向量与解三角形(3.24)

高中数学新教材解三角形教案高中数学新教材解三角形教案1一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路.2、了解构造法在解题中的运用.三、教学重点及难点重点：平面对量知识在各个领域中应用.难点：向量的构造.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量?(1)力(2)功(3)位移(4)力矩2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?[说明]复习数量积的有关知识.二、学习新课例1(书中例5)向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用!请看例2(书中例3)证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.证法(二)向量法[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现(等号成立的充要条件是)例3(书中例4)[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明.二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.(2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系.四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4高中数学新教材解三角形教案2教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.2.会求一些简单函数的反函数.3.在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识.4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培育抽象、概括的能力.教学重点：求反函数的方法.教学难点：反函数的概念.教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，时间t是位移S的函数.在这种情况下，我们说t=是函数S=vt 的反函数.什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既可以拨去反函数这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性.二、实例分析，组织探究1.问题组一：(用投影给出函数与;与()的图象)(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为逆运算.)(2)由，已知y能否求x?(3)是否是一个函数?它与有何关系?(4)与有何联系?2.问题组二：(1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一(2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系?3.渗透反函数的概念.(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培育学生抽象、概括的能力.通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础.三、师生互动，归纳定义1.(根据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x = j (y) .如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数.这样的函数x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到用x表示自变量, y表示函数的习惯，将中的x与y对调写成.2.引导分析：1)反函数也是函数;2)对应法则为互逆运算;3)定义中的如果意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域;5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数;6)要理解好符号f;7)交换变量x、y的原因.3.两次转换x、y的对应关系(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)4.函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域AC值域CA四、应用解题，总结步骤1.(投影例题)【例1】求下列函数的反函数(1)y=3x-1 (2)y=x 1【例2】求函数的反函数.(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)2.总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f(y).2° 把x=f(y)中x与y互换得.3° 写出反函数的定义域.(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数?(2)的反函数是________.(3)(x0)的反函数是__________.在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握.通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培育学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力.题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进.并体现了对定义的反思理解.学生思考练习，师生共同分析纠正.五、巩固强化，评价反馈1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y =f( x)(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值.五、反思小结，再度设疑本节课主要讨论了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节讨论.(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.具体实践中可实行同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂.六、作业习题2.4第1题，第2题进一步巩固所学的知识.教学设计说明问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采纳了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，讨论性质，进而得出概念，这正是数学讨论的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对比、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主人。

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。

三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

一向量的相关概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：→a （注意加箭头）；（2）坐标表示法→a ＝ｘ→i ＋ｙ→j ＝（ｘ，ｙ）.0i i =∙→→→→j j 为互相垂直的单位向量，(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜→a ｜.(4)特殊的向量：零向量→a ＝O ⇔｜→a ｜＝O .单位向量→e 为单位向量⇔｜→e ｜＝ 1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：→a =-→b ⇔→b =-→a ⇔→a +→b =→(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作→a ∥→b .平行向量也称为共线向量.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的 加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+（第二个向量起点为第一个向量终点）向量的 减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-（指向被减向量）数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向;λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使→a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O.（交叉相乘差为零）(3)两个向量垂直的条件→a⊥→b ⇔→a ·→b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O.（对应坐标和为零）正、余弦定理正弦定理R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===（R 为外接圆半径）． 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．(知三求一)它们的变形形式有：a = 2R sin A ，baB A =sin sin ，bc a c b A 2cos 222-+=． （7）在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=-cosC ；tan(A+B)=-tanC ．s △＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ． 解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如a 、B 、C ），由A +B +C = π求A ，由正弦定理求b 、c ． （2）已知两边和夹角（如a 、b 、C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角．（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．也可先通过余弦定理列方程求解：a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．（关于c 边的一元二次方程）得c 在利用正弦定理求解其它角。

1．三角形的有关公式：(1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝ ，sinA ＋B2＝ (2)正弦定理：(3)余弦定理： _____________________________________________________________________ (4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)．2．平面向量的数量积a ·b ＝ ．特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件．3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a≠0，b≠0，则：(1)a·b ＝ ；(2)|a |＝ ，a 2＝|a |2＝ ； (3)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔ ＝0；(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔ ＝0.(5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC 中向量常用结论(1)PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的 ； (2)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →⇔P 为△ABC 的 ；(3)向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的 ；(4)|PA →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的 ． 考点一 解三角形例 1－1设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．1＋33 ＋1 C ．1－33－1 例 1－2△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 例 1－3若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形变式训练【1－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则【1－2】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【1－3】在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 或37例 1－4已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝ sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．变式训练 【1－4】 (2015·兰州诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a3cos A＝csin C .(1)求A 的大小； (2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．【1－5】 (2014·黄冈模拟)△ABC 的外接圆的直径为1，三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，m ＝(a ，cos B )，n ＝(cos A ，－b )，a ≠b ，已知m ⊥n .(1)求sin A ＋sin B 的取值范围；(2)若abx ＝a ＋b ，试确定实数x 的取值范围．例 1－5如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．变式训练【1－6】如图，游客从某旅游景区的景点A C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内考点二 平面向量例 2－1已知正三角形ABC 的顶点A (3，1)，B (33，1)，顶点C 在第一象限，若点M (x ，y )在△ABC 的内部或边界，则z ＝OA →·OM →取最大值时，3x 2＋y 2有( )A ．定值52B ．定值82C ．最小值52D ．最小值50例 2－2如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．例 2－3如图在等腰直角△ABC 中，点O 是斜边BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )B ．1C ．2D ．3变式训练【2－1】设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ·b ＝(a 1，a 2)·(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sinx 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ·OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为________．【2－2】在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为______．易错题在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．练习题1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) C ．2 24．锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则a b的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(2，3) 5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) m7．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |28．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω＝( )9．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B －b cos A ＝35c ，则tan Atan B 的值为______．10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度CD ＝________m.12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．13．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ； (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A 的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．15．已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－32，f (x )＝(m －n )·m . (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π8＝－24，a ＝3，求b ＋c 的值．。

2000年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编4.平面向量与解三角形部分2019A 3、平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e ⋅=，且25a a te ≤+对任意实数t 恒成立，则a 的取值范围为 。

2019A 9、在ABC ∆中，,,BC a CA b AB c ===，若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．2019B 2. 若平面向量()2,1m a =-与()121,2m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为 ．2019B 3. 设(),0,αβπ∈，cos ,cos αβ是方程25310x x --=的两根，则sin sin αβ的值为 ．2018A 7、设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为2017A 7、在ABC ∆中，M 为边BC 的中点，N 是线段BM 的中点，若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为2017B 4、在ABC ∆中，若C A sin 2sin =，且三条边c b a ,,成等比数列，则A cos 的值为2016A 9、（本题满分16分）在ABC ∆中，已知CB CA BC BA AC AB ⋅=⋅+⋅32，求C sin 的最大值。

2016B 10、（本题满分20分）在ABC ∆中，已知CB CA BC BA AC AB ⋅=⋅+⋅32（1）将AB CA BC ,,的长分别记为c b a ,,，证明：22232c b a =+；（2）求C cos 的最小值．2015A 4、在矩形ABCD 中，2=AB ,1=AD ,边DC 上（包含D ,C ）的动点P 与线段CB 延长线上（包含B ）的动点Q =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PQ PA ⋅的最小值为2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值 A. 只有一个 B. 有二个 C. 有四个 D. 有无穷多个2014A 7、设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。

三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。

平面向量与解三角形（解答题）1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)； (2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE ，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若u v u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式；(2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)+的最大值，并求其取得最大值时x 的值．6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ；(),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围．11.对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n 维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅=12.已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQ Q 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由； (2)用n t 表示1.n t +13.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CA CB x DADB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD (1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A14.如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O (1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S的取值范围．15.如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy 中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值．16.法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形； (2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．平面向量与解三角形1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．【答案】(1)因为8a =，3A π=，所以sin sin sin b c a B C A ===所以b B =，)8cos c C A B B B =+=，则216.cos c b B −== (2)由222222cos a b c bc A b c bc =+−=+−， 得2264.b c bc +=+因为222b c bc +，所以22642b c bc bc +=+， 所以64bc ，当且仅当8b c ==时，取等号， 2||()AB AC AB AC +=+222AB AC AB AC ++⋅22b c bc =++=，12AB AC bc ⋅=，令t 883t <，则21322bc t =−，则2211||16(2)1744AB AC AB AC t tt +−⋅=−+=−−+，因为883t <，所以2132(2)1784t −−−+<，所以||AB AC AB AC +−⋅的最小值为32.【解析】本题考查利用正弦定理解三角形，利用余弦定理解决范围问题.(1)先利用正弦定理分别求出b ，c ，再根据三角形内角和定理将C 用B 表示，再将所求化简即可得解;(2)利用余弦定理结合可得2264b c bc +=+，结合基本不等式求出bc的范围，计算可得1||64.2AB AC AB AC bc +−⋅=令t =.2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围. 【答案】证明：(1)原式化简得：21sin cos sin sin sin cos cos 2cos 2sin cos A AB A B A B B B B+=⇔+=，即sin cos()B A B =+，cos()cos()2B A B π∴−=+，(0,)2A B π+∈，(0,)22B ππ−∈， 2B A B π∴−=+，即2.2A B π+=(2)由22222A B A B A B C C B ππππ⎧=−⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪++==+⎩⎪⎩且04B π<<，由余弦定理，2223a c b ac +−变为223cos 22a cb B ac+−=， 62B ππ∴<， 又04B π<<，;64B ππ∴<由正弦定理，sin sin sin sin sin a c A CB B b B++⋅=⋅ 2219sin sin cos 2cos 2cos cos 12(cos )48A C B B B B B =+=+==+−=+−，cos (2B ∈∴由二次函数值域，可得sina c B b+⋅的范围为【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角恒等变换的应用，余弦型函数的值域，二次函数的性质等知识点，属于较难题.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.【答案】(1)解：因为点 P 是等腰三角形 PBC 的顶点，且 23CPB π∠= ， 1BC = ， 所以 6PCB π∠=，PC PB =，由余弦定理可得， 222cos C 2PB PC BC PB PB PC +−∠=⋅ ，解得PC = ， 又因为 2ACB π∠=，故 3ACP π∠=， 在 Rt ACB 中， 2AB = ， 1BC = ，所以AC == ，在 ACP 中，由余弦定理可得， 2222cos3AP AC PC AC PC π=+−⋅⋅ ，解得3AP =， 故AP PC PB ++=+=， 所以连廊 AP PC PB ++ 的长为百米． (2)解：设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<< ，则 sin CF a α= ，sin AF a α=− ， 设 1EDB ∠=∠ ， 则 213B DEB DEB ππ∠=−∠−∠=−∠ ， 233DEB DEB ππαπ=−−∠=−∠ ，所以 2133ADF πππα∠=−−∠=− ， 在 ADF 中，由正弦定理可得，sin sin DF AFA ADF=∠∠ ，即sin 2sinsin()63aa αππα−=− ， 即21sin()sin 32a a παα−=−， 即32177a ===(其中 θ 为锐角，且tan θ= ，所以 222133sin 60247Sa =︒⨯=， 即 ()2min S = ； 图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ， 因为 //EF AB ，且 EF DE ⊥ ，所以 3FEC π∠= ， 6DEB π∠= ， 2EDB π∠= ，所以 cos 62DE x x π== ，222cos3CE EF CE xπ===− ，所以22111(22)))222DEFSEF DE x x x x =⋅⋅=⋅−=−+=−+， 所以当 12x = 时， DEF S 取得最大值8 ，无最小值，即DEF S ⎛∈ ⎝⎦， 故3.S ⎛∈ ⎝⎦【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题、利用正弦定理解决范围与最值问题，属于较难题.(1)先由 PBC 中的余弦定理求出 PC ，再由 APC 中的余弦定理求出 AP ，即可得到答案；(2)设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<<，图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ，分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠【答案】解：(1)由题意，不妨设BC 边上的中点为点D ，所以23AP AD =，又1()2AD AB AC =+，所以，11.33AP AB AC =+(2)证明：令A B C S S S S =++，则B CS S AP AD S +=||||||||C B B C B C S S DC DB AD AB AC AB AC S S S S BC BC =+=+++()()C B S SAP AP PB AP PC S S=+++，则0B C A S PB S PC S AP +−=，所以0A B C S PA S PB S PC ++=；(3)因为P 是ABC 的垂心，230PA PB PC ++=， 所以由(2)易知，::1:2:3.A B C S S S =记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则1tan 2:1tan 2A B FC PC BFBF A AF S S FC AF B PC AF BF⋅====⋅，同理:tan :tan B C S S B C =，所以，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，又tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B −−=−+=−，所以，2tan 2tan 3tan 12tan A AA A−−=−， 即tan 1A =或1−，又tan A ，tan B ，tan C 同号，所以tan 1A =，所以tan 3C = 又四边形CDPE 中，因为P 是ABC 的垂心，所以90CDP CEP ∠=∠=︒， 所以，180DPE C ∠+∠=︒，又DPE APB ∠=∠，所以，180APB C ∠+∠=︒，所以，tan tan 3APB C ∠=−=−，即cos 10APB ∠=−【解析】本题考查向量的线性运算，向量的几何应用，属于难题. (1)根据向量的线性运算化简即可；(2)利用面积与边长的比例关系化简整理即可；(3)利用(2)的结论得出A ，B ，C 的关系，结合正切的和差角公式计算即可. 5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若uv u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式； (2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)23x −的最大值，并求其取得最大值时x 的值． 【答案】解：(1)由向量(),u a b =，(),v c d =，得2222,,u v ac bd u a b v c d ⋅=+=+=+， 因为u v u v ⋅=，所以()()()22222ac bd a b c d +=++，即2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++=+++，所以22222abcd a d b c =+，即()20ad bc −=， 所以0ad bc −=；(2)因为cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=， 而cos ,1u v，所以()222222,ac bd u v cos u vu v +=，当且仅当cos ,1u v =，即//u v 时取等号，所以()()()22222a b c d ac bd +++；(3)由413030x x +⎧⎨−⎩可得1334x −，当3x =5==，当134x =−5+==， 当1334x −<<时，由(2)可得，()11x=+=⎡⎣，，即18x =−时，取等号，+的最大值为1.8x =−【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，利用向量的数量积证明等式. (1)根据数量积得坐标运算及平面向量的模的坐标公式计算即可得出结论； (2)根据cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=，结合余弦函数的值域即可得证；(3)利用(2)中的结论即可得出答案.6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】解：(1)法一：在ABD 中，由余弦定理得222cos 2AD AB BD A AD AB+−=⋅，即222cosA =2168BD A −=①，同理，在BCD 中，22222cos 222BD C +−=⨯⨯，即28cos 8BD C −=②，①-cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；法二：在ABD 中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+−⋅即222222cos BD A =+−⨯⨯，即216BD A =−， 同理，在BCD 中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+−⋅=−，所以1688cos A C −=−，1cos A C −=，即cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；222222221211(2)44S S AB AD sin A BC CD sin C +=⋅⋅+⋅⋅ 22221241244sin A sin C sin A cos C =+=+−221241)sin A A =+−−22412cos A A =−++， 令)cos ,1,1A t t =∈−，所以2224122414y t t ⎛=−++=−+ ⎝⎭，所以6t =，即cos A =时，2212S S +有最大值为14.【解析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，属于较难题.(1)法一：在ABD 2168BD A −=，在BCD 中由余弦定理得28cos 8BD C −=，两式相减可得答案；法二：在ABD 中由余弦定理得216BD A =−，在BCD 中由余弦定理得288cos BD C =−，两式相减可得答案；(2)由三角形面积公式可得222122412S S cos A A +=−++，令()cos ,1,1A t t =∈−转化为二次函数配方求最值即可．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ； (),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠ 【答案】解：(1)()i 设D 是BC 中点，则1()2AD a b =+，重心是中线靠近边的三等分点，21()33AG AD a b ∴==+；1111()3333ii AG AB AC AM AN m n=+=+，M ，G ，N 三点共线，G 在线段MN 上，则111(0,0)33m n m n+=>>， 1111414(4)()(5)(523333m n m n m n m n n m ∴+=++=+++=，当且仅当21n m ==时取等号，4m n ∴+的最小值为3； (2)由1143AO AB AC =+可知点O 在ABC 的内部，如图所示，取AB 的中点P ，AC 的中点Q ，由外心性质可知OP AB ⊥，OQ AC ⊥，从而212AO AB AP AB c ⋅=⋅=，即2111()432AB AC AB c +⋅=，所以22111cos 432c bc BAC c +⋅∠=，故11cos 34b BACc ⋅∠=， 同理，由212AO AC AQ AC b ⋅=⋅=可得11cos 46c BAC b ⋅∠=，联立11cos ,3411cos ,46b BAC c c BAC b ⎧⋅∠=⎪⎪⎨⎪⋅∠=⎪⎩得cos 2BAC ∠=【解析】本题考查了平面向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于综合题． (1)()i 根据重心的定义以及平面向量基本定理可表示AG ；()ii 平面向量基本定理结合基本不等式可得结果；(2)由外心性质可得关于cos BAC ∠的方程，解方程可得cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.【答案】解：3(1)cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+， ()()cos cos cos cos cos 3cos .b C c B A a B C A ∴+=+由正弦定理得(sin cos cos sin )cos sin (cos cos 3cos ).B C B C A A B C A +=+ ()()sin cos sin cos cos 3cos .B C A A B C A ∴+=+ 因为0A π<<，则sin 0A >，A B C π++=，()sin sin B C A ∴+=，则()cos cos sin sin cos cos A B C B C B C =−+=−，所以，cos cos cos 3cos A B C A =+，即2cos cos cos 0A B C +=， 所以，()2sin sin cos cos cos cos 0B C B C B C −+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=，即1tan tan .2B C =(2)由(1)得1tan tan .2B C =若tan 0tan 0B C <⎧⎨<⎩，则B 、C 均为钝角，则B C π+>，矛盾， 所以，tan 0B >，tan 0C >，此时B 、C 均为锐角，合乎题意，tan tan tan tan ()2(tan tan )4tan tan tan1B CA B C B C B C +∴=−+==−+−−=−当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立，且A 为钝角. tan 22A −，则()tan 22A π−，且A π−为锐角，由()()()()()()()22sin tan 22cos 1cos 0sin 0A A A sin A cos A A A πππππππ−⎧−=⎪−⎪⎪−+−=⎨⎪−>⎪⎪−>⎩，解得()22sin 3A π−，即22sin 3A ，当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立， 3bc =，13322sin sin 2223S bc A A ∴==⨯=因此，ABC【解析】本题主要考查正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，属于较难题. (1)利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sin sin cos cos B C B C =，即可求得tan tan B C 的值；(2)分析可知B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tan 22A −，求出sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．【答案】解：(1)如图1，12BD BC CD BC BA =+=+1111111()()2525252BF BE EF BC EA BC EB BA BC BC BA =+=+=++=+−+2155BC BA =+25BF BD ∴=又点B 是公共点，B ∴，F ，D 三点共线.(2)如图1，2222211||()422cos601724BD BD BC BA BC BC BA BA ︒==+=+⋅+=+⨯⨯+= ||7BD ∴=12AE AB BE BC BA =+=− 2222211||()122cos604324AE AE BC BA BC BC BA BA ︒∴==−=−⋅+=−⨯⨯+=||3AE ∴=2211113()()22224AE BD BC BA BC BA BC BA BC BA ⋅=−⋅+=−−⋅11334422cos602242︒=⨯−⨯−⨯⨯⨯=− cos AE ∴<，3||||37AE BD BD AE BD −⋅>===⋅⨯(3)如图2，PA BA BP =−，PC BC BP =−2()()()PA PC BA BP BC BP BA BC BP BA BP BC BP ∴⋅=−⋅−=⋅+−⋅+⋅ 设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，则3CBPπθ∠=−，22cos 422cos 22cos()33PA PC ππθθ⋅=⨯⨯+−⨯⨯−⨯⨯− 64cos 4(coscos sinsin )6)333πππθθθθ=−−+=−+[0,]3πθ∈，∴当6πθ=时，min ()6PA PC ⋅=−【解析】本题考查平面向量和三角函数的综合应用，属于拔高题.(1)利用平面向量的线性运算求得25BF BD =，即可求证三点共线；(2)求出||BD 、||AE 和AE BD ⋅，由夹角公式即可求解;(3)设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，求出6)3PA PC πθ⋅=−+，利用三角函数的性质即可求解.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围． 【答案】解：(1)由22(1cos )(1cos )cos cos 222222C B b C c B b c b C c B bsincsin −−+++=+=− 22222212222222b c a b c a c b b c a b c aa a⎛⎫++−+−++−=−+=−= ⎪⎝⎭， 所以322()b c a bcb c a +−=++，可得22()3b c a bc +−=， 则222b c a bc +−=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−===，又(0,)A π∈，解得3A π=；(2)由正弦定理得21sin ()cos sin sin sin 23222sin sin sin C C C A B m C C Cπ+−+++===2cos )1111222sin 22222sin cos 2sin2tan 2222C C C C C C C C +=+=+=+=+，因为c a >，所以3C π>，又23B C π+=，所以233C ππ<<，所以623C ππ<<tan 2C<<1tan2C<<， 所以12m <<，则a bm c+=的取值范围为(1,2).【解析】本题，考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围问题，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.(1)利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；(2)根据正弦定理及三角恒等变换将a b m c +=可化为122tan 2m C =+，结合233C ππ<<即可求出m 的取值范围. 11.(本小题12分)对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅= 【答案】(Ⅰ)解：对于①，设120k k αβ+=，则可得1220k k +=，所以,αβ线性相关； 对于②，设1230k k k αβγ++=，则可得{12312312325020240k k k k k k k k k ++=++=++=，所以1220k k +=，30k =，所以,,αβγ线性相关；对于③，设12340k k k k αβγδ+++=，则可得{124134234000k k k k k k k k k ++=++=++=，解得123412k k k k ===−，所以,,,αβγδ线性相关；(Ⅱ)解：设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，因为向量α，β，γ线性无关，所以{131223000k k k k k k +=+=+=，解得1230k k k ===， 所以向量αβ+，βγ+，αγ+线性无关，(Ⅲ)证明：(ⅰ1122)0m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，则112211110i i i i m m k k k k k ααααα−−+++++++⋅⋅⋅+=，因为任意1m −个都线性无关，所以1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0， 所以这些系数1k ，2k ，⋅⋅⋅，m k 或者全为零，或者全不为零，(ⅱ)因为10l ≠，所以1l ，2l ，⋅⋅⋅，m l 全不为零，所以由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l l l l ααα=−−⋅⋅⋅−，代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=可得2122211()0m m m m l l k k k l l αααα−−⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅+=，所以2122111()()0m m m l l k k k k l l αα−++⋅⋅⋅+−+=， 所以21210l k k l −+=，⋯，110m m l k k l −+=，所以1212.m mk k k l l l ==⋅⋅⋅= 【解析】本题主要考查平面向量的综合运用，新定义概念的理解与应用等知识，属于较难题． (Ⅰ)根据定义逐一判断即可；(Ⅱ)设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，然后由条件得到1230k k k ===即可；(Ⅲ)(ⅰ)如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，然后证明1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0即可；(ⅱ)由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l ll l ααα=−−⋅⋅⋅−，然后代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=证明即可．12.(本小题12分)已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQQ 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由；(2)用n t 表示1.n t +【答案】解：(1)该同学的结论正确，证明如下：由已知，得||3AB =，||3OB =，||2OA =，由余弦定理知222||||||2cos 32||||2OB AB OA ABO OB AB+−∠===， 又111||||3AP t b a t =−=，则111||||||33BP AB AP t =−=−，11112||||cos )(1)||3BQ BP ABO t t b ∴=⋅∠=−=−， 即112(1)3BQ tb =−−⋅；(2)由已知1cos ||||2a b AOB a b ⋅∠===⋅⨯，||||3OB AB ==，cos BAO ∴∠=1||||cos (2||)n n nAP AR BAO OR +∴=⋅∠=−|cosn OQ AOB =⋅∠1||)6n BQ =−⋅1||cos 66n BP ABO =+⋅∠1||)69n AP =+⋅ 1||9n AP =⋅， 即151||3||189n n t b at b a +−=−−1n +=， 115.918n n t t +∴=−+【解析】本题考查了向量的数量积、向量的夹角，涉及余弦定理及数列的递推关系，属于较难题. (1)由余弦定理结合向量条件求出cos ABO ∠即可证得．(2)由向量的夹角先求出cos AOB ∠，再求出151||3||189n n AP AP +=−⋅，即可解答.13.(本小题12分)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CACB x DA DB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD(1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD 的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A【答案】解：(1)由题意，在AOC ，AOD ，BOC ，BOD 中，1sin sin 21sin sin 2AOC BOC OA OC AOCS CA OA AOCCB S OB BOCOB OC BOC ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2AOD BOD OA OD AODS DA OA AODDB S OB BODOB OD BOD ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠，则sin sin sin sin ()sin sin sin sin OA AOC OB BOD AOC BODCB ABCD DA OB BOC OA AOD BOC AOD DB⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠①又，在EOG ，EOH ，FOG ，FOH 中，1sin sin 21sin sin 2EOG FOG OE OG EOGS GE OE EOGGF S OF FOGOF OG FOG ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2EOH FOH OE OH EOHS HE OE EOHHF S OF FOHOF OH FOH ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 则sin sin sin sin ()sin sin sin sin GEOE EOG OF FOH EOG FOHGF EFGH HE OF FOG OE EOH FOG EOH HF⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠②，又EOG AOC ∠=∠，FOH BOD ∠=∠，FOG BOC ∠=∠，EOH AOD ∠=∠，由①②可得，sin sin sin sin sin sin sin sin AOC BOD EOG FOHBOC AOD FOG EOH∠⋅∠∠⋅∠=∠⋅∠∠⋅∠，即()()EFGH ABCD =(2)由题意3()2EFGH =，由(1)可知，3()2ABCD =，则32CACB DA DB =，即3.2CA DB CB DA =，又点B 为线段AD 的中点，即12DB DA =， 故3CACB=，又3AC =，则2AB =，1BC =， 设OA x =，OC y =，且OB =，由ABO CBO π∠=−∠可知，coscos 0ABO CBO ∠+∠=， 2222220=，解得22215x y +=③，又在AOB 中，利用正弦定理可知，sin sin AB xAOB ABO =∠∠④，在BOC 中，利用正弦定理可知，sin sin OByBCO CBO=∠∠⑤，且sin sin ABO CBO ∠=∠，则④⑤可得，sin 3sin 2x AB BCOy AOB OB ∠=⋅==∠，即x =⑥， 由③⑥解得，3x=，y =，即3OA =，OC =，则222222325cos .22326OA AB OB A OA AB +−+−===⋅⨯⨯【解析】本题考查新定义问题，正，余弦定理的综合应用，三角形面积公式，属于较难题.(1)由题意，结合新定义可得sin sin ()sin sin CAAOC BODCB ABCD DA BOC AOD DB∠⋅∠==∠⋅∠①，同理sin sin ()sin sin EOG FOHGF EFGH HE FOG EOH HF∠⋅∠==∠⋅∠②，再利用角相等，即可证明；(2)结合(1)中的结论，利用正余弦定理，逐步分析求解即可. 14.(本小题12分)如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O(1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S 的取值范围． 【答案】解：(1)依题意，因为2BD DC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+，因为G 、O 、C 三点共线所以存在实数m 使得GO mOC =，所以111m AO AC AG m m=+++， 因为32AG GB =，所以11211115m m AO AC AG AC AB m m m m =+=+⨯++++， 又因为AO t AD =，所以22135(1)31mt t m m ⎧==⎨++⎩，解得：12t =，15m =综上所述，1.2t =(2)证明：()i 根据题意(1)AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+，同理可得：(1)AC AF μ=+，由(1)可知，111236AO AD AB AC ==+，所以1136AO AE AF λμ++=+， 因为E ，O ，F 三点共线，所以存在实数n ，使得EO nEF =所以(1)AO n AE nAF =−+ 所以11136n n λμ++⎧−==⎨⎩， 化简得23λμ+=， 又因为0λ>，0μ>所以21129(2)()2228λμλμλμ+==，当且仅当322λμ==，即34λ=，32μ=时等号成立. ()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以2111(1)||(1)||sin ||||sin 22(1)(1)11||||sin 2AE AF BAC AE AF BAC S S AE AF BAC λμλμ++∠−∠==++−∠， 由()i 可知23λμ+=，则320μλ=−>，所以302λ<<，所以2221172232()22S S λλλ=−++=−−+，易知，当12λ=时，21S S 有最大值7.2则2137(,].22S S ∈ 【解析】本题主要考查平面向量的基本定理，考查三角形的面积，考查二次函数的最值，利用基本不等式求最值，属于较难题.(1)由题知2133AD AB AC =+，12115m AO AC AB m m =+⨯++，根据AO t AD =，化简即可；(2)()i 根据题意(1)AB AE λ=+，(1)AC AF μ=+，根据E ，O ，F 三点共线，存在实数n ，使得EO nEF =，有(1)AO n AE nAF =−+，化简可得23λμ+=，利用基本不等式即可得解；()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以221172()22S S λ=−−+，利用二次函数的最值即可得解. 15.(本小题12分)如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值． 【答案】解：(1)由题知，22OA e =，122OB e e =−，则22121222(2)424cos6020;OAOB e e e e e e ︒⋅=⋅−=⋅−=−=(2)①由题知，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，由(1)知OA OB ⊥，又||2OA =，212||(2)4OB e e =−==则ABC 面积为1322ABCS=⨯⨯=②由①知，2,1OC OA OB =−−=<−−>，则2,3BA OA OB =−=<−>，4,0BC OC OB =−=<−>，2,3AC OC OA =−=<−−>，则212||(23)4BA e e =−+==||4BC =，212||(23)4AC e e =−−=设AB c =，AC b =，BC a =， 则由11tan tan tan mA B C+=，结合正弦、余弦定理化简得： 11sin cos cos tan ()()tan tan cos sin sin C A Bm C A B C A B=+=+ sin cos sin cos sin sin sin()cos sin sin cos sin sin C A B B A C A B C A B C A B ++=⋅=⋅ 22222sin 12sin sin cos C c ab A B C ab a b c =⋅=⋅+− 22222271161972c a b c ⨯===+−+−， 故1.2m =【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式和向量的数量积，属于较难题.(1)先得出OA =⟨0,2⟩22e =，OB =⟨2,1−⟩122e e =−，由向量的数量积计算可得结果；(2)①OA =⟨0,2⟩，OB =⟨2,1−⟩，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，计算面积即可；②易得11()tan tan tan m C A B=+⋅，由三角恒等变换和余弦定理化简可得结果. 16.(本小题12分)法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形；(2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．【答案】解：(1)如图，连接 1AO ， 3AO ，则13AO =，33AO =， 133O AO A π∠=+在 13O AO 中，由余弦定理得： 222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+−⋅⋅∠ ， 即22222132cos 32cos 33333b c bc A b c bc O O A ππ⎛⎫+−+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−⋅⋅+= ⎪⎝⎭2212cos 23b c bc A A ⎛⎫+−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222sin 2sin 363b c a b c Aa b c A+−+−+++==+ 同理可得222212sin 6a b c O O B ++= ，sin sin a bA B= ， sin sin a B b A ∴= ， 1213O O O O ∴= .同理： 1223O O O O = ，即 123O O O为等边三角形.12322213cos sin (2)sin 4432O O O b c bc A A m SO O bc A +−+=⨯=⨯=)()21sin cos sin b c m A A A c bϕ∴+−+=+，(其中sin ϕ=，cos ϕ=，22b c b c c b cb+⨯= ， )max21sin cos m A A ⎤−+=⎦， 12 ，解得： 1m当且仅当 3A π=， b c = 时 m 取到最小值1.【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，考查三角形的面积公式，属于难题.(1)连接 1AO ， 3AO ，在 13O AO 中，由余弦定理可求出 13O O，同理可得 12O O ，再结合正弦定理即可证明 1213O O O O = ，同理可得 1223OO O O = ；(2)由 123O O O ABCSmS= 化简可得 ()sin b c A c b ϕ+=+ ，再由基本不等式求出 b c c b+ 的最小值，即可求出m 的最小值.。

1第01讲向量与解三角形·知识必备1. 平面向量的基本概念（1）定义：既有的方向，又有大小的量；表示：a r或AB u u u r ． （2）零向量：大小为0，方向任意． （3）单位向量：大小为1的向量．2. 向量的坐标表示（1）(),x y =a ：把有序数对(),x y 叫做向量a 的坐标，记作(),x y =a ，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．（2）(),OA x y =u u u r ：向量OA u u u r 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标，即若(),OA x y =u u u r，则A 点坐标为(,)x y ． （3）()2121,AB x x y y =−−：已知()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =−−，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．3. 向量的模长表示：22x y =+a ；()()221212AB x x y y =−+−u u u r（两点间的距离公式）．4. 向量的加法法则与减法法则：（1）加法法则：三角形法则；平行四边形法则和：首尾顺次相接，首是首，尾是尾； 共起点，补平行四边形，和指对角线．即AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r．即AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ．（2）减法法则：三角形法则． 差：共起点，连终点，指被减，即AC AB BC −=u u u r u u u r u u u r．AADCBA拓展：中点的向量表示：点O 是BC 点的中点，则()12AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r．重心的向量表示：若G 是ABC △的重心，则有GA GB GC ++=0． 5. 向量的共线（平行）定理（1）若λ=b a ，则∥a b ．（2）若∥a b ，且≠0a ，那么，存在唯一一个实数λ，使λ=b a ．（3）设向量()11,x y =a ，()22,x y =b ，则a 与b 共线当且仅当12210x y x y −=． 其中，相等向量：大小相等，方向相同； 相反向量：大小相等，方向相反．且()11,x y =a ，()22,x y =b 相等的等价条件是12x x =，12y y =． 6. 向量的基本定理（分解定理）（1）如果1e ，2e 是一平面内的两个不平行的向量，则存在唯一的一对实数1a ，2a ，使得该平面内的任一向量a ，有1122a a =a e +e ．（2）基底：两个不平行的向量称为基底，基底可以表示任意一个向量． 7. 三点共线的条件：（1）已知O 为平面内任意一点，若A 、B 、C 三点共线，则存在实数λ，μ且1λμ+=，使OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ．（2）已知O 为平面内任意一点，若存在实数λ，μ且1λμ+=，使OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则A 、B 、C 三点共线．8. 平面向量数量积的定义（1）平面向量数量积的定义：cos ,⋅=a b a b a b ．（2）向量的投影：cos ,a a b 为向量a 在b 方向上的正投影（简称投影），cos ,b a b 为向量b 在a 方向上的正投影．投影可以为正，可以为负，可以为零．9. 向量的夹角：OA =u u u r a ，OB =u u u rb ，则AOB θ∠=()0πθ≤≤叫做向量a 与b 的夹角记作,a b ．（1）当0θ=时，a 与b 同向（共线）． （2）当πθ=时，a 与b 反向（共线）．（3）当π2θ=时，称a 与b 垂直，记作⊥a b ．（4）规定：零向量与任意向量垂直．OD CBACBA310. 平面向量数量积的坐标表示设向量a =()11,x y ，b =()22,x y ，,θ=a b ，则：（1）12x x y y ⋅=+a b ．（2）===a ==b（3）cos x θ==ba b ； （4）a b ⊥当且仅当12120x x y y ⋅=+=a b ．11. 求数量积的方法（1）极化恒等式：①模长形式：()()2214⎡⎤⋅=+−−⎣⎦a b a b a b ；②几何形式：222214AB AC AD BC AD BD ⋅=−=−u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；③适用条件：已知中线，或者构造中线．（2）基底法：①基底：不共线的两个向量称为基底（题目中一般给定长度的向量），基底可以表示任意一个向量； ②适用条件：一般给定向量的模长，以给定模长的向量的为基底，在三角形中找到所有求边，利用三角形法则转化表示所求向量． （3）建系运算：①适用条件：给定模长和角度，即可建系写出坐标；②注意：建系时可求坐标，写准坐标，建系时尽量让点在坐标轴上面．正、余弦定理．（1）正弦定理： ①2sin sin sin a b cR A B C===（R 为外接圆半径）． ②拓展：1）2sin a R A =；2sin b R B =；2sin c R C =． 2）::sin :sin :sin a b c A B C =． 3）2sin sin sin sin a b c aRA B C A ++==++．4）适用条件：两边及一边对角；两角一边．(角的个数不少于边的个数)5）思想：边化角，角化边（等式两边，分式中分子、分母边都是边一次时可以边化角）．DCB（2）余弦定理：①2222cos c a b ab C =+− 222cos 2a b c C ab +−=．②2222cos b a c ac B =+− 222cos 2a c b B ac +−=．③2222cos a b c bc A =+−222cos 2b c a A bc+−=．④变形：2222cos a b c ab C +−=；（补全）⑤适用条件：一边及对角；两边一角；三边．（3）射影定理：cos cos a b C c B =+；cos cos b a C c A =+；（补全） 面积公式．①111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===；②4abc S R =；③海伦公式：S =（2a b cp ++=）；④适用条件：用已知角的面积公式． （五）三角形中的诱导公式．①()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=−；()tan tan A B C +=−． ②适用条件：已知角表示未知角。

第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【学习目标】1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型【基础知识】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1．定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2．坐标法第一步: 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3．基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4．几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：()22222==+=+⋅+（1）C2AC A a b a a b b()22222==-=-⋅+（2）DB DB a b a a b b2（1）（2）两式相加得：2．极化恒等式： 上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式 （1）平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。

（2）三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点）AB CM知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。

解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.【考点剖析】考点一：定义法例1．若ABC 中，2AB =，其重心G 满足条件：0BG AG ⋅=，则()22+CA CB AB BC ⋅取值范围为（） A ．()80,160-B ．()80,40-C ．()40,80-D ．()160,80-考点二：坐标法例2．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，点E 为边AB 的中点，点F 为边BC 上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．[]3,4D ．[]1,4考点三：基底法例3．如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．2,2⎡⎣C ．[]2,2-D ．22⎡⎢⎣⎦考点四：几何意义法例4．在ABC 中，3AB =，4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12考点五：极化恒等式例5．已知圆C 的半径为2，点A 满足4AC =，E ，F 分别是C 上两个动点，且23EF =则AE AF⋅的取值范围是（）A ．[6，24]B ．[4，22]C ．[6，22]D ．[4，24]【真题演练】1．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-2．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-3．已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ） A ．2-12+1⎤⎦，B ．2-12+2⎡⎤⎣⎦，C ．12+1⎡⎤⎣⎦，D ．12+2⎡⎤⎣⎦，4．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3 5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-6．已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+，则·PB PC 的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．217．已知向量,a b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______． 8．设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． 9．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=, 则||b 的取值范围是___________.10．如图，已知点O （0,0）,A （1,0）,B （0,−1）,P 是曲线y OP BA ⋅的取值范围是______.11．在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为_____________________. 12．已知向量12a b a b ==，，||，||，若对任意单位向量e ，均有6a e b e ⋅+⋅≤||||,则a b ⋅的最大值是． 13．已知平面向量a ，b ，||1,||2,1a b a b ==⋅=．若e 为平面单位向量，则||||a e b e ⋅+⋅的最大值是______．【过关检测】1．在ABCD 中，2,1,60AB BC DAB ==∠=︒，若E 为ABCD 内一动点（含边界），则AE BC ⋅的最大值是（）A ．1B ．2CD ．22．已知点P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=（）A ．最大值为6B ．为定值6C ．最小值为3D ．为定值33．已为向量a ､b 的夹角为3π，||2||2b a ==，向量c xa yb =+且x ，[1,2]y ∈.则向量a ､c 夹角的余弦值的最大值为（）A B C 4．已知正方形ABCD 的边长为2，M 为正方形ABCD 的内部或边界上任一点，则MC MD ⋅的最大值是（）. A ．1B ．2C ．3D ．45．在△ABC 中，3cos 4A =，O 为△ABC 的内心，若(),R AO xAB yAC x y =+∈，则x ＋y 的最大值为（）A ．23B 6．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点A 为圆心的单位圆上．若(),R AP AB AD λμλμ=+∈，则λμ+的最大值为（）A ．3B D ．2 7．已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若()()0a c b c -⋅-=，并且c a b λμ=+，那么λμ+的最大值为（）A ．2B ．D ．32 8．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅=，则c 的最小值为（） A ．2B ．4C D ．17 9．已知P 是等边三角形ABC 所在平面内一点，且AB =1BP =，则AP CP ⋅的最小值是（） A．1BC ．210．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，且AOB 120∠=，则CB CA 的最小值为（） A ．4-B ．2-C ．0D ．211．飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．在四边形ABCO 中，OA OC ⊥，4OA OC ==，AC BC ⊥，AC BC =，点P 是八边形ABCDEFGH 内（不含边界）一点，则OA AP ⋅的取值范围是（）A ．(16,48)-B ．(48,16)-C ．(-D ．(-12．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =-时，y 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【学习目标】1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型【基础知识】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1．定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2．坐标法第一步: 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3．基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4．几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：()22222==+=+⋅+（1）AC A a b a a b bC2()22222==-=-⋅+（2）2DB DB a b a a b b（1）（2）两式相加得：2．极化恒等式： 上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式 （1）平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。

必修四 第二章 平面向量知识点归纳一. 向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a＝0 ⇔｜a｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba=大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C（1）a a a=+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC C D PQ Q R AR+++++= ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i ）)(a--=a； (ii)a+(a -)=(a -)+a=0 ；(iii)若a、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a加上b 的相反向量叫做a与b 的差，记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a、b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）aa⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa的方向与a的方向相同；当0<λ时，λa的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =aλ6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj=+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±±(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa=(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为θ，则a ·b=︱a︱·︱b︱cos θ叫做a与b的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b︱cos θ=||a b a ⋅ ∈R ，称为向量b 在a方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a ·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- ；()2222a ba ab b ±=±⋅+ 222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a bR λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅ ()c a b=⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅ 不能b c =⋅（3）a b ⋅=0不能a =0 或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a与b ，作O A =a, OB =b ,则∠AOB=θ（01800≤≤θ）叫做向量a与b的夹角cos θ=cos ,a ba b a b∙<>=∙当且仅当两个非零向量a与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b ⇔a·b ＝O ⇔02121=+y y x x必修五 第一章 解三角形知识点归纳1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

第六章章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π42．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 34．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD→＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.345．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( )A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.327．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac ＝( )A ．2 B.12 C ．3D.138．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( )A ．1B ．2C ．－2D ．－110．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12 C.12D.3211．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．3212．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( )A.233B.253C.263D.283二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sin A ，则△ABC 的面积为________．16．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值．19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC→的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．第六章章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.2．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 3解析：选C.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.由已知得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，因此λ＝23，故选B.5．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2，16) B ．(－2，－16) C ．(4，16)D ．(2，0)解析：选A.设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)．所以2AB →－3BC→＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，得2ac ·sin B ＝3ac ，得sin B ＝32，由正弦定理a sin A＝b sin B ，得b sin A a ＝sin B ＝32，故选D. 7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac＝( ) A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选A.因为sin 2B ＝2sin A sin C ，所以由正弦定理，得b 2＝2ac .又a >c ，cos B ＝14，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ×14＝2ac ，即2×⎝⎛⎭⎫a c 2－5×a c ＋2＝0，解得a c ＝2或12(舍去)，故选A.8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．直角梯形解析：选C.由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形，故选C.9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选C.AB →·AC →＝(AD →＋DB →)·(AD →＋DC →)＝(AD →＋DB →)·(AD →－DB →)＝AD →2－DB →2＝4－6＝－2.10．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选 B.由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．32解析：选A.设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋b ）＝18，65＋17＝2（a 2＋b 2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4. 所以cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35，所以sin ∠BAD ＝45，S ＝4×5×45＝16.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263D.283解析：选B.由3a cos C ＝4c sin A 得a sin A ＝4c 3cos C ，又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c3cos C ⇒tan C＝34，由S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4⇒c sin A ＝5，由tan C ＝34⇒sin C ＝35，又根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253.故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )＝t a ＋2t b ，又向量a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，所以⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：1214．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________． 解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sin A ，则△ABC的面积为________．解析：因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a . 又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4. 所以a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.答案：23316．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．解析：示意图如图，设塔高x 米，则BC ＝x 米，BD ＝3x 米(x >0)．因为CD ＝100米，∠BCD ＝80°＋40°＝120°，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，所以3x 2＝x 2＋1002－2×100×x ×⎝⎛⎭⎫－12， 所以2x 2－100x －10 000＝0.所以x 2－50x －5 000＝0.所以x ＝100或x ＝－50(舍去)．答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .解：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d 时，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． 所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. 所以15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， 所以k ＝－2914.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值． 解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)因为S △ABC ＝4＝12×2c ×45，所以c ＝5，所以b ＝4＋25－2×2×5×35＝17.19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x ，5－y )．因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°. (1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)因为c ＝2，C ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a sin A ＝b sin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝csin C ＝2sin 60°＝433，所以a ＋b sin A ＋sin B＝433.(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab .因为a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)． 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解：(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ， 所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4.在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6， 所以AD ＝ 6.(2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE＝12AB ·AE ·sin ∠BAE12AC ·AE ·sin ∠CAE ＝AB AC ＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC，所以BEEC ＝2，所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝S △ACD －S △ACE ＝12×DC ×AC ×sin C －12EC ×AC ×sin C ＝12×DE ×AC ×sin C ＝156.。

第7讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析] 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点,利用三角恒等变换作为工具,将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.2.单独考查可出现在选择题、填空题中,综合考查以解答题为主,中等难度． 考点一 三角恒等变换 核心提炼1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换,1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α,α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos2α－8cos α＝5,则sin α等于( ) A.53 B.23C.13D.59答案 A解析 由3cos2α－8cos α＝5, 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5, 即3cos 2α－4cos α－4＝0,解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0,π),所以sin α>0, 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. (2)已知sin α＝55,sin(α－β)＝－1010,α,β均为锐角,则β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 C解析 因为α,β均为锐角,所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010,所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55,所以cos α＝255, 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解． 跟踪演练1 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,tan α＝cos2β1－sin2β,则( )A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos2β1－sin2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β ＝cos β＋sin βcos β－sin βcos β－sin β2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β, 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以α＝π4＋β,即α－β＝π4.(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°＝________.答案 －2 解析(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°＝sin －50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.考点二 正弦定理、余弦定理 核心提炼1．正弦定理：在△ABC 中,a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sinA ,b ＝2R sinB ,c ＝2R sinC ,sin A ＝a 2R ,sin B ＝b 2R ,sin C ＝c2R,a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .考向1 求解三角形中的角、边例2 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin C1－cos A＝3c .(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝10,△ABC 的面积S △ABC ＝43,求a 的值．解 (1)由正弦定理及a sin C1－cos A＝3c ,得sin A sin C1－cos A＝3sin C ,∵sin C ≠0,∴sin A ＝3(1－cos A ),∴sin A ＋3cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32,又0<A <π,∴π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝43,∴bc ＝16.由余弦定理,得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－2bc －bc ＝(b ＋c )2－3bc ,又b ＋c ＝10,∴a 2＝102－3×16＝52,∴a ＝213.考向2 求解三角形中的最值与范围问题例 3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a ＝3c sin A －a cos C ,②(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．已知△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,c ＝3,而且________． (1)求角C ；(2)求△ABC 周长的最大值．解 (1)选①：因为a ＝3c sin A －a cos C , 所以sin A ＝3sin C sin A －sin A cos C , 因为sin A ≠0,所以3sin C －cos C ＝1,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝12,因为0<C <π,所以－π6<C －π6<5π6,所以C －π6＝π6,即C ＝π3.选②：因为(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C , 所以(2a －b )a ＋(2b －a )b ＝2c 2, 即a 2＋b 2－c 2＝ab ,所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12,因为0<C <π,所以C ＝π3.(2)由(1)可知,C ＝π3,在△ABC 中,由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝3,即a 2＋b 2－ab ＝3,所以(a ＋b )2－3＝3ab ≤3a ＋b24,所以a ＋b ≤23,当且仅当a ＝b 时等号成立, 所以a ＋b ＋c ≤33,即△ABC 周长的最大值为3 3.规律方法 (1)利用余弦定理求边,一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边,必须知道两角及其中一边,且该边为其中一角的对边,要注意解的多样性与合理性． (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围．跟踪演练2 (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为S ,且a ＝1,4S＝b 2＋c 2－1,则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4πB．2πC．πD.π2答案 D解析 由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,a ＝1, 所以b 2＋c 2－1＝2bc cos A , 又S ＝12bc sin A,4S ＝b 2＋c 2－1,所以4×12bc sin A ＝2bc cos A ,即sin A ＝cos A ,所以A ＝π4,由正弦定理得,1sinπ4＝2R ,得R ＝22,所以△ABC 外接圆的面积为π2. (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若A ＝3B ,则a b的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,1] D ．(1,2] 答案 B 解析A ＝3B ⇒sin A sin B ＝sin3B sin B ＝sin 2B ＋Bsin B＝sin2B cos B ＋cos2B sin Bsin B＝2sin B cos 2B ＋cos2B sin B sin B ＝2cos 2B ＋cos2B ＝2cos2B ＋1,即a b ＝sin A sin B＝2cos2B ＋1,又A ＋B ∈(0,π),即4B ∈(0,π)⇒2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2⇒cos2B ∈(0,1),∴a b ∈(1,3)．(3)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若tan C ＝125,a ＝b ＝13,BC 边上的中点为D ,则sin∠BAC ＝________,AD ＝________.答案31313 352解析 因为tan C ＝125,所以sin C ＝1213,cos C ＝513,又a ＝b ＝13,所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝13＋13－2×13×13×513＝16,所以c ＝4.由asin∠BAC ＝c sin C ,得13sin∠BAC ＝41213,解得sin∠BAC ＝31313.因为BC 边上的中点为D ,所以CD ＝a2,所以在△ACD 中,AD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos C ＝454,所以AD ＝352.专题强化练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中,cos C ＝23,AC ＝4,BC ＝3,则cos B 等于( )A.19B.13C.12D.23 答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9,所以AB ＝3,所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( )A.12B.33C.23D.22 答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 3．在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C 1－cos2C ＝1,B ＝π6,则a 的值为( ) A.3－1 B ．23＋2 C ．23－2 D.2＋ 6答案 D解析 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C1－cos2C ＝1,所以2sin C cos C 2sin 2C ＝1,所以tan C ＝1,C ＝π4. 因为B ＝π6,所以A ＝π－B －C ＝7π12,所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.由正弦定理可得a2＋64＝2sinπ6,则a ＝2＋ 6.4．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ,c ＝7,且△ABC 的面积为332,则△ABC 的周长为( )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7答案 D解析 在△ABC 中,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C , 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C , 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ,∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0,∴cos C ＝12,∴C ＝π3,由余弦定理可得,a 2＋b 2－c 2＝ab , 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7,又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332,∴ab ＝6,∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25,即a ＋b ＝5, ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 5．若α,β都是锐角,且cos α＝55,sin(α＋β)＝35,则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析 因为α,β都是锐角,且cos α＝55<12, 所以π3<α<π2,又sin(α＋β)＝35,而12<35<22,所以3π4<α＋β<5π6,所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45,又sin α＝1－cos 2α＝255,所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝2525.6．在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若A ＝120°,a ＝1,则2b ＋3c 的最大值为( ) A ．3B.2213C ．32D.352答案 B解析 因为A ＝120°,a ＝1,所以由正弦定理可得bsin B＝csin C ＝a sin A ＝1sin120°＝233, 所以b ＝233sin B ,c ＝233sin C ,故2b ＋3c ＝433sin B ＋23sin C＝433sin ()60°－C ＋23sin C ＝433sin C ＋2cos C ＝2213sin(C ＋φ)． 其中sin φ＝217,cos φ＝277, 所以2b ＋3c 的最大值为2213.二、多项选择题7．(2020·临沂模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b ＝23,c ＝3,A ＋3C ＝π,则下列结论正确的是( ) A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝ 2答案 AD解析 因为A ＋3C ＝π,A ＋B ＋C ＝π,所以B ＝2C .由正弦定理b sin B ＝c sin C ,得23sin2C ＝3sin C,即232sin C cos C ＝3sin C ,所以cos C ＝33,故A 正确；因为cos C ＝33,所以sin C ＝63,所以sin B ＝sin2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223,故B 错误；因为cos B ＝cos2C ＝2cos 2C －1＝－13,所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×63＝69,则cos A ＝539,所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1,所以a ＝1,故C 错误；S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×69＝2,故D 正确． 8．已知0<θ<π4,若sin2θ＝m ,cos2θ＝n 且m ≠n ,则下列选项中与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ恒相等的有( ) A.n1＋m B.m 1＋n C.1－n m D.1－mn答案 AD解析 ∵sin2θ＝m ,cos2θ＝n , ∴m 2＋n 2＝1,∴1－m n ＝n 1＋m,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos θ－sin θcos θ－sin θcos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1－sin2θcos2θ＝1－m n ＝n1＋m.三、填空题9．(2020·保定模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝________.答案 －56解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12,即1＋tan α1－tan α＝12,解得tan α＝－13,所以sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 10．在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且b ＋a sin C ＝2a sin B －c sin B －sin A,则A ＝________.答案π4解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ,得b ＋ac ＝2a sin B －cb －a, 整理得b 2－a 2＝2ac sin B －c 2, 即b 2＋c 2－a 2＝2ac sin B ＝2bc sin A , 由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A , ∴2bc cos A ＝2bc sin A ,即cos A ＝sin A , ∴tan A ＝1,∴A ＝π4.11．(2020·全国Ⅰ)如图,在三棱锥P －ABC 的平面展开图中,AC ＝1,AB ＝AD ＝3,AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE ＝30°,则cos∠FCB ＝________.答案 －14解析 在△ABD 中,∵AB ⊥AD ,AB ＝AD ＝3,∴BD ＝6,∴FB ＝BD ＝ 6. 在△ACE 中,∵AE ＝AD ＝3,AC ＝1,∠CAE ＝30°, ∴EC ＝32＋12－2×3×1×cos30°＝1,∴CF ＝CE ＝1.又∵BC ＝AC 2＋AB 2＝12＋32＝2,∴在△FCB 中,由余弦定理得cos∠FCB ＝CF 2＋BC 2－FB 22×CF ×BC ＝12＋22－622×1×2＝－14. 12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中,设角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,记△ABC 的面积为S ,且4a 2＝b 2＋2c 2,则Sa 2的最大值为________．答案 106解析 由题意知,4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 整理,得2ac cos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3c 2－a 22ac ,因为⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ac sin B a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin B2a 2＝c 21－cos 2B4a 2,代入cos B ＝3c 2－a 22ac ,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫9×c 4a 4－22×c2a 2＋9,令t ＝c 2a 2,则⎝ ⎛⎭⎪⎫Sa 22＝－116(9t 2－22t ＋9)＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －1132＋1036,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22≤1036,所以Sa 2≤106,故S a 2的最大值为106.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)△ABC 中,sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C .(1)求A ；(2)若BC ＝3,求△ABC 周长的最大值．解 (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．②由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π,所以A ＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23,从而AC ＝23sin B ,AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 又0<B <π3, 所以当B ＝π6时,△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 14．(2020·重庆模拟)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A )．(1)求角C ；(2)若c ＝210,D 为BC 的中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S ＝4且B >A ；条件②：cos B ＝255. 解 (1)在△ABC 中,由余弦定理知, b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,所以2b 2＝2bc cos A (1－tan A ),所以b ＝c (cos A －sin A ),又由正弦定理知,b c ＝sin B sin C, 得sin B ＝sin C (cos A －sin A ),所以sin(A ＋C )＝sin C (cos A －sin A ),即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A －sin C sin A ,所以sin A cos C ＝－sin C sin A ,因为sin A ≠0,所以cos C ＝－sin C ,所以tan C ＝－1,又因为0<C <π,所以C ＝3π4. (2)选择条件②,cos B ＝255, 因为cos B ＝255,且0<B <π,所以sin B ＝55, 因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22×255＝1010,由正弦定理知c sin C ＝asin A ,所以a ＝c sin A sin C ＝210×101022＝22,在△ABD 中,由余弦定理知 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝(210)2＋(2)2－2×210×2×255＝26,所以AD ＝26.。