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材料力学4弯曲内力

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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力

《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力

x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在

材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解

材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解
C
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m

《材料力学》第四章 弯曲内力

《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,

材料力学——4梁的弯曲内力

材料力学——4梁的弯曲内力

21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。

材料力学_：弯曲内力_：载荷集度、剪力和弯矩间的关系_

材料力学_：弯曲内力_：载荷集度、剪力和弯矩间的关系_

dFS( x) q( x) dx
If:在 x=x1 和 x= x2 两个横截面处无集中力作用
x2 x1
dFS
Байду номын сангаас
(
x)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
115
1265
23.6
+
1.7
27
（3）弯矩图 每段弯矩图均为斜直线。
MA0
FRA F
1
2
A
C
F FRB
3
D
B
M C FRA0.2 4.72kN m
M D FRB0.115 3.11kN m
MB 0
200
115
1265
最大弯矩发生在 C 截面
M max 4.72kN m
+
（4）校核
FRA 1 F 2
二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系
1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0 FS(x)图为一向右下方倾斜的直线. M(x)图为一向上凸的二次抛物线.
M(x)
FS(x)
O
x
2.梁上无荷载段，q(x) = 0 剪力图为一条水平直线.
FS(x)
弯矩图为斜线.
O
x
dFS( x) q( x) dx
A
C
F 3 FRB
DB
1）集中力作用的C,D 两点： 剪力图发生突变,突变值F=25.3kN。
200

材料力学-第四章 弯曲内力

材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)

材料力学4弯曲内力

材料力学4弯曲内力
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。

材料力学第4章第5章

材料力学第4章第5章
200
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d

y

M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d


o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z

材料力学考研复习资料第4章弯曲内力

材料力学考研复习资料第4章弯曲内力

M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：

材料力学 第四章弯曲内力

材料力学 第四章弯曲内力

M=±∑M(Fi)左或右 ±
例1: 已知 q=2 kN / m,求 1-1,2-2,3-3 : , , , 截面上的内力. 截面上的内力.
y
1
q
2 2m 2 3 1m 31m
MA FA
1
x
1-1 截面:FS = 2×2 = 4 kN,M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m 截面: × , 2-2 截面:FS = 2×2 = 4 kN, M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 截面: × , 3-3 截面:FS = 2×1 = 2 kN, M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m 截面: × ,
FS
ql / 2
M
ql 2 / 8
q
A FA FS
x l
B FB
ql / 2
ql / 2
M
ql 2 / 8
可见: 发生在梁两端截面上. 可见 剪力图为斜直线 , FS max = q l / 2 , 发生在梁两端截面上. 弯矩图为二次抛物线, 的截面上. 弯矩图为二次抛物线,M max = ql 2 / 8,发生在 S =0的截面上. ,发生在F 的截面上
a A
x
F1
m m
F2
b B
FS = FA- F1
= ∑Fi左 左
FA y A FA
FB F1
m
C
M = FA x - F1 (x-a) )
M
x
m FS x
= ∑M(Fi)左 (
FS=-FB+F2 =∑Fi右 - 右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)-F2(l-x-b) - =∑M(Fi)右

材料力学课件ppt-4弯曲内力

材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。

材料力学 第四章 弯曲内力

材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。

材料力学图文 (4)

材料力学图文 (4)

a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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1 1 x2 1 qlx M ( x) ql x qxqx 2 2 2 2
( 0 ≤x ≤ l )
M
3)作Fs、M 图
M极值 1 l l l 1 ql q ql 2 2 2 2 2 8
x
1 观察：均布载荷作用的梁段剪力图、弯矩图的形态， Fs max 2 ql 剪力为零截面弯矩图的形态。 1 2 M max ql 8
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C
上凸的二次抛物线
一般斜直线 或
在C处有转折
在C处有突变 M
在FS=0的截面
在剪力突变 的截面
在紧靠C的某 一侧截面
用微分关系直接画Fs、M图 步骤及注意事项
（1）求反力。（校核） （2）根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 （3）确定各控制面之间剪力图、弯矩图的大致形状。 （4）求控制截面（每段端点、极值点）的剪力、弯矩。
P P
P
P
工程实例——受弯构件的力学简图
工程实例——受弯构件的力学简图
按力学观点
静定梁
主要讨论
工程中常见的梁
超静定梁
FAx FAy FBy
简支梁
按支座情况
静定梁
外伸梁
FAx FAy FAx FBy
悬臂梁
MA
FAy
§4-3 剪力和弯矩
M
F
FN
x
0
FN 0
FAy FN M
FS
F 0 M 0
y c
FS FAy F1
M FAy x F1 ( x a)
FS剪力是平行于 横截面的内力合力 M 弯矩是垂直于 横截面的内力系的 合力偶矩
目录
FS
FBy
§4-3 剪力和弯矩
M FS FN FN M FS
FAy
FBy
截面上的剪力使所选梁 段有顺时针旋转趋势时，剪 力为正；反之为负。 截面上的弯矩 使得梁呈上凹形为 正；反之为负。
集中力偶作用处，弯矩图突变
目录
§4-5
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下） 突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上 （下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没 有变化。 5. 最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载 荷发生变化的区段上.
（梁纵向 下拉、上压）
O为所讨论截面的形心
（梁段向上弯） 左顺、右逆，外力(偶)矩为正。
例：求1、2、3、4、5各截面的内力。
m=qa2 A
5 3 4
q B1
2
解： （1）求反力
C
FA 1 qa 2 FB 3 qa 2
FA
a
a
FB a
（2）求内力
Fs1 ＋qa — FB 1 qa
q B1
2
（1）求反力
6C
FA
1 qa 2
FB
3 qa 2
YA
a
a
YB a
（2）求内力
Fs4 M4
解：
Fs3 ＋ FA
左侧
1 qa 2
1 qa2 2
左侧
1 ＋ FA qa 2
2
M3
左侧

＋ FAa
左侧
＋FAa — qa2 1 qa2
集中力偶作用点的左、右邻截面上的弯矩不相等，相差力
A B
9 3 FAy＝ qa , FBy＝ qa 4 4
由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa 左侧的截面，也都是控制面。
目录
§4-5
A
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
C
D
B
3．确定控制面上的 剪力值、弯矩值
9 7 FSA＝ qa FSB＝- qa 4 4 FSC FSD qa
FBY
3．确定控制面上的剪 力和弯矩值
＝1.11 kN
1.5m
1.5m
FS (kN)
O
0.89
1.11
FSA FSC FSD FSE 0.89KN
(+) (-) x
FSF FSB 1.11KN
M A 0 M C 1.335KN m M D 0.335KN m M E M F 1.67 KN m M B 0
弯曲的概念和实例
目录
§4-1
火车轮轴
弯曲的概念和实例
目录
§4-1
弯曲特点
弯曲的概念和实例
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
y
y x y y x
y
y x y y
x
§4-1
平面弯曲
弯曲的概念和实例
对称弯曲 平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该
M (kN.m)
O
0.335 1.335
(-)
(-)
1.67
x
4．根据规律连线
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§4-5
A
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
C B
D
例题4-7 试画出梁 的剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FAy
4a
FBy
a
qa
根据梁的整体平衡，由 求得A、B 二处的约束力 2．确定控制面
M ＝0， M ＝0
例
A
在图示简支梁AB的C点处作用一集中力P，作该梁的Fs、M 图。
a x1 x2 l
b P l
P
C
解：
b
B FB x x
1)求支反力
b FA P l
a FB P l
2)列剪力、弯矩方程
建立坐标轴 x b Fs ( x1 ) FA P ( 0 < x1 < a ) l b M ( x1 ) FA x Px ( 0 ≤x1 ≤ a) l CB段： a Fs ( x2 ) FB P ( a< x2 < l ) l a M ( x2 ) FB (l x2 ) P (l x2 ) l ( a ≤x2≤ l ) AC段：
例 图示简支梁受均布载荷q 的作用，作该梁的Fs、M 图。
q A FA x
解： 1)求反力
x
B l
FB x
1 2 ql 8
1 ql 2
1 由对称性知：FA FB 2 ql 2)列剪力、弯矩方程
建立坐标轴 x 1 Fs ( x ) ql qx ( 0 < x < l ) 2
Fs
1 ql 2
第四章
弯曲内力
目录
第四章
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4

弯曲内力
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4-6 平面曲杆的弯曲内力
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§4-1
起重机大梁
弯曲的概念和实例
目录
§4-1
车削工件
1. q＝0，Fs=常数， 剪力图为水平直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 2.q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q < 0），抛物线呈凸形。
3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。 4. 集中力作用处，剪力图突变；
例
P
A Fs
作图示悬臂梁AB的Fs、 M 图。
解：
(即求出任意截面的内力)
x （1）列剪力、弯矩方程 x B l x
Fs ( x ) P
(0<x<l)
M ( x ) Px ( 0 ≤x < l )
P
M
（2）画剪力、弯矩图
x
Fs max P
M max Pl
Pl
观察：无载荷作用的梁段剪力图、弯矩图的形态。
FA Fs
M
ab P l
a P l
x
ab
l 2
M max
1 Pl 4
Fs
观察：集中力作用点、无载荷
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
3)作Fs、M 图
max
a P l
(a b)
M max
ab P l
a A
P
总结Fs、 M 图的特征和规律 m
b
x a C B FB x
a P l
b B FB
画剪力图、弯矩图的基本方法
（1）求反力，明确其大小和方向。（验证）
（2）分段列剪力方程、弯矩方程。
即：每段任一截面上的剪力、弯 矩表达式。
分段点
在集中力P作用点、集中力偶m作用点、分布载荷q 的起止点分段。
剪力方程不包括集中力的作用点，弯矩方程不包括集中力偶的作用点。
（3）描点作图。(二次函数需要多描几个点，尤其要确定极值点)
m l
A
FA l
x
C
FA
l
Fs
ab P l
b P l
Fs
x
M
M
x
m b l
m a l
x
从梁的左端向右端分析，在集中力的作用点，剪力图有突变， （力偶） （弯矩图） 突变量等于集中力的大小；弯矩值不变。遇↑P,Fs 图↑； （力偶矩） （剪力） 遇 m， M 图 ↑ 遇↓ P,Fs 图↓。 某段弯矩图切线斜率等于该段的剪力。 遇 m ，M 图↓