三角函数的单调性与值域

常见的三种三角函数值域的求法三角函数是高中数学中常见的一个概念，它是指正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数在计算中十分常用，下面将详细介绍三种三角函数值域的求法。

一、正弦函数值域的求法正弦函数的值域在[-1, 1]之间。

具体求法如下：1. 代数法：由正弦函数的定义可知，y=sin x，其中-1≤y≤1。

即y 的取值范围为[-1, 1]。

2. 图像法：正弦函数的图像在[-π/2,π/2]内单调递增，且满足y的取值范围为[-1, 1]。

3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于这段弧上点的y坐标。

而当角度为0和π时，y坐标分别为0和1，因此正弦函数的值域为[-1,1]。

二、余弦函数值域的求法余弦函数的值域在[-1,1]之间。

具体求法如下：1. 代数法：由余弦函数的定义可知，y=cos x，其中-1≤y≤1。

即y 的取值范围为[-1, 1]。

2. 图像法：余弦函数的图像在[0,π]内单调递减，且满足y的取值范围为[-1, 1]。

3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的余弦值等于这段弧上点的x坐标。

而当角度为0和π/2时，x坐标分别为1和0，因此余弦函数的值域为[-1,1]。

三、正切函数值域的求法正切函数的值域为实数集。

具体求法如下：1. 代数法：由正切函数的定义可知，y=tan x，其中y可取遍所有实数。

因此，正切函数的值域为实数集。

2. 图像法：正切函数的图像在(π/2n,π/2n+1)(n∈Z)上有无限个垂直渐近线。

这说明正切函数可以取遍所有实数，因此正切函数的值域为实数集。

3. 应用法：正切函数在实际应用中十分重要，比如在三角定位中，我们经常需要根据已知的两条边求第三条边的长度，这时就需要用到正切函数。

正切函数值域为实数集，可以表示所有可能的长度。

综上所述，正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为实数集。

三角函数的解析式与值域三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

本文将介绍三角函数的解析式以及它们的值域。

一、正弦函数sin(x)正弦函数是最基本的三角函数之一，它的解析式为sin(x)，其中x 为自变量。

正弦函数的值域是[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。

二、余弦函数cos(x)余弦函数是正弦函数的补函数，它的解析式为cos(x)，其中x为自变量。

余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数的值域相同。

三、正切函数tan(x)正切函数的解析式为tan(x)，其中x为自变量。

然而，正切函数的值域却是无界的，也就是说正切函数的取值可以是任意的实数。

四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

这些函数的解析式分别为asin(x)，acos(x)和atan(x)，其中x为自变量。

对于反正弦函数和反余弦函数，它们的值域是[-π/2, π/2]，即函数值在这个区间内取值。

反正切函数的值域是(-π/2, π/2)，也就是说函数值在开区间(-π/2, π/2)内取值。

五、三角函数的周期性值得注意的是，正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π。

也就是说，当x增加2π或减少2π时，正弦函数和余弦函数的取值会重复。

正切函数的周期为π，当x增加π或减少π时，正切函数的取值会重复。

六、三角函数的图像三角函数的图像通常用单位圆来表示。

单位圆是以原点为中心、半径为1的圆。

正弦函数的图像在单位圆上表示为点的纵坐标，而余弦函数的图像在单位圆上表示为点的横坐标。

七、三角函数的应用三角函数在数学和物理等领域有广泛的应用。

它们可以用于描述周期性现象，如电流的变化和音波的波动等。

另外，三角函数还被应用于三角恒等式的证明和解三角方程等问题。

总结：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的解析式和值域有所不同。

- 正弦函数的解析式为sin(x)，值域为[-1, 1]；- 余弦函数的解析式为cos(x)，值域为[-1, 1]；- 正切函数的解析式为tan(x)，值域为实数集。

高中数学：三角函数三角函数是高中数学中重要的一个章节，也是很多同学感觉比较困难的部分之一。

它是研究角和角的函数关系的一门数学分支。

在高中数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，以及它们之间的性质和基本解析式。

一、正弦函数1. 正弦函数的概念在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其对边与斜边的比值称为正弦，即sinA = 对边/斜边。

在坐标系中，以一单位长度的线段在y轴上向上方向旋转，端点所在直线与x轴正半轴正向的夹角的正弦值为y，即y=sinα。

2. 正弦函数的性质（1）定义域：D={α | α∈R}。

（2）值域：[-1, 1]。

（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-α)=-sinα。

（4）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(α+2π)=sinα。

（5）单调性：在[0, π]上，正弦函数单调递增，在[π, 2π]上单调递减。

3. 正弦函数的图像练习题：1. 求sin 120°和sin (-45°)的值。

2. 若α∈[0, 2π]，求证：sin(π-α)=sinα。

3. 若cosα=4/5，α∈[0, π/2]，求sinα的值。

4. 已知sinα=-1/5，α∈[π/2, π]，求cosα的值。

5. 求证：sin(π/2-α)=cosα。

参考答案：1. sin 120°=sin(120°-360°)=sin(-240°)=-sin240°=-√3/2；sin(-45°)=-sin45°=-1/√2。

2. sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=-sinα。

3. sinα=3/5。

4. cosα=-√24/5。

5. sin(π/2-α)=cosα。

二、余弦函数1. 余弦函数的概念在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其邻边与斜边的比值称为余弦，即cosA = 邻边/斜边。

三角函数的性质
三角函数是数学中的基本初等函数之一，具有多种性质，以下是一些主要的性质：
1.周期性：三角函数具有周期性，即它们的值在每隔一定的
角度后重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期为360度
（或2π弧度），而正切函数的周期为180度（或π弧
度）。

2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，这意味着对于任
何角度θ，sin(-θ) = -sinθ和tan(-θ) = -tanθ。

余弦函数是
偶函数，即cos(-θ) = cosθ。

3.有界性：正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，这意味
着它们的值始终在这个范围内。

正切函数的值域是实数集R，没有上界和下界。

4.单调性：在特定的区间内，正弦函数和余弦函数可以是增
函数或减函数。

正切函数在其定义域内的某些区间内也是增函数或减函数。

5.和差角公式：三角函数满足一些和差角公式，这些公式允
许我们计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。

6.倍角公式：三角函数也满足一些倍角公式，这些公式允许
我们计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。

7.三角恒等式：三角恒等式是一组恒真的等式，涉及正弦、
余弦、正切等三角函数。

这些恒等式在三角函数的计算和证明中非常有用。

8.单位圆上的定义：三角函数也可以定义为单位圆上的各种
线段的长度，这为它们提供了几何解释。

9.无穷级数表示：三角函数也可以用无穷级数来表示，这允
许我们将它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

这些性质使得三角函数在数学、物理、工程、信号处理等领域中有广泛的应用。

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数sin y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。

通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。

sinx换为cosx也可以。

③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。

④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。

⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。

cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。

或者转化成两点连线的斜率。

以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。

二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。

三角函数的定义域值域与单调性三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学以及其他许多领域中都有着广泛的应用。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域以及单调性是我们研究它们的重要方面。

本文将以一种合适的格式来论述三角函数的定义域、值域和单调性。

1. 正弦函数的定义域、值域与单调性三角函数正弦函数的定义域是实数集R，因为它可以接受任何实数作为自变量。

正弦函数的值域是闭区间[-1, 1]，也就是说，对于任意的x，-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

正弦函数在区间[0, π]上是单调递增的，在区间[π, 2π]上是单调递减的。

2. 余弦函数的定义域、值域与单调性余弦函数的定义域也是实数集R。

与正弦函数不同的是，余弦函数的值域也是闭区间[-1, 1]，也就是说，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

余弦函数在区间[0, π/2]上是单调递减的，在区间[π/2, π]上是单调递增的，在区间[π,3π/2]上是单调递减的，在区间[3π/2, 2π]上是单调递增的。

3. 正切函数的定义域、值域与单调性正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外，即x ≠ (2n + 1)π/2，其中n为整数。

正切函数的值域是全体实数，也就是对于任意的y，都存在一个实数x使得tan(x) = y。

正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，而在其他区间上是周期性的。

总结：正弦函数的定义域是实数集R，值域是闭区间[-1, 1]。

其在区间[0, π]上是单调递增的，而在区间[π, 2π]上是单调递减的。

余弦函数的定义域也是实数集R，值域同样是闭区间[-1, 1]。

其在区间[0, π/2]上是单调递减的，而在区间[π/2, π]上是单调递增的，以此类推。

正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外。

值域是全体实数。

正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，其余区间上是周期性的。

通过研究三角函数的定义域、值域以及单调性，我们能够更好地理解三角函数的性质与特点，在解决数学和实际问题中起到重要的作用。