苏教版高中数学选修(2-2)-2.3典型例题：数学归纳法的考点

2.3数学归纳法导学案编写：朱家锋 校对：高二数学备课组一、课标要求了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、知识清单1、证明与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立。

这种证明方法叫做数学归纳法。

可记为“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。

2、数学归纳法证明命题的类型 与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

三、问题探究1、数学归纳法的归纳奠基中n 0一定等于1吗？2、为什么可以先假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢？四、思维误区1、证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k 时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从n=k+1的式子中分离出n=k 时的式子，或将n=k+1的情况用n=k 的情况表示。

2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定n=1时及n=k 变化到n=k+1“和”或“积”的情况。

五、典例分析题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n 2（n ＋1）2题型二、用数学归纳法证明不等式 例2、归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109 （n ＞1，且N ∈n ）．题型三、用数学归纳法证明几何问题例3．平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n ＋2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．题型五 归纳、猜想、证明 例5．是否存在常数a ，b ，c 使等式()()()122334111222222···…++++=+++n n n n anbn c 对一切自然数n 都成立，并证明你的结论。

数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法。

【例1】试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb ,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2(2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1【例2】在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2)(*)(1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152 同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立 故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21) ∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21) .1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k 由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. ●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式。

高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题一、2-2数列的概念、数列的通项公式及递推公式1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数，一般用字母 an 表示第n 个数。

2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置 n，直接求出该位置上的数 an 的公式。

通项公式可以是一个数学式子，也可以是一个算法。

3. 数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列前一项或前几项的值，推导出数列下一项的公式。

递推公式是数列中相邻两项之间的关系式。

4. 常见数列的通项公式和递推公式- 等差数列：an = a1 + (n-1)d （通项公式），an = an-1 + d （递推公式）- 等比数列：an = a1 * q^(n-1) （通项公式），an = an-1 * q （递推公式）- 斐波那契数列：an = an-1 + an-2 （递推公式）二、2-3数列的求和、数列的性质及应用1. 数列的求和- 等差数列的前 n 项和：Sn = (a1 + an) * n / 2- 等比数列的前 n 项和（q ≠ 1）：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) - 斐波那契数列的前 n 项和：Sn = Fn+2 - 12. 数列的性质- 常数列：数列中的每一项都是一个常数。

- 奇数列：数列中的每一项都是奇数。

- 偶数列：数列中的每一项都是偶数。

- 单调递增数列：数列中的每一项都比前一项大。

- 单调递减数列：数列中的每一项都比前一项小。

- 正项数列：数列中的每一项都是正数。

- 负项数列：数列中的每一项都是负数。

3. 数列的应用- 利用数列的递推关系，求解实际问题中的特定数值。

- 利用数列的性质，进行数学推理和证明。

- 利用数列的规律，设计算法解决问题。

典型例题：1. 已知等差数列的前三项分别为 1，5，9，求数列的通项公式和第 n 项的值。

解：设数列的首项为 a，公差为 d，则有以下等差数列的递推公式：a2 = a1 + d = 1 + da3 = a2 + d = (1 + d) + d = 1 + 2d将 a1，a2，a3 分别代入等差数列的通项公式，可得：a1 = a = 1a2 = a + d = 1 + d = 5 --> d = 4a3 = a1 + 2d = 1 + 2(4) = 9所以该等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3第 n 项的值为：an = 4n - 32. 求等差数列 3，6，9，...，101 的前 n 项和。

§2.3 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.掌握数学归纳法的实质及与归纳，猜想的关系.4.能运用数学归纳法解决实际问题．1．数学归纳法公理对于某些________________的数学命题，可以用数学归纳法证明． 2．证明步骤对于某些与正整数有关的数学命题，如果(1)当n ____________________________结论正确．(2)假设当__________________时结论正确，证明当__________时结论也正确． 那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．一、填空题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等号左边的项是__________．2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取______．3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多了____项．4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝______________.5．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“n ＝k 到n ＝k＋1”左端需增乘的代数式为__________．6．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．7．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1 (n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________________________．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．二、解答题9．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)．(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升11．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N *都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答 案知识梳理1．与正整数有关2．(1)取第一个值n 0(例如n 0＝1,2等)时 (2)n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0) n ＝k ＋1 作业设计 1．1＋a ＋a 2解析 当n ＝1时，a n ＋1＝a 2. ∴等号左边的项是1＋a ＋a 2. 2．5解析 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.3．2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4.12n ＋1－12n ＋25．2(2k ＋1)6．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)27．没有用到归纳假设，不是数学归纳法8．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.9．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9， 当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2 (n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立． 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． ②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立， 即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k 2－2≥(k ＋1)2， 即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *,2n ＋2>n 2.10．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n ，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝12(k ＋1). 也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.11．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36， f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N *，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36. 12．(1)解 由题意：S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立， ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1) >k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立， 故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．。

明目标、知重点 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法(1)如果当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．2．应用数学归纳法时应注意几点(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的数学命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3) 步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时结论成立”为条件．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？ 答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，猜想a n ＝1n (n ∈N *)．以下为证明过程：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k ，则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k1＋a k(已知)＝1k1＋1k(代入假设) ＝1k k ＋1k (变形) ＝1k ＋1(目标)， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n 成立．思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P(n)，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k(k≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法．思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立， 即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n(n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k(k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k(k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立． 假设n ＝k(k ∈N *)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋[1k ＋1－12(k ＋1)]＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立． 探究点三 用数学归纳法证明数列问题例 2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27；S 3＝27＋17×10＝310；S 4＝310＋110×13＝413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1] ＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4) ＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明． 解 由a 1＝2－a 1， 得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2， 得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3， 得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4， 得a 4＝158.猜想a n ＝2n －12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立， 则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k －12k －1)＝2k ＋1－12(k ＋1)－1， 所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A(n)(n ∈N *)在n ＝k(k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则下列说法正确的是________． ①命题对所有正整数都成立；②命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立；③命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立． 答案 ③解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知③正确． 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为________． 答案 1＋a ＋a 2＋a 33．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设 解析 本题在由n ＝k 成立， 证n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n －1)>2n ＋12均成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k(k≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即 (1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)[1＋12(k ＋1)－1]>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． [呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________________________________________________________________________． 答案11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k＋2时命题也成立，则下列说法正确的是________． ①该命题对于n>2的自然数n 都成立； ②该命题对于所有的正偶数都成立； ③该命题何时成立与k 取值无关． 答案 ②解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n(n －3)条时，第一步验证n ＝________.答案 3解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形．4．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f(n)是________．答案 1＋12＋135．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f(n)共有________项，且f(2)＝________.答案 n 2－n ＋1 12＋13＋14解析 观察分母的首项为n ， 最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出{a n }的通项a n ＝________. 答案26n －5解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5. 7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时等式成立，即 (1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3)＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1) 解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9.已知f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f(k ＋1)＝______________________.答案 f(k)＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k(k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n(n ∈N *)”的过程中的错误为________________________________________________________________________． 答案 缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n(n ＋1)2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k(k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k ·(k ＋1)·－k ＋2k ＋22＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12.已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10， a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2， (n≥2，n ∈N *). (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k(k≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1.故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2 (n≥2，n ∈N *). 三、探究与拓展13.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想：a n ＝1n(n ＋1).下面用数学归纳法证明①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k(k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k(k ＋1). 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1， 所以k k ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．。

2。

3 数学归纳法5分钟训练 （预习类训练，可用于课前） 1.用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112(a≠1,n∈N *)，验证n=1时等式的左边为（ ) A.1 B.1+a C.1+a+a 2D 。

1+a+a 2+a 3 答案:C解析：当n=1时，左边=1+a+a 2. 2。

用数学归纳法证明不等式2111+++n n +…+n 21>2413(n≥2）的过程中，由n=k 递推到n=k+1时不等式左边（ ) A.增加了一项)1(21+k B.增加了两项221121+++k k C.增加了B 中的两项但减少了一项11+k D.以上均不正确答案：C解析：在n=k+1时,用k+1替换n ，再与n=k 时比较。

3。

用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n <n(n∈N *且n 〉1)”时，由n=k(k 〉1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是( ） A 。

2k —1 B 。

2k —1 C 。

2kD 。

2k+1 答案：C解析：增加的项数为(2k+1—1)-(2k —1）=2k+1-2k =2k 。

4。

凸n 边形有f （n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f （n+1)与f （n ）之间的关系为_________.解析：设凸n+1边形为A 1A 2……A n A n+1,连结A 1A n ,则凸n+1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线再加A1A n,以及从A n+1点出发的n—2条对角线，即f(n+1）=f（n）+1+n-2=f（n)+n—1.答案：f（n+1)=f(n）+n-110分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。

若命题A(n）(n∈N＊），n=k（k∈N*)时命题成立，则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0（n0∈N＊）时命题成立,则有（）A。

命题对所有正整数都成立B。

命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C。

数学归纳法〔1〕苏州市第三中学夏正华教学目标：1理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．2通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．活动一：情境引入,给出定义和操作步骤一、情景引入：老师：前面我们用归纳法得到许多结论，如等差数列{}的通项公式；自然数平方和公式这些命题都与自然数有关，自然数有无限个，我们无法对所有的自然数逐一验证，那么问题：能否依据归纳法的特征来证明这些与自然数有关的命题呢？我们今天一起来研究这个内容老师：大家用归纳法来求一个数列的通项公式问题：数列{}，＝1，且〔n＝1，2，3…〕，计算，,，猜测学生：，，，老师：我们用3次计算猜出了通项公式，后面的没有验证怎么能够保证通项公式一定正确呢？这里用了不完全归纳，由有限项归纳出无限项，这未必可靠，如何解决这个问题呢？我们不能用前面学习过的完全归纳法来解决，我们生命是有限的。

问题：能否寻找到一种方法，通过有限步骤的推理，替代无限的逐个验证呢？老师：我们一起来回忆找到通项公式的过程…观察推理结构特征，能否得出一般的推理形式呢？学生：假设能由推出即可老师：这样就解决了无穷的问题老师：大家说对吗？很多学生有疑惑，没关系。

刚刚从数的角度理解有困难，找形来帮助把。

游戏：播放多米诺骨牌视频播放视频：多米诺骨牌〔正常〕问题：同学们眼神都很惊诧，你在惊诧什么呢？学生：第一块骨牌倒下后，其它的都倒下了。

老师：要使得骨牌全部倒下去需要具备哪些条件呢？大家可以讨论一下播放视频：多米诺骨牌〔第一块没倒〕播放视频：多米诺骨牌〔中间断开〕学生：首先第一块骨牌倒下，然后每一块骨牌倒下去之后带动下一块骨牌也倒下去。

老师：非常透彻老师：总结一下分2步完成。

第一步，第一块骨牌倒下；第二步，保证某一块骨牌倒下后一定能击倒下一块骨牌。

高中数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点：一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆知识点：二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()xf x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算 ★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（ ） ° ° ° °★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x = 三.导数在研究函数中的应用 知识点：1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点：1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用★1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）★2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43二、题型二：导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．三、导数在最值、极值中的运用：★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2 B. 3C. 4★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） , - 15 , 4 4 , - 15 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。

《数学归纳法》教学设计江苏省板浦高级中学李忠贵一、【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（苏教版）》第二章第三节《数学归纳法》。

在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。

因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。

通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。

本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。

二、【学情分析】我校的学生基础较好，思维活跃。

学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“传球原理”启发得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。

三、【策略分析】本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活—理论—实际应用”的过程；采用“教师引导—学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。

四、【教学目标】（1）知识与技能目标：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。

（2）过程与方法目标：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观目标：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

五、【教学重难点】教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题；教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。

2.3 数学归纳法知识梳理一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法证明分两步：(1)_______________________________________；(2)_______________________________________.知识导学与自然数n 有关的命题，我们无法对所有的自然数逐一验证，可用数学归纳法证明，对于数学归纳法要求的两步缺一不可，第一步是基础，第二步是循环递增，直至无穷，学习时要正确理解，特别是在前步的基础上，下一步如何成立，是不是证明了这两步就对所有的自然数都成立？结合例子来理解.疑难突破为什么证明(1)(2)两步就能说明对于所有的n≥n 0都成立呢？剖析：这是因为第一步首先验证了n 取第一个值n 0，这样假设就有了存在的基础，至少k=n 0成立，根据假设和合情推理，证明n=k+1时也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n 0=1成立，又证明了n=k+1成立，这就一定有n=2时成立，n=2成立,则n=3成立,n=3成立,则n=4也成立，如此反复，以至无穷，对所有n≥n 0的整数就都成立了.数学归纳法用两步就可以巧妙地解决了无限问题，这就是数学方法的神奇.数学归纳法这两步缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.用数学归纳法证明有关问题的关键，在于第二步，即n=k+1时成立是利用假设n=k 时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论，推证出n=k+1时成立，而不是直接代入，否则n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明.典题精讲【例1】 证明12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n 怎样变化，即由n=k 到n=k+1时，左右两边各增添哪些项.证明：(1)当n=1时，左边=12-22=-3右边=-1×(2×1+1)=-3，∴左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k 时等式成立，即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.则当n=k+1时，左边=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+［2(k+1)-1］2+［2(k+1)］2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2=(k+1)［2k+1-4(k+1)］=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)［2(k+1)+1］=右边,∴当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)可知对于任意正整数n ，等式都成立.绿色通道：可用数学归纳法来证明关于自然数n 的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n=k+1时，必须用假设n=k 成立的结论证明.变式训练:用数学归纳法证明)1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯n n n n . 证明：(1)当n=1时，左边=81421=⨯,右边=81)11(41=+⨯,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k 时，等式成立,即)22(21861641421+++⨯+⨯+⨯k k =)1(4+k k 成立. 则当n=k+1时，左边=]2)1(2)[1(21)22(21861641421+++++++⨯+⨯+⨯k k k k =)2)(1(4)1()2)(1(41)2(]2)1(2)[1(21)1(42+++=++++=+++++k k k k k k k k k k k =)2(41++k k =右边. ∴当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知等式恒成立.【例2】数列{a n }满足a 1=61,前n 项和S n =2)1(+⨯n n a n . (1)写出a 2、a 3、a 4;(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明.思路分析：研究数列问题，可先由前n 项归纳猜想，再证明.解：(1)令n=2,∵a 1=61,∴S 2=2)12(2+⨯a 2, 即a 1+a 2=3a 2.∴a 2=121. 令n=3,得S 3=2)13(3+⨯a 3,即a 1+a 2+a 3=6a 3,∴a 3=201. 令n=4,得S 4=2)14(4+⨯a 4，即a 1+a 2+a 3+a 4=10a 4,∴a 4=301. (2)猜想a n =)2)(1(1++n n ,下面用数学归纳法给出证明. ①当n=1时,a 1=)21)(11(161++=结论成立. ②假设当n=k 时,结论成立，即a k =)2)(1(1++k k , 则当n=k+1时,S k =2)1(+k k a k =)2(2)2)(1(12)1(+=++•+k k k k k k , S k+1=12)2)(1(+++k a k k , 即S k +a k+1=12)2)(1(+++k a k k .∴112)2)(1()2(2++++=++k k a k k a k k . ∴a k+1=)3)(2(1)2)(3(12)2)(1()2(2++=++=-+++k k k k k k k k k k. ∴当n=k+1时结论成立.由①②可知，对一切n ∈N *都有a n =)2)(1(1++n n 成立. 绿色通道：由递推关系或前n 项和公式求通项可求出前n 项，再归纳猜想，用数学归纳法证明数列的通项公式.变式训练:对于数列{a n },若a n+1=a n 2-na n +1,n ∈N *,当a 1=2时,求a 2、a 3、a 4并猜想a n 的一个通项公式.解：a 2=a 12-1×a 1+1=22-1×2+1=3,a 3=a 22-2×a 2+1=32-2×3+1=4,a 4=a 32-2a 3+1=42-3×4+1=5,猜想a n =n+1(n ∈N *).证明：(1)当n=1时，a 1=1+1=2成立.(2)假设当n=k 时，a k =k+1成立,则当n=k+1时,a k +1=a k 2-ka k +1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2.∴当n=k+1时结论成立.由(1)(2)可知，a n =n+1(n ∈N *)成立.【例3】 试用数学归纳法证明n 3-3n 2+8n-6能被6整除.思路分析：与自然数n 有关的命题都可以用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时，13-3×12+8×1-6=0能被6整除.(2)假设当n=k 时结论正确，即k 3-3k 2+8k-6能被6整除，则当n=k+1时,(k+1)3-3(k+1)2+8(k+1)-6=(k 3-3k 2+8k-6)+3k(k+1)+6.∵3k(k+1)和6都能被6整除,∴当n=k+1时结论正确.由(1)(2)可知命题成立.绿色通道：用数学归纳法证明整除性问题时，注意构造出归纳假设来，用上假设证明出. 变式训练:求证：n 3+(n+1)3+(n+2)3(n ∈N *)能被9整除.证明：(1)当n=1时，13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除.(2)假设当n=k 时命题成立,即k 3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,则当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =k 3+(k+1)3+(k+2)3+9k 2+27k+27=［k 3+(k+1)3+(k+2)3］+9［k 2+3k+3］能被9整除.由(1)(2)可知命题成立.问题探究问题：是否存在常数a 、b ，使等式2)12)(12(5323112222++=+-+⨯+⨯bn n an n n n 对于一切n ∈N *都成立.导思：存在性问题先假设存在，然后求出符合条件的量.本题求a 、b 两个量只需两个等式即可，而已知条件是对于一切n ∈N *都成立，即有无数个等式,只需取两特定n 值即可求出.求出得到的a 、b 对于一切n ∈N *是否成立，需用数学归纳法证明.像这种存在性问题可由特殊求出a 、b ，即不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法加以证明对所有的n ∈N *都成立.探究：假设存在a 、b 使得等式对一切n ∈N *都成立,则当n=1,n=2时成立,即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=,4,12224154312131b a b a b a 即有24)12)(12(5323112222++=+-+⨯+⨯n n n n n n . 对n ∈N *是否成立,下面用数学归纳法给出证明:(1)当n=1时，左边=313112=⨯,右边=3121411=+⨯+,等式成立. (2)假设当n=k 时等式成立，即24)12)(12(5323112222++=+-+⨯+⨯k k k k k k ,则当n=k+1时, .2)1(4)1()1(64)2)(1()32(2)2)(12(121)32(2252121)3212(121)32)(12()1(24)32)(12()1()12)(12(53231122222222右边=+++++=+++=+++•++=+++•++=+++•++=++++++=+++++-+⨯+⨯k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k∴当n=k+1时等式成立.根据(1)(2)可知等式对任何n ∈N *都成立.。

数学归纳法执教人:徐琴【教学目标】（1）理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证题的两个步骤；能用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题（2）通过归纳、类比等方法，让学生经历知识的构建过程，提高分析问题、解决问题的能力（3）培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；体会数学知识之间的有机联系，激发学习兴趣【教学重点】对数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法步骤的掌握【教学难点】数学归纳法中对递推思想的理解【教学过程】课前准备：播放多米诺骨牌的视频1问题情境情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,5124232212=+=+=+=+ 归纳猜想：任何形如122+n （n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想半个世纪以后，年仅25岁数学家欧拉发现，第5个费马数670041764112525⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想——“不完全归纳有时是错误的”，大数学家也不例外情境2 、设123,,,,n a a a a 都是实数，且3110,,n n a a n a +==⋅求n a2数学建构“多米诺骨牌”游戏动画演示：（1）探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；（2）类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式0n a =的猜想（3）概括, 形成科学方法3数学运用例1 用数学归纳法证明2222(1)(21)1236n n n n ++++++=解题小结：例2 数列{}()2*11,2,1,n n n n a a a a na n N +==-+∈已知且通过对4,3,2,1=n 前4项归纳，猜想n a 并用数学归纳法进行证明解题小结：4当堂反馈1小明想用数学归纳法证明:*n N ∈时， 246 …2n=2+1n n +,证明方法如下，请同学们思考一下是否合理，并说明理由证明：假设n k =时等式成立，即246 …2=2+1k k +,那么，当n=1时，有246 …22（1）=2+1k k +2（1）=2+1+1+1k k +（）（） 因此，对于任何*n N ∈等式都成立2 小明想用数学归纳法证明:*(n 1)++++2n n N +∈时，1234n=, 证明方法如下，请同学们思考一下是否合理，并说明理由证明：i 当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立（ii ）假设*(,k 1)n k k N =∈≥时，等式成立， 即k(k 1)++++2k +1234=成立 当+1n k =时，左边=(k 1)(1k 1)+++++(k+1)2k +++1234= (1)(2)2k k ++= 右边(1)(2)2k k ++= 所以当n=1时，等式成立由i （ii ）知，等式对*n N ∈都成立3用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝2n．5课堂小结练习第4、5题；第91页习题第1、2题．。

数学归纳法〔一〕
【教学目标】
1了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

〔与数列、等式、不等式相关问题〕
2经历“观察－归纳－猜测－证明〞过程，感受知识的发生、开展过程，感悟数学的内在美和简洁美，体会数学思维的严谨性。

问题情境
1等差数列{ a n }的首项为a1，公差为d，那么数列{ a n }的通项公式a n=____ 357…2n-1=____ n∈N*
3：〔P64例1〕数列{ a n }的每一项均为正数，，n=1,2,……，试归纳出数列的一个通项公式
数学归纳法公理：
分析以下各题用数学归纳法证明过程中的错误：
∈N*，求证：246…2n=n2n1
证明：假设当n=时等式成立，即
246…2=21,
那么，当n=1时，有
246 (221)
=2121
=1211
因此，对于任何n∈N*等式都成立
2设n∈N*，求证：2n ≥n2
证明：1当n=1时, 21≥12,不等式显然成立
2假设当n=时不等式成立，即2≥2，那么，当n=1时，有21=2×2=22≥22≥221=12
就是说，当n=1时不等式也成立
根据1和2，可知对任何n∈N*不等式都成立
例：用数学归纳法证明：
证明：
练习：
①= n∈N*
②1×22×33×4… nn1 = n∈N*
③1×2×32×3×4… nn1 n2 = n∈N*
【拓展】
证明：
①n∈N*
②n∈N*
③n∈N*。

第1课时数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果①当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．(2)数学归纳法的框图表示类型一从n＝k到n＝k＋1左边增加的项例1 用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 反思与感悟 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项，除此之外，多了哪些项都要分析清楚．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)解析 当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 类型二 用数学归纳法证明恒等式例2 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12. 左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *等式成立．反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1时命题成立”，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k ＋1)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1 ＝2k 2－2k ＋1＋(2k －1)＋(2k ＋1)＝2k 2＋2k ＋1＝2(k ＋1)2－2(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②知，对任意n ∈N *，等式都成立．1．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_______________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为________．答案 1＋a ＋a 2＋a 3解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，且4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9，那么可以通过求a 2，a 3，a 4的值猜想出a n ＝________.答案 6n －52n －14．请观察以下三个式子：(1)1×3＝1×2×96； (2)1×3＋2×4＝2×3×116； (3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136， 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6. 证明：①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6， 则当n ＝k ＋1时，1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6＋(k ＋1)(k ＋3) ＝k ＋16(2k 2＋7k ＋6k ＋18) ＝k ＋16(2k 2＋13k ＋18) ＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)6 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]6， 所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．应用数学归纳法证题时的注意点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．课时作业一、填空题1．设n ∈N *，用数学归纳法证明2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n 时，第一步应证明：左边＝________. 答案 22．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，n 所取的第一个值n 0为________．答案 3解析 由题意知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．3．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证________．①n ＝k ＋1时等式成立②n ＝k ＋2时等式成立③n ＝2k ＋2时等式成立④n ＝2(k ＋2)时等式成立答案 ②解析 因为n 为正偶数，n ＝k 时等式成立，即n 为第k 个偶数时命题成立，所以需假设n 为下一个偶数，即n ＝k ＋2时等式成立．4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (2)的表达式为________． 答案 f (2)＝12＋13＋14解析 代入表达式可得．5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳得出a n 的通项表达式为________．答案 26n －5解析 由a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5.6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1； ③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任意的n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤错误的是________．(填序号)答案 ③解析 ③中没有用到归纳假设．7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是________．答案 1－12＝128．用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_________________________________________． 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)29．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案 12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 10．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，则当n ＝k ＋1时，2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为____________________．答案 缺少步骤归纳奠基二、解答题11．用数学归纳法证明(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1n 2)＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)＝k ＋12k，那么当n ＝k ＋1时，(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)[1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k [1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．12．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2(n －1)(n ＋1)4. 证明 ①当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0， 所以等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2(k －1)(k ＋1)4. 那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k ·[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k )＝k 2(k －1)(k ＋1)4＋(2k ＋1)k (k ＋1)2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)] ＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4. 所以当n ＝k ＋1时等式成立．由①②知，对任意n ∈N *等式成立．三、探究与拓展13．证明1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N *)，假设当n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数为________．答案 2k解析 当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1， 所以增加的项数为2k ＋1－1－(2k －1)＝2k .14．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．(1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a n >0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1， 将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a n >0)．同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．。

§数学归纳法（一）【学习目标】1、 探究数学归纳法的发现了解数学归纳法公理，2、 能用数学归纳法原理证明简单的恒等式问题；探究数学归纳法的发现【重点难点】探究数学归纳法的发现，理解证明中的第二个步骤【教学设计】〖问题引入〗用归纳推理得到许多结论，如：“等差数列{n a }中的通项公式为1(1)n a a n d =+-” “正整数平方和公式：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=”等 问题1 这两个归纳推理所得的结论有什么共同点？怎样证明这两个结论？〖感知数学〗多米诺骨牌游戏是一种码放骨牌的游戏，码放时保证相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

问题2 多米诺骨牌游戏中，要使所有的骨牌都倒下，需要满足哪些条件？为什么满足这些条件就可以了？〖建构数学〗问题3 对于一个与正整数有关的命题，借鉴骨牌游戏的启示，如何保证该命题对于所有的正整数都成立呢？ 数学归纳法公理：问题4 数学归纳法为什么能保证命题对于所有大于等于n 0的正整数都成立〖数学应用〗例1 用数学归纳法证明：等差数列{n a }中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为1(1)n a a n d =+-思考 结合上述证明，分析为什么完成（1）、（2）两步，就能说明命题对任意正整数都成立？ 练习 用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=例2 分析下列两个证明中的错误：问题1 设n N *∈，求证：224621n n n ++++=++证明：假设当n k =时等式成立，即224621k k k ++++=++， 那么，当1n k =+时，有224622(1)12(1)k k k k k ++++++=++++=233k k ++=2(1)(1)1k k ++++，因此，对于任意n N *∈，等式成立。

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.3《数学归纳法》word教案5篇一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。

（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

过程与方法：（1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。

情感态度与价值观：正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。

三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。

四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。

五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？____________________________________________问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗____________________________________________问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？1742年，歌德巴赫在教学中发现：4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。

于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。

欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

数学归纳法1一、学情分析数学归纳法被安排在高二下学期?普通高中课程标准实验教科书选修2-2?〔苏教版〕第二章第三节，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。

在知识方面：已经学过高中阶段的大局部的知识板块，具有一定的知识储藏；在能力方面：初高中已经将类比推理渗透到教材的很多章节，学生正在不知不觉地应用着。

二、设计思想本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法——类比推理。

在整个过程中，学生已经具备独立研究知识的能力，所以在教学中我从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。

三、课程资源在中小学数学教学中，对合情推理的能力培养都有一定的要求。

而且在整个高中教材中有很多章节已经渗透了用类比推理的方式生成新的知识，比方必修2阅读局部增加了“平面几何与立体几何的类比〞，必修5中“等差与等比数列的类比〞等等。

四、教学目标1、理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。

2、通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法。

五、教学重点与难点教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。

教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题。

教具准备：多媒体课时安排：1课时〔共三课时〕六、教学过程：〔一〕、问题情境：数列{a n}，a1＝1，且〔n＝1，2，3…〕通过对n＝1，2，3，4，前4项的观察，我们可以猜测出其通项公式为，这种方法叫？生答：归纳推理〔从特殊到一般〕归纳法〔归纳推理〕：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。

问题1:这是一盒白色的粉笔。

完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。

〔结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难〕问题2：天下乌鸦一般黑。

不完全归纳法：考察局部对象，得到一般结论的推理方法〔结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜测〕回到刚刚的问题，刚刚得出的猜测属于〔？〕生答：不完全归纳，不一定成立，必须通过严格的证明．怎么证明？思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的方法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关，我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？很多同学小时候都玩过这样的游戏，多米诺骨牌游戏〔多米诺骨牌〔domino〕是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。

第3课时用数学归纳法证明整除问题、几何问题学习目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明整除问题、几何问题等数学命题的方法.2.掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．知识点一归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．知识点二数学归纳法1．应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题．2．基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可．3．注意点：在第二步归纳递推时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．类型一整除问题例1求证：当n∈N*时，a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．证明①当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时，命题成立．由①②知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成当n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练1用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．证明①当n＝1时，4×7－1＝27，能被9整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除，则当n ＝k ＋1时，(3k ＋4)·7k ＋1－1＝7·(3k ＋1)·7k ＋21·7k －1＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋6·7k ＋21·7k＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋27·7k ，由假设知，(3k ＋1)·7k －1能被9整除，又因为18k ·7k ＋27·7k 能被9整除，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，对一切n ∈N *，(3n ＋1)·7n －1都能被9整除．类型二 几何问题例2 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数为f (n )＝n (n －1)2. 证明 ①当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．②假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2) ＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②可知，对任意n ∈N *，n ≥2，命题都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练2 平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．证明 ①当n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分，那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域．所以f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知命题成立．类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13. (1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．解 (1)a 2＝S 22(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13， 则a 2＝115，同理求得a 3＝135. (2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…， 猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，a 1＝13，等式成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)， 那么当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S n n (2n －1)， 得a k ＝S k k (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)， 所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1. S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1， 因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k 2k ＋1， 所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1]. 所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②可知，命题对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)“归纳—猜想—证明”的解题步骤(2)归纳法的作用归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径．跟踪训练3 设a >0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝aa ＋1， a 3＝f (a 2)＝f (a a ＋1)＝a ·a a ＋1a ＋a a ＋1＝a a ＋2， a 4＝f (a 3)＝f (a a ＋2)＝a ·a a ＋2a ＋a a ＋2＝a a ＋3， 猜想a n ＝a a ＋(n －1)(n ∈N *)． (2)①易知当n ＝1时，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝a a ＋(k －1). 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a ×a a ＋(k －1)a ＋a a ＋(k －1)＝a a ＋(k －1)＋1＝a a ＋k＝a a ＋[(k ＋1)－1]， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a a ＋(n －1).1．用数学归纳法证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，其初始值n 0为________． 答案 32．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为________．答案 12，14，14解析 令n 等于1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c ，解得a ＝12，b ＝c ＝14. 3．用数学归纳法证明“凸n (n ≥3，n ∈N *)边形的内角和公式”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的是________．答案 180°解析 凸n 边形内角和为180°×(n －2)，则180°×(k ＋1－2)－180°×(k －2)＝180°.4．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________________________．答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 采取配凑法，凑出归纳假设k 3＋5k 来，(k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明：当n 是非负整数时，34n ＋2＋52n ＋1能被14整除．证明 ①当n ＝0时，34n ＋2＋52n ＋1＝14，能被14整除．②假设当n ＝k (k ≥0，k ∈N )时，34k ＋2＋52k ＋1能被14整除，则当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋6＋52k ＋3＝81×34k ＋2＋25×52k ＋1＝25×(34k ＋2＋52k ＋1)＋56×34k ＋2.显然25×(34k ＋2＋52k ＋1)是14的倍数，56×34k ＋2也是14的倍数，故34k ＋6＋52k ＋3是14的倍数，即当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1能被14整除．综合①②知，当n 是非负整数时，34n ＋2＋52n ＋1能被14整除．1．在证明整除问题时，有些命题可能仅当n 是偶数(或奇数)时成立，证明时可适当地转化k ，使k 成为全体自然数的形式．如：证明x n ＋y n 能被x ＋y 整除，n 为正奇数，证明时需将问题转化为证明x 2k －1＋y 2k －1能被x ＋y 整除，k ∈N *.2．几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜想出一般结论．3．利用“归纳——猜想——证明”来研究探究性问题，一般从最特殊的情况入手，通过分析、归纳、猜想，从而达到探索一般规律的目的．课时作业一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝1且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________________，猜想S n ＝________.答案 32，74，158 2n －12n －1 解析 S 1＝1,2S n ＋1＝S n ＋2S 1，当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2＝3，S 2＝32. 当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2，S 3＝74. 当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2，S 4＝158. 猜想S n ＝2n －12n －1. 2．设n ∈N *，f (n )＝5n ＋2·3n －1＋1，通过计算n ＝1,2,3,4时f (n )的值，可以猜想f (n )能被数值________整除．答案 83．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n ＝________.答案 3解析 凸n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验n ＝3.4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________________________________．答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)25．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72.观察上述结果，可得出的一般结论为________．答案 f (2n )≥n ＋22解析 由f (2)＝32，f (22)＝42，f (23)＝52， f (24)＝62，f (25)＝72， 可推测出f (2n)≥n ＋22. 6．用数学归纳法证明33n ＋2－8n －9是64的倍数(n ∈N *)时，归纳假设可以用等式表示为________．答案 假设n ＝k 时，命题成立，即33k ＋2－8k －9＝64M (M ∈N *，k ∈N *) 7．平面内原有k 条直线，它们的交点个数为f (k )，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为________．答案 f (k )＋k解析 设增加的直线为l k ＋1，它最多与前k 条直线有k 个交点．8．在应用数学归纳法证明正n 棱柱的顶点个数f (n )＝2n 时，第一步验证n ＝________. 答案 39．用数学归纳法证明x n －y n 能被x ＋y 整除(n 为正奇数)时，假设n ＝k (k 为正奇数)时，命题成立，再证n ＝______时，命题也成立．答案 k ＋210．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝______________. 答案 13n ＋13n ＋1＋13n ＋2二、解答题11．已知f (n )＝(2n ＋7)×3n ＋9(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (n )能被36整除．证明 ①当n ＝1时，f (1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝(2k ＋7)×3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ＋1＋2×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ×3＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k ＋9]－27＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k ＋9]＋18(3k －1－1)．由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除，即当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除． 根据①和②，可知对一切正整数n ，都有f (n )＝(2n ＋7)×3n ＋9能被36整除．12．设a n ＝1＋12＋13＋ (1)(n ∈N *)，是否存在关于n 的整式q (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q (n )·(a n －1)对于大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论．解 假设q (n )存在，探索q (n )．当n ＝2时，由a 1＝q (2)(a 2－1)，即1＝q (2)(1＋12－1)，得q (2)＝2. 当n ＝3时，由a 1＋a 2＝q (3)(a 3－1)，即1＋(1＋12)＝q (3)(1＋12＋13－1)，得q (3)＝3. 当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝q (4)(a 4－1)，即1＋(1＋12)＋(1＋12＋13)＝q (4)(1＋12＋13＋14－1)，得q (4)＝4. 由此猜想q (n )＝n (n ≥2，n ∈N *)．下面用数学归纳法证明当n ≥2且n ∈N *时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立．①当n ＝2时，左边＝a 1＝1，右边＝2(a 2－1)＝2×12＝1，结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时结论成立，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k ·(a k －1)，则当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＋a k＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k＝(k＋1)a k－(k＋1)＋1＝(k＋1)(a k＋1k＋1－1)＝(k＋1)(a k＋1－1)，所以当n＝k＋1时结论也成立．由①②可知，对于大于1的一切正整数n，都存在q(n)＝n使得等式a1＋a2＋a3＋…＋a n－1＝q(n)(a n－1)成立．13．用数学归纳法证明f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1对任意正整数n，都能被17整除．证明①当n＝1时，f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1)＝17×3×52k＋1＋8×f(k)．由归纳假设，f(k)能被17整数，17×3×52k＋1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除．由①和②可知，对任意n∈N*，f(n)都能被17整除．三、探究与拓展14．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证明当n＝k＋1时的情况，只需展开________．答案(k＋3)3解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k 3即可．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式；(2)证明你的猜想，并求出a n 的表达式．(1)解 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，∴S n ＝n 2(S n －S n －1)．∴S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2)， ∵a 1＝1，∴S 1＝a 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85， 猜想S n ＝2n n ＋1. (2)证明 ①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， ∴a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)， ∴S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1， ∴n ＝k ＋1时等式也成立．∴根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又∵a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，∴a n ＝2n (n ＋1).。