2.1.2《椭圆的简单几何性质》第一课时科目：高二数学****************完成时间：2022年4月25日课型：新授课教学工具：多媒体设备◆知识与技能目标通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念.◆过程与方法目标能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点P的思考问题，探究椭的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过39圆的扁平程度量椭圆的离心率．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．教学过程设计教学步骤教师活动学生活动设计意图（一）导入一、情景导入：1.国家大剧院的半椭圆正视图；1. 2.椭圆的标准方程.在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.（二）椭圆的大小思考1：如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？1.范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22ax≤1,22by≤1即x2≤a2,y2≤b2所以|x|≤a，|y|≤b即－a≤x≤a, －b≤y≤b这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。
2.2.2 椭圆的简单几何性质【课标点击】1.掌握椭圆的中心、顶点、长短轴、离心率的概念2.理解椭圆的范围和对称性【预习导学】►基础梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0，所以0<e<1．(2)e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁．(3)当e＝0时，即c＝0，a＝b时，两焦点重合，椭圆方程变成x2＋y2＝a2，成为一个圆．(4)当e＝1时，即a＝c，b＝0时，椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度，与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为( )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(0，－6)，(0，6)D ．(－6，0)(6，0)2．离心率为32，焦点在x 轴上，且过点(2，0)的椭圆标准方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝13．椭圆x 216＋y 28＝12►随堂巩固1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是( )A ．5，3，45B ．10，6，45C ．5，3，35D ．10，6，352．已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为12，且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 3．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．5．如图所示F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．►课时训练1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.123．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则该椭圆的离心率等于( )A.13B.12C.23D.537．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4，其中一个焦点的坐标为(3，0)，则椭圆的离心率为________．8．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．10．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e ＝23，短轴长为85，求椭圆的方程．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1，2)为中点的弦所在直线的方程．12．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．►体验高考1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x212＋y28＝1 D.x 212＋y 24＝1 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .答 案►自测自评 1．【答案】D 2．【答案】A3．【答案】解：∵x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.►随堂巩固 1．【答案】B 2．【答案】A【解析】圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2，又因为e ＝c a ＝12，c ＝1，所以a2＝4，b 2＝3，故选A.3．【解析】由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.【答案】224．【答案】解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.5．【答案】解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.►课时训练1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A【解析】将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.则c 2＝(a 2－b 2)k ，∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a2.6．【答案】D7.【答案】328．【答案】x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．【解析】若点P 在第二象限，则由题意可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以2cb 2a＝tan 60°＝3，化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，e ∈(0，1)，解得e ＝33，故填33. 【答案】3310．【答案】解：∵2b ＝85，∴b ＝4 5. 又c a ＝23，由a 2－c 2＝b 2， 得a 2＝144，b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．【答案】解：(1)由椭圆经过点N (2，－3)， 得22a 2＋（－3）2b2＝1 又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点， 则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）16＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）12＝0.整理得k AB ＝－12·（x 1＋x 2）16·（y 1＋y 2）＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝012．【答案】解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F 的坐标为(a 2－1，0)，由题意得|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y p )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，其中P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0， 即m 2＜3k 2＋1 ①，x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1，∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1 ②，把②式代入①式得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2，由②式得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，综上所述，求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验高考 1．【答案】A A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【解析】∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵e ＝c a ＝33，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．【解析】由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 由于AB //y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22a ，由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0，则⎝⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0，即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)， 又e ＝c a，且e ∈(0，1)， ∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 【答案】333．【答案】解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形，∴c ＝22a ，e ＝22.4．【解析】解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a由k MN ＝34，得b 22ac ＝34，则2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2//y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，即b ＝27.∴a ＝7，b ＝27.。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结椭圆的简单几何性质中的考查点:
（一）、对性质的考查：
1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。
2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。
3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。
4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。
（二）、课本例题的变形考查：
1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦1
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点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标；
2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。
3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。
4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：
5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。
————来源网络整理，仅供供参考 2。
