高等数学教学设计——中值定理

第六讲 中值定理一、罗尔(Rolle)定理1、引理(费马引理) 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,若()f x 在点0x 可导,且0()x U x ∀∈有0()()f x f x ≤ (或0()()f x f x ≥).则0()0f x '=.2、定理(罗尔定理) 若函数()f x 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导; (3)()()=f a f b , 则至少存在一点(,)∈a b ξ,使()0'=f ξ3、几何意义：例1 验证函数3()3=-f x x x在[内至少存在一点ξ,使得()0'=f ξ,并求出ξ的具体位置例 2 设,,a b c 是任意实数,证明32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1、定理(拉格朗日中值定理) 如果函数()f x 满足：(1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导,则至少存在一点(,)∈a b ξ,使得： ()()()-'=-f b f a f b a ξ. 2、几何意义：例3 证明不等式ln --<<b a b b a b a a (0)<<a b . 3. 两个重要推论推论 1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内可导,则()f x 在(,)a b 内恒等于常数的充要条件是()0'≡f x .推论2 如果函数()f x 、()g x 在区间(,)a b 内可导,且对任意的(,)∈x a b 有()()''=f x g x ,则在区间(,)a b 内()f x 与()g x 只差一个常数C ,即()()=+f x g x C例4 试证明恒等式:arctan arctan ()2x x e e x π-+=-∞<<+∞课堂练习1. 利用微分中值定理证明下列不等式: (1)sin sin b a b a -≤-;(2)1(0)x x x e xe x <-<>.2. 证明恒等式: arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤.3. 设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(1)0f =,证明存在一点(0,1)ξ∈,使 ()()0f f ξξξ'+=.。

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课题：§4.1微分中值定理与洛必达法则教学目的：1.理解微分中值定理及其推论的内容2.理解未定式的概念及洛必达法则，能熟练运用法则求函数的极限教学重点：微分中值定理、洛必达法则及其应用教学难点：微分中值定理、洛必达法则及其应用课型：讲授课课时：2课时教学过程一、导入新课本章将介绍中值定理及导数的应用，其中中值定理在微分学中占有十分重要的地位，也称为微分中值定理，是导数应用的理论基础。

二、讲授新课（一）柯西中值定理定理1（柯西中值定理）如果函数满足下列条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导；（3）F'(x)在（a,b）内的每一点均不为零，那么，在（a,b）内至少存在一点, 使几何解释：若将x看成是参数，则可将X=F(X),Y=f(x)看作是一条曲线的参数方程表示式，f(b) f(a)f ( ).g(b) g(a)g ( )f(b) f(a)f'( )F(b) F(a)表示连接曲线两端点A(F(a),f(a)),B(F(b),f(b))的弦的斜率，而F'( )则表示该曲线上某一点的斜率。

因此，其几何意义是：在连续且除端点外处处有不垂直于轴的切线的曲线弧上，至少存1 在一点C，在该处的切线平行于两端点的连线。

（二）洛必达法则把两个无穷小之比或者两个无穷大之比的极限称为“0 ”型或者“”型不定式（或未0定型）的极限，洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限的方法。

定理2（洛必达法则）若（1）x x0limf(x) 0,limg(x) 0x x0（2）f(x)与g(x)在x x0x0的某个邻域（点x0除外）可导，且g'(x) 0；lim（3）f'(x)Ag'(x)（A为有限数，也可为或）则limf(x)f'(x)lim Ag(x)x x0g'(x)x0x x0证：由于要讨论的是函数在点与g(x)在在点的极限，故与函数在该点x0的值无关，所以可补充f(x)，则f(x)与g(x)在点连续，x0的定义，且对问题讨论没有影响。

高数大一上知识点总结中值定理高等数学（一）知识点总结：中值定理在大一上学期的高等数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识和定理，其中之一就是中值定理。

中值定理是微积分中的重要定理之一，它在分析函数的性质以及解决实际问题中扮演着重要的角色。

本文将对中值定理进行总结和讨论。

一、中值定理概述中值定理是微积分的基本定理之一，它包括三个重要的定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

这些定理都是以其创立者的名字命名的，它们在解决函数连续性和导数性质相关问题时非常有用。

二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最常见和基础的一个。

它得出的结论是：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得函数的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

换句话说，存在c∈(a, b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

三、柯西中值定理柯西中值定理是在拉格朗日中值定理的基础上进行拓展得到的。

柯西中值定理的条件为：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0。

那么在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c)。

柯西中值定理的重要性在于它将一个函数的导数和在另一个函数上的值联系在一起。

这个定理可以用于证明其他重要的数学定理，如罗尔定理和拉格朗日定理的推广形式。

四、罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中的一个特例，它的前提条件是函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a)=f(b)。

那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)=0。

罗尔中值定理的直观理解是：如果一个函数在两个端点处取相同的值，那么在函数曲线上至少存在一个点处的切线斜率为零。

第四章 微分中值定理和导数的应用本章知识◆ 微分中值定理 ◆ 洛必达法则◆ 函数单调性的判定 ◆ 函数的极值及其求法 ◆ 函数的最值及其应用 ◆ 曲线的凹凸性和拐点 ◆ 曲线的渐近线◆ 导数在经济分析中的应用本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数极值、最值的求法和实际应用本章难点：函数最值的应用，弹性函数 4.1微分中值定理 4.1.1罗尔定理定理（罗尔（Rolle ）中值定理）：若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续， （2）在(a, b)内可导， （3）f (a) = f (b)，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0.f ξ'=罗尔中值定理的几何意义两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴.4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理定理：拉格朗日(Lagrange)中值定理若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续，（2）在(a, b)内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()().f b f a f b a ξ-'=-拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何意义在曲线弧AB 上，至少存在一点C ，该点的切线平行于AB 。

拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.'(,),()0,()()x a b f x f x c c ∈==推论：如果对于任意有则为常数()()(,)()()()x a b f x g x f x g x c c ''∈=+/推论：如果对于任意，有=则为常数4.2洛必达法则洛必达法则型型及基本不定式:001.2.4∞∞()(),()(),()0lim .()0x a x x a x f x g x f x g x →→∞→→∞∞∞如果当或时两个函数与都趋于零或都趋于无穷大那么极限称为或型未定式 定理 (洛必达法则)：(),()(1),()();(2)(),()()()0;()(3)lim ();()()()lim lim .()(),.()().x a x a x a f x g x x a f x g x a a f x g x g x f x g x f x f x g x g x x f x g x →→→→'''≠'''='→∞设满足：当时函数及都趋于零在点的某领域内点本身可以除外及都存在且存在或为无穷大那么当时该法则仍然成立当及都趋于无穷大时，该法则仍注1：注2然成立：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用，效果更好.()()()()()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x x ''''=''=''∞∞''∞∞→→→→→00000lim lim lim 00lim 200lim1续使用洛必达法则，即仍满足定理，则可以继，”型不定式，且函数”或“还是“）若”型不定式”或“必须是“）注意使用洛必达法则是必须4.2.2其他不定式000,,0,1,∞⋅∞∞-∞∞型未定式解法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。

高数中值定理，语句通顺顺畅中值定理是高等数学中的一个重要定理，它指的是一个多项式的极值点（最大值点或最小值点）必须是位于它的表达式和它的一阶导数之间的根点（即零点）。

它建立在极值定理的基础上，是几何分析学的一项重要基础理论。

中值定理的主要应用在几何分析学中，即，如果一个函数f(x)在一段区间上经过最大值点，或者在另一段区间上经过最小值点，那么这两个区间之间，必然存在一个极点，它是函数f(x)和它的一阶导数f'(x)的零点，也就是说，当函数f(x)的值等于f'(x)的值时，函数f(x)在此点取到最大值，或者最小值。

中值定理的原理可以用一个例子简单地表述，假设有一个函数f(x)，它满足条件f(x) >= 0和f'(x) = 0这样的关系，那么说明函数f(x)在点x处取到最大值，这就是中值定理的基本原理。

因此，中值定理为几何学研究者提供了参数估计、函数研究、函数优化和曲线研究等等实用的技术手段，其中，最基本的应用有两个。

一是采用中值定理的思路，可以轻松地求出一个下限，数学上叫最小值；二是采用中值定理的思路，可以求出一个上限，数学上叫最大值。

中值定理的对象也比较广泛，其函数不仅可以是二元函数（一般情况下，指多项式函数），也可以是n元函数（一般情况下，指函数组）。

不管哪种函数，在经过极值点后，它们都可以使用中值定理去验证它们是否达到极值点。

此外，中值定理也可以用于数学研究中求解积分。

例如，当估算函数f(x)在（a,b）内的最小值时，可以使用中值定理求解积分。

总之，中值定理是一个非常有用的定理，它不仅可以用于几何分析，而且可以应用于数学的普遍性研究。

学习和使用中值定理，非常有必要，能使我们更加深入地理解几何学和数学，并有效解决实际问题。

⾼等数学——积分中值定理本⽂始发于个⼈公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是⾼等数学专题的第12篇，我们继续来看定积分。

之前在讲微分求导内容的时候，介绍过⼀系列微分中值定理的推导。

既然有微分中值定理，那么⾃然也有积分中值定理，我们下⾯就来看看积分中值定理的定义。

极值定理极值定理也叫最⼤最⼩值定理，它的含义⾮常直观：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续的函数，必然存在最⼤值和最⼩值，并且取到最⼤值和最⼩值⾄少⼀次。

这是⼀个⾮常有名的定理，定理的内容很直观，也不难理解。

但是证明它不太容易，是由区间套定理与B-M定理等多个定理推导得到的，这段证明过程⽐较复杂，由于篇幅和⽔平的限制，本⽂当中只能跳过这部分，感兴趣的同学可以⾃⾏了解。

我们假设m和M分别是区间[a, b]上函数f(x)的最⼩值和最⼤值，那么根据极值定理，可以得到以下式⼦成⽴：这个式⼦光看可能会觉得有些复杂，但是我们把图画出来之后⾮常简单：上图当中灰⾊阴影部分就是定积分的结果，蓝⾊的矩形⾯积是m(b-a)，⼤的矩形⾯积是M(b-a)。

通过⼏何⾯积的关系我们可以很容易证明结论。

数学证明也很简单，由于m和M分别是最⼩值和最⼤值，所以我们可以得到。

我们把常数也看成是函数，进⾏积分，于是可以得到：两边积分的结果就是矩形⾯积，于是我们就得到了证明。

积分中值定理极值定理⾮常简单，但是是很多定理的基础，⽐如我们的积分中值定理就和它密切相关。

我们对上⾯的式⼦做⼀个简单的变形，由于b-a是常数并且⼤于0，所以我们在这个不等式两边同时除以b-a，可以得到：我们把这个式⼦看成⼀个整体，它的值位于函数在区间的最⼤值和最⼩值之间。

根据连续函数的介值定理，我们⼀定可以在[a, b]上找到⼀点，使得f(x)在这点的取值与这个数值相等，也就是说：上⾯这个式⼦就是积分中值定理了，这⾥有两点要注意，我们先来说简单的⼀点，就是我们⽤到了连续函数介值定理。

所以限定了这必须是⼀个连续函数，否则的话，可能刚好函数在点处没有定义。

极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点x定理)(是特殊情况C x f ≡证二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(=′∈ξξf b a 使得定理实际上, 切线与弦线AB 平行.实际上, 切线与弦线AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤∵],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( =′∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈=′ξξ证又, )( 是四次多项式x f ∵, )( 是三次多项式x f ′∴.0)(至多有三个实根=′x f 综上所述,,0)(仅有三个实根=′x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a分析在证则由证证定理切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB −−−+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？证推论 1推论 2推论 3用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性证证证 )()( C e x f x x ==ϕ证证证例10)].0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(f f f x f −=′∈ξξξ使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证结论可变形为ξξ2)(01)0()1(f f f ′=−−.)()(2ξ=′′=x x x f ,)(2x x g =设,]1,0[)(),(条件上满足柯西中值定理的在则x g x f 有内至少存在一点在,)1,0(ξ∴ξξ2)(01)0()1(f f f ′=−−)].0()1([2)(f f f −=′ξξ即Rolle 定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxg=)()()(bfaf=罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；。

高等数学拉格朗日中值定理高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它被广泛应用于求解函数的极值、证明函数的性质以及推导其他数学定理等方面。

拉格朗日中值定理是法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出的，它建立在导数的基础上，描述了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。

拉格朗日中值定理的表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。

简单来说，拉格朗日中值定理告诉我们，对于任意一段曲线，至少存在一个点，该点的切线斜率等于该曲线两个端点间的斜率之差。

为了更好地理解拉格朗日中值定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设有一个汽车在某段时间内行驶了一段距离，我们希望知道在这段时间内汽车的平均速度与某一刻的瞬时速度之间的关系。

根据拉格朗日中值定理，平均速度等于瞬时速度。

具体而言，在某一刻，汽车的瞬时速度等于汽车在该段时间内的总位移除以该段时间的长度，即平均速度。

拉格朗日中值定理的应用远不止于此，它可以用于证明很多重要的数学定理。

例如，利用拉格朗日中值定理，我们可以证明柯西中值定理、罗尔中值定理和费马定理等。

这些定理在微积分中具有重要的地位，并且被广泛应用于求解极值问题、证明函数的性质以及推导其他数学定理。

总之，高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项基础且重要的定理。

通过该定理，我们可以了解函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。

此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明其他重要的数学定理，为我们研究函数的性质和求解实际问题提供了有力的工具。

极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点x定理)(是特殊情况C x f ≡证二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(=′∈ξξf b a 使得定理实际上, 切线与弦线AB 平行.实际上, 切线与弦线AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤∵],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( =′∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈=′ξξ证, )( 是四次多项式x f ∵, )( 是三次多项式x f ′∴.0)(至多有三个实根=′x f 综上所述,,0)(仅有三个实根=′x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a分析在证则由证证定理切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB −−−+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？证推论 1推论 2推论 3用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性证证证 )()( C e x f x x ==ϕ证证证例10)].0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(f f f x f −=′∈ξξξ使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证结论可变形为ξξ2)(01)0()1(f f f ′=−−.)()(2ξ=′′=x x x f ,)(2x x g =设,]1,0[)(),(条件上满足柯西中值定理的在则x g x f 有内至少存在一点在,)1,0(ξ∴ξξ2)(01)0()1(f f f ′=−−)].0()1([2)(f f f −=′ξξ即Rolle 定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxg=)()()(bfaf=罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；。

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4。

1微分中值定理单元教学设计一、教案头二、教学设计4.2函数的极值和最值单元教学设计一、教案头二、教学设计4（案例）案例应用案例1求1213123+++=xxxy的极值案例2讨论2-x ey=的极值案例3有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起,做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x取和值时水槽的流量最大？案例4铁路线AB距离为100公里，工厂C距A为20公里，AC垂直于AB，今要在AB上选定一个点D向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3：5，问D点选在何处才能使从B到C的运费最少？案例5现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗学生讨论学习数学软件演示图像60分钟4.3函数图像的描绘单元教学设计一、教案头能力训练任务及案例任务1函数的凸凹性和拐点任务2 函数的渐近线。

任务3按步骤描绘函数图像案例1（注水曲线凸凹）设水以常数0,/3>asam注入下图的容器中，请做出水上升的高度关于时间t的函数)(tfy=，并阐明此函数的拐点和凸凹性.案例2描绘函数2-)1(42xxy+=的图像。

案例3（最值问题)要用铁皮造一个容积为V的圆柱形闭合油罐，问底半径r和高h等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径r和高h 的比值是多少？案例4（最值问题) 要建造一个上面是半球形，下面是圆柱形的粮仓，其容积是V,问当圆柱体的高h和底半径r为何值时，粮仓所使用的建筑材料最省?教学材料高等数学教材侯风波主编高等教育出版社高等数学习题集张天德主编山东科技出版社高等数学应用205例李心灿主编高等教育出版社经济数学基础顾静相主编高等教育出版社二、教学设计关于凸凹性有重要的定理:设函数)(x f y =在b)(a,内有二阶导数。