际问题中的应用。
在学习最值问题的过程中，我们不仅需要掌握解题方法，还需要对问题进行深度评估和广度评估，才能真正理解和掌握这一内容。
在解决最值问题时，首先要对问题进行深度评估，明确题目的要求和限制条件。
只有明确了问题的条件和要求，我们才能选择合适的解题方法进行求解。
离散最值解题方法：（1） 创设极端情形（2） 分析、推理，确定最值（3） 枚举比较，确定最值（4） 估算并构造例题分析例1 当一个两位数除以它的两个数字之和时，可能得到的最大余数是多少？练习： 用四个数字1、9、8、6来写出两个数，每个数字只许用一次，所写出的数可以是一位数、两位数或三位数，这样的两个数最大可能的乘积是多少？例2 已知1+2+3+…+n （n>2）和的个位数为3，十位数为0，则n 的最小值是多少？练习： 一个长方形的面积是120平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，它的周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？例3 在下面的□中分别填入＋、－、×、÷号，使a 、b 、c 、d 之和为最大。
21□91=a 31□81=b 41□71=c 51□61=d练习： 六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数。
最高分是99分，最低分是76分。
则按分数从高到低第三位的同学至少得多少分？例4 如果四个人的平均年龄是30岁，且在四人中没有小于21岁的人，那么年龄最大的人可能是多少岁？练习： 从1到20这二十个数中，取出两个不同的数，其中乘积最大且和是16的是哪一对？乘积最小且和是16的是哪一对？巩固练习：1. 把17拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？2. 六年级五个班级的同学共植树100棵，已知每班植树的棵数均不相等且按数量从多到少排名是：一、二、三、四、五班，又已知一班植的棵数是二、三班植的棵数之和，二班植的棵数是四、五班植的棵数之和。
那么三班最多植树多少棵？3. 如果分数4328的分子、分母分别加上非零自然数a 、b ，所得结果是127，那么b a 的最小值等于多少？4. 整数8可以写成1、1、2、4这4个整数的和，也可以写成这4个整数的乘积，那么最少有多少个不等于2008的整数，使得它们的和等于2008，它们的乘积也等于2008.5. 有若干人的年龄和是4476岁。
参赛队员：蔡煜晟、赵海洲所在省份：浙江省所在国家：中华人民共和国指导老师：张传鹏、杨晓鸣论文标题：一类离散最值问题的探究目录摘要关键词1. 背景与结果 (3)2. 预备知识 (5)3. 引理的证明 (6)4. 定理的证明 (11)5. 思考与展望 (18)附录：参考文献 (19)一类离散最值问题的探究摘要本文探究了在给定m×m网格中任意画圆，圆周经过的格点数f(m)的最大值问题。
对于方格数小于15×15，借助已有的知识和工具问题得到彻底解决；对于方格数大于16×16，我们引进了类似Farey数列，建立一套计数方法，得到函数f(m)的下界。
在此基础上，给出相应圆的半径的上界和下界，并根据函数f(m)的下界和圆的半径范围求出所有可能的圆，再分别计算这些圆所经过的格点数。
从而得出在给定m×m网格中任意圆周经过的格点数的最大值。
关键词格点、欧拉函数、Farey数列、互质。
AbstractThis paper mainly discusses how to get f(m), the maximum number of grid points a circle can pass in a grid net of m × m. For m≤15, we solve the problem using known tools and knowledge. For m≥16, we make use of the similar calculation method as Farey Sequence, and get the lower bound of the range of f(m). Based on this lower bound, we calculate the range of the radius of the circle; next, we obtain all the circle equation for all the possible circle according to the lower bound of f(m) and range of radius. Finally, the maximum number of grid point a circle can pass in the gird net of m × m is obtained.KeywordGrid point & Grid net, Euler Function, Farey Sequence, Relatively Prime Integers1. 背景与结果2010年浙江省湖州市中考有一道很有意思的题目，即第16题：请你在如图一所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的___________个格点．[1]图一这道题当时给出的标准答案是12，它实际上是错误的，正确答案应该是16。
我们注意到这一错误，并且进行探究之后，对于m=12以外的情况产生了兴趣。
我们知道，哈代等数学家在他的论著[2]（p257~258）中，得到了以原点为圆心的圆周经过的格点数，即得到下面的命题。
命题 方程n y x=+22（s r q p n ∏∏=α2， p 、q 分别为形如1M 4+以及1M 4-不同的素数）有整数解组数为4)n (δ（)n (δ＝)2)1(1()1r (s-+∏+∏）。
事实上，华罗庚先生在他的《数论导引》[３]（p131—140）中对以原点为圆心的圆周经过的格点数、中心在原点的椭圆内的格点数、以及三维球内和高维球内的格点数都作了论述。
我们利用这些结果得到下面的推论：推论 若圆n )b ay ()b ax (2221=-+-（a 、n 为正整数，1b 、2b 为整数，圆的半径为R ＝a n ）在m×m 的网格上经过s 个格点。
若当R>m 时，则s≤)n (δ；若当R m 22<≤m 时，则s≤2)n (δ；若当R ≤m 22时，s≤4)n (δ。
我们知道，要使在给定方格中得圆周经过的格点数最多，利用圆的性质，其圆心一定为有理点。
所以，我们总假设圆的圆心是有理点。
利用推论，以及圆的半径的平方数的质因数分解，解决了网格数小于15×15的网格中任意圆周经过的最大格点数。
但当网格数大于16×16，该方法失效，失效的原因是此时解决该问题时使用的抽屉原理不能使用，因为抽屉个数多于格点个数。
所以当网格数大于16×16就要另辟其径。
解决问题的关键之一是整数的计数方法，受Farey 数列的启发，我们引进边长和的概念（以两个格点为对角线所做矩形的两邻边之和），这个和记为EF κ，对角线的斜率的绝对值记为|k |＝11b a （1a 、1b 为互素的正整数），这样建立了整数EF κ与整数1a +1b 的关系。
这样，利用欧拉函数建立了一套计数方法。
借助这些知识和概念，我们分布解决问题（得到一系列引理）：定义在网格m×m 中，一个圆能够经过的格点数的函数f(m)。
先给出一个f(m)下界的估计s ：f(m)≥s 利用反证法证明f(m)≤s（1） 假设f(m)>s （即f(m)≥s+1）（2） 求出能够满足f(m)≥s+1的圆的半径R 的范围并通过求得的范围给出所有可能的圆以逐一验证，从而说明格点数不小于s+1的圆无论怎样移动网格所覆盖的格点数不超过s 。
利用以上方法，理论上可以解决网格数小于100×100的的网格中圆周经过格点数限额最大值（但事实上随着m 增大计算量也越来越大）。
本文着重以23×23为例（最为典型），进行了详细讨论。
本文主要结果和定理是：结论：f(1)=f(2)=4；f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=8；f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=12； f(11)=f(12)=f(13)=…=f(21)=f(22)=f(23)=16；f(24)=20；f(25)=24……定理1 在15×15的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过256个格点中的16个格点，即f(15)＝16。
定理2在23×23的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过576个格点中的16个格点，即f(23)＝16。
2. 预备知识定义1记EF κ为以EF 为对角线的网格矩形的相邻的两边长度之和，EF κ为正整数。
特别地当AB 在网格线上时，EF κ即为线段EF 的长。
圆上任意两格点E 、F 连线的斜率的绝对值为|k |＝11b a （1a 、1b 为互素的正整数），则EF κ≥1a +1b 。
定义2 对于任意正整数s ，存在正整数j ，使得∑∑+==<≤111)()(j i j i i s i φφ（)i (φ表示欧拉函数），则)s (η＝)1j ]()i (i s [)i (i j1i j 1i +φ-+φ∑∑==。
下表给出几个)s (η的值。
定义3过圆心作网格线的平行线将圆分成四部分（如图），将在O'M 1上方，O'M 2右侧区域（包含O'M 1上的点但不包含O'M 2上的点）称之为圆的第一区域；在O'M 2左侧，O'M 3上方区域（包含O'M 2上的点但不包含O'M 3上的点）称之为圆的第二区域；在O'M 3下方，O'M 4左侧区域（包含O'M 3上的点但不包含O'M 4上的点）称之为圆的第三区域；在O'M 4右侧，O'M 1下方区域（包含O'M 4上的点但不包含O'M 1上的点）称之为圆的第四区域。
圆的第一、第二、第三、第四区域中的某一个区域称圆的某一区域。
引理1若圆n b ay b ax =-+-2221)()(（a 、n 为正整数，1b 、2b 为整数）在圆的某一区域内的有s 个圆上格点能被网格00b a ⨯覆盖，则)(s η-1≤00b a +；若圆n b ay b ax =-+-2221)()(（a 、n 为正整数，1b 、2b 为整数）在圆的第一、第二区域内的有s 个圆上格点能被网格00b a ⨯覆盖，则])2([s η+])21([+s η-1≤002b a +；若圆n b ay b ax =-+-2221)()(（a 、n 为正整数，1b 、2b 为整数）有s 个圆上格点能被网格00b a ⨯覆盖，])43([])42([])41([])4([++++++s s s s ηηηη≤0022b a +。
引理2若圆n b ay b ax =-+-2221)()(（a 、n 为正整数，1b 、2b 为整数）在圆的某一区域内的有s 个圆上格点能被两边平行于网格的矩形00b a ⨯覆盖，则s≤])[，]min([00b a +1。
引理3若在23×23的网格图形中存在一个圆，这个圆至少经过576个格点中的17个格点，则这个圆的半径R≥8，且其圆心在网格内。
引理4若在23×23的网格图形中存在一个圆，这个圆至少经过576个格点中的17个格点，则网格至多只有一个顶点在圆内。
引理5若点M 在AB 上，BM ＝a （a 为正整数），圆心O'在⊙M(R)内，则⊙O'在第四区域内至多有a 个网格格点。
引理6 若在23×23的网格图形中存在一个圆，这个圆至少经过576个格点中的17个格点，则这个圆的半径R≤16。
引理7若在23×23的网格图形中存在一个圆，这个圆至少经过576个格点中的17个格4M 1点，则这个圆的半径R≤2890。
3. 引理的证明引理1证明 （1）若圆n b ay b ax =-+-2221)()(（a 、n 为正整数，1b 、2b 为整数）在圆的第一区域内的有s 个圆上格点（这s 个点分别为A 1、A 2、…、A s ）能被网格00b a ⨯（AB ＝0a ，AD ＝0b ）覆盖，分别连结A 1A 2、A 2A 3、…、A 1s -A s (如图)。
将线段A 1A 2、A 2A 3、…、A 1s -A s 的斜率的绝对值的分子分母的和从小到大排列：1c 、2c 、…1s c -，则1c ≥2，3c ≥2c ≥3，5c ≥4c ≥4，9c ≥8c ≥7c ≥6c ≥5，……（分子、分母和为i 的最小可能值最多有)i (φ个）。
00b a +≥ssA A A A A A 13221-+++κκκ ≥2+3+3+4+4+5+5+5+5+6+6+…（共有s-1个数字，从2开始，相同的数字恰有不超过这个数且与它互素的个数）＝)s (η-1。
