创新大课堂2018届高三数学文一轮复习课件：第8章 平面解析几何 高考大题冲关5 精品

(ⅱ)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．将 y＝kx＋m 代入椭圆 E 的方 程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由 Δ>0，可得 m2<4
＋16k2
①
则有 x1＋x2＝－1＋8km4k2，x1x2＝41m＋2－4k126.
所以|x1－x2|＝4
16k2＋4－m2 1＋4k2
①
因为直线 l 与椭圆相切，所以 Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋ 4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得 32(6k＋3)＝0，解得 k＝－12.所 以直线 l 的方程为 y＝－12(x－2)＋1＝－12x＋2.将 k＝－12代入① 式，可以解得 M 点的横坐标为 1，故切点 M 的坐标为1，32.
[解] (Ⅰ)由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1，解得 a2＝8， b2＝4.所以 C 的方程为x82＋y42＝1.
(Ⅱ)设直线 l∶y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， M(xM，yM)．将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1 得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2 －8＝0.
[解] (1)因为焦距为 2，所以 a2－b2＝1.
因为椭圆 C 过点1， 22，所以a12＋21b2＝1. 故 a2＝2，b2＝1，所以椭圆 C 的方程为x22＋ y2＝1.
(2)由题意知，当直线 AB 垂直于 x 轴时，直线 AB 方程为 x
＝－12，此时 P(－ 2，0)，Q( 2，0)，又 F2(1,0)，得F→2P·F→2Q＝
因为直线 y＝kx＋m 与 y 轴交点的坐标为(0，m)．
所以△OAB 的面积 S＝12|m||x1－x2|
＝2
16k2＋4－m2|m| 1＋4k2
＝2
16k2＋4－m2m2 1＋4k2
＝2
4－1＋m42 k21＋m42 k2
设1＋m42k2＝t.将 y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程．可得(1＋
故 xM＝x1＋2 x2＝－2k22k＋b 1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1. 于是直线 OM 的斜率 kOM＝yxMM＝－21k，即 kOM·k＝－12.所以 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
冲关策略 (1)直线过定点的探索与证明问题 ①探索直线过定点时，可设出直线方程为 y＝kx＋b，然后 利用条件建立 b、k 等量关系进行消元，根据消元后的直线方程 找出定点． ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明直线恒过此定点． (2)证明定值问题一般是直接推理、计算，并在计算推理的 过程中消去变量，从而得到定值．
即时突破 2 (2016·淄博模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0) 的焦距为 2，且过点1， 22，右焦点为 F2.设 A，B 是 C 上的两 个动点，线段 AB 的中点 M 的横坐标为－12，线段 AB 的中垂线 交椭圆 C 于 P，Q 两点．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)求F→2P·F→2Q的取值范围．
＝0，得 x0＝－2k＋k 1.
③
(i)若Δx0<<00，，
由②③解得
k<－1
或
1 k>2.
即当 k∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线 l 与 C1 没有公共 点，与 C2 有一个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公 共点．
(ii)若Δ＝0， x0<0
或Δx0>≥0，0，
由②③解得 k∈－1，12或－12
此时，直线 PQ 斜率为 k1＝－4m，PQ 的直线方程为 y－m
＝－4mx＋12.即
y＝－4mx－m， y＝－4mx－m.联立方程组x22＋y2＝1
整理得(32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0. 设 P(x3，y3)，Q(x4，y4)，所以 x3＋x4＝－321m62m＋2 1，
x3x4＝322mm22－＋21.
于是F→2P·F→2Q＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4 ＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m) ＝(4m2－1)(x3＋x4)＋(16m2＋1)x3x4＋m2＋1 ＝4m2－321m2＋－116m2＋1＋1362mm22＋2m12－2＋m2＋1 ＝1392mm22－ ＋11.
热点二 最值与范围问题 例 2 (2015·高考山东卷)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭 圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，且点 3，12在椭圆 C 上．
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)设椭圆 E：4xa22＋4yb22＝1，P 为椭圆 C 上任意一点，过 点 P 的直线 y＝kx＋m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求||OOQP||的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．
高考大题冲关(五)
圆锥曲线的热点问题 考情概述：圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是 一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线 的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与 定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不 等式、数列、向量等多种知识综合，综合考查考生的各种数学 思想与技能，因此也是高考的难点．
组yy2－＝14＝x，kx＋2，
可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.
①
当 k＝0 时，y＝1.把 y＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x＝14.故
此时直线 l∶y＝1 与轨迹 C 恰好有一个公共点14，1.当 k≠0 时，
方程①的判别式 Δ＝－16(2k2＋k－1)．
②
设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0)，则由 y－1＝k(x＋2)，令 y
－1.当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的斜率为 k(k≠0)，
M－12，m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－1，y1＋ y2＝2m.
由 xx222212＋＋yy2122＝＝11，，
得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·yx11－－yx22＝0，
则－1＋4mk＝0，故 k＝41m.
热点一 直线和圆锥曲线的位置关系及应用 例 1 (2014·高考湖北卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程； (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(－2,1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值 范围．
(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，∴cos2A＋π3＝－1， 又π3<2A＋π3<73π， ∴2A＋π3＝π，即 A＝π3， ∵a＝ 7，由余弦定理， 得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7， 因为 2sin B＝3sin C，由正弦定理， 得 2b＝3c，∴b＝3，c＝2.
4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由 Δ≥0，可得 m2≤1＋4k2. ②
由①②可知 0<t≤1，因此 S＝2 4－tt＝2 －t2＋4t.故 S≤2 3，当且仅当 t＝1，即 m2＝1＋4k2 时，S 取得最大值 2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为 3S，所以△ABQ 面积的最大值为 6 3.
热点四 存在性问题 例 4 (2015·高考广东卷)已知过原点的动直线 l 与圆 C1： x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的两点 A，B. (1)求圆 C1 的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； (3)是否存在实数 k，使得直线 L：y＝k(x－4)与曲线 C 只有 一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由．
[ 解 ] (1) 设 点 M(x ， y) ， 依 题 意 得 |MF| ＝ |x| ＋ 1 ， 即 x－12＋y2＝|x|＋1，化简整理得 y2＝2(|x|＋x)．
故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2＝04，x，x<x≥0. 0，
(2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝ 0(x<0)．依题意，可设直线 l 的方程为 y－1＝k(x＋2)．由方程
冲关策略 圆锥曲线中的最值与范围问题类型较多，解决 此类问题的方法主要有两种：一是利用几何法，即根据曲线的 定义和性质，将问题转化为平面几何中的相关问题直接判断最 值与范围；二是利用代数法，即先求出目标函数，然后根据目 标函数的结构特征采用相应的方法求最值或范围，多利用基本 不等式、配方法或导数法．
直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k∈－1，－12∪ 0，12时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．
冲关策略 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化 为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消 元后，应注意讨论含 x2 项的系数是否为零的情况以及判别式的 应用．由此可确定参数的取值(范围)．
[解] (Ⅰ)由题意知a32＋41b2＝1，又 a2a－b2＝ 23，解得 a2 ＝4，b2＝1.所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，椭圆 E 的方程为1x62 ＋y42＝1. (ⅰ)设 P(x0，y0)，||OOQP||＝λ，由题意知 Q(－λx0，－λy0)．因 为x420＋y20＝1，又－1λ6x02＋－λ4y02＝1，即λ42x402＋y20＝1，所以 λ ＝2，即||OOQP||＝2.
≤k<0.
即当 k∈－1，12时，直线 l 与 C1 只有一个公共点，与 C2 有一个公共点．
当 k∈－12，0时，直线 l 与 C1 有两个公共点，与 C2 没有 公共点．
故当 k∈－12，0∪－1，12时， 直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点．
(iii)若Δx0><00，， 由②③解得－1<k<－12或 0<k<12.即当 k∈ －1，－12∪0，12时，直线 l 与 C1 有一个公共点，与 C2 有一 个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．综上所 述，当 k∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线 l 与轨迹 C 恰 好有一个公共点；当 k∈－12，0∪－1，12时，