2.2.2 椭圆的简单几何性质

2．2．2 椭圆的简单几何性质

第一课时 椭圆的简单几何性质

预习课本P43～47，思考并完成以下问题

1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？

2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？

[新知初探]

椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)

范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距 |F1F2|＝2c

对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)

离心率 e＝ca(0

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a(

)

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c( )

(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(

)

A．5,3，45

B．10,6，45

C．5,3，35 D．10,6，35

答案：B

3．若椭圆x2a2＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )

A．32 B．12

C．22 D．52

答案：A

4．若焦点在y轴上的椭圆x2m＋y22＝1的离心率为12，则m的值为________．

答案：32

由标准方程研究几何性质

[典例] 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

[解] 椭圆方程变形为x29＋y24＝1，

∴a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝9－4＝5．

∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25，

焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)， 顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，

离心率e＝ca＝53．

求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．

[活学活用]

已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．

(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．

解：(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝35；

(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1，

性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；

②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；

③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；

④焦点：(0,6)，(0，－6)；

⑤离心率：e＝35．

利用几何性质求标准方程

[典例] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)长轴长是10，离心率是45；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．

[解] (1)设椭圆的方程为

x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．

由已知得2a＝10，a＝5．

又∵e＝ca＝45，∴c＝4． ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．

∴椭圆方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1．

(2)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．

如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

则c＝b＝3，

a2＝b2＋c2＝18，

故所求椭圆的方程为x218＋y29＝1．

(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．

(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．

[活学活用]

求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．

(2)离心率e＝35，焦距为12．

解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意得

 2a＝5×2b，25a2＋0b2＝1，解得 a＝5，b＝1.

故所求椭圆的标准方程为x225＋y2＝1；

若焦点在y轴上，设其标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，由题意，得

 2a＝5×2b，0a2＋25b2＝1，解得 a＝25，b＝5.

故所求椭圆的标准方程为y2625＋x225＝1．

综上所述，所求椭圆的标准方程为x225＋y2＝1或y2625＋x225＝1． (2)由e＝ca＝35，2c＝12，得a＝10，c＝6，

则b2＝a2－c2＝64．

当焦点在x轴上时，

所求椭圆的标准方程为x2100＋y264＝1；

当焦点在y轴上时，

所求椭圆的标准方程为y2100＋x264＝1．

综上所述，所求椭圆的标准方程为

x2100＋y264＝1或y2100＋x264＝1．

求椭圆的离心率

[典例] 设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )

A．36 B．13

C．12 D．33

[解析] 法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m2m＋m＝33．

法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±b2a，所以|PF2|＝b2a．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝33或e＝－3(舍去)．

[答案] D

[一题多变]

1．[变条件]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．

解：在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，

∴∠F1PF2＝60°，

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，

则在△PF1F2中，

有msin 75°＝nsin 45°＝2csin 60°，

∴m＋nsin 75°＋sin 45°＝2csin 60°，

∴e＝ca＝2c2a＝sin 60°sin 75°＋sin 45°

＝6－22．

2．[变条件，变设问]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．

解：由题意，知c>b，∴c2>b2．

又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，

即2c2>a2．

∴e2＝c2a2>12，∴e>22．

故C的离心率的取值范围为22，1．

求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．

层级一 学业水平达标

1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )

A．(±13,0) B．(0，±10)

C．(0，±13) D．(0，±69) 解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．

2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )

A．12 B．32

C．34 D．64 解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形，

∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，

∴cos 60°＝ca＝12，即椭圆的离心率e＝12，故选A．

3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1与椭圆x225＋y216＝1有相同的长轴，椭圆x2a2＋y2b2＝1的短轴长与椭圆y221＋x29＝1的短轴长相等，则( )

A．a2＝25，b2＝16

B．a2＝9，b2＝25

C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25

D．a2＝25，b2＝9

解析：选D 因为椭圆x225＋y216＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆y221＋x29＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．

4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若AP＝2PB，则椭圆的离心率是( )

A．32 B．22

C．13 D．12

解析：选D ∵AP＝2PB，∴|AP|＝2|PB|．

又∵PO∥BF，∴|PA||AB|＝|AO||AF|＝23，

即aa＋c＝23，∴e＝ca＝12．

5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m

A．(0，±m－n) B．(±m－n，0)

C．(0，±n－m) D．(±n－m，0)

解析：选C 化为标准方程是x2－n＋y2－m＝1，

∵m

∴焦点在y轴上，且c＝－m－－n＝n－m．

6．椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12，则m＝________．

解析：当焦点在x轴上时，4－m2＝12⇒m＝3；