符号动力系统简介文献综述

符号动力学熵符号动力学熵是一种描述动力学系统无序程度的数学工具。

这个概念可以用来研究信息理论、统计力学、热力学、量子力学等领域中的问题。

在这篇文章中，我们将简要介绍符号动力学熵的概念、性质和应用。

符号动力学熵是指在符号动力学系统中，单位时间内的平均信息量。

符号动力学系统是一种理论模型，用来描述动力学过程中数字、文本等符号串的演化规律。

系统的状态可以用符号串来表示，每一个符号表示系统某个部分的状态。

符号串是由一些预先定义好的符号组成，如二进制数字、字母字符等。

在符号动力学系统中，我们可以定义一个符号串出现的概率。

如果系统中有n个符号，每个符号出现的概率为p_1, p_2, … p_n，我们就可以计算出任意一个符号串的概率。

在信息理论中，每个符号出现的概率可以看作是信息量。

一个出现概率较低的符号带来的信息量更高。

例如，对于一个二进制数字串00101101，如果我们知道前五位，那么在接下来的三位中出现1的概率为^{3}/_{4}，而在接下来的三位中出现0的概率为^{1}/_{4}。

由于出现0的概率低，当接下来的三位为010时，我们会觉得比接下来三位为101要更惊讶，因为前者出现的概率小，所携带的信息量也更大。

一个系统的符号动力学熵H可以用以下公式来计算：H = -\sum_{i}p_i \log_2(p_i)这里的i表示系统中的每个符号，p_i表示符号i出现的概率，\log_2表示以2为底的对数。

由于p_i是小于等于1的数，并且对数函数的值是负数，所以符号动力学熵是非负的。

符号动力学熵也被称为香农熵或信息熵。

不同的符号串所包含的信息量是不同的。

如果一个符号串的出现概率较高，它所携带的信息量就较小；反之，如果一个符号串的出现概率较低，它所携带的信息量就较大。

符号动力学熵可以用来衡量一个系统的“无序程度”。

如果符号串的出现概率分布较均匀，那么符号动力学熵就比较大，说明系统比较混乱；反之，如果出现概率分布不均匀，符号动力学熵就比较小，说明系统比较有序。

文献综述与文献检索文献综述是指对特定主题领域内已经发表的文献进行全面、系统和批判性地总结、分析和评价。

它是研究工作的重要组成部分，旨在了解研究领域的最新进展、探究研究问题的现状和研究方法的应用情况。

而文献检索则是为了找到适合文献综述的相关文献，以支持研究工作的进行。

本文将分别介绍文献综述的步骤和文献检索的方法。

文献综述的步骤一、明确研究主题文献综述的第一步是明确研究主题，并确定相应的研究领域。

要选择一个明确具体的研究主题，避免过于宽泛或过于狭隘。

有了明确的研究主题，才能更有针对性地进行文献检索和综述。

二、收集文献通过各类数据库、期刊、会议论文和专业书籍等途径，收集与研究主题相关的文献。

需要充分利用各种信息资源，包括图书馆、在线数据库、学术搜索引擎等。

同时，借助引文索引和同行评审，可以扩大文献的范围，获取更多的相关文献。

三、筛选文献在收集到的文献中，根据研究主题和研究目标进行筛选，排除与研究不相关或质量不高的文献。

筛选时可以根据文献的标题、摘要和关键词进行初步判断，初步确定是否符合研究要求。

四、阅读文献对筛选后的文献进行仔细阅读，理解文献的内容和意义。

需要注意的是，要深入理解研究的目的、方法、结果和结论，并将其与自己的研究主题进行对比和分析。

五、总结和分析文献在阅读过程中，将收集到的文献进行总结和分析。

可以根据文献的内容进行分类，比较不同文献的研究方法和结果，发现研究的差异和共同点，并提炼出有效的信息，为后续的研究工作做好准备。

文献检索的方法文献检索是为了收集与研究主题相关的文献，并获取最新的研究成果。

以下介绍几种常用的文献检索方法。

一、检索词的确定根据研究主题确定检索词，包括相关的关键词、术语和同义词。

要选择权威的、与研究主题相关的词汇，以确保检索结果的准确性和全面性。

二、选择检索工具文献检索涉及多种检索工具，包括图书馆目录、学术搜索引擎、在线数据库等。

根据研究需求选择合适的检索工具，借助其提供的检索功能和检索策略进行文献检索。

国内外研究概况一、国外研究概况：1.1885年，Backlund在研究负常曲率曲面时发现了SG方程的两个不同解之间的Backlund变换.它在后来的孤子理论中发挥了重要的作用.2.19世纪50年代，Hopf与Cole提出了将非线性Burgers方程线性化的Hopf-Cole变换. Hopf-Cole变换将非线性Burgers方程与线性热传导方程联系起来，可看作两个方程之间的Backlund变换.此后，人们发现了很多Backlund变换可以将非线性微分方程线性化，如Kumei 和Bluman利用群论的方法使得非线性微分方程线性化.3.1967年，Gardner，Greener，Kruskal和Miura(GGKM)提出逆散射方法，求解了KdV 方程的初值问题.该方法的提出是应用数学的一次重大突破.它不仅为应用数学开拓了一个新领域，而且也为孤子物理学的研究提供了数学工具.4.1968年，Lax将GGKM的思想进行分析，给出了方程的Lax对，提出了用逆散射方法求解非线性模型更一般的框架.1973年，Ablowitz，Kaup，Newell与Segur提出了可求解一大类有物理意义的非线性模型初值问题的AKNS程序。

5.1971年，Hirota提出了双线性方法.通过适当的因变量变换，将非线性模型转化为双线性方程，然后借助形式参数展开法求解非线性模型的精确解.6.1979年，Satsuma给出了Kdy方程Wronski行列式形式的解.此后，Freeman和Nimmo 基于双线性形式，提出了求解非线性模型Wronski行列式解的Wronskian技巧.7.1983年，Weiss、Tabor和Carnevale将常微分方程的Painleve可积的判定方法进行了推广，提出了偏微分方程Painleve可积的判定法.8.1991年，Hirota和Ohta发展了一种寻找原非线性发展方程新的可积系统的程序称为pfaffian程序.9.1995年，Wang等人提出了齐次平衡法，求解了大批的非线性模型.1996年，Gao和Tian改进了此方法来研究高维方程的求解问题.10.2000年，Lou等人提出了多线性分离变量法研究高维非线性模型的解.11.2006年，Hu和Wang提出了另外一种系统化的构造新可积模型的方法一源推广程序.此方法主要是基于无源双线性孤子方程带有任意常数的Pfaffian或行列式形式的N孤子解.二、国内研究概述：在我国，孤子理论的研究开始于20世纪70年代.当时，李政道、杨振宁、陈省身等教授向国内同行介绍孤子理论的研究进展，并指出它的重要性，随后在国内相继开展了这方面的研究工作.目前国内许多科研院所与高校都有关于孤子理论研究的团队.中国科学院数学与物理学部院士郭柏灵在非线性发展方程方面，对力学及物理学中的一些重要方程进行了系统深入的研究，其中包括Landau-Lifshitz方程、Benjamin-Ono方程等非线性发展方程的大初值的整体可解性、解的唯一性、正则性、渐近行为以及爆破现象等，给出了系统而深刻的数学理论。

国内外文献综述地域文化符号文献综述：地域文化符号地域文化符号作为一种重要的文化现象，既承载着特定地域的历史、传统和民俗，又反映了当地人民的生活方式、价值观念和审美观念。

在国内外的文献中，关于地域文化符号的研究已经取得了丰硕的成果，下面将就国内外文献中关于地域文化符号的研究进行综述。

在国内研究中，地域文化符号的研究主要集中在对地域文化的解读和表达上。

比如，一些学者通过对地域特色建筑、传统服饰、民间习俗等方面的研究，探讨了地域文化符号的内涵和象征意义。

他们认为，地域文化符号不仅是地方文化的重要表现形式，更是人们对地域认同感和文化认同感的象征。

此外，还有一些学者从地域文化符号的传承和发展角度出发，研究了地域文化符号的传统与现代的融合，以及地域文化符号在当代文化中的价值和意义。

在国外研究中，地域文化符号的研究主要体现在对文化地理学和文化人类学的关注上。

一些国外学者通过对地域文化符号的地理空间分布和文化景观的分析，探讨了地域文化符号的地域性和文化性。

他们认为，地域文化符号是地域文化的重要组成部分，是地域文化的独特标志，反映了地域的文化特征和历史传统。

此外，还有一些国外学者从文化符号的符号学和象征学角度出发，研究了地域文化符号的符号化过程和文化传播的影响，以及地域文化符号在文化交流和文化认同中的作用和意义。

综上所述，国内外的文献研究表明，地域文化符号作为一种文化符号系统，既反映了地域文化的独特性和多样性，又反映了人们对地域的情感和文化认同。

地域文化符号的研究不仅有助于增进人们对地域文化的了解和认识，更有助于促进地域文化的传承和发展，为地域文化的研究和文化保护提供了重要的理论和实践支持。

希望今后的研究能够进一步深化对地域文化符号的认识，探讨地域文化符号的文化意义和社会影响，促进地域文化的繁荣和发展。

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实用符号动力学物理学进展1O卷实用符号动力学郏伟谋郝柏林(中国科学院理论访理研究所)提要本文是为物理工作者和工程人员而写的一篇综述,介绍一维映射符号动力学的最新进展,及其在研究非线性系统周期和混沌运动中的应用.一,引言符号动力学作为动力学系统—般理论的一个分支,源远流长.至少早在上一世纪中叶,使有逸方面的工作,但系统性的研究还始于上世纪和本世纪之交.之后,符号动力学发展成为各态历经理论的核心数学家们以艰深的拓扑学理论的新成果不断丰富其内容,使之赢加抽象,形成令外人望面生畏的数学城堡.然而,符号动力学研究的系统, 是实际系统的简化和抽象,因为模型极为简单,便于用严格的方法作深人的研究.一旦在符号动力学和实际动力学之间建立某种对应关系之后,可将由研究符号动力学系统所得到的结果,应用于研究实际系统,具体化后引伸出适合于该系统的结论.因而,可以说学习动力学系统理论的第一课,应是符号动力学.此话说来容易,对非数学专业的工作者而言做来难.不过,1970年吼来,人们将符号动力学的深刻思想在一维映射系统中形象化,具体化,演化出一种可称作实用符号动力学的方法,它可以只用极通俗的语言如单调性,连续性,道出符号动力学的精髓,并在实际应用中发生奇效.本文试图向非数学工作者介绍这种实用符号动力学,叙述中但求形象,直观,不拘泥于数学严格性.1.1何谓符号动力学形式上非常简单的动力学系统,也可表现出极其复杂的行为.为描述逸些复杂行为,需要尽可能简化的模型系统.所有系统中最简者可说是符号动力学系统.比如说,取两个不同的符号或是字母和工,可构造出许多无限长的符号序列,随手写下一个有?RLRRLLLRLRL….台其第一字母月,便可得另一序列t三月月￡工三月工工….3期郏伟谋等,实用符号动力学这种割舍酋字母派生出新序列的作法称为移位操作或移位.想象每个符号序列代表一个点,所有这样的符号序列点便支起一个符号序列空间如果给定一个符号序列,或者说给定此空间中一点,通过移位可得到一系列新点,它们可称为"轨遭.于是,由移位操作定义了符号动力学系统的动力学.在这个动力学中,符号序列如LLLLLLL…是移位不变的,它是不动点,而符号序列如RLRRLRRLR…则是周期3点.这些序列简单而有规则,可写成L及(RLR),知其现在即可知其将来.还有一些序列极不规贝6,得到它们的方法只能是将逐个字母写出来,它们就是混沌的序列.选种序列点的轨道就是混沌轨道.对符号动力学系统的讨论,如不与实际系统联系,则如游戏一般,但一旦在两者之间建立起对应关系,则符号动力学可成为研究实际系统的强有力工具.通常在物理观测中,由于仪器的精度有限,粗粒描述必不可免,这可看作是我们将观测值域划分成许多间隔,赋予每个间隔一个符号,读数时并非读取一个无限精确的理想值,而是读取一个符号.但是,这里还看不出实际系统和符号系统之间的本质联系.符号动力学的讨论着重于建立符号动力学与实际动力学之间深刻的内在联系,从而得出丰富的结果,换言之,首先将实际系统简化抽象出符号动力学系统加以研究,然后将符号动力学的研究结果再反过来应用于研究实际系统.1.2关于符号动力学的文献据文献1中所录史料,符号序列的使用可归溯至1851年.1921年M.Morse首先注意到符号动力学方法在动力学系统研究中的重要性.1938年在关于动力学系统拓扑理论的一篇文章I中,Morse和Hedlund详细讨论了符号动力学.此后,R.Bowen,D.Ruelle和Y a.Sinai等人在窖态历经理论和微分动力学系统理论方面发展了符号动力学.V.M.Alekseev1811979年将Bowen的6篇文章14-9]编辑成书l;【俄文出版,书名就叫《符号动力学方法'.他和M.V.Y akobson为此书合写了一篇附录.逸篇附录的英文译本"稍后作为综述文章在综述刊物'物理报告(Phys.Rep.)'上发表.J.Ford为在物理杂志上发表的这篇纯数学性文章写了前言,强调了符号动力学方法对于物理学基础的深远意义,极度推崇期刊编者大胆的远见卓识,称他们的勇气犹如敢于在1922年将一篇关于Hilb—ert空间算符代数的数学评述在《物理评论(Phys.Rev.)'上发表.也许这种说法并非吉过其实.Milnor和Thurston1977年有上下两篇讨论一维映射符号动力学的文章,题为《揉捏理论》,只以预印本形式流传很长一段时期,对中国读者却是久寻而不可得,近来已正式发表 1.11l.Guckenbeimer有一篇讲演谈及关于揉捏理论的研究结果".ColleL~Eck —mann的书I,虽然数学味较浓,但详尽地讨论了一维映射的符号动力学.将符号动力学实用化的新近努力始自Metropolis,Stein和Stein的一篇文章""及物理学进展1O卷Derrida,Gervois和Pomeau,的另一篇"I.关于符号动力学的论文数目,正在缓慢而稳步地上升.我们在文献目录中仅能列入与我们的讨论关系较为密切的数篇.中国科学院理论物理所非线性动力学组也开展了映射符号动力学的研究工作,井将符号动力学用于研究微分方程.一些结果已收人新近出版的一本专着…中.(另有简要综述一篇".)该书印行后,又有一些新的进展.关于符号动力学,未见有中文综述.二,单峰映射的符合序列我们考虑如下的一维映射+1:,(,),其中为参数或参数组合.函数,将区间I变换到自身.以下以一维单峰映射,作为最简单而又非平庸的动力学系统,开始讨论.2.1单蜂映射如图1所示,单峰映射,()有唯一的投值点(又称临界点)C,它将区间分割成两音盼,在C点左侧映射I噩数为上升的,右侧为下降的.映射函数的作用是将图中包含C点的区间拉讳,然后折叠一次,置回原区间内.给定区间上一点‰,,以其为初始点进行迭代,可得一条轨道勘,她=,(‰),也:f(xt),…,=,(焉.1),..?(2)如果我们不关心靠在区间上的确切位置,只问共落在C点的左侧和右侧,分别记下字母工或图1单峰映射匝数,()有唯一的极值点C,其左佃0为上升支工,右侧为下降支曰.R,如果恰好落在C上则记C.于是,由轨道(2)可得一个符号序列如果(3)(4)逡里的符号序列只涉及两种字母工和(字母C可认为是退化的L或月),这是最简单的情形.显然,符号序列(3)比之轨道(2)在描述方法上粗糙得多.然而,这种只问左右3期郑伟谋等实甩符号动力学0l9_……一一.__,……—___.一._'__-_●h_-_-__''一'…一的粗粒描述,却带来许多简化且更能反映某些本质.首先,轨道与符号序列问的多一对应,提供了将不同轨道按等价类分类的方法,便于进一步分析研究.其次,符号序列只反映映射拉伸和折叠的本质,不同映射函数的具体形式,只问单调性,于是,由分析符号序列所得到的结果可有极大的普遍性,便于刻划和分析共性,对动力学系统进行科学的分类.既然符号动力学的研究对象是符号序列,首先必须了解对于给定的单峰映射,什么样的符号序列可以出现,以及对于绐定的符号序列是否可找到一单峰映射的一条轨道与该符号序列相对应.这就是允字条件,它是决定一个符号序列或一个字应予禁止或允许的规则.在讨论允字条件之前,必须引进符号序列排序的概念.2.2祷号序列的排序我们知道,区间上取定一点w为初始点,则经迭代可获得一条轨道,进而有一符号序列j(),j()将称作的符号序列,由此建立符号序列和空间点之间的对应.由于粗粒化,不同相空间点可对应同一符号序列.一个极简单的例子如图2所示,容易看出,区间上在C点右侧的所有点,符号序列均为L,而在C点的左侧则为L.区间上所有点的符号序列只能是月L,CL和.L三种之一.''显然,不同的符号序列必定对应于相空间的不同点,否则将与映射为决定论性的前提相悖.如果区阊上两点的符号序列不同,则可将区间上此—=点的大小序自然地赋予它们的符号序列,即段位居右边之点的符号序列一为大,或以式子表作>y===》,()≥,()(5)如果的符号序列为j():s.s1s0…+l…,其次迭传为/f)=弘则显然应有y的符号序列为,(y)=s.….然而,一般不能反过来写X图2不周峰高的单峰映射.=厂(y),因为此处逆函数,不单值,即可取左支也可取右支求逆.分别记左,右支之逆为,L和,R一,在指定左,右支之后,逆函数使单值地定义了.例如,()=RLRRL…且=,'()时,应有=,R-o,LI0,Ro,R()且<0.由这个例子可I墉出,字母和￡分别与逆函数,R和,L相对应,以后只要不弓l起混淆,我们也直接以和L记,R和,L-.相应地,上例可写作:RLRR(y).轨道点一字母一逆函数的对应关系,是符号动力学中基本关系,有必要再说几旬. 如果粕的符号序列为$o8-"s…,由字母与逆函数的对应有如下的逆函数关系式320物理学进展1O卷0=50()=sL(2)一?=s01…s～}(),两边作用以,则有,(0):…s一L(),,(0)=$25a…$n-1<.),(6)(7)等等,体现出映射和移位的对应关系.函数的升降决定于一阶微商.由逆函数和复合函数舶微商规则知,任意有限个单调函数逆函数的多重复合函数,其升降性仅决定于复合函数所含降函数的个数,个数为奇则复合函数为降,否则为升.以下我们由此规则推出符号序列排序规则.两个符号序列不同的最简单情形为…R?和三:…L?.如果区间上某点的符号序列为三,则根据定义它应在C点右侧,而以三为符号序列的点必在左侧,根据序列的排序约定,应有三>最.逸对应于自然序L<C<月.如果两个序列第一个字母相同,但第二个字母不同,逸时须区分两种情形.首字母为工时,如,()=LR…,和,<)= ￡L…,于是=,LI1<月)>,L(L)=,此处记,L<月)YO某个正数的,L-函数值,,LI1<L)YO负数的函数值,上式是,L 为升函数的直接结果.首字母均为月时,因,R为降函数,有倒序关系,A(R)<,置I1<L).于是得涉及二字母的排序规则tLL<三月<月月<月L.一般的情形下.两个序列和三:有一公共字头三,随后出现第一个不同的字母,如z1=zR…,z}=zL…,z=8o$1SEo"?s_自此处s.只取月或L.如果某4-s.恰巧为C,则两序列必相同而不予考虑.如果有两点她和分别以三和为其序列,则可通过在C点右侧取某合适点施加复合函数而获得,如则相应于C点左侧菜点,即=Z(R)2Lxz=三(L),此式三现在指函数.上面讲过,复合函数三的升降性取决于它所含下降函数总数的奇偶性即字符串中字母月的数目的奇偶性,具体说,如果月的总数为奇,则=为降函数,否则三为升函数.据此,可方便地约定字母L的偶性为+1,的偶性为一】,C的偶性相应地定作O.由字母月和L 组成的一个有限字符串或字节,如果它所含字母月的数目为奇,则称奇字节,否则称偶字节,与它所含字母L的数目无关.于是,为偶字节时,应有三…ZR?>L…=三t.而为奇字节时三.<三.比较两个符号序列时,须找出最长公共字节及其随后的第一个不同字母,我们称公共字节加上第一个不同字母组成的字节作主字节.三为偶时,三和中较大者三有主字节三月为奇,三为奇时,较大者为,它的主字节为￡,此时也为奇的.最后,可归纳出如下的3期郑伟谨等,实用符号动力学321排序规则两个不同的符号序歹u,以主字节为奇者为大.如果男有符号序列三.=vC…,即公共字节以c后继,则不难看出,三.必在和三之间.因此,定出三和三z的顺序后,三.相对于三和的顺序也自然地决定了.假定一条周期5的轨遘有符号序列为(RLRRL),根据排序规则可定出轨道五点在相空间中的排序.以l.=(RLRRL)为第0点.,它的一次迭代为,=(LRRLR),得第1点t,依此类推可得五点如表I.序列,和,.以￡为首字母,显然有{,.,,)<{,o,,z,18).两序列,t和,.的主字节分别为LRR和LRL,后者为奇,所以,,l<,.确定主裹I符号序刊(RLRRL)的移位理葛排序字节再检验其奇偶,类似地可得>,n>,:.最后得五个序歹咔的排序为to>,a>,>,>L.以下给出比较喇个不同符号序列大小的一个且C程序t5REMPROGRAMFORCOMPARINGTWODIFFERENTWORDS10DEFINTI-PICLS2OINPUT"THEFIRSTWORDIS?,S1$3OINPUTTHESECONDW0RDIsIs2$4ON=LEN(S1$)IP=15OFORI=1TON.C$=MID$(S1$,I,1)6OIFCS=.RTHENP=一P7OIFCS>MID$($2S,I,1)THENGOTO9080NEXTI90Bs=GREATER,IFP=1THENB$.SMALLERlO0PRINTS1$}ls}BS;THAN.Is2$,.110STOPIEND这个程序中整变量P为字节偶性指标,奇字节有P为一1,每遇一字母月,它改变一次符号(见语句6o).显而易见,所有符号序列中以三为最小,因为与任何其它序列相比,它的主字节永远为偶,也不难看出,最大的符号序列为且￡,因为与任何其它序列相比,它的主字节永远为奇.以￡与0对应,RL与1对应,可建立和￡的符号序列与[0,1]上实数间的一一对应关系.由排序规则还可以证明,如果蜀=△口…和最=△ffz…均以奇字节△起酋,则>l寺l2…<fI乱…,即奇字头倒序.由l>毛,得:的主322物理学进晨10卷字节为奇,又由△为奇,得子序列?和"rIf…中前者的主字节必为偶,充分性得证.必要性的证明完全类似,从m辱.请注意,此处子序列z…和ft…可含公共字节.三,揉序列和允字条件有了符号序列的排序规则后,允字条件可看图识字地由映射函数的图形读出.由图1可知,函数在c点取最大值.设c点的符号序列为,<c)=∞.s…s…,并设在c点左,右两侧任意二点札和xR有符号序列fL=￡kf?和fR=Rr.…,则应有rurl…≤0…s-…,(8)0jl…≤l…s…,因为XL~CR的迭代值必须小于,(C).点,<C)的符号序列决定了字母￡和凡的可能后继序列,ffC)的序列将特别地称作揉序列,并记作.5.1允字条件给定任一符号序列,以L记序列中所有字母￡的后继序列,R的意义类推.例如,对于序列<RLRR￡)有L=~(RRLRL),(RLRRL),,R=((LRRLR),(凡￡肛曰),(LRLRR)).采用记号L和R,单峰映射的允字条件可表述如下.如果符号序列三是允许的,则应满足L≤,R≤.前面说过,一个符号序列可以对应相空间的一个子区间,也可只对应于区间上一点.如果只代表一点,例如在含字母c时,则允字条件中的等号不出现.设有揉序列K=<RLL),此时符号序列(兄己肛)就是允许的,因为它的L和R共五个序列如表I所列,均满足允字条件.但是,对于同一,符号序列曰工且己.曰…就是禁止的,固为这时有<肚0曰…∈L.?违反允字条件.我们定义符号序列的移位算符如下..(0o0ls.一s...)=01...s (9)因为揉序列本身也必须满足允字条件,所以揉序列必须是移位最大的,即<K)≤K,k=0,1,2 (10)因为,<c)随参数而变,所以揉序列也可随参数发生变化.但是,无论如何变化,单峰映§期郑伟谋等一实用符号动力学323射的揉序列总是移位最大的,反过来说,移位最大序列可成为单峰映射的揉序列,于是这时可称移位最大序列为揉序列字.给定的揉序列下,允许的符号序列或允许字可有相空间的对应点,即可找到区间上某点,它的轨道与该序列符合.不被允许的符号序列,也称禁戒字,不可能在区间上找到对应点.允许字有可能大于揉序列,例如,(RLRRL)是=(RLL)时的允许字,有置(矗L月月￡)>.但是,至多经过一次移位后,任何允许字将必小于揉序列.对于如图3以粗线段标出的子区间￡,=[,.(C),,(C)],任何在之外的点,经过有限次迭代后,必定落八【,o因为,(U)=U,一旦经过平庸的暂态过程落八U后,就永远在U内.区间U称为映射的动力学不变子区间.如果对乎庸暂态过程不感兴趣,可只限于考虑子区间.U上所有点的符号序列均不大于揉序列.也许在这里可说几句暂态过程.假定在某参数值下映射有稳定周期轨道,我们任取一点为初始点,数值地寻找这个周期轨道.如果初始点不恰好为周期点且计算精度是无限的,则永远处于暂态状态,周期点永远不可及.只是因为精度有限,我圜3们才迟早可看到周期运动.然而,采用符动力学不变子区间U=[严(G),,(G)].【,上任意点的符号序列均不大子揉序列.号描述时,最终得到周期字节,处理暂态更显自然,这也可见符号动力学粗粒描述的方便之处.数学文献中用到"终周期序列一词,它可对应予暂态,也可属非皙态,后者将在下文讨论.现在证明两条简单命题,(1)除L和外,揉序列字必以L起首.假设存在一个揉序列字不以肛起首,剐它必以工"月(≥1)或月L忡≥2)起酋,但是,￡一只…<n(L—R…)…R?,或者tL…<m(R-..)=RL…,均与揉序列字的移位最大性矛盾,命题得证.(2)揉序列字不得以重复的奇字节开头,除非它为该字节的周期序列.假设揉序列字以重复的奇字节△超酋而又不是△,将△所含字母数n称作其长度,记作IAI =n,刚可写=AAF…,此处r…年且IFI=IAI.因为为揉序列字,应有△△r…≥()=AF….324物理学进展1O卷因为奇字头导致倒序,所以由上式得△r…≤r…,亦即△≤r.再由△△r…≥"(K)=r…,又有△≥r.最后只可能△=r.依次类推,应有K=△0…=△'……一△.与年△的假定矛盾.命题得证.最后给出检验以C结尾昀符号序列是否为揉序列字的BASIC程序.5REMPROGRAMFORCHECKrNGADMISSIBILITY1ODEFINTI-P.PRINTPLEASESETCAPS—LOCKKEYON.2OINPUTTHEWORDTOBEcHECKEDIs,S$30N=LEN(S$)4OFORr=lTON一1,P=llFORj;1TON—l50C$;MID$(S$,J,1)tIFC$=.RTHENP=一P6oIFe$t>MID$tS$,I+J,I)THENGOTOB070NEXTJ80rFP=lTHENPRINTTHEWORDISINADMISSIBLE.STOP90NEXTrtPRINT.THEWORDISADMISSIBLE.STOP100END5.2麒稳揉序列和MSS袁对于单峰映射,揉序列决定了给定映射下可能出现的所有符号序列,实际可出现的任意符号序列,至多经一次移位操作后,必不大于揉序剐.由于揉序列直接反映动力学,它可方便地作为映射参数的一个度量,而称给定映射为揉序列取某字的映射.揉序列含字母C时,称作超稳揉序列.对于给定的一条周期轨道,常以由一阶微商给出的切变换刻划轨遭点对初值微扰的敏感性.当该周期轨道含临点C时,由复合函数一阶微商的涟乘法则知,它有最小敏感性,因此,这样的轨道称为超稳轨道,相应地,与之对应的含字母C昀揉序列得名超稳揉序列.通常超稳揉序列只写至第一个字母C,而不特别明显地写出无穷周期重复.实际观测及数值计算精度均有限,人们往往通过认识周期轨道及其切空间去把握系统动力学行为.这是周期轨道在研究混沌中的意义.以下将看到,有超稳揉序列,剐必有与之关联约非超稳周期揉序列,因此,短超稳揉序列具有特别重要的意义.将字长不超过某给定整数的所有超稳揉序列,依从小到大的顺序排列成表,就是第n级MSS 谙稳揉序列排序表,简称MSS~~,最先由MetroPolis,Stein和Stein得到".这里在表Ⅱ给出第7级S虢.5.5届期窗口定理Metropolis,Stein和Stein最初找排序表时,;l八了一个符号彦Ⅱ的谐序列和反谐序列的概念,提出了获得介于给定的酯个超稳揉序列之间的最短超稳揉序列即中介字的§期郑伟谋等实用符号动力学32s方法.可是,揉序列的反谐序列不再为揉序列,反谐序列是人为地引进的,实际上也无必要,它既掩盖了推导过程的物理图象,也不易推广至其它非单峰映射.本文不再介绍他们的方法.这里将采用的方法,只涉及判单调性和连续性的简单概念,它以下述定理为基础t周期窗口定理"如果.s…sc为揉序列字,其中s为工或月,目Ⅱ符号序列(s.s.?一s二)和(s.s…s.月)也为揉序列字.定理的证明将在附录中给出,这里讨论一下它的含义.周期窗口定理基于连续性,因为C是退化的工或R.符号序列的周期窗口定理可与映射函数的周期窗口定理相对应.后一定理说,稳定周期轨道的参数值形成区间,它又是基于如下的稳函数定理;a假设G:R一只为一次可微函数,且在点(确,Y o)处满足G(xo,yo)=0和素■G(xo,yo), 牟O,ⅢⅡ存在含x.的开区间J和含y0的开区间J,以及可微函数P:J—J,它满足P(x.)=yo,且对所有∈I有G(,p(x))=0.根据周期窗口定理,由一超稳揉序列字,可生成两个非超稳揉序列字(三月)和326物理学进腱l0卷(三L).以下将三月和暑L中较大者记作(三C)+,较小者记作(三c)一,显然恒有(三c)+为奇.我们将分别称[(三C)+]和[(三C)一]为三C的上,下序列.周期窗口定理的逆定理未必成立,仅须举一反例使可说明问题.显然=(RRR)是揉序列字,但RRC不为揉序列字.然而,仍可找到如下的修正逆定理如果周期符号序列(乱…st)的揉序列字,且$1o~o不可表成更短字节的周期重复(或称不可约),此处,s,…,s和f只取或,则序列…s.C也为揉序列字.这个定理的证明与周期窗口定理的证明相似,仅在最后一步有所差异(见附录).5.4中介宇的生成"现在运用周期窗口定理求中介字.给定两个揉序列字三c和三.C,假设c<邑C 由周期窗口定理知,存在揉序列字[(三C)+]和[(三C)一],满足三1C<[(三1C)+]≤[(三2C)一]=<三2C.[(三C)+]=三'…,[(三C)一]:三."…,此处三'为两个序列的最长公共字头,且牟,则可证明三C即为中介字.显然介于三c和三zC之间的所有符号序列必须均以三'为字头,'C为最短无疑,余下仅须证实其移位最大性.假设三C非移位最大,则存在≤'『,使得三.C<(三C).不难看出, (三')和(三.)中总有一个应小于(三C),不妨设它为前者,则有'…<(三'C)<(三'…),与序列三'…为移位最大的结论矛盾,于是证实了三'C的移位最大性.如果[(三.C)+]=[(三:C)一],则三tC和三=C之间不存在中介字,称三C和三±C相邻.以下给出求字长不超过预设值的中介字的BASIC程序t5REMPROGRAMFORCONSTRUCTINGMEDIANWORDl0DEFINTI—T,PCLS21)INPUTTHESMALLERWORDIS.,S1$30INPUTTHEGREATERWORDIS.,s2$40INPUTTHEMAXLENGTHOFTHEMIDIANWORDIS;.N5ON1=LEN(S1$)N2;LEN(s2$)6ONN=Nl一1一S$=MIDS(s1$,1,NN)lP=1,GOSUB200.S1$=SS70NN=N2—1tS$=MID$(s2$,1,NN){P=一1tGOSUB200;s2$=S$80FORI=OTON一1lI1=(IMODN1)+1II2=(IMODN2)+10OIFMID$(s1$,I1,1)()MID$(s2$,I2,1)THENGOTO1201OONEX个I110PRINT"NOMEDIANWORDSHORTERTHAN';N;.lSTOP120S$=MID$(s$,1,I1—1)+"clIFI~N1-1THENs$=s1$+S$130PRINTTHEMIDIANWOilDISIIS$j".ISTOP200FORI=1TONN210IFMID$(s$,I,1)=R,THENP=一P4}t二3期郑伟谋等t实用符号动力学327220NEXTI230C$"R.IFP=一1THENC$=L240S$=S$+C$;RETURN250END程序中语句120P_,用到揉序列字不得以重复奇字节为首的性质.我们知道,周期不超过月的揉序列字中,最小者C,最大者为RLC.由此二超稳字可得第一级中卉字,这个中介字分别与最初的两个超稳字,又可生成第二级中介字,逐级进行这个手续,保留其中字长不超过给定整戮月者,可得MSS表.超稳揉序列字有两条简单的性质.其一也用在周期窗l=I定理的证明中,即如果字长为月的超稳揉序列字2C与其k次移位字(2C)相比,除后者的末字母C外,所有(" 一一1)个字母完全相同,N2c的前("一k)个字母必构成奇字节.其=是由周期为"的超稳揉序列字XC,可生成一个周期2n的超稳揉序列字(XC)+XC,且二字相邻. 首先证明这个倍周期字的移位最大性.如果月≤^<2n,显然有(三C)+三C>三C>5,"(三C)=5,((三C)+三C).当1≤k<月时,如果(三)不构成三的酋字节,则三C的移位最大性,保证了该倍周期字的移位最大性,否则,由上一性质,(2C)+的前(一)个字母构成奇字节,将之记作r.此时如((X-C)+)为偶,则无须多言.如果该字节与r相台,将之移去后须验证((X-C)+三C)<2C,此武当然成立,因为由(2C)+及r为奇得n'k((2C)+)应为偶.于是,倍周期字的移位最大性得证.再由[((三C)+2C).]:[(2C)+(2C)+]=[(2C)+],可知单周期字与倍周期字之间无中介字.四,二次方映射前面虽经提到,符号动力学方法将研究对象尽可能地简化,但符号动力学系统只显示骨骼,而实际系统则为血肉之躯,最终还须建立符号动力学系统和实际系统之间的联系,将符号动力学的结果应用于研究实际系统本节以符号动力学方法讨论一个实际系统——二次方映射,():1一.,∈[一1,1],∈(0,2],(11)此式为参数.这个简单而远非平庸的映射在非线性动力学系统研究中扮演了扳重要的角色.在阻后深入讨论符号动力学之前,有必要简要地叙述关于二次方映射的一些重要结果.数值计算发现,参数的大小排序,与映射(11)的揉序列排序一致对于任意的单328l物理学进展iO卷峰映射而言,情况未必是这样,倒如只须对(11)式中的作一变换=<),容易选择变换函数使得两个k值可对应于同一值,于是在参数的空间,该值对应的揉序列将出现两次.MSS表的意义在于,如果在参数々和k.时分别有不同的揉序列和‰,则必可在k和k.之间找到某参数k,使它对应的揉序列为处于和之间的任意揉序列.4.1由二次方映射产生M$S表上节介绍了生成中介字的方法,原则上运用该法可得到MSS表.符号动力学不问系统细节,MSS表对于所有单峰映射普适,既然如此,MSSZ表也可通过二次方映射的实例产生.这里舟绍一个非常实用均方法,给出如下产生MSS表的BASIC程序. 5REMPR0GRAMF0RGENERATINGMSS—TABLE6REMBASEDONTHELOGISTICMAP。

动力系统的概念这一章是对于事实的调查，而且来源于应用于全书的动力系统理论。

我们的主要目的是为后面的章节确定固定使用的常用符号和专业术语，并且回想一些常常在课本的前言中不被讨论的理论的一些方面。

为了更容易的阅读，我们保持讨论时采用非专业术语，并尽可能地避免技术上的符号和观点。

然而许多遗漏的细节可以从研究生使用的动力系统的课本的前言中找到，一些更加先进的课题仅仅在研究性的文章中涉及到。

在某些情况下，我们将提供一些在更深的章节中关于这个主题的参考。

另外，我们鼓励读者使用附录A 和B 作为基于不同的几何和函数分析的参考。

流量，映射，动力系统对于任意的集合P ，一个变换群:P P tF →中的任意的一个参数t 属于实数，如果()x x F =0对于所有的x 属于集合P ，并且s t s t F F F =+对于任意的 ,t s , 属于实数都成立,则被称为一个流。

这两个属性表明t F 和它的逆t F -是不可以转化的。

这一组合t (,)p F 叫做基于空间P 的一个连续的动力系统。

换句话说，一个连续的动力系统包括一个可能状态集合和唯一决定将来状态)(x F t 的当前的状态函数x 的变化规则。

通过x 这一点的变化轨迹是集合)()(x F U x t R t ∈=γ。

一个固定点的流是一个点x 且x x F t =)(对于任意的R t ∈都成立。

这个流的一个周期的轨迹就是通过这一点x 对于那些存在的正数T,并且满足x x F T =)(的这样的轨迹。

如果用以上所说的映射族t F 定义只需0≥t ，且对于所有的t ，s 满足()x x F =0和s t s t F F F =+，则t F 叫做半流形。

注：半流形通常是不可逆的，动力系统的一个典型的特征是在无穷大的空间中是确定的。

当有单独向映射P P f →:且存在()f P ,时，离散动力系统是确定的。

这样的系统还有一些性质即通过f 的迭代次数可以得出唯一的当前状态决定所有的将来状态()(),...,2x f x f 。