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三角函数的单调性与周期性三角函数是数学中一个重要的概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在本文中，我将探讨三角函数的单调性与周期性。
一、正弦函数的单调性与周期性正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其图像呈周期性波动。
我们先来讨论正弦函数的单调性。
单调性是指函数在其定义域上是否具有严格的递增或递减性质。
对于正弦函数而言，它在每个周期都是递增和递减交替出现的。
具体来说，正弦函数在区间[0, π/2]上是递增的，在[π/2, π]上是递减的，然后在[π, 3π/2]上再次递增，在[3π/2, 2π]上再次递减，以此类推。
接下来，我们来讨论正弦函数的周期性。
正弦函数的周期是2π，也就是说，它的图像在每个2π的长度内重复出现。
这一周期性特点使得正弦函数在模拟波动和振动等自然现象中得到广泛应用。
二、余弦函数的单调性与周期性余弦函数是三角函数中另一个常见的函数，它与正弦函数非常相似。
我们来看一下余弦函数的单调性和周期性。
与正弦函数类似，余弦函数也是在每个周期内递增和递减交替出现的。
在区间[0, π]上，余弦函数是递减的；在[π, 2π]上，余弦函数是递增的。
同样地，余弦函数的周期也是2π，与正弦函数完全一致。
三、正切函数的单调性与周期性正切函数是三角函数中另一个重要的函数，它是正弦函数和余弦函数的商。
我们也来讨论一下正切函数的单调性和周期性。
对于正切函数而言，它在每个π的长度内是递增和递减交替出现的。
在区间[0, π/2]上，正切函数是递增的；在[π/2, π]上，正切函数是递减的。
而正切函数的周期为π，也就是说，它的图像在每个π的长度内重复出现。
综上所述，三角函数的单调性与周期性对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说都是存在的。
它们在每个周期内呈现递增和递减交替的趋势，并且都具有相同的周期长度。
这些性质使得三角函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用与研究。
通过对三角函数单调性与周期性的分析，我们可以更好地理解和应用三角函数，解决与其相关的各类问题。
三角函数的单调性1三角函数的单调性一般是解答题的一个小问，这里必须先对所给题进行化简，化为y=Asin(wx+b)的形式，然后利用y=sinx的单调区间进行求解一定要记住y=sinx或y=cosx的单调区间三角函数求值域.最值和单调性的方法？？设y=Asin（φx+b）+c题中一般不会给出你说的那个形式，这要你先化简。
在R上的最值为A+C。
在闭区间内的最值求法，一般是先找出函数的周期，若闭区间包含的范围大于1个周期，则最大值和最小值直接写就是，若闭区间包含的范围小于1个周期，则可根据信息画出草图观察。
不懂再追问。
三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4. cot(kπ+α)=(-1)kc otα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
假期专题辅导系列三-------三角函数的单调性江苏省海安高级中学------罗湘军三角函数的单调性是三角函数的重要性质，在三角函数的各种问题中都能见到单调性的独特应用之处，特别是在比较大小、求三角函数的单调区间，解不等式等方面有着不可替代的作用，下面我们借助于几个例子来进行分析. 一. 典例分析1. 利用三角函数的单调性比较大小 例1 比较下列各组数的大小 （1）33sin(sin),sin(cos)88ππ; (2)13tan4π与17tan5π解析： (1) ∵3cossin 88ππ=,∴330cossin188ππ<<<.而sin y x =在(0,1)内递增,∴33sin(sin )sin(cos)88ππ<.(2) 13tantan 4π= 4π，172tan tan55ππ=， ⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， 2tantan.45ππ∴<。
点评：比较两个三角函数值的大小常常先将它们化为同名函数，然后将角化为在该函数的同一单调区间内的角．最后利用函数的单调性来比较函数值的大小．2. 利用三角函数的单调性求单调区间 例2 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π的单调区间.解析:原函数变形为⎪⎭⎫⎝⎛--=432sin 21πx y 令432π-=x u ,则只需求u y sin =的单调区间即可. 2243222sin πππππ+≤-=≤-=k x u k u y 在 (Z k ∈)上单调递增即893833ππππ+≤≤-k x k ,(Z k ∈)上单调递增,u y sin =在2322()2342x k u k k Z πππππ+≤=-≤+∈上单调递减即在)(,8213893Z k k x k ∈+≤≤+ππππ上单调递减故⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π的递减区间为:,893,833⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππk k ()k Z ∈ 故原函数递增区间为:)(,8213,893Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πππ. 点评：研究三角函数的性质时常用整体思想.本题将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π作整体代换,转化为对函数sin y x =的性质的研究.另外,本题也可以画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π的图象,通过图象来研究性质. 3. 利用三角函数的单调性求值域例3设G 、H 分别为非等边三角形ABC 的重心与外心，A(0，2)，B （0，－2）,且AB GM λ=(λ∈R).（Ⅰ）求点C(x ，y )的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点(2，0)作直线L 与曲线E 交于点M 、N 两点，设ON OM OP +=，是否存在这样的直线L ，使四边形OMPN 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.例3.求函数)3cos(2π-=x y 在6π≤x ≤32π范围内的值域。
![(完整版)求三角函数的单调性的基本方法[推荐]](https://img.taocdn.com/s1/m/05d36b82a216147916112878.png)
求三角函数的单调性的基本方法：函数 sin()y A x k ωϕ=++的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在22,22k x k k z ππππ-≤≤+∈和322,22k x k k z ππππ+≤≤+∈两个区间内分别确定函数的单调增减区间。
1、求函数)213sin(x y -=π在区间[-2π，2π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>）的形式：)321sin()213sin(ππ--=-=x x y⑵把标准函数转化为最简函数（sin y A x =）的形式：令123z x π=-，原函数变为1sin()sin 23y x z π=--=-⑶讨论最简函数sin y z=-的单调性：从函数sin y z=-的图像可以看出，sin y z=-的单调增区间为3[2,2]22k k ππππ++，Z ∈K 。
所以32222K z K ππππ+≤≤+，Z ∈K 即πππππ23232122+≤-≤+K x K ， Z ∈K ∴ππππ3114354+≤≤+K x K ， Z ∈K⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，ππ31135≤≤x当k=1时，222333xππ≤≤当k=-1时，ππ3137-≤≤-x⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：因为[2,2]xππ∈-，所以该函数的单调增区间为ππ312-≤≤-x和ππ235≤≤x2、求函数)26sin(2xy-=π在区间[0，π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x Aωϕω=+>>）的形式：sin(2)sin(2)66y x xππ=-=--⑵把标准函数转化为最简函数（siny A x=）的形式：令26z xπ=-，原函数变为sin(2)sin6y x zπ=--=-⑶讨论最简函数sin y z=-的单调性：从函数sin y z=-的图像可以看出，sin y z=-的单调增区间为3[2,2]22k k ππππ++，Z ∈K 。
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。
题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。
这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。
题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。
这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。
题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。
题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。
题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。
题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。
题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。
需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。
2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。
高中数学三角函数的单调性知识分析卢玉玺(安徽省临泉第二中学㊀２３６４００)摘㊀要:纵观近几年的高考数学卷ꎬ我们不难发现三角函数这部分的知识已经成为了数学高考中的一大 风景点 .但是在实际解题中ꎬ很多学生对这部分知识中的应用能力并不特别强.因此ꎬ本文中将以 三角函数中的单调性 类题目的解法为例ꎬ与同学们一起寻找此类题目的解题规律.关键词:高中数学ꎻ三角函数ꎻ单调性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２４－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:卢玉玺(１９７９.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁正弦函数的单调区间在高中数学的学习中ꎬ函数问题较为常见ꎬ其中三角函数作为同学们整个高中阶段函数学习的重点更是具有着不容忽视的地位ꎬ在三角函数类的解题中ꎬ以正弦函数的单调性类题目为例ꎬ为更好求解正弦函数的单调区间我们就可以借助诱导公式的方法.例１㊀求函数ｙ＝ｓｉｎ(π３－２ｘ)的单调区间.思路分析㊀分析题目ꎬ我们可以发现ꎬ此题中函数的ω<０ꎬ因此在本题中我们就可以先利用诱导公式将函数中ｘ的系数化为正值ꎬ然后再根据正弦函数的单调区间求出此题答案.根据这一思路我们就可以将原函数转化为ｙ＝－ｓｉｎ(２ｘ－π３)ꎬ此时所求函数的增区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的减区间ꎻ所求函数的减区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间.之后ꎬ再根据正弦函数的单调区间求法ꎬ我们就可以得到２ｋπ＋π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋３π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ＋５π１２ɤｘɤｋπ＋１１π１２(ｋɪＺ).故所求函数的增区间为[ｋπ＋５π１２ꎬｋπ＋１１π１２](ｋɪＺ).同理ꎬ在求原函数的减区间时ꎬ我们也可以沿用这种思路ꎮ在本题中ꎬ通过分析ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间ꎬ我们可知２ｋπ－π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数的减区间为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀在求三角函数的单调区间时ꎬ当不好直接对题目进行分析时就可以先借助诱导公式对其变形处理ꎬ然后再根据相应原理进行解题分析ꎬ以此提高我们的解题效率ꎬ让我们更准确地找出问题的解答策略.㊀㊀二㊁正切函数的单调区间本部分中我将以数形结合思想为例ꎬ带领大家探究利用数形结合思想求正切函数单调区间的具体方法.例２㊀求函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的单调区间.思考方式:我们可以发现题目中的正切函数是一个绝对值函数ꎬ因而在此题中我们就可以利用数形结合的方法进行求解.在解题中ꎬ我们可以先根据题目要求及已有数学经验作出ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的函数图象ꎬ因为函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜是一个偶函数ꎬ所以它的图象应该关于ｙ轴对称.通过作图分析的方式我们可以知道:当ｘ>０时ꎬｙ＝ｔａｎｘꎬ其增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ当ｘ<０时ꎬｙ＝－ｔａｎｘꎬ其减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.故此题的答案应为:ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.方式评注㊀在三角函数的单调性类题目中这种图象４２解题的方法较为常见ꎬ在如例题中的题目里ꎬ同学们就可以利用图象的方法ꎬ通过作图分析ꎬ从左到右观察图象ꎬ按照 图象中呈上升趋势的区间为增区间㊁呈下降趋势的区间为减区间 这一理念进行题目求解.㊀㊀三㊁余弦函数的单调区间三角函数的单调性部分是三角函数的主要性质之一ꎬ本部分中ꎬ我将与同学们一起探索余弦函数的单调区间求取方法.例３㊀求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的单调区间.思考方式㊀本题中的函数是一个余弦函数ꎬ我们可以利用余弦函数的单调性进行求解.在解题过程中我们可以先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后根据余弦函数的单调增区间求解方法就可以得到２ｋπ－πɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ(ｋɪＺ)ꎬｋπ－７π１２ɤｘɤｋπ－π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的增区间应为[ｋπ－７π１２ꎬｋπ－π１２](ｋɪＺ).在求函数的单调递减区间时ꎬ我们也可以用这种方法ꎬ先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后通过对题目的分析可得２ｋπɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋π(ｋɪＺ)ꎬｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的减区间应为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀对于一些比较复杂的函数ꎬ同学们就可以使用这种方法先将原函数中的式子视为一个整体ꎬ然后再利用相关定理求解.总之ꎬ在高中数学中三角函数的单调性部分的解题过程中ꎬ同学们应该注意挖掘典型题目的具体特征ꎬ并不断总结㊁不断反思ꎬ以期形成一套完整的数学解题思路ꎬ并合理地通过知识迁移及相关题目的变式练习将自己的思路运用到实际解题中ꎬ以此达到事半功倍的学习效果.㊀㊀参考文献:[１]孙月.对高中函数单调性的解析策略研究[Ｊ].新课程(中学)ꎬ２０１５(１０):６８.[２]张先龙ꎬ肖凌戆.基于数学核心素养的教学设计 以函数的单调性新授课为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１７(ｚ１):１６－１９.[责任编辑:李㊀璟]一题多解一题多变在切线方程中的运用探究伍锡浪(江西省九江第一中学㊀３３２０００)摘㊀要:本文通过对２０１３年高考数学山东卷理科第２２题的研究ꎬ引发了对圆锥曲线的切线方程的探究ꎬ体现了导数的工具性作用ꎬ进一步表明了数学教学中应提倡一题多解一题多变的探究ꎬ从而大力提高学生的探索能力和创造能力.关键词:一题多解ꎻ一题多变ꎻ圆锥曲线ꎻ切线方程ꎻ斜率ꎻ导数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２５－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:伍锡浪ꎬ江西省九江人ꎬ硕士ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:江西省教育科学 十三五 规划２０１８年度ꎬ课题«一题多解一题多变在教学中的运用研究»编号:１８ＰＴＹＢ０３６㊀㊀«普通高中数学课程标准(实验)»指出: 学生的数学学习活动不应只限于接受㊁记忆㊁模仿和练习ꎬ高中数学课程还应倡导自主探究㊁动手实践㊁合作交流㊁阅读自学等学习数学的方式. 这就要求我们在教学中重在为学生创设良好的思维情境ꎬ让学生在自主探究和合作交流的过程中体验数学发现和创造的历程ꎬ学会研究问题㊁解决问题ꎬ做到举一反三㊁触类旁通.从而大力提高学生的探索能力和创造能力.㊀㊀一㊁真题铺路㊀引出课题(２０１３年高考数学山东卷理科第２２题)椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ离心率为３２ꎬ过点５２。
sin的单调递增递减区间公式sin函数是一种常见的三角函数，它在数学和物理学中有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨sin函数的单调递增和递减的区间公式。
为了理解sin函数的单调性，我们需要先回顾一下三角函数的基本概念。
sin函数的定义域是所有实数，即(-∞, ∞)，而值域是[-1, 1]。
sin函数在单位圆上的表示方式是以极坐标来描述的。
在单位圆中，角度θ与点P的位置有着紧密的联系。
那么，sin函数的单调性如何呢?我们观察sin函数在第一象限和四个象限的变化情况。
在第一象限，角度θ从0度到90度，sin函数的值逐渐增加，表示sin函数在这个区间内是递增的。
在第二象限，角度θ从90度到180度，sin函数的值逐渐减小，表示sin函数在这个区间内是递减的。
同样地，在第三象限和第四象限，sin函数也是递减和递增的。
综上所述，sin 函数在四个象限都是交替递增和递减的。
我们可以利用这一特点来推导出sin函数单调递增递减的区间公式。
假设x为一个实数，我们可以将x分为两种情况进行讨论。
第一种情况是x落在第一象限或第二象限，即0 ≤ x < π，其对应的sin值是非负的。
因此，sin函数在这个区间内是递增的。
第二种情况是x落在第三象限或第四象限，即π ≤ x < 2π，其对应的sin值是非正的。
因此，sin函数在这个区间内是递减的。
综上所述，我们可以得出sin函数的单调递增递减区间公式如下：1. 对于0 ≤ x < π，sin函数在这个区间内是递增的。
2. 对于π ≤ x < 2π，sin函数在这个区间内是递减的。
这个公式可以帮助我们更好地理解sin函数的单调性。
它告诉我们，在0到π之间，sin函数的值会逐渐增加；而在π到2π之间，sin函数的值会逐渐减小。
除了上述的区间公式外，我们还可以通过使用导数的方法来证明sin函数的单调性。
对sin函数求导，可以得到cos函数，它描述了sin函数的斜率。
求三角函数的单调性的基本方法[推荐] 三角函数的单调性是函数在其定义域内的特定区间内单调增加或减少的特性。
对于三角函数，如正弦函数(sine function)、余弦函数(cosine function)和正切函数(tangent function)，它们的单调性取决于其角度或弧度的值。
为了理解和确定三角函数的单调性，我们可以采用以下的基本方法：方法一：使用函数图像对于三角函数，其图像是理解其单调性的直观且有效的方式。
通过绘制函数的图像，我们可以清晰地看到函数在哪些区间内是单调增加或减少的。
例如，正弦函数的图像呈现了周期性的变化，其在每个周期内都有一段上升和下降的区间，这就是正弦函数的单调性。
方法二：利用三角恒等式和三角函数的性质除了观察图像，我们还可以利用三角恒等式和三角函数的性质来理解和确定函数的单调性。
例如，我们知道正弦函数在任何角度下都有定义，但在0到π/2（弧度）之间是单调增加的，而在π/2到π（弧度）之间是单调减少的。
这是因为正弦函数在这个范围内的导数（也就是变化率）是正的（增加）和负的（减少）。
方法三：利用导数判断对于一般函数，我们可以通过求导数来判断其单调性。
对于三角函数，我们也可以通过求导数来判断其单调性。
例如，我们可以求正弦函数的导数，然后观察其在哪个区间内为正（即函数在此区间内单调增加），在哪个区间内为负（即函数在此区间内单调减少）。
这种方法可以与第一种方法（使用函数图像）相互验证。
结论：理解和确定三角函数的单调性需要综合运用以上三种方法。
通过绘制函数图像、掌握三角恒等式和三角函数的性质、以及利用导数判断函数的单调性，我们可以更全面地理解三角函数的性质，从而更好地解决涉及三角函数的数学问题。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们需要了解所研究的三角函数的定义和基本特性，例如正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域、值域和周期等。
2.其次，我们可以绘制出该函数的图像，通过观察图像的形状和变化趋势来初步判断其单调性。
求三角函数的单调性的基本方法[推荐]案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务流程行为规范问询需求按需求提供饮品客户离开后清理桌面阶段工作及服务流程服务准迎客：保得知需客户班中工作程序工作要求注意事项1)在饮品制作完毕后，如果有其他客户仍在等到则又销售大厅服务岗呈送；2)所有承装饮品的器皿必须干净整洁；下班程序5）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；6）填写物资领用申请表并整理客户意见；7）参加班后总结会；8）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.4展示区服务岗岗位职责1.3.4.1车场服务岗1.3.4.1.1车场服务岗岗位职责1）维护停车区的正常停车秩序；2）引导客户车辆停放，同时车辆停放有序；3）当车辆挺稳时，上前开车门并问好；同时提醒客户锁好车门；4）视情况主动为客户提供服务；5）待车辆停放完好后，仔细检查车身情况请客户签字确认；1.3.4.1.2阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表2）检查周边及案场区设备、消防器材是否良好，如出现异常现象立即报告或报修3）检查停车场车位是否充足，如有异常及时上报上级领导班中工作程序服务流程行为规范1.敬礼2.指引停车3.迎客问好4.目送阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项1）岗位应表现良好的职业形象时刻注意自身的表现，用BI规范严格要求自己2）安全员向客户敬礼，开车门，检查车辆情况并登记，用对讲系统告知销售大厅迎宾，待客人准备离开目送客人离开；迎送引导敬为问指引销售检查车为引敬下班程序1）检查使用的工具情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）参加班后总结会；3）统计访客量；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.4.2展示区礼宾岗1.3.4.2.1展示区礼宾岗岗位职责1）对过往的客户行标准的军礼，目视；2）与下一交接岗保持信息联系，及时将信息告知下一岗位，让其做好接待工作；3）热情礼貌的回答客户的提问，并做正确的指引；4）注视岗位周边情况，发现异常及时上报上级领导；1.3.4.2.2展示区礼宾岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表2）检查周边及案场区设备、消防器材是否良好，如出现异常现象立即报告或报修班中工作程序服务流程敬礼问指引样板敬礼目送行为规范1.迎接客户2.指引客户3.为客户提供帮助4.目送客户工作要求注意事项1）礼宾岗必须掌握样板房户型、面积、朝向、在售金额、物业服务管理费用等客户比较关注的话题；2）礼宾岗上班后必须检查样板房的整体情况，如果发现问题必须及时上报并协助销售进行处理；3）视线范围内见有客户参观时，远处目视，待客户行进1.5米的距离时，敬军礼并主动向客户微笑问好，“欢迎您来参观样板房，这边请，手势指引样板房方向”；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项4）参观期间，礼宾岗需注意背包或穿大衣等可以重点人员进行关注，避免样板房的物品丢失，当巡检时发现有物品丢失及时上报上级领导，对参观的可疑人员进行询问，根据销售部的意见决定是否报警；5）样板房开放时间，在未经销售、项目部允许而进行拍照、摄像等行为劝阻，禁止任何人员挪动展示物品；6）样板房开放时礼宾岗要关注老人、小孩、孕妇及行动不便的人群，对在参观过程中出现的意外及物品损坏必须及时上报上级领导，根据销售部的意见进行处理并做好登记；7）样板房开放期间礼宾岗要礼貌准确的回答客户的问题，对不能回答的问题需引导给销售人员由其进行解答，严禁用含糊不清或拒绝来回答；8）留意客户是否离开样板房，通知电瓶车司机来接客户；9）当客户参观完毕离开样板房，待客户1.5米距离时微笑敬礼目送客户，手势指向出门的方向，若电瓶车未到，向客户致歉并说明电瓶车马上就到；10）每天下班要对样板房物品进行检查并做好登记，如出现丢失或损坏须向上级领导呈报，根据销售部意见进行处理并做好记录；11）礼宾岗下班后要关闭样板房的水源、电源及监控系统并与晚班人员做好交接；12）对于特殊天气，样板房礼宾岗要检查周边环境，以防不则；下班程序1）检查使用的工具情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）参加班后总结会；3）统计访客量；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.4.3电瓶车服务岗1.3.4.3.1电瓶车服务岗岗位职责1）严格按照规定的路线及线路行驶，将客人送到指定地点；2）正确执行驾驶操作流程，确保车行安全；3）了解开发建设项目的基本情况并使用统一说辞，在允许的情况下礼貌回答客户问题；4）车辆停放时及时对车辆进行清洁，确保车辆干净；5）负责车辆的检查；6）对车辆实施责任化管理，未经允许任何人不得驾驶；7）不允许非客户人员乘坐电瓶车；8）做好电瓶车的交接工作1.3.4.3.2电瓶车服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表2）检查电瓶车运行状态，如发现问题立即上报上级领导进行维修并做好记录班中工作程序服务流程行为规范1）迎接客户上车2）转弯、减速、避让提示客户3）下车提示客户小心工作要求注意事项1）电瓶车驾驶员载客至样板房过程中禁止鸣笛、超速、遇车避让；2）客户上车时应主动问好，欢迎您来到XX项目，车辆行驶时应提示客户坐稳扶好，到达目的地时，驾驶员提示客户样板房已经到达请小心下车，客户离开电瓶车时应说：欢迎下次乘坐，谢谢再见，问指引车辆起车辆行驶下请慢走；3）带客户下车时应检查车上是否有遗留物品，并提示客户随身带好物品；4）电瓶车必须严格按照规定路线行驶；5）做好行车记录；下班程序1）待客户全部离开后将电瓶车开至指定位置，并将车辆进行清洁及充电；2）整理客户意见，参加班后会；3）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.5样板房服务岗1.3.5.1样板房讲解岗岗位标准1.3.5.1.1样板房讲解岗岗位职责1)负责来访样板房客户的全程接待与讲解；2）协助、配合置业顾问介绍；3）客户离开后，样板房零星保洁的处理；4）收集客户意见、建议及现场问题点的填写（样板房日常庶务）反馈单,下班后递交案场负责人；1.3.5.1.2样板房讲解刚工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶1）自检仪容仪表，以饱满的工作状态进入工段作；2）检查样板房设备设施运行情况，如有异常及时上报并做好登记；3）检查样板房保洁情况及空调开启情况；设备设施班中工作程序服务流程行为规范1）站立微笑自然2）递送鞋套3）热情大方、细致讲解4）温馨道别保持整洁工作要求注意事项1）每日对接样板房设备清单，检查空调开启及保洁状态；2）站在样板房或电梯口，笑意盈盈接待客户；3）顾客出现时，身体成30度角鞠躬“欢迎光顾XX样板房”4）引领入座并双手递上鞋套，双手递上时不宜过高，与客人坐下时的膝盖同高；5）与客户交谈时声音要足，吐字清晰避迎客，引导客协助置向客户免重复；6）专注你接待的客户，勿去应其他客户，以示尊重，对其他客户微笑点头以示回应；7）若无销售人员带领的客户，要主动介绍房子的户型及基本信息，谈到房子的价位时请客户直接与销售人员联系不要直接做回答；8）参加样板房时，未经销售或其他人员允许谢绝拍照及录像，谢绝动用样板房物品及附属设施，对客遗失物品做好登记并上报上级领导；9）时刻注意进入样板房的客户群体，特别是小孩，要处处表达殷勤的关心，以示待客之道；10）时刻留意客户的谈话，记下客户对样板房的关注点和相关信息；11）送别，引领客户入座示意脱下鞋套双手承接，客户起身离去时，鞠躬说感谢您参观样板房，并目送客户离开；下班程序1）检查样板房设备设施是否处于良好的运营状态，如出现异常及时维修；2）需对接样板房物品清单；3）整理客户意见，参加班后会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.5.2样板房服务岗岗位标准（参见销售大厅服务岗岗位标准）1.3.6案场服务岗管理要求培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况在岗培训每月至少一次1）公司企业文化2）客户服务技巧3）客户心理培训4）突发事件处理5）营销知识培训6）职业安全7）7S现场管理例会日会：每日参加案场管理岗组织的总结会并及时接收案场信息周会：每周参加管理岗组织的服务类业务点评会客户信息收集反馈每日汇总客户信息反馈到案场管理岗样板房客户车场岗客户监督考核1）考核频次：至少每月一次；2）考核人：案场管理岗；3）每月汇总客户信息反馈表，依据上级检查及客户满意度调查情况进行绩效加减；4）由案场负责人直接考核；5）连续两个月考核不合格者直接辞退1.4案场基础作业岗1.4.1案场基础作业岗任职资格岗位类型岗位名称任职资格基础作业岗安全岗基本要求：1）男性：身高1.80米以上；2）年龄：(18-30)岁；3）普通话标准；4）学历：高中以上；技能要求：1）熟悉项目的基本情况2）具备过硬的军事素质素质要求：1）性格：开朗、主动服务意识强有亲和力；2）从业经历：具有同岗位经验半年以上案场保洁岗及绿化养护岗基本要求：1）男女不限；2）年龄30岁以下3）学历：初中以上技能要求“案场保洁岗：熟知药剂使用及工具使用案场绿化养护岗：熟知树木习性及绿化养护知识素质要求：具有亲和力，对保洁及绿化工作有认同感案场技术保障岗基本要求：男性五官端正学历：中专（机电一体化）技能要求：1）具有水或电及空调证书；2）熟悉各岗位操作工具的使用；3）同岗工作一年以上素质要求：踏实肯干，具有亲和力及主动服务意识1.4.2案场基础作业岗通用行为规范通用规范 参照标准君正物业员工BI 规范手册1.4.3安全岗岗位标准1.4.3.1安全岗岗位职责1）负责销售案场管理服务区域的安全巡视工作，维持正常秩序；2）监督工作区域内各岗位工作状态及现场情况及时反馈信息；3）发现和制止各种违规和违章行为，对可疑人员要礼貌的盘问和跟踪察看；4）谢绝和制止未经许可的各类拍照、摆放广告行为；1.4.3.2安全岗作业要求1）按照巡视路线巡视签到检查重点部位；2）遇见客户要站立、微笑、敬礼，礼貌的回答客户的提问并正确引导；3）人过地净，协助案场保洁人员做好案场的环境维护；4）在每一巡视期内检查设备设施运行状态并做好记录；5）协助做好参观人员的车辆引导、指引和执勤工作；6）积极协助其他岗位工作，依据指令进行协助；1.4.4保洁岗岗位标准1.4.4.1保洁岗岗位职责1）负责案场办公区域、样板房及饰品的清洁工作；2）负责案场外围的清洁工作；3）负责案场垃圾的处理；4）对案场杂志等资料及时归位；1.4.4.2保洁岗作业要求1）每天提前半小时上岗，对案场玻璃、地面等进行全方位清洁；2）卫生间每十分钟进行一次巡视性清洁；3）阴雨天提前关闭门窗；4）掌握清洁器具的使用；5）熟知清洁药剂的配比及使用；1.4.5绿化岗岗位标准1.4.5.1绿化岗岗位职责1)负责管理区域内一切绿化的养护；2）确保绿化的正常存活率；3）对绿植进行修剪及消杀；1.4.6案场技术岗岗位标准1.4.6.1案场技术岗岗位职责1）全面负责案场区域内设备设施的维护、维修及保养；2）协助管理岗完成重大接待工作案场的布置；3）现场安全的整体把控；1.4.6.2案场技术岗岗位要求1）每日案场开放前对辖区设备设施进行检查，保障现场零事故；2）每日班后对设备设施进行检查保障正常运行并做好相关记录；3）报修后5分钟赶到现场；4）接到异常天气信息，对案场设备进行安全隐患排除；1.4.7案场基础作业岗岗位要求培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况在岗培训每月至少一次1）公司企业文化2）客户服务技巧3）客户心理培训4）突发事件处理5）营销知识培训6）职业安全7）7S现场管理例会日会：每日参加案场管理岗组织的总结会并及时接收案场信息周会：每周参加管理岗组织的服务类业务点评会客户信息收集反馈每日汇总客户信息反馈到案场管理岗监督考核1）考核频次：至少每月一次；2）考核人：案场管理岗；3）每月汇总客户信息反馈表，依据上级检查及样板房客户车场岗客户客户满意度调查情况进行绩效加减；4）由案场负责人直接考核；5）连续两个月考核不合格者直接辞退2服务创新案例项目推荐亮点服务为客户爱车提供遮阳服务服务员面向客户时刻关注客户上午11点给客户送上点心，关怀到心2服务创新案例项目推荐亮点服务夏日毛巾送清凉，冬日毛巾暖人心洗手间提供百宝箱样板房门口提供卷尺待客户使用摆件销售大销售大标准摆布置整齐规范布置整齐规范水中花、烟缸、百宝箱、项目推介书茶几物品、花、烟缸水中花时尚周围用木桩装垃圾桶装饰（石子边缘放置一枚花卉）垃圾桶上方加印LOGO整齐的伞架样板房没有样板房门口销售大厅设梯所设的温馨字画套分门别类摆放娱乐实施（桌球等）求三角函数的单调性的基本方法：函数 sin()y A x k ωϕ=++的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在22,22k x k k z ππππ-≤≤+∈和322,22k x k k z ππππ+≤≤+∈两个区间内分别确定函数的单调增减区间。
