下载文档原格式
第3章离散系统的时域分析3.1 复习笔记一、基本概念1．前向差分与后向差分一阶前向差分一阶后向差分2．差分方程包含未知序列及其各阶差分的方程式称为差分方程。
将差分展开为移位序列，得一般形式二、离散系统的时域分析与连续系统的时域分析类似，离散系统的时域分析也是分析求解系统响应的过程，全部在时间域里进行。
不同的是离散系统的数学模型是借助差分方程，求解系统响应常用两种方法：时域经典法与时域卷积和法。
1．经典解法与微分方程经典解类似，全解y（k）＝齐次解y h（k）＋特解y p（k）。
（1）齐次解y h（k）齐次解由齐次方程解出。
设差分方程的n个特征根为。
齐次解的形式取决于特征根，y h（k）又称自由响应。
①当特征根λ为单根时，齐次解y h（k）形式为：②当特征根λ为r重根时，齐次解y h（k）形式为：③有一对共轭复根，齐次解y h（k）形式为：，其中（2）特解y p（k）特解y p（k）的求解过程类同连续系统时求y p（t）的过程。
差分方程的齐次解又称为系统的自由响应，特解又称强迫响应。
2．卷积和法全响应y（k）＝零输入响应y zi（k）＋零状态响应y zs（k）其求解过程如下：①建立系统的差分方程；②特征值→求零输入响应y zi（k）；③单位样值响应→利用卷积和求零状态响应y zs（k）＝h（k）*f（k）；④全响应y（k）＝y zi（k）＋y zs（k）。
三、零输入响应和零状态响应1．零输入响应y zi（k）激励为零时，仅由系统的初始状态引起的响应，若特征根为单根时，则零状态响应为起始条件代入上式求出。
2．零状态响应y zs（k）当系统的初始状态为零，仅由激励所产生的响应，若特征根为单根时，则零状态响应为y p（k）求法同经典解法一样。
由零状态条件用递推法导出，再代入上式求出。
系统的全响应既可以分解为自由响应和强迫响应，又可以分解为零输入响应和零状态响应。
四、单位序列响应和阶跃响应1．单位序列响应由单位序列δ（k）所引起的零状态响应，称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h（k），即。
数学中的离散动力系统研究在数学领域中，离散动力系统是指由一系列离散时间步骤组成的动力系统，其中状态变量在这些时间步骤中按照特定的动力学规律进行演化。
离散动力系统的研究对于深入理解自然界和社会现象的动态行为提供了理论基础。
本文将介绍离散动力系统的概念、性质以及在不同领域中的应用。
1. 离散动力系统的概念离散动力系统是一类由时间和状态变量所描述的动力学系统，其演化在离散的时间步骤中进行。
离散动力系统可以形式化地表示为一个映射函数：\[X_{n+1} = f(X_n)\]其中，\(X_n\) 表示在第 \(n\) 个时间步骤中的系统状态，\(X_{n+1}\) 是在下一个时间步骤中的状态，而 \(f\) 是系统的演化规律。
离散动力系统的演化可以通过迭代得到：\(X_1 = f(X_0), X_2 = f(X_1), \ldots\)。
2. 离散动力系统的性质离散动力系统具有一些重要性质，其中最基本的是：不变性、周期性和混沌性。
2.1 不变性在某些情况下，离散动力系统可能存在不动点，即满足 \(f(X) = X\) 的状态变量 \(X\)。
当系统处于不动点时，其状态不会随时间演化而改变。
2.2 周期性如果系统存在一个周期为 \(T\) 的状态轨迹，即在每隔 \(T\) 个时间步骤后系统进入相同的状态，那么该系统就具有周期性。
2.3 混沌性当离散动力系统状态的演化表现出高度敏感性和不可预测性时，我们称其为混沌现象。
混沌动力系统的特征包括：对初始条件极其敏感、演化规律具有确定性但无法准确预测、状态轨迹呈现出非周期性等。
3. 离散动力系统在自然科学中的应用离散动力系统在自然科学领域中有广泛的应用，包括物理学、生物学、化学等。
3.1 物理学离散动力系统在物理学中的应用涉及到许多领域，如天体力学、流体力学和量子力学等。
例如，天体力学中的三体问题可以通过离散动力系统进行建模和分析，研究天体的轨道演化及稳定性。
3.2 生物学生物学中的许多现象，如种群动力学、神经网络和生物节律等，都可以用离散动力系统来描述和解释。
