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第3章 刚体力学基础2

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第三章刚体力学基础

第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。

大学物理B层次--第三章 刚体力学基础ppt课件

大学物理B层次--第三章 刚体力学基础ppt课件
5
对比：
L L M dt
t 1 外 2
t2
1
F dtp p
t 1 外 2
t2
1
3.质点角动量守恒守律 根据上式,如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2 , 即 L=常矢量 这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为 零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论 叫做质点角动量守恒定律。 对比： 角动量守恒定律是：M外=0，则L=常矢量。 动量守恒定律是： F外=0 ，则p=常矢量。 6
d r 2 r F=ma=-m2r a 2 dt M=rF=-m2rr =0
2
7
例题3-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上 的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在 桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角 速度0绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这 一过程中拉力的功。 0 解 绳的拉力对o点的力矩为 o 零,故小球在运动中对o点的角 r m 动量守恒,于是有 mr2 0= m(r/2)2 F =40 由动能定理，拉力的功为
1r 22 1 2 2 3 2 2 A m () mr mr 0 0 22 2 2
8
例题3-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 系数为k=100N/m,一端固定于o点，另一端连接一质 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度0=5m/s, 方向与 弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m，求此 时滑块速度 的大小和方向。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： l m l0=m lsin o m 1 2 1 2 1 2 m k ( l l ) 0 m 0 d l0 2 2 2 解得: =4m/s, =300。

刚体和流体

刚体和流体

y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren

大学物理第三章刚体力学基础习题答案

大学物理第三章刚体力学基础习题答案

方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma

g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr

刚体力学基础

刚体力学基础


0
0t

1 t2
2
2

2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at

dv dt

r
z
a an r

at ve t
an

v2 r
2r a
ret

r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1

62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t

0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律

理论力学周衍柏第三章

理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )

面向新世纪课程教材大学物理大作业答案——刚体力学作业

面向新世纪课程教材大学物理大作业答案——刚体力学作业

L2
−
L1
=
J 2ω2
−
J1ω1
质点的动量定理
dpr
=
r F
⋅
dt
∫ r
I
=
tr F ⋅ dt =
t0
pr − pr0 = mvr − mvr0
三、刚体的角动量守恒定律
1. 角动量守恒定律
∫ 由角动量定理
r M
当
r M外
=
0
时，
外
d
t r
ΔL
= =
Δ 0
r L
r L
=
恒矢量
P.6
1
区分两类冲击摆
(1)
大作业题解
刚体力学
第3章 刚体力学基础
一、对转轴的力矩
r M
=
rr
×
r F
单位：N·m
r M
=
rr
×
r F⊥
r M
=
rr
×
r F
大小: 方向:
M = Frsinϕ
rr
→
r F
右旋前进方向
二、定轴转动定律
M z = Jβ
P.2
转动惯量(moment of inertia)
∑ 1. 定义 J = iri2mi 单位: kg ⋅ m 2
l/4 O
[ A]
mg l = 1 Jω 2 J = 7 ml 2
22
48
⇒ ω = 4 3g 7l
P.11
9．如图所示，一人造卫星到地球中心C的最大距离和
最小距离分别为RA和RB。设人造卫星对应的角动量分
别为LA和LB，动能分别为EkA和EkB，则有
(A) LB > LA，EkB > EkA

力矩 刚体定轴转动的转动定律

力矩 刚体定轴转动的转动定律

dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2

m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J

第3章刚体力学基础

第3章刚体力学基础

将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。

大学物理 第3章 刚体力学基础

大学物理 第3章 刚体力学基础


2 1
Jd

1 2
J22

1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF

2.2 刚体力学基础

2.2 刚体力学基础

Y
M
vC
C mi
yC yi
O
刚体的势能
EP mi gyi
i
mgyc 其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度。
质量分布均匀而
有一定几何形状的
X
刚体，质心的位置
为它的几何中心。
例2.22 质量为m ，长为 l 的匀质细杆，可绕杆端的固
定轴在铅直平面内转动。最初杆处于水平位置，放手
后让其自由摆下，试求杆下摆到 角时的角速度和角加
当质点做平面圆周运动时， 由牛顿第二定律:
用矢径叉乘上式两边
rv
v F
rv
d
pv
d
v F
d
pv
dt
(rv pv)
v dt dt
v M
dL
dt
合外力矩
做圆周运动的质点角动量对时间的变化率等于其所受到的 合外力矩。——质点的角动量定理
2. 定轴转动刚体的角动量定理
vv
由转动定理 M J
J
d v
d( J v)
J mjrj2 r2dm j
r2dV V
dm：质量元 dV ：体积元
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
J miri2 r2dm dm ：质量元
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm dS
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dm dV
：质量体密度
离时两物体的速度和加速度.
解: 以两物体、两滑轮、地球
成为一系统，A外 0，A内非 0 ，
故机械能守恒.以 m1 下降 x 时
的位置为重力势能零点，则有
m1gx
m2
gx

大学物理教案-第3章 刚体力学基础

大学物理教案-第3章 刚体力学基础

J —描述刚体的转动惯性，称之为转动惯量。
二、力矩的功
对于 i 质点，其受外力为 F i ，则
Wi Fi dsi Fi cos α i ridθ Fiτ ridθ
Mid 对 i 求和，当整个刚体转动 d ，则力矩
的元功
dW ( Mi )d Md
∴ 当刚体转过有限角时，力矩的功为
W 2 Md 1
对于单个质点 转动惯量
J mr2 ，
质点系 转动惯量
n
J miri2 ，式中 ri 为 i 质点到轴的矩离。 i 1
质量连续分布的刚体 转动惯量 I r2dm 。 m
2
大学物理学
大学物理简明教程教案
刚体的转动惯量与
刚体的质量的有关, 刚体的质量分布有关, 。
轴的位置有关。
三、转动定律的应用
三、刚体定轴转动的动能定理
Md
J
d dt
d
J
d dt
dt
J
d
d
1 2
J2
2 1
M
d
1 2
J22
1 2
J12
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
§3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、质点的角动量 角动量定理和角动量守恒定律（教材 P40 §2.4）
1、质点对固定点的角动量
ani ri 2
质点（a =常数）
v v0 at
x
x0
v0t
1 at 2 2
v2 v02 2ax x0
刚体（ ＝常数）
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 0
1
大学物理学

第3章 刚体力学基础

第3章 刚体力学基础

M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
∑ ∑
∑
是矢量式 与质点平动对比
刚体的角动量守恒定律
由 若 则 刚体所受合外力矩 即
当刚体所受的合外力矩 刚体的角动量
等于零时， 保持不变。
乘积
角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
变小。
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂
小 大
小
乘积
角动量守恒的另一类现象 花样滑冰中常见的例子 保持不变， 变小则
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳 （忽略质量） 同向 ∑ 而 解得
系统的总冲量矩 例如 求角加速度
∑
系统：
静 止 释 放
∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得
主要公式归纳
（微分形式） （积分形式）
3
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
4
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
5
第二节
平 动
定轴转动

第三章-刚体力学基础

第三章-刚体力学基础

动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
Frsin
l
）
2
重力矩所做的功为
dm dl
gdm
A dA 1 mgl cosd 1 mgl sin
02
2
初位置： 0 0 Ek0 0 O
转动动能与质点动能的对比
Ek
1 2
J 2
Ek
1 2
mv 2
三 刚体定轴转动的动能定理 由刚体的转动定律
当θ=θ1时，ω=ω1 所以：
A
2 1
M d
1 2
J22
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对定轴转动刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量
机械能守恒定律
条件 刚体在转动过程中，若只有重力矩对刚体做功，
75 (rad )
6
所以在30秒时间内飞轮所转过的圈数为
N 75 37.5(圈) 2 2
(2)
0
t
5
(
6
)6
4
(rad
/
s)
(3) 在t=6秒时刻飞轮边缘上任一点的线速度和加速 度可分别由公式得
v r 0.2 4 0.8 (m / s)
an r 2 0.2 (4 )2 3.2 2 (m / s2 )
Z
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
Z
dm dV 2rdr l

第3章 刚体力学基础

第3章 刚体力学基础

刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
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➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2

第3章_刚体

第3章_刚体
刚体由
d dr
F

r
P

1 2
2
A Md
1
2
刚体同时受几个力作用时, 合力或合力矩的功：
A Ai
1
M d
i
2
1
M d
合外力矩的功
M 等于各力矩的功的代数和
dA d 力矩的功率： P M M dt dt
力矩的功率等于力 矩和角速度的乘积
O
u
1 1 2 1 2 2 mu mv J 2 2 2
由系统角动量守恒
mul J mvl
6mu ( M 3m)l
u ( M 3m) v M 3m
z
r
v
P
第二节 刚体对定轴的角动量和转动惯量
刚体是任意两质点间的距离保持不变的特殊质点系 1、刚体对定轴的角动量 这一特殊质点系对该轴上任一O点 的角动量在该轴上的分量或投影 任一质点或质元对O点的角动量为：

z
Li Ri mi vi
在轴上的分量：
vi
1 2 Ek mv 2
z
d dr
F

O
r
P

外力 F 作用于刚体上的P点，时间 dt 内刚 。 体绕定轴转过角度 d ，P点的位移 dr
元功： dA F dr F cos dr
z
O
F cos rd Frsin d Md
z
薄板形刚体对板面内的两条 正交轴的转动惯量之和等于 对过该两轴的交点并垂直于 板面的那条转轴的转动惯量
o
y
ri xi
J z J x J y

第三章 刚体力学基础 课后作业

第三章 刚体力学基础 课后作业

第三章 刚体力学基础 课后作业班级 姓名 学号一、选择题1、一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A , 且向x 轴正方向移动，代表此简谐振动的旋转矢量为( )1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(1)是正确的 (B )(1)、(2)正确，(3)、(4)错误(C ) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误 (D )(1)、(2)、(3)、(4)都正确2、关于力矩有以下几种说法：(1) 对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度；(2) 一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；(3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同．对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(2)是正确的 (B ) (1)、(2)是正确的(C )(2)、(3)是正确的 (D ) (1)、(2)、(3)都是正确的3、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是( )(A ) 角速度从小到大，角加速度不变(B ) 角速度从小到大，角加速度从小到大(C ) 角速度从小到大，角加速度从大到小(D ) 角速度不变，角加速度为零4、 一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为( ) (A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变(C) L不变，ω减小 (D) 两者均不确定5、假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的( )(A) 角动量守恒，动能守恒 (B) 角动量守恒，机械能守恒(C) 角动量不守恒，机械能守恒 (D) 角动量不守恒，动量也不守恒(Ｅ) 角动量守恒，动量也守恒二、填空题1、有甲、乙两个飞轮，甲是木制的，周围镶上铁制的轮缘。

第3章 刚体力学基础

第3章 刚体力学基础
3-7如图所示，长为 的均匀细杆水平地放置在桌面上，质心离桌边缘的距离为 ，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的摩擦系数为 。试求：杆开始滑动时的临界角。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
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d d

3 g sin L


0
d d
0

14
Байду номын сангаас
练习 例3：测轮子的转动惯量用一 根轻绳缠绕在半径为 R、质量 为 M 的轮子上若干圈后，一 端挂一质量为 m 的物体，从静 止下落 h 用了时间 t ,求轮子的 转动惯量 J。 绳轮间无相对滑动，绳不可伸长
M ,R
m
h
受力分析： 以m为研究对象
M ,R
(1)
mg T ma
以M为研究对象
TR J
物体从静止下落时满足
(2)
T
h at /2
2
(3)
补充方程：
T
h
a R
(4) 2 2 mR ( gt 2 h ) J 2h
mg
mN ri , rN
mi
mN
m1
rN r1
ri
r2
m2
由牛顿第三定律可知内力之和为零，即
f i , j f j ,i ,
f
i, j
0
回顾： 质心运动定理及质点系动量定理
求和： Fi (m1 m2
i 1
N
d 2 m1r1 m2 r2 mN rN mN ) 2 ( ) dt m1 m2 mN
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
J r 2dm
平行轴定理:
力矩： 1、力 F 对任意点O的力矩定义为
M r F
J J C md 2
M J
—— [刚体]定轴转动定律
常 见 形 状 转 动 惯 量
3.3 刚体定轴转动的动能定理 一、刚体的转动动能
即：F外 =m0 ac 质心运动定理
2、刚体的机械能守恒定律
若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守 内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.
1 2 E J mghC 常量 2
比较：
A外 +A非保内=E
例、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有 一固定的光滑水平轴。最初棒静止在水平位置，求 它由此下摆 角时的角加速度和角速度。 用机械能守恒定律解 O
第三章
刚体力学基础
3.3刚体定轴转动的动能定理
复习回顾
用角量描述定轴转动：
1) 角位移：
转动惯量 J :（刚体转动惯性的量度）
J mi ri2 m1r12 m2r22
i
d = lim 2) 角速度 ： t 0 t dt
3) 角加速度 ：
L 1 2 mg sin J 2 2


l
3 g sin L
dm dl gdm
d dt

3 g sin L d 3 g cos d 3 g cos 2
2
2L
dt
L
dt
用动能定求解
1 1 2 2 1 M d 2 J 2 2 J 1 1 J mL2 3 1 代入M＝ mgL cos 2 1 1 1 2 2 J J 0 2 mgL cosd 2 2 2 1
2
1 1 mgL sin J 2 2 2

mgL sin J
3g sin L
用刚体定轴转动转动定律 O 解：外力矩为重力对O的力矩。

取质元dm, 当棒处在下摆角时， l
元力矩: dM l cos gdm gl cos dl 合力矩: M ＝ dM
dW Md 力矩的瞬时功率 p M dt dt
P F
三、刚体定轴转动的动能定理
1 2 ) 刚体定轴转动动能定理 对比： M J ( 2 0 2 1 2 F r m( 2 0 ) 平动动能定理 2
1 1 2 2 W J 2 J 1 2 2
m1r1 m2 r2 令： r0 m1 m2
mi ri mN rN mi mN
mi ri
i 1
N
r0 ：质心的位矢
C ：质点系的质心
m1
mN
d 2 r0 故有 F外 = Fi m0 2 m0ac dt i
m0
rN r1
mi
ri
r2
m2
C
回顾：质心运动定理及质点系动量定理
设质点系各质点质量分别为 m1 , m2 ,
各质点对某一坐标原点的位矢分别为 对各质点由牛顿第二定理有： d 2 r2 d 2 r1 F2外 +f2内 =m1 2 F1外 +f1内 =m1 2 dt dt
d 2 r1 FN外 +f N内 =m1 2 dt
mi , r1 , r2 ,
dm dl gdm


L
0
gl cos dl
1 mgLcos 2
d d d d dt d t d d
1 M 2 mgLcos 3 g cos 1 J 2L mL2 3
1 M mgLcos 2
O

l
dm dl gdm
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转 动动能的增量。
四、刚体的机械能守恒定律
1、质点系重力势能的计算
（地面附近）
EP mi ghi g mi hi
i
i
m mi
c
hc
m h
i
hi
hc
势能零点
i i
m
EP mgh c
结论：计算刚体的重力势能只要把刚体的质量全 部集中于质心处，当一个质点处理即可（无论平 动或转动）。
二、力矩的功
1 dW Fdr Frd m 2 2 1 2 2 1 1 2 mr J J( 2 02 ) 2 2 2
1 J 2 J M 2
v
F
d
dr
dW Md
力矩的功
o
r
x
W Md
1
2
比较：dW Fdr
R1
O
m1
1 R1
3 1 1 Ek mii2 mi Ri2 2 2 i 2 i 1
R3
R2
m2
2 R2
m3
1 J2 2
3 R3
1 2 比较： E k J 2
1 2 E k mv 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方成绩的一半。