高数中值定理

⾼数中值定理第三章中值定理与导数的应⽤中值定理与导数的应⽤的结构洛必达法则Rolle 定理Lagrange 中值定理常⽤的泰勒公式型0,1,0∞∞型21∞-∞型∞?0型00型∞∞Cauchy 中值定理Taylor 中值定理xx F =)()()(b f a f =0=n gfg f 1=211221111∞∞∞-∞=∞-∞取对数令gf y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根⽅法.导数的应⽤第三章中值定理与导数的应⽤1. 中值定理2. 常⽤麦克劳林公式3. 洛必达法则4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点7. 最值问题8. 典型例题1. 中值定理泰勒中值定理设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在ξ ,使（柯西中值公式）)()()()()()(''ξξg f b g a g b f a f =--（拉⽒中值公式）)()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使罗尔中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=010)1(000)()()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n nk n n x x n f x x n x f x f ξ拉⽒中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导, 那末),(b a ∈?ξ,使)()!12()1(sin 22012+=+++-=∑n nk k kx o k x x )()!2()1(cos 1202+=+-=∑n nk k k x o k x x )()1()1ln(11nnk k k x o k x x +-=+∑=-!)1()1(k n k +--=ααααΛ)()1(0nn=+∑=αα)(110n nk k x o x x +=-∑=)(!nnk kxx o k x e +=∑=2. 常⽤麦克劳林公式不定型或）（∞∞001不定型）（00,1,0,,02∞∞-∞∞?∞3. 洛必达法则)()()(lim )()(lim ??∞=''=→→或l x g x f x g x f x x 0 1100∞=∞=∞∞=∞01ln exp∞=∞11ln exp 1?=010ln exp 00211221111∞∞∞-∞=∞-∞上单调减少在，则函数内如果在上单调增加在设函数],[)(0)(),()2(],[)(0)(),()1(),(],[)(b a x f y x f b a b a x f y x f b a b a b a x f y =<'=>'=单调性定理 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点．点统称为极值点和极⼩值点极⼤值值点；⼩的⼀个极⼤是值，称⼩的极⼤是就称值，那么⼩的某邻域内的唯⼀最⼤在是如果)()()()()()()()()()()(0000x f x x f x f x x f x f 极值定义5. 函数图形性质的讨论x(x0, x1)x1(x1, x2)x2(x2, x3)x3(x3, x4) f '(x)+--+f "(x)-+f (x)图形单增极⼤f ( x1)单减⽆极值单减极⼩f ( x3)单增先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1,x2,x3 ), 再按下表判断若)(x f 在0x 可导有极值 , 则0x 为)(x f 的驻点极值可疑点：不取极值在不变号，则的左、右邻域如果在取极⼤值在，则，右邻域的左邻域如果在取极⼩值在，则，右邻域的左邻域如果在的去⼼邻域可导，那么在设连续函数0000000)()()3()(0)(0)()2()(0)(0)()1()(x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x x x f y '<'>'>'<'=极值第⼀充分条件取极值必要条件驻点（即使0)(0='x f 的点）、不可微点取极⼤值在，则如果取极⼩值在，则如果的邻域⼆阶可导，那么在驻点设函数00000)(0)()2()(0)()1()(x x f x f x x f x f x x f y <''>''=极值第⼆充分条件6. 判定极值的充分条件7. 最值问题求最值的步骤：1. 建⽴⽬标函数2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点3. 确定最值点：(3) 若知函数有唯⼀最值可疑点, ⽽由实际问题本⾝知函数的最⼤(⼩)值⼀定存在, 则该最值可疑点必是所求最⼤(⼩)值点例1.]65,6[sin ln 的正确性上在验证罗尔定理对ππ=x y 解8. 典型例题5lnsin [,].66y x ππ∴=函数在上满⾜罗尔定理的条件:22,(0,1,)D k x k k πππ<<+=±Q L 5[,].66ππ且在上连续5cot (,)66y x ππ'=⼜在内处处存在5()()66f f ππ=并且ln2=-cot 0,y x '==由5(,)66ππ在内显然有解.2x π=,2πξ=取()0.f ξ'=则这就验证了命题的正确性..)1(51lim 520x x xx +-+→求极限解.2的次数为分⼦关于x Θ5)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +?-?++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim 2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=例2.)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(b a f bf a ba f f x f +='+'==ηξηξ使内存在不同的在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设证,均为正数与b a Θ10<+<∴ba a,]1,0[)(上连续在⼜x f 由介值定理,,)(ba a f +=τ使得),1,0(∈τ存在有上分别⽤拉⽒中值定理在,]1,[],,0[)(ττx f 例3),0(),()0()(τξξττ∈'=-f f f )1,(),()1()()1(τηηττ∈'-=-f f f ,1)1(,0)0(==f f 两式分别乘有)(1)(1ηξf f ''和并注意到1))(())((=+'++'b a f bb a f a ηξ.)()(b a f b f a +='+'∴ηξ).,0,0(,2ln )(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+证明不等式证),0(ln )(>=t t t t f 令,1ln )(+='t t f 则,)(>=''tt f .0,0),,(),(ln )(是凹的或在>>=∴y x x y y x t t t f )2()]()([21yx f y f x f +>+于是,2ln 2]ln ln [21y x y x y y x x ++>+即.2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+即例4])1,0[(21)(:,1)(),1()0(,]1,0[)(∈≤'≤''=x x f x f f f x f 证明且上⼆阶可微在若函数证],1,0[0∈x 设有展成⼀阶泰勒公式处把在,)(0x f x 20000))((21))(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ则有令,1,0==x x 21000)(21)()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=202000)1)((21)1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ例52022010)1)((21)(21)(x f x f x f -''-''='ξξ)1()0(f f =两式相减，并注意到则有,1)(≤''x f 及2020)1(2121x x -+≤21412141)21(220=+≤+-=x 的任意性知命题真再由0x.,,)1,2(sin 2程两曲线的公共曲率圆⽅点处并写出向点具有相同的曲率和凹在使抛物线与正弦曲线⼀抛物线求作处上点过正弦曲线M M c bx ax y M x y ++=π曲率圆的圆⼼坐标分别曲率半径和处的曲率在点曲线,),()(y x x f y =,])(1[232y y k '+''=,1k=ρ'''++='''+'-=y y y y y y y x x 2020)(1])(1[例6,1)2(=πf 有=π')2(f ,0=π'')2(f .1-,2c bx ax y ++=对于曲线,)sin(x y =对曲线=π)2(f 有,242c b a +π+π=π')2(f ,b a +π=π'')2(f .2a 若两曲线满⾜题设条件,必在该点处具有相同的⼀阶导数和⼆阶导数,于是有,1242=+π+πc b a ,0=+πb a .12-=a 解此⽅程组得,21-=a ,2π=b .812π-=c 故所求作抛物线的⽅程为.8122122π-+π+-=x x y 两曲线在点处的曲率圆的圆⼼为),0,2(π1)2(22=+π-y x.,,,,,12并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数-+=x xx y 解:)1(定义域,1±≠x ),,1()1,1()1,(+∞---∞Y Y 即1)(2--+-=-x xx x f Θ),(x f -=为奇函数y ')2(222)1(11-+-=x x ,)1()3(2222--=x x x ,0='y 令.3,0,3-=x 得例7y ''222)1()3(2-+=x x x ,)1(1)1(133++-=x x ,0=''y 令.0=x 得,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x )(x f ;1的铅直渐近线为曲线y x =∴,lim 01-∞=--→y x ,lim 01+∞=+-→y x ;1为铅直渐近线-=∴x x y a x ∞→=lim Θ)1(1lim 2-+=∞→x xx x x ,1=)(lim ax y b x -=∞→)(lim x y x -=∞→1lim 2-=∞→x xx ,0=.的斜渐近线为曲线直线y x y =∴,)3,0,3(),1()4(分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点==-=±=x x x x ,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x ;1为铅直渐近线=∴x。

高中常用高数定理1.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在[a，b]上连续可导，则至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)（a<c<b)初等作法：形如丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨(或者≥），求k取值范围。

解：丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨<=>丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨≤k当x2→x1时，丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨=f'(x1)≤k<=>丨f'(x)丨≤k i丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨(不妨设x2≥x1）<=>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1)-kx1当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+kx1令h1(x）=f(x)-kx h2(x)=f(x)+kx由i知h1'(x）=f'(x)-k≤0 h2'(x)=〔丨f'(x)丨^2-k^2〕/h1'(x）≥0=>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1)-kx1当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+k x1=>k≥丨f'(x)丨max例题：06年四川高考理数21已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx,f(x）的导数为f'(x),对任意两个不相等的正数x1、x2证明：当a<4时，丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x1-x2丨解：丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x2-x1丨<=>丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨>1当x2→x1时，丨〔f’(x2)-f’(x1)〕／（x2-x1)丨=丨f'(x1)丨>1<=>丨f''(x1)丨>1 i =>a<4/x+x^2<4丨f'(x2)-f'(x1)丨>丨x2-x1丨(不妨设x2≥x1）<=>当f'(x2)≥f'(x1)时，f'(x2)-x2>f'(x1)-x1 ii当f'(x1)≥f'(x2)时，f'(x2)+kx2<f'(x1)+kx1 iii令h1(x）=f'(x)-x h2(x)=f'(x)+x由i知h1'(x）=f'(x)-1>0 h2'(x)=〔丨f'(x)丨^2-1〕/h1'(x）-1<0=>ii、iii成立=>丨f'(x2)-f'(x1)丨>丨x2-x1丨（当a<4时)2：单调有界原理若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。

高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。

题型一：证明：()0nf ξ=基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。

例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<， 证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.分析：由()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<，容易想到零点定理。

证明：()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2a bx a +∈，使得1()0f x =，又()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()02a bf b f +<，∴存在2(,)2a bx b +∈，使得2()0f x =，∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =， 证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：（1）()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ，∴根据介值性定理(0)(1)(2)3f f f m M ++≤≤，即1m M ≤≤∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =，（2）()(3)1f c f ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈⊂，使得'()0f ξ=.例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3()()F x x f x = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ= 证明：（1）(0)(1)0F F ==，∴存在1(0,1)ξ∈，使得1'()0F ξ=，（2）23'()3()'()F x x f x x f x =+，所以1'(0)'()0F F ξ==，∴存在21(0,)ξξ∈，使得2''()0F ξ=，（3）223''()6()3'()3'()''()F x xf x x f x x f x x f x =+++，所以2''(0)''()0F F ξ==， ∴存在2(0,)(0,1)ξξ∈⊂，使得'''()0F ξ=，例3. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)内可导，[0,1]x ∈，(0)1f =，11()22f =，(1)2f = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：(0)1f =，11()22f =，(1)2f =∴存在(0,1)ξ∈，使得()f m ξ=，又()f x 在(0,1)内可导，∴存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ=题型二：证明：含ξ，无其它字母 基本思路，有三种方法： （1）还原法。

中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。

（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。

（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

高数十大定理
1. 极限存在定理：若函数在某一点的左、右极限存在且相等，则该点的极限存在。

2. 泰勒展开定理：任意可导函数在某一点附近可以用其在该点的导数值来逼近。

3. 中值定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且导数不为零，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数在a 和b处的导数等于函数在c处的导数。

4. 柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的任意两项的差的绝对值小于ε。

5. 泰勒中值定理：如果函数在闭区间[a, b]上n+1次可导，则对于[a, b]内的任意一点c，存在一个介于a和c之间的点ξ，使得函数在c处的值等于其在a处展开的n次泰勒多项式加上余项。

6. 一致收敛定理：如果函数列在某个区间上点点收敛于另一个函数，且收敛过程中的极限函数仍然在该区间上连续，则称该函数列在该区间上一致收敛于极限函数。

7. 傅里叶级数定理：任意周期函数都可以用一系列正弦和余弦函数的线性组合来表示。

8. 法拉第电磁感应定律：当磁场的变化导致一个闭合回路中的磁通量发生变化时，该回路中将会产生感应电动势。

9. 可积性定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上可积。

10. 柯西-施瓦茨不等式：对于复数域上的两个函数f(z)和g(z)，如果它们在闭区域D上连续，且在该区域上可导，则有|∫_(z∈D) (f(z)g'(z))dz| ≤ ∫_(z∈D) |f(z)g'(z)|dz。