2020版高考数学一轮复习课时规范练21两角和与差的正弦余弦与正切公式理北师大版

课时规范练21 两角和与差的正弦、余弦与正切公式基础巩固组1.若cos,则sin 2α=()A. B. C.- D.-2.(2018河北衡水中学三调)若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为()A.-B.C.-D.3.对于锐角α,若sin,则cos=()A. B. C. D.-4.设sin,则sin 2θ=()A.-B.-C.D.5.若tan α=2tan,则=()A.1B.2C.3D.46.(2018河北衡水中学16模,5)已知α满足sin α=,则coscos =()A. B. C.- D.-7.(2018河北衡水中学17模,6)已知sin α=,α∈,则cos的值为()A. B.C. D.8.设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是.9.已知α∈,tan α=2,则cos=.10.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β=.综合提升组11.(2018宁夏石嘴山一模)若tan=-3,则cos 2α+2sin 2α=()A. B.1 C.- D.-12.(2018福建百校临考冲刺)若α∈(0,π),且sin α+2cos α=2,则tan=()A. B. C. D.13.(2018北京怀柔区模拟)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.创新应用组14.(2018重庆巴蜀中学月考)已知sin,则sin=()A. B. C. D.-15.(2018河北衡水中学押题二,10)已知函数f(x)=3sin ωx cos ωx-4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,且f(θ)=,则f=()A.-B.-C.-D.-16.已知sin,θ∈,则cosθ+的值为.参考答案课时规范练21 两角和与差的正弦、余弦与正切公式1.D(法一)cos=2cos2-1=2×-1=-,且cos=cos=sin 2α,故选D.(法二)由cos=,得cos α+sin α=,即(cos α+sin α)=,两边平方得(cos2α+sin2α+2cos αsin α)=,整理得2sin αcos α=-,即sin 2α=-,故选D.2.C由3cos 2α=sin,得3(cos2α-sin2α)=(cos α-sin α).∵α∈,∴cos α-sin α≠0,∴cos α+sin α=.两边平方,得1+2sin αcos α=,∴sin 2α=-.故选C.3.D由α为锐角,且sin=,可得cos=,∴sin=2××=,cos=cos=-sin=-,故选D.4.A sin 2θ=-cos=2sin2-15.C因为tan α=2tan,所以======3.6.A coscos=cos --αcos-α=sin-αcos-α=sin-2α=cos 2α= (1-2sin2α)==,故选A.7.A∵sin α=,α∈,∴cos α==,∴sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.∴cos=cos 2α-sin 2α=×-×=.故选A.8. ∵sin 2α=2sinαcos α=-sin α,∴cos α=-,又α∈,∴sin α=,tan α=-,∴tan 2α===.9. 由tan α=2,得sin α=2cos α.又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,所以cos α=,sin α=.因为cos=cos αcos+sin αsin,所以cos=×+×=.10. 因为α∈,所以2α∈.又sin 2α=,故2α∈,α∈,所以cos 2α=-.又β∈,故β-α∈,于是cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=,且α+β∈,故α+β=.11.B∵tan==-3,∴tan α=2,∴cos 2α+2sin 2α=+=+=-+=1.12.A由二倍角公式,得sin α+2cos α=2sincos+21-2sin2=2,化简可得2sincos=4sin2.∵α∈(0,π),∴∈,∴sin≠0,∴tan=.13.解 (1)∵f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x-1=2sin x cos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin,∴函数f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1)可知,f(x)=sin.∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈.故函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1.14.B sin=sin--2α=cos+2α=1-2sin2=1-2×=1-=.15.B函数f(x)=3sin ωx cos ωx-4cos2ωx=sin 2ωx-2(1+cos 2ωx)= sin(2ωx-φ)-2,其中tan φ=,所以f(x)的最小正周期为T==π,解得ω=1,所以f(x)=sin(2x-φ)-2,又由f(θ)=,即f(θ)=sin(2θ-φ)-2=,即sin(2θ-φ)=1,所以f=sin-2=-sin(2θ-φ)-2=-×1-2=-,故选B.16.- 由θ∈,得θ+∈,又sin=,所以cos=-.cos=cos=coscos-sinsin=-×-×=-.。

学案21两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝_____________________________________________，cos(α－β)＝_____________________________________________.(2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________________，sin(α－β)＝_____________________________________________.(3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________________，tan(α－β)＝_____________________________________________.(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝ba，角φ称为辅助角．自我检测1．(20xx·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于()A.12B.33C.22D.322．已知cosα－π6＋sin α＝435，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.235C．－45D.453．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π4．(20xx·台州月考)设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是()A.π3，π2 B.π3，πC.π3，4π3D.π3，3π25．(20xx·广州模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，3)，则|a＋b|的最大值为() A．1 B. 3 C．3 D．9。

2020年高考理科数学一轮总复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(3)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(4)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．倍角公式(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.1．和、差、倍公式的转化2．公式的重要变形(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α＋βαtan β)． (4)辅助角公式：a sinx ＋b cosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. [四基自测]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79C ．－79D ．－89解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B. 答案：B2．(教材改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1517，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，56π，则sin α的值为( )A.817 B.153＋834C.15－8334D.15＋8334答案：D3．(教材改编)化简cos 15 °cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 答案：A4．若α是第二象限角，且sin(π－α)＝35，则tan 2α＝________. 答案：－2475．(教材改编)tan 54π＋tan 512π1－tan 512π＝________.答案：－3考点一 两角和、差及倍角公式的直接应用◄考能力——知法[例1] (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2 sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725.答案：－1725(2)(2019·抚顺模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0)的最小正周期为10π.①求ω的值；②设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值． 解析：①由于函数f (x )的最小正周期为10π，所以10π＝2πω，所以ω＝15.②由①知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－65，所以sin α＝35.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817.又因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos α cos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α ＝15， 解得tan α＝32. 答案：322．(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解析：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43 cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β) ＝－211.考点二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用◄考素养——懂理 [例2] (1)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32解析：原式＝sin 70°sin 20°cos 225°－sin 225°＝cos 20°sin 20°cos 50° ＝12×sin 40°sin 40° ＝12. 答案：B(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A ．sin(α＋2β) B ．sin α C ．cos(α＋2β)D ．cos α解析：原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. 答案：D(3)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°·tan 35°＝________.解析：原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. 答案： 31.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．2.和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α＋βα·tan β)．3.倍角公式变形：降幂公式．[拓展]1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2± cos α22,1＋cos α＝2cos 2 α2，1－cos α＝2sin 2α2. 提醒：tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1. ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 答案：－12逻辑推理——三角恒等变换中的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳与类比，另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.[例]已知：①tan 10°tan 20°＋tan 20° tan 60°＋tan 60° tan 10°＝1，②tan 5° tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，③tan 20°tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．解析：观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，所以β＝90°－(α＋γ)，故tan β＝tan [90°－(α＋γ)]＝sin[90°－(α＋γ)]cos[90°－(α＋γ)]＝cos(α＋γ)sin(α＋γ)＝cos αcos γ－sin αsin γsin αcos γ＋cos αsin γ＝1－tan αtan γtan α＋tan γ.所以tan αtan β＋tan β tan γ＝1－tan αtan γ，即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.课时规范练A组基础对点练1．(2019·成都模拟)计算：sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝()A.32B．－32C．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12. 答案：D2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，所以22(sin θ＋cos θ)＝13，两边平方得12(1＋sin 2θ)＝19，解得sin 2θ＝－79. 答案：A3．(2019·大庆模拟)已知 α，β都是锐角，且sin αcos β ＝cos α(1＋sin β)，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：因为sin αcos β＝cos α(1＋sin β)， 所以sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2. 答案：B4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则cos 2β＝( )A ．－32 B ．－1 C ．0D ．1 解析：由题意知：cos α＝1－15＝255，cos(α－β)＝1－110＝31010.所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22.所以cos 2β＝2cos 2β－1＝2×12－1＝0.5．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43 答案：C6．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.答案：D7．cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2π8＝cos(2×π8)＝22.答案：228．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3. 答案：39．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：π10．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75. 答案：75B 组 能力提升练11．(2019·肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731解析：由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731. 答案：D12．(2019·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin(π4－α)，则sin 2α的值为( ) A ．－356B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，易知sinα≠cos α，故cos α＋sin α＝26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D13．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( )A ．－210 B.210 C.5210 D.7210。

第21讲两角和与差的正弦余弦和正切公式®［基础热身］1.［ 2018 •郑州模拟］计算:cos 42° cos18°-cos 48° sin 18° 的结果等于（）A. —B.—C. 一 D —2.[2018 -四川泸州一检］若tan - =_，则tan a的值为（）A.-- B .-C.3D.-33.若tan a=g(1O a),ta n 卩=-，且a + M则实数a的值为（）B. —C. 1 或一D.1 或104•已知sin( a ®cos a cos (件a sin a=,p是第三象限角，则sin —= _______________ .5. [ 2018 •吉林调研]若cos( a + )=-,cos ( a- @=-，则tan a • tan 卩 _______ .©【能力*8升】6. ------- 等于()A. 一B.--C.—D.-—7. [ 2018 •湖南湘潭四模]若sin(2a-®=-,sin(2a +)=,则sin 久cos 久cos 卩= )A.1A.— D.-8•在△ ABC 中,C=120° ,tan A+tan B=_ :则 tan A tan B 的值为 ( )A.-B.-C.-D.-9. [2018 •衡水一模]已知sin — +sin a 工一，则cos —等于( )A.— B .--C.- D-10. [2018 •江西上饶三模]由射线y=-x (x >0)逆时针旋转到射线 y=—x (x < 0)的位置所成角 为 0,则 cos0=()A.— B .± C .-— D .±11. _____________________________________________________ 若 sin a s in 卩=-一,cos a -cos卩=，则 cos ( a - 3)的值为 _______________________________________ .12. ------------------------------------- [2018 •重庆三诊] -=.(用数字作答)13.[2018 •东北师大附中三模]已知tan - =2,a€-,则sin --的值为 _______________ .14. __________________________________________________________________________ [ 2018 •常州期末]已知a ,卩均为锐角，且sin a=ta n( a -®=--,则cos 3的值为 _________________ .B- C.-®【雜点克HU15. [ 2018 •辽宁辽阳四校联考]已知a, 3均为锐角，且tan a=,cos( a +)=—,则cos 2 3 =A.-B.-C.-D.16.[2018 •辽宁丹东质检设0<X i <X2< n,若sin si sin --=-,贝U C0S(X1-X2)=A.-—B.-D.-课时作业(二^一 )1.A ［解析］原式=sin 48° cos18°-cos 48° sin18°=sin(48°-18°)=sin 30° —.2. ---------------------------------------------------------- A ［解析］tan a= n -" a + ---= —=--,故选 A .(也可将 tan ' a+ 展开直 接求tan a )3. ---------------------------------------------------------------- C ［解析］由已知得tan( a +佇1,即 = =1,整理得(lg a )2+lg a=0,所以lga=0 或 lg a=-1，即 a=1 或 a=—.4.—— ［解析］依题意得sin ［( a ®-o ］=-sin 卩=,则sin 卩=.又卩是第三象限角 所以cos 卩=,5.-［解析］'.cos (a +J =cos a cos 3-si n o (sin (3=,cos (a -3)=coso (cos 卩+in a sin 3=,「cos6. B ［解析］ -------------==tan(45°+75°)=tan 120°=-，故选 B .7. C ［解析］由题意 sin (2 a - 3)=-,sin (2 a +)节-，则 sin(2 a- 3)+sin(2 a +)=2sin 2 a cos 3=sino (cos o (cos 3 =+一=一,所以sin a cos o (cos 3 =,故选 C .8.B ［解析］tan(A+B )=-tan C=-tan 120°= -- ，/tan(A+B )= =，即 -------------- =,解得 tan A tan B=-.sin p cos acos 3=,sin asin 3=,「；=-，即卩 tan a - tan 3 =所以sin =-sin9.C ［解析］'.sin a+ +sin a,.「sin a++ cos a=—,sin a+cos a = ,.°cos-一,「COS ' a +=cos n+ =-cos =-.故选C.10.A ［解析］设y=-x(x A0)的倾斜角为a,则sin a=,cos a=设射线y=-—x(x< 0)的倾斜角为 3贝U sin 3= ,cos 卩=—,「cos 0=c os( 3 a)=cos a cos 3sin o (sin 3 = A .'.sin a sin 3=—①,cos a cos 3=②，•/①+②2 得 sin 2 a+in 2 32sin a • sintan( a 3)=-一 V O, •/—< a - 3<,「si n( a 3=-——,cos( a 3 =. To 为锐角，sin a = ,/cos a=,「COS—J —)3=c os ［ a -( a - 3)］ =cos acos ( a 3)+sin a in ( a - 3)=一X---------------------------------------------------------- +—X -—/€ 30, n , '-cos( a +)=—,/sin(a +)=—. tan a =,/sin2 3==cos 2 3-1 =2 X —-1=-,故选 C .+_ X =-—，故选+OS 2 a+OS 2 2,即 2-2cos ( a - 3)=1 - +-+-,「COS ( a3)=—.12.-4 ［解析］=-4.13.［解析］tan L" a+ ==2,解得 tan a = . ■/ € 0,- ,「Sin a — ,cos a .因此匕sin 2 a=2sin acosa = ,cos 2a=-2sin 2a = ,故 sin=sin 2 gos - -cos 2 ocsin14.［解析］0,< a - 3<11•—［解析］15.C ［解析］T a3€ 0,- '，/,cos a = ，/cos 3==os(a +-3)=cos( a +)cos a+in(a +)$in a =，/cos3-2cos a • cos 3= 1 —16.B ［解析］因为0<X 1<X 2< n 所以 2x 1-- € ,2X 2-- € (--,一).由 sin (2x 1-=sin2X 2-一 =_,可得 2X 1--=2k n +2X 2--,k € Z 或 2X 1-—=2k n + n ［xJ - nX1 ) - =cos (2X 2- ,k €乙因为0<X 1<X 2< n ,所以2X 1-—=n)2X 2-- ，即 X 1+X 2=-n ,所以 cos(X 1-X 2)=cosn X 1F 1 =cos=sin 2X 1--。

课时作业21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝( B ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°·cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12.2．已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( C ) A.23 B.64 C.223D.22解析：由3sin2α＝2cos α，得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 3．设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( C )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4 ＝tan α－11＋tan α＝14，∴tan α＝53，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4. 4．(2019·成都诊断性检测)已知tan α＝34，α∈(0，π)，则cos(α＋π6)的值为( A )A.43－310B.43＋310C.4－3310D.33－410解析：因为tan α＝34，α∈(0，π)，所以sin α＝35，cos α＝45，故cos(α＋π6)＝cos αcos π6－sin αsin π6＝45×32－35×12＝43－310，故选A.5．(2019·山西长治二模)已知sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6的值为( A )A.43－310B.43＋310 C.4－3310 D.33－410解析：∵sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝1－15＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310.故选A. 6．(2019·广东揭阳二模)已知f (x )＝sin x －cos x ，实数α满足f ′(α)＝3f (α)，则tan2α＝( A )A ．－43B ．－34 C.34D.43解析：由题意可得f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∴f ′(α)＝cos α＋sin α.由f ′(α)＝3f (α)，得cos α＋sin α＝3sin α－3cos α，∴2sin α＝4cos α，即tan α＝2.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－22＝－43，故选A.7．若函数f (x )＝5cos x ＋12sin x 在x ＝θ时取得最小值，则cos θ＝( B )A.513 B ．－513C.1213 D ．－1213解析：f (x )＝5cos x ＋12sin x ＝13513cos x ＋1213sin x ＝13sin ()x ＋α，其中sin α＝513，cos α＝1213，由题意知θ＋α＝2k π－π2(k ∈Z )，得θ＝2k π－π2－α(k ∈Z )，那么cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－513，故选B.二、填空题8．已知cos θ＝－513，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为5－12326. 解析：由cos θ＝－513，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2得sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6 ＝－1213×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×12＝5－12326.9．计算sin 250°1＋sin10°＝12.解析：sin 250°1＋sin10°＝1－cos100°2(1＋sin10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin10°)＝1＋sin10°2(1＋sin10°)＝12.10．(2019·洛阳高三统考)已知sin α＋cos α＝52，则cos4α＝78. 解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×(14)2＝78.11．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋ 2cos π4cos 2α的值为0.解析：∵tan α＋1tan α＝103，∴(tan α－3)· (3tan α－1)＝0，∴tan α＝3或13.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α>1，∴tan α＝3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝22sin2α＋22cos2α＋2(1＋cos2α)2＝22(sin2α＋2cos2α＋1)＝222tan α1＋tan 2α＋21－tan 2α1＋tan 2α＋1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫610－1610＋1＝0.三、解答题12．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P (－35，－45)得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P (－35，－45)得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.13．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)因为tan α2＝12，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2 ＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝45. (2)因为0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35.又0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.由cos(β－α)＝210，得0<β－α<π2.所以sin(β－α)＝7210，所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2<β<π得β＝34π.14．(2019·河北、河南两省重点中学联考)已知a tan α＋b ＝(a －b tan α)tan β，且α＋π6与β的终边相同，则ba 的值为( B )A.23B.33C.223D.34解析：已知等式可化为a tan α＋b ＝a tan β－b tan α·tan β，即b (1＋tan α·tan β)＝a ·(tan β－tan α)，∴b a ＝tan β－tan α1＋tan α·tan β＝tan(β－α)，又∵α＋π6与β的终边相同，即β＝2k π＋α＋π6(k ∈Z )，∴tan(β－α)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π6＝tan π6＝33，即b a ＝33，故选B.15．(2019·浙江省温州市模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2<α<0，f (α)＝56，求sin2α的值．解：(1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin(2x ＋π6)＋12，∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)若－π2<α<0，则2α＋π6∈(－5π6，π6)，∴f (α)＝sin(2α＋π6)＋12＝56，∴sin(2α＋π6)＝13，∴2α＋π6∈(0，π6)，∴cos(2α＋π6)＝1－sin 2(2α＋π6)＝223，∴sin2α＝sin(2α＋π6－π6)＝sin(2α＋π6)cos π6－cos(2α＋π6)sin π6＝13·32－223·12＝3－226. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 16．(2019·洛阳市高三统考)已知函数f (x )＝|cos x |x －k 在(0，＋∞)上有两个不同的零点α，β(α<β)，则下列结论正确的是( D )A ．tan(α＋π4)＝α＋1α－1B ．tan(α＋π4)＝α－1α＋1C ．tan(β＋π4)＝β＋1β－1D ．tan(β＋π4)＝β－1β＋1解析：∵函数f (x )＝|cos x |x －k 在(0，＋∞)上有两个不同的零点α，β(α<β)，∴方程|cos x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的根α，β(α<β)，即方程|cos x |＝kx 在(0，＋∞)上有两个不同的根α，β(α<β)，∴函数y ＝|cos x |的图象与函数y ＝kx 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，此时函数y ＝|cos x |的图象与函数y ＝kx 的图象在点(β，－cos β)处相切．对于函数y ＝－cos x ，y ′＝sin x ，∴k ＝sin β＝－cos ββ，∴tan β＝－1β，∴tan(β＋π4)＝ tan β＋tan π41－tan βtan π4＝－1β＋11＋1β＝β－1β＋1，故选D.。

课时规范练21两角和与差的正弦、余弦与正切公式基础巩固组1.若 cos,则 sin 2 a =()A. B.c.- D.-2. (2018河北衡水中学三调 )若 a € ,且 3cos 2 a =sin,则 sin 2 a 的值为(A.-B.c.-D.3.对于锐角a ,若 sin,贝Ucos=( )A.B.C.D.-4.设 sin,贝U sin 2 9 =()A.-B.-C.D.5.若 tan a =2tan, 则=()A.1B.2C.3D.46. (2018河北衡水中学16 模,5) 已知a 满足sina =,贝U coscos =()A.B.c.- D.-7. (2018河北衡水中学17 模,6) 已知sin a =, a€ ,则cos 的值为 ()A. B. C.D.&设 sin 2 a =-sina , a€ ,则 tan 2 a 的值是 ________________9.已知 a € ,tan a =2,贝U cos = __________ . 3 - a )=,且 a € , 3 € ,贝a + 3 =综合提升组11.(2018 宁夏石嘴山一模)若 tan =-3,贝U cos 2 a +2sin 2 a =()12. (2018 福建百校临考冲刺)右 a € (0, n ),且 sin a +2cos a =2,则 tan =(A.B.C.D.13. (2018 北京怀柔区模拟)已知函数 f (x )=(sin x+cos x ) 2+cos 2 x-1. (1)求函数f (x )的最小正周期；A. B.1 C.- D.-10.右 sin 2 a =,sin(⑵求函数f (x)在区间上的最大值和最小值创新应用组14. (2018重庆巴蜀中学月考)已知sin,则sin =( )A. B. C. D.-15. (2018河北衡水中学押题二,10)已知函数f(x)=3s in w x cos w x-4cos2® x( w >0)的最小正周期为n ,且f ( 0 )：=,则f=( )A.-B.- c.- D.-16.已知sin, 0€ ,则cos0 +的值为参考答案课时规范练21两角和与差的正弦、余弦与正切公式21. D (法一)cos =2cos -1=2 X -1=-,且cos=cos =sin 2 a ,故选 D(法二)由cos=,得cos a +sin a =,即(cos a +sin a )=,两边平方得(cos a +sin a +2cos a sin a )=, 整理得2sin a cos a =-,即sin 2 a =-,故选 D.2. C 由3cos 2 a =sin,得3(cos 2a - sin 2a ) =(cos a - sin a ).'/ a € ,... cos a - sin a^ 0,... cos a +sin a =.两边平方，得1 +2sin a cos a =,sin 2 a =-.故选C.3. D 由a 为锐角，且sin =,可得cos =,二sin =2 xx =,cos=cos=-sin =-, 故选D.4. A sin 2 0 =-cos2=2sin -1=2 X -1=-.5. C 因为tan a =2tan,所以===3.26. A coscos=cos -- a cos-a =sin -a cos-a =sin -2a =cos 2 a = (1 -2sin a )==, 故选A.7. A sin a =, a€ ,/• cos a ==,2/• sin 2 a =2sin a cos a =2XX二,cos 2 a =1-2sin a =1-2X =./• cos =cos 2 a -sin 2 a =X- X =.故选 A8. ■/ sin 2 a =2sin a cos a =-sin a ,--cos a =-,又a€ ,• • sin a =,ta n a =-,tan 2 a ===.9. 由tan a =2, 得sin a =2cos a .22又sin a +cos a =1,所以cos2a =.因为a € ,所以cos a =,sin a =.因为cos=cos a cos+sin a sin,所以cos=X +X =.10. 因为a € ,所以2a € .又sin 2 a =,故2a € , a € ,所以cos 2 a =-.又3 € ,故3 - a € ,于是cos( 3 - a )=-,所以cos( a +3 ) =cos[2 a +( 3 -a )] =cos 2 a cos( 3 -a )-sin 2 a sin( 3 - a )=-X -X=, 且a +3 € , 故a +3 =.11. B •/ tan ==-3,/• tan a =2,cos 2 a +2sin 2 a =+=+=-+=1.212. A 由二倍角公式 , 得 sin a +2cos a =2sincos +21-2sin =2,2化简可得 2sincos =4sin .T a € (0, n ), —€ ,二sin 丰 0,/• cos=2s in,/• tan =.213. 解(1) T f( x)=(sin x+cos x) 2+cos 2 x-1=2sin x cos x+cos 2 x=sin 2 x+cos 2 x=sin,•••函数f(x)的最小正周期T==n .(2)由(1)可知，f(x)=sin .T x€ ,2x+ € ,/• sin € .故函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1.214. B sin =sin --2 a =cos +2 a =1- 2sin =1-2 X = 1-=.215. B 函数f (x) =3sin w x cos w x-4cos w x=sin 2 w x- 2(1 +cos 2 w x) = sin(2 w x- $ ) -2,其中tan $ =,所以f (x)的最小正周期为T==n ,解得w =1,所以f (x) =sin(2 x- $ ) -2,又由f(Q )=,即f(Q )=sin(2 0 - $ )-2=,即sin(2 0 - $ )=1,所以f=sin -2=-sin(2 Q - $ )-2=- X 1-2=-,故选B.16. - 由Q € , 得Q +€ ,又sin =,所以cos=-.cos=cos=coscos -sinsin=-X -X。

考点规范练22 两角和与差的正弦、余弦与正切公式考点规范练B 册第13页基础巩固1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )A.-√32B .√32 C.-12 D .12 答案:D解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°·sin 10°=sin(10°+20°)=sin 30°=12.2.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( )A.-45B.-35 C .35 D .45 答案:B解析:由题意知tan θ=2,故cos 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=1-221+22=-35.3.(2020全国Ⅰ,理9)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=( )A.√53B.23C.13D.√59 答案:A解析:原式化简得3cos 2α-4cos α-4=0,解得cos α=-23或cos α=2(舍去). ∵α∈(0,π),∴sin α=√1-cos 2α=√53. 4.已知cos (α-π6)+sin α=4√35,则sin (α+7π6)的值为( ) A .12B .√32C.-45D.-12 答案:C 解析:∵cos (α-π6)+sin α=√32cos α+32sin α=4√35, ∴12cos α+√32sin α=45.∴sin(α+7π6)=-sin(α+π6)=-(√32sinα+12cosα)=-45.5.若0<y≤x<π2,且tan x=3tan y,则x-y的最大值为()A.π4B.π6C.π3D.π2答案:B解析:∵0<y≤x<π2,∴x-y∈(0,π2).又tan x=3tan y,∴tan(x-y)=tanx-tany1+tanxtany =2tany1+3tan2y=21tany+3tany≤√33=tanπ6.当且仅当3tan2y=1时取等号, ∴x-y的最大值为π6,故选B.6.函数f(x)=sin 2x sinπ6-cos 2x cos5π6在区间[-π2,π2]上的单调递增区间为.答案:[-5π12,π12]解析:f(x)=sin 2x sinπ6-cos 2x cos5π6=sin 2x sinπ6+cos 2x cosπ6=cos(2x-π6).当2kπ-π≤2x-π6≤2kπ(k∈Z),即kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.取k=0,得-5π12≤x≤π12,故函数f(x)在区间[-π2,π2]上的单调递增区间为[-5π12,π12].7.在△ABC中,C=60°,tan A2+tan B2=1,则tan A2tan B2=.答案:1-√33解析:由C=60°,则A+B=120°,即A2+B2=60°.根据tan(A2+B2)=tanA2+tan B21-tan A2tan B2,tan A2+tan B2=1,得√3=11-tan A 2tanB 2, 解得tan A 2tan B 2=1-√33.8.函数f (x )=sin 2x+sin x cos x+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 .答案:π [3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z解析:f (x )=sin 2x+sin x cos x+1=1-cos2x 2+12sin 2x+1=12(sin 2x-cos 2x )+32=√22sin (2x -π4)+32.故T=2π2=π.令2k π+π2≤2x-π4≤2k π+3π2,k ∈Z ,解得k π+3π8≤x ≤k π+7π8,k ∈Z ,故f (x )的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z . 9.已知α,β均为锐角,且sin α=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cos β的值.解:(1)∵α,β∈(0,π2),∴-π2<α-β<π2.又tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-√1010.(2)由(1)可得,cos(α-β)=3√1010. ∵α为锐角,且sin α=35,∴cos α=45.∴cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=45×3√1010+35×(-√1010) =9√1050.能力提升10.在平面直角坐标系中,点(3,t )和(2t ,4)分别在以顶点为原点,始边为x 轴的非负半轴的角α,α+45°的终边上,则t 的值为( )A.-6或1B.6或1C.6D.1答案:D解析:由题意得tan α=t 3,tan(α+45°)=42t =2t .故tan(α+45°)=tan45°+tanα1-tan45°tanα=1+t 31-t 3=2t ,化简得t 2+5t-6=0,即(t-1)(t+6)=0,解得t=1或t=-6.若t=-6,则角α的终边在第四象限,α+45°的终边也在第四象限,与点(2t ,4)的纵坐标矛盾. 所以t=-6舍去,故t 的值为1,故选D .11.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=√22(sin 56°-cos 56°),c=1-tan 239°1+tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b答案:D解析:a=sin 40°cos 127°+cos 40°sin 127°=sin(40°+127°)=sin 167°=sin 13°, b=√22(sin 56°-cos 56°)=√22sin 56°-√22cos 56°=sin(56°-45°)=sin 11°,c=1-tan 239°1+tan 239°=cos 239°-sin 239°cos 239°cos 239°+sin 239°cos 239° =cos 239°-sin 239°=cos 78°=sin 12°.∵sin 13°>sin 12°>sin 11°,∴a>c>b.故选D .12.已知sin (θ+π4)=14,θ∈(-3π2,-π),则cos (θ+7π12)的值为 . 答案:-√15+√38解析:由θ∈(-3π2,-π)得θ+π4∈(-5π4,-3π4).因为sin (θ+π4)=14,所以cos (θ+π4)=-√154. cos (θ+7π12)=cos (θ+π4+π3)=cos (θ+π4)cos π3-sin (θ+π4)sin π3=-√154×12−14×√32 =-√15+√38. 13.已知sin 10°+m cos 10°=2cos 140°,则m= .答案:-√3解析:由sin 10°+m cos 10°=2cos 140°可得,m=2cos140°-sin10°cos10° =-2cos40°-sin10°cos10° =-2cos (30°+10°)-sin10°cos10° =-√3cos10°cos10°=-√3.14.设函数f (x )=sin (ωx -π6)+sin (ωx -π2),其中0<ω<3.已知f (π6)=0.(1)求ω.(2)将函数y=f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y=g (x )的图象,求g (x )在区间[-π4,3π4]上的最小值.解:(1)因为f (x )=sin (ωx -π6)+sin (ωx -π2),所以f (x )=√32sin ωx-12cos ωx-cos ωx=√32sin ωx-32cos ωx=√3(12sinωx -√32cosωx)=√3sin (ωx -π3).由题设知f (π6)=0,所以ωπ6−π3=k π,k ∈Z . 故ω=6k+2,k ∈Z ,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f (x )=√3sin (2x -π3), 所以g (x )=√3sin (x +π4-π3)=√3sin (x -π12). 因为x ∈[-π4,3π4],所以x-π12∈[-π3,2π3], 当x-π12=-π3,即x=-π4时,g (x )取得最小值-32.高考预测15.已知sin (π3-α)=√23,则cos (π3+2α)=( ) A.-59B.-√23 C .√23 D .59 答案:A解析:依题意有cos (2π3-2α)=cos [2(π3-α)] =1-2sin 2(π3-α)=59,故cos (π3+2α)=cos [π-(2π3-2α)] =-cos (2π3-2α)=-59.。

配餐作业(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(时间：40分钟)一、选择题1．(2016·衡阳二联)2sin47°－3sin17°cos17°＝( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1解析 原式＝2×sin47°－sin17°cos30°cos17°＝2×＋－sin17°cos30°cos17°＝2sin30°＝1，故选D 。

答案 D2．(2016·广州二测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( )A.13B.223C ．－13D ．－223解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13。

故选A 。

答案 A3．(2016·河南适应性测试)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为( )A.12 B ．2 C ．2 2D ．－2解析 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2，故选B 。

答案 B4．(2016·陕西二检)若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B.15C.35D ．－35解析 ∵tan α＝12，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2α)＝tan 2α－11＋tan 2α＝－35，故选D 。

答案 D5．(2017·福建模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝13，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( )A ．－33B.33C ．－13D.13解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12sin x ＋32cos x ＝13，所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝33，故选B 。

考点规范练21　两角和与差的正弦、余弦与正切公式一、基础巩固1.cos 160°sin 10°-sin 20°cos 10°=( )A.-B.C.-D.32321212-sin 20°cos 10°=-sin 10°cos 20°-sin 20°cos 10°=-sin(10°+20°)=-.122.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴,终边落在第二象限,A (x ,y )是其终边上一点,向量m =(3,4),若m ⊥,则tan 等于( )OA (α+π4)A.7 B.- C.-7 D.1717m ⊥,所以3x+4y=0,所以tan α==-,所以tan .OA y x 34(α+π4)=1+tan α1-tan α=173.已知α∈,且cos α=-,则tan 等于( )(π,3π2)45(π4-α)A.7 B. C.- D.-71717α∈,且cos α=-,(π,3π2)45所以sin α=-,所以tan α=.3534所以tan .(π4-α)=1-tan α1+tan α=1-341+34=174.已知函数f (x )=sin 2x-2cos 2x ,下面结论中错误的是( )3A.函数f (x )的最小正周期为πB.函数f (x )的图象关于直线x=对称π3C.函数f (x )的图象可由g (x )=2sin 2x-1的图象向右平移个单位得到π6D.函数f (x )在区间上是增函数[0,π4]f (x )=sin 2x-2cos 2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin -1,所以选项C 错误,故选C .33(2x -π6)5.已知cos +sin α=,则sin 的值为( )(α-π6)435(α+7π6)A. B. C.- D.-12324512cos +sin α=cos α+sin α=,(α-π6)3232435∴cos α+sin α=.123245∴sin =-sin (α+7π6)(α+π6)=-=-.(32sin α+12cos α)456.已知3sin 2θ=4tan θ,且θ≠k π(k ∈Z ),则cos 2θ等于( )A.-B.C.-D.131314143sin 2θ=4tan θ,∴=4tan θ.6sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=6tan θ1+tan 2θ∵θ≠k π(k ∈Z ),tan θ≠0,∴=2,解得tan 2θ=,31+tan 2θ12∴cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=.故选B .cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=1-121+12=137.(2018全国Ⅱ,文15)已知tan ,则tan α= . (α-5π4)=15tan ,(α-54π)=tan α-tan 54π1+tan αtan 54π=tan α-11+tan α=15∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=.328.函数f (x )=sin 2x sin -cos 2x cos 在区间上的单调递增区间为 . π65π6[-π2,π2]-5π12,π12](x )=sin 2x sin -cos 2x cos π65π6=sin 2x sin +cos 2x cos =cos .π6π6(2x -π6)当2k π-π≤2x-≤2k π(k ∈Z ),π6即k π-≤x ≤k π+(k ∈Z )时,函数f (x )单调递增.5π12π12取k=0,得-≤x ≤,故函数f (x )在区间上的单调递增区间为.5π12π12[-π2,π2][-5π12,π12]9.(2018广东一模)已知sin 10°+m cos 10°=2cos 140°,则m= . -3sin 10°+m cos 10°=2cos 140°可得,m=2cos140°-sin10°cos10°=-2cos40°-sin10°cos10°==-.-2cos (30°+10°)-sin10°cos10°=-3cos10°cos10°310.函数f (x )=sin 2x+sin x cos x+1的最小正周期是 ,单调递减区间是　.　,k ∈Z[3π8+kπ,7π8+kπ](x )=sin 2x+sin x cos x+1=sin 2x+11-cos2x 2+12=(sin 2x-cos 2x )+sin .1232=22(2x -π4)+32故T==π.2π2令2k π+≤2x-≤2k π+,k ∈Z ,π2π43π2解得k π+≤x ≤k π+,k ∈Z ,3π87π8故f (x )的单调递减区间为,k ∈Z .[3π8+kπ,7π8+kπ]11.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.3513(1)求sin(α-β)的值;(2)求cos β的值.∵α,β∈,∴-<α-β<.(0,π2)π2π2又tan(α-β)=-<0,13∴-<α-β<0.∴sin(α-β)=-.π21010(2)由(1)可得,cos(α-β)=.31010∵α为锐角,且sin α=,∴cos α=.3545∴cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=.45×31010+35×(-1010)=91050二、能力提升12.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a ,b ,c 的大小关系是21-tan 239°1+tan 239°( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>bsin 40°cos 127°+cos 40°sin 127°=sin(40°+127°)=sin 167°=sin 13°,b=(sin 56°-cos 56°)=sin 56°-cos 56°=sin(56°-45°)=sin 11°,222222c=1-tan 239°1+tan 239°=cos 239°-sin 239°cos 239°cos 239°+sin 239°cos 239°=cos 239°-sin 239°=cos 78°=sin 12°.∵sin 13°>sin 12°>sin 11°,∴a>c>b.故选D .13.(θ∈R )的最小值为( )12-cos 2θ+12-sin 2θA. B. C. D.43342332+12-sin 2θ=4-(sin 2θ+cos 2θ)4-2(sin 2θ+cos 2θ)+sin 2θcos 2θ=,32+14sin 22θ≥43当且仅当θ=(k ∈Z )时,等号成立.kπ2+π414.已知α∈,tan α=2,则cos = .(0,π2)(α-π4)tan α=2,得sin α=2cos α.又sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=.15因为α∈,所以cos α=,sin α=.(0,π2)55255因为cos =cos αcos +sin αsin ,(α-π4)π4π4所以cos .(α-π4)=5×2+25×2=31015.设α,β∈,且tan α=,则2α-β= .(0,π2)1+sin βcos βα,β∈,且tan α=,(0,π2)1+sin βcos β∴,sin αcos α=1+sin βcos β∴sin αcos β=cos α+cos αsin β.∴sin αcos β-cos αsin β=cos α.∴sin(α-β)=cos α=sin .(π2-α)∵α,β∈,∴α-β∈,(0,π2)(-π2,π2)-α∈.π2(0,π2)∵函数y=sin x 在内单调递增,(-π2,π2)∴由sin(α-β)=sin 可得α-β=-α,(π2-α)π2即2α-β=.π216.已知函数f (x )的图象是由函数g (x )=cos x 的图象经过如下变换得到:先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移个单位长度.π2(1)求函数f (x )的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x 的方程f (x )+g (x )=m 在[0,2π)内有两个不同的解α,β.①求实数m 的取值范围;②证明:cos(α-β)=-1.2m 25g (x )=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x 的图象,再将y=2cos x 的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos 的图象,故f (x )=2sin x.π2(x -π2)从而函数f (x )=2sin x 的图象的对称轴方程为x=k π+(k ∈Z ).π2(2)(x )+g (x )=2sin x+cos x =5(25sin x +15cos x )=sin(x+φ).5(其中sin φ=15,cos φ=25)依题意,sin(x+φ)=在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m 的取值范围是(-m 5|m5|5,).5α,β是方程sin(x+φ)=m 在区间[0,2π)内的两个不同的解,5所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)= .m 5m 5当1≤m<时,α+β+2φ=2×,5π2即α-β=π-2(β+φ);当-<m<1时,α+β+2φ=2×,53π2即α-β=3π-2(β+φ).所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin 2(β+φ)-1=2-1=-1.(m 5)22m 25三、高考预测17.已知sin ,则cos =( )(π3-α)=23(π3+2α)A.- B.- C. D.59232359cos =cos (2π3-2α)[2(π3-α)]=1-2sin 2,(π3-α)=59故cos =cos (π3+2α)[π-(2π3-2α)]=-cos =-.(2π3-2α)59。

课时跟踪练(二十一)A 组 基础巩固1．(2019·成都模拟)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A.32B ．－32C ．－12D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：D2．(2019·大庆模拟)已知α，β都是锐角，且sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：因为sin α cos β＝cos α(1＋sin β)，所以sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α， 所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2.答案：B3．(2019·合肥模拟)tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1)等于( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1) ＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3·sin 20°cos 20°－1 ＝cos 20°cos 10°sin 20°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 10°·2sin（20°－30°）sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.答案：C4．(2019·广东省际名校联考)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝( )A.2325B ．－2325C.725D ．－725解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－725.答案：D5．(2019·信阳一模)已知α，β均为锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，则β等于( )A.π3B.π4C.π6D.π12解析：因为α为锐角且sin α＝437，所以cos α＝17.因为α，β均为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝－1114，所以sin(α＋β)＝5314.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－1114×17＋5314×437＝－11＋6098＝12. 又因为β为锐角，所以β＝π3.答案：A6．(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析：因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16×1＝75.答案：757．(2019·长沙模拟)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为45，Q 点的横坐标为513，则cos ∠POQ ＝________．解析：依题意，sin ∠xOP ＝45，cos ∠xOQ ＝513.所以cos ∠xOP ＝35，sin ∠xOQ ＝－1213.所以cos ∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos ∠xOP ·cos ∠xOQ －sin ∠xOP ·sin ∠xOQ ＝35×513－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝6365.答案：63658．化简：2tan （45°－α）1－tan 2（45°－α）·sin αcos αcos 2 α－sin 2α＝________． 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝12·sin （90°－2α）cos （90°－2α）·sin 2αcos 2α＝12·cos 2αsin 2α·sin 2αcos 2α＝12. 答案：129．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P (－35，－45)，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P (－35，－45)，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13<0，所以－π2<α－β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1，且sin （α－β）cos （α－β）＝－13，解得sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.因为α为锐角，sin α＝35，所以cos α＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. B 组 素养提升11．(2019·长沙一中调研)若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( )A.1110B ．－1110C ．1D ．－1解析：因为点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心， 所以sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2.所以cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ＋sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝1－tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1.答案：D12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 解析：因为α为锐角，sin α－cos α＝16>0，所以π4<α<π2.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，所以α＋β＝π3，又α>π4，所以β<π4<α.答案：B13．(2019·吉林模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________． 解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4.＝35×22＋45×22＝7210. 答案：721014．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数， 而y ＝a ＋2cos 2x 为偶函数， 所以y ＝cos(2x ＋θ)为奇函数． 因为θ∈(0，π)，所以θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x (a ＋2cos 2x )．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2 π4＝－(a ＋1)＝0，所以a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45. 又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12－35×32＝4－3310.。

【2019最新】精选高考数学一轮复习课时规范练21两角和与差的正弦余弦与正切公式理新人教B版基础巩固组1.已知cos x=,则cos 2x=( )A.-B.C.-D.2.(2017云南昆明一中仿真,理2)cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为( )A.-B.-C. D.3.已知α∈,且cos α=-,则tan等于( )A.7B.C.-D.-74.设sin,则sin 2θ=( )A.-B.-C. D.5.若tan α=2tan,则=( )A.1B.2C.3D.46.已知cos+sin α=,则sin的值为( )A. B.C.-D.-7.若0<y≤x<,且tan x=3tan y,则x-y的最大值为( )A. B.C. D. 〚导学号21500531〛8.已知sin 2α=2-2cos 2α,则tan α= .9.函数f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos上的单调递增区间为.10.在△ABC中,C=60°,tan+tan=1,则tantan=.11.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cos β的值.综合提升组12.(2017广西名校联考,理9)已知△ABC的面积为S,且=S,则tan 2A的值为( )A. B.2 C. D.-13.(2017河北衡水中学三调,理3)若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为( )A. B.- C. D.-14.(2017河北邯郸二模,理5)已知3sin 2θ=4tan θ,且θ≠kπ(k∈Z),则cos 2θ等于( )A.-B.C.-D. 〚导学号21500532〛15.函数f(x)=4cos2cos-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.创新应用组16.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b 〚导学号21500533〛17.已知sin,θ∈,则cos的值为.参考答案课时规范练21 两角和与差的正弦、余弦与正切公式1.D cos 2x=2cos2x-1=2×-1=.2.D cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°=cos 70°sin 50°+cos 20°sin40°=cos 70°sin 50°+sin 70°cos 50°=sin(50°+70°)=sin 120°=.3.B 因为α∈,且cos α=-,所以sin α=-,所以tan α=.所以tan.4.A sin 2θ=-cos=2sin2-1=2×-1=-.5.C 因为tan α=2tan,所以=====3.6.C ∵cos+sin α=cos α+sin α=,∴cos α+sin α=.∴sin=-sin=-=-.7.B ∵0<y≤x<,且tan x=3tan y,x-y∈,∴tan(x-y)==tan,当且仅当3tan2y=1时取等号,∴x-y 的最大值为,故选B.8.0或 ∵已知sin 2α=2-2cos 2α=2-2(1-2sin2α)=4sin2α,∴2sin αcos α=4sin2α, ∴sin α=0,或cos α=2sin α,即tan α=0,或tan α=.9. f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos=sin 2xsin+cos 2xcos=cos.当2k π-π≤2x -≤2k π(k∈Z),即k π-≤x≤k π+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.取k=0,得-≤x≤,故函数f(x)在上的单调递增区间为.10.1- 由C=60°,则A+B=120°,即=60°.根据tan,又tan+tan=1,得,解得tantan=1-.11.解(1)∵α,β∈,∴-<α-β<.又tan(α-β)=-<0,∴-<α-β<0.由解得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.∵α为锐角,且sin α=,∴cos α=.∴cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=.12.D 设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.∵=S,∴bccos A=bcsin A,∴tan A=2,∴tan 2A==-,故选D.13.D ∵α∈,∴sin α>0,cos α<0.∵3cos 2α=sin,∴3(cos2α-sin2α)=(cos α-sin α),∴cos α+sin α=,∴两边平方,可得1+2sin αcos α=,∴sin 2α=2sin αcos α=-.14.B ∵3sin 2θ=4tan θ,∴=4tan θ.∵θ≠kπ(k∈Z),tan θ≠0,∴=2,解得tan2θ=,∴cos 2θ=cos2θ-sin2θ=.故选B.15.2 令f(x)=4··sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|=0,即sin 2x=|ln(x+1)|,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=|ln(x+1)|的图象.由图象知共有2个交点,故f(x)的零点个数为2.16.D a=sin 40°cos 127°+cos 40°sin 127°=sin(40°+127°)=sin 167°=sin 13°,b=(sin 56°-cos 56°)=sin 56°-cos 56°=sin(56°-45°)=sin11°,c==cos239°-sin239°=cos 78°=sin 12°,∵sin 13°>sin 12°>sin 11°,∴a>c>b.故选D.17.- 由θ∈得θ+,又sin,所以cos=-.cos=cos=coscos-sinsin=-=-.。