2.2.2椭圆的简单几何性质2

§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)

●教学目标

１．熟悉椭圆的几何性质；

２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程；

３．了解椭圆在科学研究中的应用．

●教学重点：椭圆的几何性质应用

●教学过程：

Ⅰ、复习回顾：

利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．

Ⅱ、讲授新课：

例6．点 ),(yxM与定点 )0,4(F的距离和它到定直线

425:xl的距离的比是常数54，求点 的轨迹．

解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合

54dMFMP由此得54425)4(22xyx．

将上式两边平方，并化简得 22525922yx

即192522yx

所以，点M的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆

说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点

与焦点 的距离和它到定直线的距离的比是常数 （e为椭圆的离心率）。其中定直线叫做椭圆的准线。

对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是

．根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是

，所以椭圆有两条准线．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．

【典例剖析】

［例1］已知椭圆2222byax＝1(a＞b＞0)的焦点坐标是F1(－c，0)和F2(c，0)，P(x0，y0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，其中e是椭圆的离心率．

［例2］已知点A(1，2)在椭圆121622yx＝1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．

［例3］在椭圆92522yx＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．

Ⅲ、课堂练习：

课本Ｐ52，练习 ５

再练习：已知椭圆 上一点 到其左、右焦点距离的比为1：3，求 点到两条准线的距离．（答案： 到左准线的距离为 ，到右准线的距离为 ．） 思考： 已知椭圆 内有一点 ， 是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 ，使 的值最小，求 的坐标．（如图）

1 §2.2.2椭圆的简单几何性质及应用

学习目标：1、理解并掌握椭圆的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单问题.

2、培养学生数形结合的意识和独立分析、解决问题的能力.

重、难点：椭圆的几何性质和简单应用（重点）；几何性质的灵活应用（难点）.

学习过程：

一、课前准备 （预习课本P43----P48找出疑惑之处），并填写下列知识要点

（1）椭圆的简单几何性质

（2）椭圆的离心率对椭圆扁圆程度的影响

因为0ca，所以10e. e越接近1，则c越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越 ；反之，e越接近0，c越接近0，从而b越接近a，这时椭圆就越接近

. 当且仅当ba时，0c，这时两个焦点 ，图形变为 ，它的方程为

.

（3）若点)(yxM，与定点)0(，cF的距离和它到定直线l：cax2的距离的比是常数ac

（0ca），则点M的轨迹是 ，定点)0(，cF是椭圆的一个焦点，直线l：

cax2称为相应于焦点F的准线. 由椭圆的对称性，相应于焦点)0(，cF，椭圆的

准线是l：cax2. 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y上

图

形

标 准

方 程

范 围

顶 点

轴 长 长轴长

短轴长 长轴长

短轴长

焦 点

焦 距

对称性 对称轴 ，对称中心

离心率 1F  x y

O 

2F 1A 2A

1B 2B

2F

1 / 17 2.2.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）

一、教学目标

（一）学习目标

1.理解直线与椭圆的位置关系；

2.会进行位置关系的判断，计算弦长.

（二）学习重点

理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用

（三）学习难点

应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系.

二.教学设计

（一）预习任务设计

1.预习任务

写一写：

直线与椭圆的位置关系

设直线:lykxm，椭圆:C22221(0)xyabab，联立

2222222222222()201ykxmakbxakmxamabxyab2222224()abakbm

若0，则直线和椭圆有唯一公共点，直线和椭圆 相切 ；

若0，则直线和椭圆有两个公共点，直线和椭圆 相交 ；

若0，则，直线和椭圆没有公共点，直线和椭圆 相离 .

2.预习自测

（1）直线1ykxk与椭圆22123xy的位置关系是（ ）

A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定

【知识点】直线与椭圆位置关系.

【解题过程】直线(1)1ykx恒过定点(1,1).由11123可知：点(1,1)在椭圆内 2 / 17 部，故直线与椭圆相交.

【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.

【答案】A

（2）判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

①已知椭圆22221xyab(0)ab与点(,0)Pb，过点P可作出该椭圆的一条切线.（ ）

②直线()ykxa与椭圆22221xyab的位置关系是相交.（ ）

【知识点】直线与椭圆位置关系.

【解题过程】点(,0)Pb在椭圆22221xyab内部，故过P不能作出椭圆的切线；直线()ykxa恒过点(,0)a，而(,0)a为椭圆22221xyab的有顶点，过直线()ykxa一定与椭圆相交.

鸡西市第十九中学高二数学组

1 《椭圆的简单几何性质(二)》专题

2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名

从善如登,从恶如崩。——《国语》

1.椭圆x225＋y29＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )

A.8,2 B.5,4 C.5,1 D.9,1

2.直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )

A.m>1 B.m>1且m≠3

C.m>3 D.m>0且m≠3

3.AB为过椭圆x2a2＋y2b2＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值( )

A.b2 B.ab C.ac D.bc

4.经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点.设O为坐标原点，则OA→·OB→等于( )

A.－3 B.－13

C.－13或－3 D.±13

5.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是 ( )

A.[4－23，4＋23] B.[4－3，4＋3]

C.[4－22，4＋22] D.[4－2，4＋2]

6.若倾斜角为π4的直线交椭圆x24＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________.

7.人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p千米，远地点距地面q千米，若地球半径为r千米，则运行轨迹的短轴长为______________.

8.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→·MF2→＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )

A.(0,1) B.0，12

C.0，22

D.22，1

9.若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________________. 鸡西市第十九中学高二数学组