三角函数的单调性

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

求三角函数的单调性的基本方法：函数 sin()y A x k ωϕ=++的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在22,22k x k k z ππππ-≤≤+∈和322,22k x k k z ππππ+≤≤+∈两个区间内分别确定函数的单调增减区间。

1、求函数)213sin(x y -=π在区间[-2π，2π]的单调增区间。

解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>）的形式：)321sin()213sin(ππ--=-=x x y⑵把标准函数转化为最简函数（sin y A x =）的形式：令123z x π=-，原函数变为1sin()sin 23y x z π=--=-⑶讨论最简函数sin y z=-的单调性：从函数sin y z=-的图像可以看出，sin y z=-的单调增区间为3[2,2]22k k ππππ++，Z ∈K 。

所以32222K z K ππππ+≤≤+，Z ∈K 即πππππ23232122+≤-≤+K x K ， Z ∈K ∴ππππ3114354+≤≤+K x K ， Z ∈K⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，ππ31135≤≤x当k=1时，222333xππ≤≤当k=-1时，ππ3137-≤≤-x⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：因为[2,2]xππ∈-，所以该函数的单调增区间为ππ312-≤≤-x和ππ235≤≤x2、求函数)26sin(2xy-=π在区间[0，π]的单调增区间。

解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x Aωϕω=+>>）的形式：sin(2)sin(2)66y x xππ=-=--⑵把标准函数转化为最简函数（siny A x=）的形式：令26z xπ=-，原函数变为sin(2)sin6y x zπ=--=-⑶讨论最简函数sin y z=-的单调性：从函数sin y z=-的图像可以看出，sin y z=-的单调增区间为3[2,2]22k k ππππ++，Z ∈K 。

高中数学三角函数的单调性知识分析卢玉玺(安徽省临泉第二中学㊀２３６４００)摘㊀要:纵观近几年的高考数学卷ꎬ我们不难发现三角函数这部分的知识已经成为了数学高考中的一大 风景点 .但是在实际解题中ꎬ很多学生对这部分知识中的应用能力并不特别强.因此ꎬ本文中将以 三角函数中的单调性 类题目的解法为例ꎬ与同学们一起寻找此类题目的解题规律.关键词:高中数学ꎻ三角函数ꎻ单调性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２４－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:卢玉玺(１９７９.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁正弦函数的单调区间在高中数学的学习中ꎬ函数问题较为常见ꎬ其中三角函数作为同学们整个高中阶段函数学习的重点更是具有着不容忽视的地位ꎬ在三角函数类的解题中ꎬ以正弦函数的单调性类题目为例ꎬ为更好求解正弦函数的单调区间我们就可以借助诱导公式的方法.例１㊀求函数ｙ＝ｓｉｎ(π３－２ｘ)的单调区间.思路分析㊀分析题目ꎬ我们可以发现ꎬ此题中函数的ω<０ꎬ因此在本题中我们就可以先利用诱导公式将函数中ｘ的系数化为正值ꎬ然后再根据正弦函数的单调区间求出此题答案.根据这一思路我们就可以将原函数转化为ｙ＝－ｓｉｎ(２ｘ－π３)ꎬ此时所求函数的增区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的减区间ꎻ所求函数的减区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间.之后ꎬ再根据正弦函数的单调区间求法ꎬ我们就可以得到２ｋπ＋π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋３π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ＋５π１２ɤｘɤｋπ＋１１π１２(ｋɪＺ).故所求函数的增区间为[ｋπ＋５π１２ꎬｋπ＋１１π１２](ｋɪＺ).同理ꎬ在求原函数的减区间时ꎬ我们也可以沿用这种思路ꎮ在本题中ꎬ通过分析ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间ꎬ我们可知２ｋπ－π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数的减区间为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀在求三角函数的单调区间时ꎬ当不好直接对题目进行分析时就可以先借助诱导公式对其变形处理ꎬ然后再根据相应原理进行解题分析ꎬ以此提高我们的解题效率ꎬ让我们更准确地找出问题的解答策略.㊀㊀二㊁正切函数的单调区间本部分中我将以数形结合思想为例ꎬ带领大家探究利用数形结合思想求正切函数单调区间的具体方法.例２㊀求函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的单调区间.思考方式:我们可以发现题目中的正切函数是一个绝对值函数ꎬ因而在此题中我们就可以利用数形结合的方法进行求解.在解题中ꎬ我们可以先根据题目要求及已有数学经验作出ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的函数图象ꎬ因为函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜是一个偶函数ꎬ所以它的图象应该关于ｙ轴对称.通过作图分析的方式我们可以知道:当ｘ>０时ꎬｙ＝ｔａｎｘꎬ其增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ当ｘ<０时ꎬｙ＝－ｔａｎｘꎬ其减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.故此题的答案应为:ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.方式评注㊀在三角函数的单调性类题目中这种图象４２解题的方法较为常见ꎬ在如例题中的题目里ꎬ同学们就可以利用图象的方法ꎬ通过作图分析ꎬ从左到右观察图象ꎬ按照 图象中呈上升趋势的区间为增区间㊁呈下降趋势的区间为减区间 这一理念进行题目求解.㊀㊀三㊁余弦函数的单调区间三角函数的单调性部分是三角函数的主要性质之一ꎬ本部分中ꎬ我将与同学们一起探索余弦函数的单调区间求取方法.例３㊀求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的单调区间.思考方式㊀本题中的函数是一个余弦函数ꎬ我们可以利用余弦函数的单调性进行求解.在解题过程中我们可以先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后根据余弦函数的单调增区间求解方法就可以得到２ｋπ－πɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ(ｋɪＺ)ꎬｋπ－７π１２ɤｘɤｋπ－π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的增区间应为[ｋπ－７π１２ꎬｋπ－π１２](ｋɪＺ).在求函数的单调递减区间时ꎬ我们也可以用这种方法ꎬ先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后通过对题目的分析可得２ｋπɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋π(ｋɪＺ)ꎬｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的减区间应为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀对于一些比较复杂的函数ꎬ同学们就可以使用这种方法先将原函数中的式子视为一个整体ꎬ然后再利用相关定理求解.总之ꎬ在高中数学中三角函数的单调性部分的解题过程中ꎬ同学们应该注意挖掘典型题目的具体特征ꎬ并不断总结㊁不断反思ꎬ以期形成一套完整的数学解题思路ꎬ并合理地通过知识迁移及相关题目的变式练习将自己的思路运用到实际解题中ꎬ以此达到事半功倍的学习效果.㊀㊀参考文献:[１]孙月.对高中函数单调性的解析策略研究[Ｊ].新课程(中学)ꎬ２０１５(１０):６８.[２]张先龙ꎬ肖凌戆.基于数学核心素养的教学设计 以函数的单调性新授课为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１７(ｚ１):１６－１９.[责任编辑:李㊀璟]一题多解一题多变在切线方程中的运用探究伍锡浪(江西省九江第一中学㊀３３２０００)摘㊀要:本文通过对２０１３年高考数学山东卷理科第２２题的研究ꎬ引发了对圆锥曲线的切线方程的探究ꎬ体现了导数的工具性作用ꎬ进一步表明了数学教学中应提倡一题多解一题多变的探究ꎬ从而大力提高学生的探索能力和创造能力.关键词:一题多解ꎻ一题多变ꎻ圆锥曲线ꎻ切线方程ꎻ斜率ꎻ导数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２５－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:伍锡浪ꎬ江西省九江人ꎬ硕士ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:江西省教育科学 十三五 规划２０１８年度ꎬ课题«一题多解一题多变在教学中的运用研究»编号:１８ＰＴＹＢ０３６㊀㊀«普通高中数学课程标准(实验)»指出: 学生的数学学习活动不应只限于接受㊁记忆㊁模仿和练习ꎬ高中数学课程还应倡导自主探究㊁动手实践㊁合作交流㊁阅读自学等学习数学的方式. 这就要求我们在教学中重在为学生创设良好的思维情境ꎬ让学生在自主探究和合作交流的过程中体验数学发现和创造的历程ꎬ学会研究问题㊁解决问题ꎬ做到举一反三㊁触类旁通.从而大力提高学生的探索能力和创造能力.㊀㊀一㊁真题铺路㊀引出课题(２０１３年高考数学山东卷理科第２２题)椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ离心率为３２ꎬ过点５２。

三角函数的定义域值域与单调性三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学以及其他许多领域中都有着广泛的应用。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域以及单调性是我们研究它们的重要方面。

本文将以一种合适的格式来论述三角函数的定义域、值域和单调性。

1. 正弦函数的定义域、值域与单调性三角函数正弦函数的定义域是实数集R，因为它可以接受任何实数作为自变量。

正弦函数的值域是闭区间[-1, 1]，也就是说，对于任意的x，-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

正弦函数在区间[0, π]上是单调递增的，在区间[π, 2π]上是单调递减的。

2. 余弦函数的定义域、值域与单调性余弦函数的定义域也是实数集R。

与正弦函数不同的是，余弦函数的值域也是闭区间[-1, 1]，也就是说，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

余弦函数在区间[0, π/2]上是单调递减的，在区间[π/2, π]上是单调递增的，在区间[π,3π/2]上是单调递减的，在区间[3π/2, 2π]上是单调递增的。

3. 正切函数的定义域、值域与单调性正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外，即x ≠ (2n + 1)π/2，其中n为整数。

正切函数的值域是全体实数，也就是对于任意的y，都存在一个实数x使得tan(x) = y。

正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，而在其他区间上是周期性的。

总结：正弦函数的定义域是实数集R，值域是闭区间[-1, 1]。

其在区间[0, π]上是单调递增的，而在区间[π, 2π]上是单调递减的。

余弦函数的定义域也是实数集R，值域同样是闭区间[-1, 1]。

其在区间[0, π/2]上是单调递减的，而在区间[π/2, π]上是单调递增的，以此类推。

正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外。

值域是全体实数。

正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，其余区间上是周期性的。

通过研究三角函数的定义域、值域以及单调性，我们能够更好地理解三角函数的性质与特点，在解决数学和实际问题中起到重要的作用。

三角函数中ω的处理技巧第一节与单调性有关在学习三角函数中，处理角速度的问题是非常重要的一部分。

角速度（ω）在三角函数中的处理涉及到函数的单调性，也就是函数在其中一区间上的增减关系。

在解决这类问题时，我们可以采用一些技巧来简化计算。

本文将介绍一些处理角速度问题的技巧，以帮助读者更好地掌握三角函数的知识。

在三角函数中，我们常常需要求解函数在一些区间上的单调性。

首先，我们需要了解单调性的定义。

定义：设函数f(x)在区间I上定义。

如果对于I上任意两个不同的数x1，x2，都有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)那么称f(x)在I上是单调递增的或者单调递减的。

接下来，我们来讨论一些处理角速度问题的技巧。

一、单调性与导数的关系我们知道，函数f(x)在区间I上递增，等价于f'(x)>0，而函数f(x)在区间I上递减，等价于f'(x)<0。

因此，我们可以通过求函数的导数来判断函数的单调性。

对于三角函数来说，其导数的计算非常简单。

我们知道，sin(x) 的导数是 cos(x)，而 cos(x) 的导数是 -sin(x)。

因此，当我们需要判断三角函数的单调性时，我们可以通过求导数来得到答案。

二、利用导数的正负判断单调性在处理角速度问题时，我们可以通过求导数的正负来判断函数的单调性。

具体来说，假设我们需要判断函数f(x)在区间I上的单调性，我们首先需要计算f'(x)的表达式。

然后，我们可以通过求解f'(x)的解析式，判断f'(x)在I上的正负关系。

如果f'(x)>0，则f(x)在I上递增；如果f'(x)<0，则f(x)在I上递减。

例如，我们需要判断函数 y=sin(x) 在区间(0, 2π) 上的单调性。

我们可以先计算 y' 的导数，得到 y' = cos(x)。

然后，我们可以求解y' 的解析式，即 cos(x)=0。

求三角函数的单调性的基本方法：函数的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，sin()y A x k ωϕ=++若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在和两个22,22k x k k z ππππ-≤≤+∈322,22k x k k z ππππ+≤≤+∈区间内分别确定函数的单调增减区间。

1、求函数在区间[-2π，2π]的单调增区间。

)213sin(x y -=π解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（）sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>的形式：321sin()213sin(ππ--=-=x x y ⑵把标准函数转化为最简函数（）的形式：sin y A x =令，原函数变为123z x π=-1sin()sin 23y x z π=--=-⑶讨论最简函数的单调性：sin y z=-从函数的图像可以看出，的单调增区间为sin y z=-sin y z=-，。

所以，3[2,2]22k k ππππ++Z ∈K 32222K z K ππππ+≤≤+Z∈K 即， πππππ23232122+≤-≤+K x K Z ∈K ∴， ππππ3114354+≤≤+K x K Z∈K ⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，ππ31135≤≤x当k=1时，222333x ππ≤≤当k=-1时，ππ3137-≤≤-x ⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：因为，所以该函数的单调增区间为[2,2]x ππ∈-和ππ312-≤≤-x ππ235≤≤x 2、求函数在区间[0，π]的单调增区间。

)26sin(2x y -=π解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（）sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>的形式：sin(2)sin(266y x x ππ=-=--⑵把标准函数转化为最简函数（）的形式：sin y A x =令，原函数变为26z x π=-sin(2)sin 6y x z π=--=-⑶讨论最简函数的单调性：sin y z=-从函数的图像可以看出，的单调增区间为sin y z=-sin y z=-，。

三角函数的单调性
三角函数的单调性：
1、余弦函数是递减的：
余弦函数属于三角函数，它表示的是曲线在角度大小与变形上的映射关系。

若角度值从小到大，余弦函数也会从正到负，最终到达一个最小值后变为正。

总的来说，余弦函数是递减的单调函数。

2、正弦函数是递增的：
和余弦函数相比，正弦函数同样属于三角函数，它表示的是曲线在角度大小与变形上的映射关系。

若角度值从小到大，正弦函数也会从负到正，最终到达一个最大值后变为负。

所以可以认为，正弦函数是递增的单调函数。

3、斜率函数是恒定的：
斜率函数也属于三角函数，它描述的是曲线在斜率上的关系。

无论是从小到大，还是从大到小，斜率函数均是恒定的。

所以斜率函数既不是递减的也不是递增的，而是一个常数，它不具有单调性。

总结：
三角函数可以分为余弦函数、正弦函数和斜率函数三种，其中，余弦函数是递减的单调函数，正弦函数是递增的单调函数，而斜率函数是恒定的常数函数，不具有单调性。

三角函数的单调性和周期性教案教案概述：本教案旨在讲解三角函数的单调性和周期性的概念和性质。

通过理论讲解和实例演算，帮助学生理解三角函数在数轴上的单调性及其周期性特征。

同时，通过练习题的提供，帮助学生巩固和应用所学知识。

教案步骤：一、引入（约5分钟）1. 提出问题：什么是函数？2. 引导学生回顾函数的定义和性质。

二、讲解三角函数的概念和图像（约10分钟）1. 简要介绍三角函数的定义及其常见的三种形式：正弦函数、余弦函数和正切函数。

2. 展示三角函数的图像，并解释图像中的关键点和特征。

三、单调性的概念和判断（约15分钟）1. 解释单调性的概念：函数在数轴上的增减性。

2. 以正弦函数和余弦函数为例，引导学生根据函数图像判断其单调性。

3. 引导学生总结三角函数的单调性规律，并提供实例进行演算。

四、周期性的概念和判断（约15分钟）1. 解释周期性的概念：函数在一定区间内呈现重复的图像。

2. 以正弦函数和余弦函数为例，引导学生寻找其周期并判断周期性。

3. 引导学生总结三角函数的周期性规律，并提供实例进行演算。

五、练习题训练（约15分钟）1. 提供一组三角函数的练习题，要求学生判断其单调性和周期性。

2. 引导学生运用所学知识解答练习题，并及时反馈和讲解解题思路。

六、拓展应用（约10分钟）1. 引导学生思考三角函数的单调性和周期性在实际问题中的应用。

2. 提供实际问题的案例，让学生运用所学知识解答问题。

七、总结与归纳（约5分钟）1. 引导学生总结并归纳三角函数的单调性和周期性的重要性和应用价值。

2. 梳理本节课的重点内容和学习收获。

教学资源准备：1. PPT或黑板、白板等教学工具2. 三角函数图像的展示材料3. 练习题和解答教学评估：1. 课堂互动：通过提问和学生的回答来检查他们对概念的理解程度。

2. 练习题表现：通过学生的练习题答案和解题过程来评估他们对单调性和周期性的掌握情况。

教学延伸：1. 学生可进一步研究三角函数图像的性质和变换规律。

数学《三角函数的单调性》教案教学目标：1.了解三角函数的单调性的概念。

2.掌握三角函数单调性的判断方法。

3.能够根据三角函数的单调性，解决相关问题。

教学重难点：1.掌握三角函数的单调性的判断方法。

2.能够根据三角函数的单调性，解决相关问题。

教学过程：一、引入：老师在黑板上写出sinx、cosx、tanx的函数图像，让学生尝试寻找其中的规律，引出三角函数的单调性。

二、概念：1.定义：如果一个函数f(x)在区间I上单调递增，即对于I上的任意x1<x2都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上单调递增；如果一个函数g(x)在区间I上单调递减，即对于I上的任意x1<x2都有g(x1)>g(x2)，则称g(x)在I上单调递减。

2.三角函数的单调性（1）sinx在[0，π]单调递增。

（2）cosx在[0，π]单调递减。

（3）tanx在每个开区间（kπ，（k+1）π）上单调递增，其中k∈Z。

三、判断：例1：判断函数y=cosx在区间[0，π/2]上的单调性。

解：因为0<π/2，所以cos0>cos(π/2)，即0>−1，故cosx在[0，π/2]上单调递减。

例2：判断函数y=tanx在区间[−π/4，π/4]上的单调性。

解：任取x1<x2∈[−π/4，π/4]，则tanx1<tanx2，故y=tanx在[−π/4，π/4]上单调递增。

四、应用：例3：在[−π/2，π/2]中，sinx=cosx（π/4≤x≤3π/4）的解中，哪些在区间[−π/4，π/4]中？解：因为0≤sinx≤1，−1≤cosx≤0，所以π/4≤x≤π/2时，0≤s inx<cosx；−π/2≤x≤π/4时，sinx<0≤cosx。

因此，在[−π/4，π/4]中的解为x=−π/4。

五、总结：通过本节课程的学习，我们了解了三角函数的单调性的概念和判断方法。

在解决相关问题时，我们要善于利用三角函数的单调性，在有利于解题的情况下，缩小解的范围，提高解题效率。