高数中值定理习题课

第五章中值定理习题课一、主要内容1、中值定理从极值点处的导数性质出发，依次得到Fermat 定理、Rolle 定理、Lagrange定理、Cauchy定理，应该准确掌握各个定理的内容，掌握定理证明的思想，掌握定理的几何意义，熟练掌握定理的应用。

2、Taylor 公式从微分的定义或中值定理出发，从近似计算的角度，得到了函数的高阶展开式，掌握常用的函数的Taylor公式，熟练掌握各种Taylor展开式的计算方法，掌握利用Taylor 展开式计算极限的技巧。

注、从定理的结论形式上看，中值定理和Taylor 公式都能建立函数和导数的关系，但是，二者在使用中是有差别的。

中值定理只是建立了相差一阶导数的相邻函数的关系式，而且结论形式中，原函数的点可以是任意的(涉及到两个原函数的点 f (a), f(b)，这两个点都可以是任意的)，涉及到导数的点不具备任意性，它依赖于原函数中取定的两个点，因此，通常用于利用导函数的性质，研究原函数的性质，当然，若对相应的导函数用中值定理，可以用高阶导数的性质研究低一阶的导函数的性质；而Taylor 公式中，展开点是可以任意选取的，因而，可以用于研究所涉及到的中间各阶导数的性质，特别是用两头控制中间的中间导数估计的问题。

3、L'Hospital 法则这是极限计算中一个非常重要的法则，也是一个非常高级的法则，利用这一法则，使得一类非常重要，也非常复杂的极限的计算变得非常简单，因此，必须掌握法则的灵活的应用。

4、应用利用上述理论，解决函数研究中的如零点问题、介值问题、中值问题、极值问题、最值问题、导数估计、单调性问题、凸性问题、不等式问题、函数展开、极限计算等各种关键而又重要的问题。

二、典型例题1、零点问题(介值问题、中值问题)这里主要指涉及到导函数的零点问题，因而，处理的基本工具就是Fermat定理、Rolle定理和中值定理。

但是，特别要注意的是，几个定理的根本的出发点就是极值点处的导数性质，这是处理这类问题的基本思想，因此，在涉及到这类问题时，最简便的手段是直接利用相应的定理，但是当定理不能直接应用时，就要考虑最基本的思想了。

第三章 中值定理与导数的应用1. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)1()0(==f f ,1)21(=f 求证：存在)1,0(∈ξ使1)(='ξf .2. 求证：若)(x f 在],[b a 上可导，)()(b f a f -+'≠'，则对介于)(a f +'与)(b f -'之间的任意值c ，有),(b a ∈ξ，使c f =')(ξ.（导函数的介值定理）3. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，)(x f 在],[b a 上不恒为常数.求证：),(,21b a ∈∃ξξ，使0)(1>'ξf ，0)(2<'ξf .4. 设012>>x x ，证明：),(21x x ∈∃ξ，使)()1(212112x x e e x e x x x --=-ξξ.5. 讨论方程212x x+=的实根个数.6. 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x .求证：)1,0(∈∃ξ，使16)(-≤''ξf .7. 求)1(cot lim 22x x x -→8. 求xx x ln 0)1(lim -+→9. 求21)tan (lim 0x xxx →10. 求30)1(sin lim x x x x e x x +-→11. 求2220sin )(cos 121lim 2xe x x x x x -+-+→12. 讨论方程x x x x cos sin 2+=的实根个数。

13. 求证：bb aa ba b a +++≤+++11114. 比较eπ和πe 的大小.15. 设 ,3,2,1,==n n x n n ，求该数列中的最大项.16. 设⎩⎨⎧>-≤≤=1,)2(10,)(3x x x x x f ，求)(x f 的极值与拐点.17. 设10,1≤≤>x p ，求证：1)1(211≤-+≤-p p p x x .18. 求椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上的点，使得椭圆在该点的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小.第三章 中值定理与导数的应用 答案1. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)1()0(==f f ,1)21(=f 求证：存在)1,0(∈ξ使1)(='ξf . 证明：令x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)0(=F ，1)1(-=F ，21)21(=F .由连续函数的介值定理，)1,21(0∈∃x ，0)(0=x F ，又根据罗尔定理，),0(0x ∈∃ξ，0)(='ξF ，即1)(='ξf .2. 求证：若)(x f 在],[b a 上可导，)()(b f a f -+'≠'，则对介于)(a f +'与)(b f -'之间的任意值c ，有),(b a ∈ξ，使c f =')(ξ.（导函数的介值定理）证明：无妨设)()(b f c a f -+'<<'，令cx x f x F -=)()(，则0)(<'+a F ，0)(>'-b F .)(x F 在],[b a 上可导，必连续，因此有最小值)(ξF ，a ≠ξ，否则0)()(lim )(≥--='+→+ax a F x F a F ax 矛盾！；b ≠ξ，否则0)()(lim )(≤--='-→+bx b F x F b F bx 矛盾！因此),(b a ∈ξ.由Fermat 定理，0)(='ξF ，即c f =')(ξ.3. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，)(x f 在],[b a 上不恒为常数.求证：),(,21b a ∈∃ξξ，使0)(1>'ξf ，0)(2<'ξf .证明：)(x f 在],[b a 上连续，因此有最大值M x f =)(1，最小值m x f =)(2.由题意m M >，因为)()(b f a f =，所以)()(b f a f M =>，或m b f a f >=)()(.无妨设)()(b f a f M =>，由Lagrange 中值定理可知，),(11x a ∈∃ξ， 0)()()()(1111>--=--='a x a f M a x a f x f f ξ；),(12b x ∈∃ξ，0)()()()(1112<--=--='x b Mb f x b x f b f f ξ.4. 设012>>x x ，证明：),(21x x ∈∃ξ，使)()1(212112x x e e x ex x x --=-ξξ.证明：令x e x f x =)(，xx g 1)(=，)(),(x g x f 在],[21x x 上连续，在),(21x x 内可导且0)(≠'x g .由Cauchy 中值定理，),(21x x ∈∃ξ，使)()()()()()(1212x g x g x f x f g f --=''ξξ，即212112x x e x e x e e x x --=-ξξξ.5. 讨论方程212x x +=的实根个数.解：令212)(x x f x--=，)(x f 在),(+∞-∞连续，0)0(=f ，0)1(=f ，0)2(<f ，0)5(>f ，故)(x f 至少有三个实根，若)(x f 有多于三个的实根，则由罗尔定理，)(x f '''有实零点，而0)2(ln 2)(3>='''xx f ，因此)(x f 恰有三个实根.6. 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x .求证：)1,0(∈∃ξ，使16)(-≤''ξf .证明：设2)()(max 010==≤≤x f x f x ，则)1,0(0∈x ，0)(0='x f .根据Taylor 公式，),0(01x ∈∃ξ，)1,(02x ∈ξ，使2010002)())(()()0(0x f x x f x f f ξ''+-'+==； 202000)1(2)()1)(()()1(0x f x x f x f f -''+-'+==ξ，即4)(21-=''x f ξ，4)1)((202-=-''x f ξ.2100≤<x 时，16)(1-≤''ξf ；1210<≤x 时，16)(2-≤''ξf .7. 求)1(cot lim 22x x x -→ 解：)1(cot lim 220x x x -→x x x x x x 222220sin sin cos lim -=→300sin cos limsin cos lim x xx x x x x x x x -+=→→ 323cos sin cos lim220-=--=→xx x x x x8. 求xx x ln 0)1(lim -+→解： xx x ln 0)1(lim -+→)1ln(ln 0lim x x x e -→+==-+→)1ln(ln lim 0x x x =-+→x x x ln )(lim 0=-+→x xx 1ln lim 0=--+→2011lim xx x 0lim 0=+→x x 1)1(lim ln 0=-+→x x x9. 求21)tan (lim 0x xxx →解：21)tan (lim 0x xx x →xx x x e tan ln 102lim →=x x x x tan ln 1lim 20→)tan 1ln(1lim 20x x x x x -+=→30tan lim x xx x -=→3131sec lim 220=-=→x x x 31021)tan (lim e xx x x =→10. 求30)1(sin lim xx x x e x x +-→ 解：30)1(sin lim x x x x e xx +-→3333320)1()](!3)][(!321[lim x x x x o x x x o x x x x +-+-++++=→ 31)(3lim 3330=+=→xx o x x11. 求222sin )(cos 121lim 2xe x x x x x -+-+→解：0→x 时，2cos x e x -)](1[)(212222x o x x o x ++-+-=)(2322x o x +-=～232x -； 2220sin )(cos 121lim 2x e x xx x x -+-+→12123)](8121[21lim 2244220-=-+-+-+=→x x x o x x x x12. 讨论方程x x x x cos sin 2+=的实根个数。

第三章中值定理与导数的应用(习题课)题组一： 中值定理1.考察函数 22-21()1-1⎧≤⎪=⎨>⎪⎩x x f x x x 在[ 0 , 2 ]上关于拉格朗日定理的正确性.解: (1) 验证 f (x )在 x = 1处的连续性 。

(2) 验证 f (x )在 x = 0处右连续; x = 2处左连续。

(3) 验证 f (x )在 x = 1处的可导性。

2. 求下列极限1ln(1)(1)limcot π→-x x x解:1ln(1)lim cot x x x π→-=∞∞型1121lim csc xx xππ--→-211sin lim 1x x x ππ→=-00型112sin cos lim1x x x ππππ→⋅⋅=-0=（2） 0lim 42(1)x x x x e πππ→⎛⎫- ⎪+⎝⎭0(12)lim 4(1)xx x e x e πππ→+-=+1(0)xe x x ππ-→0lim4(1)x x xx e πππ→⋅=+2401lim 1xx e ππ→=+28.π=0lim 42(1)x x x x e πππ→⎛⎫- ⎪+⎝⎭解:（3） 112lim 2n nn n a a -→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭0⋅∞型112()lim 2xxn f x x a a-→∞⎛⎫=+- ⎪⎝⎭设112lim ()lim 2xxx x f x x a a -→∞→∞⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭11122limx x x a a x -+-→∞=00型111ln 2limx xxa a ax --→∞=211ln 2lim()a x xx a a -→∞=+00型2ln .a =112lim 2nnn n a a-→∞⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭2ln .a =解:（4）2222211lim(cos )sin →+-+-x x x xx e x解: 因为21x +=1122(1)244122!1(),-+++x x o x 2=x e 221(),++x o x cos =x 222!1(),-+x o x 2sin x(0)→x 2x所以 原式 = 221lim→+-x x 1122(1)244122![1()]-+++x x o x 222!1()-+-x o x 22(1())++x o x 2[]x44844302()lim ()→+=-+x x o x x o x 1.12=-3. 设 f ( x ) 在 0()0,''≠f x 证明:当 0∆→时,x 000[()()]/()'+∆-∆-∆与f x x f x x f x x是同阶无穷小. 证明:0000()()()limx f x x f x f x x x∆→+∆-'-∆∆00020()()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→'+∆--∆⋅=∆0型x 0的某一邻域内具有二阶导数,且接3.000()()lim2x f x x f x x∆→''+∆-=∆01().2f x ''=且0()0.f x ''≠0000()()()lim x f x x f x f x x cx∆→+∆-'-∆∴=∆(非零常数)故当 0∆→时,x 000[()()]/()'+∆-∆-∆与f x x f x x f x x是同阶无穷小.4. 证明:当 x >1时, 212arctan arccos 214π-=+x x x 证明: 212()arctan arccos 214x f x x x π=--+设22221112()()()12121()1xf x x xx x ''=--⋅++-+22222211111(1)x xx x x +-=-⋅+-+0=()()f x c c ∴=为常数接4.取 x = 1 得(1)c f =12arctan1arccos 2114π=--+0=()0f x ∴=212arctan arccos .214x x x π-=+即5. 证明函数 ()()ln[sin()1]=--+f x x a b x 的导 数在 ( a , b )内必有零点.证明: ()()0f a f b ==Rolle 定理(,)()0.a b f ξξ'∃∈=使6. 设 f ( x )可导, ()()'+f x f x 的零点.证明: 1212()()0.f x f x x x ==<设且()(),xF x e f x =⋅设显然 F (x )在[ x 1 , x 2 ]上满足Rolle 定理, 12(,)()0.x x F ξξ'∴∃∈=使(()())0e f f ξξξ'+=即()()0.f f ξξ'+=故试证在 f ( x )的两个零点之间必有7. 设 f ( x ) 在 ()1,'>f x ()0,<f a 试证方程 ()0=f x 在 (,())-a a f a 内有唯一实数根.证明: 先证根的存在性.()[,()],f x a a f a -显然在上满足拉格朗日中值定理(())()()(())f a f a f a f f a ξ'∴--=-(,())a a f a ξ∈-(())()(1())f a f a f a f ξ'-=-即()0,()1f a f x '<>而(())0f a f a ->故[ a , +∞ ) 上连续,在 ( a , +∞ ) 内可导且接7.由零点定理知 ()0=f x 在 (,())-a a f a 内有实数根.再证根的唯一性()1,f x '>因为()(,()).f x a a f a -所以在上单调增加故 ()0=f x 在 (,())-a a f a 内有唯一实根. 综合以上两部分可知结论成立.8. 设 f ( x ) 在 (0)(1)0,==f f 11,2⎛⎫= ⎪⎝⎭f 试证:在( 0 , 1 )内至少 有一点 ξ , 使 () 1.ξ'=f 证明: ()(),F x f x x =-设11(1)-1,().22F F ==则由零点定理得: (,1)()0.F ηη∃∈=1使2(0)0,F =又知在[0 , η ]上应用Rolle 定理得: ()0,(0,).F ξξη'=∈()10.f ξ'-=即[ 0 , 1 ]上连续,在( 0 , 1 )内可导且9. 设 f ( x ) 和g ( x ) 且对一切 x ∈( a , b )有 ()0,'≠g x (,)ξ∈，a b 则必存在 使 ()()().()()()ξξξξ'-='-f f f a g g b g 证明: ()()()()()()()()0f g g f g b f f a g ξξξξξξ''⋅+⋅''-⋅-⋅=将结果变形为:()()()()()()()F x f x g x g b f x f a g x =--设()[,]:F x a b 对在上应用拉格朗日中值定理得()()()(),(,).F b F a F b a a b ξξ'-=-∈在 [ a , b ]上连续,在( a , b )内可导接9.[()()]()[()()]()f f ag g b g f ξξξξ''-=-即()0g x '≠()0g ξ'∴≠()()0g b g ξ-=假设()()g b g ξ=即()[,]Rolle :g x b ξ对在上应用中值定理得(,)(,)()0.b a b g ηξη'∃∈⊂=使()0.g x '≠这与矛盾()()0.g b g ξ-≠故于是有 ()()().()()()ξξξξ'-='-f f f a g g b g10.设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] (1)0,=f 试证:在( 0 , 1 )内至少 有一点 ξ , 使2()().f f ξξξ'=-证明: 2()()f f ξξξ'=-()2()0f f ξξξ'⋅+=2()2()0f f ξξξξ'⋅+⋅=2()()F x x f x =设，显然 F (x ) 在[0,1]上满足Rolle 中值定理. (0,1)()0,F ξξ'∴∃∈=使2()2()0f f ξξξξ'⋅+⋅=即上连续,在( 0 , 1 )内可导且 2()().f f ξξξ'=-故1. 讨论方程 21=x x 并求出它们所在的区间. 解: 题组二： 导数的应用()21,x f x x =-设()2(1ln 2).x f x x '=+则()0f x '=令1ln 2x =-得x()f x '()f x 1(,)ln 2-∞-1ln 2-1(,)ln 2-+∞-∞+∞-0-+-+的实数根的个数,接1. 1ln 2-x y o 因此方程有唯一实数根1(,).ln 2-+∞介于2. 设 f ( x ) 连续 0()lim 2,1cos →=-x f x x则在 x = 0 处 f ( x )为________. A. 不可导 B. 可导且 (0)0'≠f C. 取极大值D.取极小值解: (0)f '=0()(0)lim 0x f x f x →--0()1cos lim()1cos x f x x x x →-=⋅-0()1cos lim()1cos x f x x x x →-=⋅-01cos 2lim x x x→-=⋅0=且 f ( 0 ) = 0 ,接2.0()lim 21cos x f x x→=-1cos 0x -≥20>极限的局部保号性(0,)U δ∃(0,),x U δ∈当时()0f x >(0)f = x = 0为函数极小值点.3.设 f ( x ) 在 x = x 0的 如果 00()()0,'''==f x f x 而 0()0,'''≠f x 讨论 x = x 0为极值点还是( x 0 , f (x 0))为拐点.解: 0()f x '''=000()()lim x x f x f x x x →''''--00()lim x x f x x x →''=-0.≠000x x x x →+->时000x x x x →--<时00()()f x f x +-''''''=0()f x x ''在的左右方变号.( x 0 , f (x 0))为拐点.某一邻域内具有三阶连续导数,接3.由泰勒公式得()f x =20000033000()()()()()2!()()(())3!f x f x f x x x x x f x x x o x x '''+-+-'''+-+-00()()0f x f x '''==0()0f x '''≠330000()()()()(())3!f x f x f x x x o x x '''-=-+-000()()x x x x f x f x →+→--时与时变号( x 0 , f (x 0))不是极值点.4. 试确定常数 2=++y ax bx c与曲线 cos =y x 在 x = 0 处有相同的切线和曲率.解: a , b , c 使抛物线 记 21()y x axbx c =++2()cos y x x =因两曲线同过 0,x =所以有 12(0)(0)y y=1c =因两曲线在 0x =有相同的斜率， 所以有 12(0)(0)y y ''=02|x ax b =+=0sin |x x =-0b =接4.因两曲线在 0x =有相同的曲率， 所以有3322122212|(0)||(0)|(1(0))(1(0))y y y y ''''=''++又因为 12(0)(0)y y ''=所以 12|(0)||(0)|y y ''''=1||2a =5. 设f ( x ) 在 ()()ϕ=f x x x在 x = a (a ≠ 0)有极值,试证:曲线f ( x ) 在(a , f (a ) )处 的切线过原点. 证明: ( - ∞ , +∞ ) 上可微,函数 曲线 ()yf x =在 (,())a f a 处的切线为 ()()()y f a f a x a '-=-因为 ()x ϕ在 x a =取得极值， 所以 ()0a ϕ'=而 ()a ϕ'=()|x a x ϕ='()()|x a f x x='=2()()|x a f x x f x x='-=2()()f a a f a a '-=0=接5.所以()()f a f a a'=()()()y f a f a x a '-=-将其代入切线方程得 ()f a y x a=于是切线过原点。

第十五讲 中值定理习题一、 选择题1. 1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】A. πB. 2πC. 3πD. 4π 2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB. x ln lnC. xln 1 D. )2ln(x - 3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】 A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】 A. 0 B.12 C. 52 D. 2 6. 函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B.12 C. 1 D. 27. 函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B.12 C. 1 D. 2 13. 方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2)14. 函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D. 12 15. 已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【 】 A.B. C. - D. 13± 二、证明题1. 证明：当+∞<≤x 0时，x x ≤arctan 。

第三章 中值定理习题1、证明题：（1）、设()f x 在区间[0上连续，在(0内可导，且,]a ,)a ()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()'()0f f ξξξ+=。

（()()F x xf x =）（2）、已知()f x 具有二阶导数且0()lim 0x f x x→=，(1)0f =，求证在(0内存在一点,1)ξ，使得''()0f ξ=。

（1'(0)'()0f f ξ==）（3）、设()f x 在区间[0上二阶可导，且,]a ()()0f a f b ==，且存在一点使得。

证明至少存在一点(,)c a b ∈()0f c >(,)a b ξ∈，使得''()0f ξ<。

（注：利用0))((')()(,0))((')()(21<−=−>−=−c b f c f b f a c f a f c f ξξ）2、证明不等式：（1）、时，0a b >>ln a b a a b a b b −−<<。

（2）、时，0h >2arctan 1h h h h <<+。

（3）、b 时，。

并以此证明a e >>b a b >a e e ππ>。

（x x x f ln )(=） （4）、时，0x >ln(1)x x >+。

（5）、时，0x>12x +>3、洛比达法则：求下列极限 （1）、ln(1)lim 1x x e x →+∞+= （2）、0x → （3）、sin lim 1sin x x x x x →+∞−=+ （4）、tan 01lim 1x x x →+⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（5）、20ln(1)lim 1sec cos x x x x →+=− （6）、2lim sec tan 0x x x π→−= 4、求极值、最值1、设23()23f x x x =+，求其极大极小值。