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三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形问题中经常用到的重要工具。
在解三角形问题中，我们常常需要求解三角函数的值，而三角恒等变换则可以帮助我们将一个三角函数的值转换为其他三角函数的值，从而简化计算过程。
本文将介绍三角恒等变换的概念和常见的恒等变换公式，并结合实例讲解如何利用三角恒等变换解决实际问题。
一、三角恒等变换的概念三角恒等变换是指将一个三角函数的值转换为其他三角函数的值的变换过程。
在三角恒等变换中，我们利用三角函数的基本关系和性质，通过代数运算和恒等式的推导，将一个三角函数的表达式转换为其他三角函数的表达式。
三角恒等变换在解三角形问题中起到了重要的作用，可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
二、常见的三角恒等变换公式1. 正弦函数的恒等变换正弦函数的恒等变换公式如下：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsin(A + B)sin(A - B) = cos2B - cos2A这些恒等变换公式可以帮助我们将一个正弦函数的值转换为其他正弦函数的值，从而简化计算过程。
2. 余弦函数的恒等变换余弦函数的恒等变换公式如下：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBcos2A = cos^2A - sin^2Acos(A + B)cos(A - B) = cos2A - sin2B利用这些恒等变换公式，我们可以将一个余弦函数的值转换为其他余弦函数的值，从而简化计算过程。
3. 正切函数的恒等变换正切函数的恒等变换公式如下：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些恒等变换公式可以帮助我们将一个正切函数的值转换为其他正切函数的值，从而简化计算过程。
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。
通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。
本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。
1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。
根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。
2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。
根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。
3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。
举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。
根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。
第一部分 集合1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。
4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数⇔f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <；②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；⑵单调性的判定① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。
解三⾓形常⽤定理及公式正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同⼀个三⾓形中是恒量，R是此三⾓形外接圆的半径）。
变形公式（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的⼀种特殊情况。
变形公式cosC=(a2+b2-c2)/2abcosB=(a2+c2-b2)/2accosA=(c2+b2-a2)/2bc海伦-秦九韶公式p=(a+b+c)/2（公式⾥的p为半周长）假设有⼀个三⾓形，边长分别为a、b、c，三⾓形的⾯积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ⾼中数学基本不⽤。
已知三条中线求⾯积⽅法⼀：已知三条中线Ma,Mb,Mc，则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ；⽅法⼆：已知三边a，b，c ；则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ；解三⾓形知识点汇总1．正弦定理：在⼀个三⾓形中,各边和它的所对⾓的正弦的⽐相等.形式⼀：?(解三⾓形的重要⼯具)形式⼆： (边化正弦)形式三：（⽐的性质）形式四：（正弦化边）2.余弦定理：三⾓形任何⼀边的平⽅等于其他两边的平⽅的和减去这两边与它们夹⾓的余弦的积的两倍.形式⼀：形式⼆：?3．（1）两类正弦定理解三⾓形的问题：1、已知两⾓和任意⼀边，求其他的两边及⼀⾓.2、已知两⾓和其中⼀边的对⾓，求其他边⾓.（2）两类余弦定理解三⾓形的问题：1、已知三边求三⾓.2、已知两边和他们的夹⾓，求第三边和其他两⾓.4．判断三⾓解时，可以利⽤如下原理：5. 三⾓形⾯积公式：设?则在三⾓形中⼤边对⼤⾓，反之亦然.6. 判定三⾓形形状时，可利⽤正余弦定理实现边⾓转化，统⼀成边的形式或⾓的形式.7．解题中利⽤ABC?中ABC????，以及由此推得的⼀些基本关系式x进⾏三⾓变换的运算，如：8. 诱导公式和三⾓恒等变换在三⾓函数中总是最基础的.。
第一部分 集合1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．〔1〕含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2；〔2〕;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。
4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义〔斜率、距离、绝对值的意义等〕；⑧利用函数有界性〔xa 、x sin 、x cos 等〕；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 〔1〕复合函数定义域求法：① 假设f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出② 假设f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。
〔2〕复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4．分段函数：值域〔最值〕、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数⇔f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；⑸假设所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <；②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；⑵单调性的判定① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法〔见导数部分〕；③复合函数法；④图像法。
高考数学必考题型整理高考数学必考题型整理一1、三角函数、向量、解三角形(1)三角函数画图、性质、三角恒等变换、和与差公式。
(2)向量的工具性(平面向量背景)。
(3)正弦定理、余弦定理、解三角形背景。
(4)综合题、三角题一般用平面向量进行“包装”，讲究知识的交汇性，或将三角函数与解三角形有机融合，重视三角恒等变换下的性质探究，重视考查图形图像的变换。
2、概率与统计(1)古典概型。
(2)茎叶图。
(3)直方图。
(4)回归方程(2x2列联表)。
(5)(理)概率分布、期望、方差、排列组合。
概率题贴近生活、贴近实际，考查等可能性事件、互斥事件、独立事件的概率计算公式，难度不算很大3、立体几何(1)平行。
(2)垂直。
(3)角a:异面直线角 b:(理)二面角、线面角。
(4)利用三视图计算面积与体积。
(5)文理有一定的差别，理科相关题目既可以用传统的几何法，也可以建立空间直角坐标系，利用法向量等。
文科对立体几何的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明，表面积体积的计算,直线与平面所成角的计算。
理科对立体几何的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明，表面积体积的计算, 各类角的计算。
4、数列(1)等差数列、等比数列、递推数列是考查的热点，数列通项、数列前n项的和以及二者之间的关系。
(2)文理科的区别较大，理科多出现在压轴题位置的卷型，理科注重数学归纳法。
(3)错位相减法、裂项求和法。
(4)应用题。
5、圆锥曲线(椭圆)与圆(1)椭圆为主线，强调圆锥曲线与直线的位置关系，突出韦达定理或差值法。
(2)圆的方程，圆与直线的位置关系。
(3)注重椭圆与圆、椭圆与抛物线等的组合题。
6、函数、导数与不等式(1)函数是该题型的主体：三次函数，指数函数，对数函数及其复合函数。
(2)函数是考查的核心内容，与导数结合，基本题型是判断函数的单调性，求函数的最值(极值)，求曲线的切线方程，对参数取值范围、根的分布的探求，对参数的分类讨论以及代数推理等等。
高一年级下数学公式(总4页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高一下学期数学公式总结一、三角恒等变换sin()sin cos cos sin (2)sin()sin cos cos sin (3)cos()cos cos sin sin (4)cos()cos cos sin sin tan tan tan ta (5)tan() (6)tan()1ta (n tan 1)αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααβαβαβ+=+-=-+=--=++-+=-=-2222222n 1tan tan 1(7)sin 22sin cos sin cos sin 22(8)cos2cos sin 2cos 112sin 2tan (9)tan 21tan 1cos21cos2(10)cos sin 22(11)1sin 2(sin c βαβαααααααααααααααααααα+===-=-=-=-+-==+=+2222os ) 1sin2=(sin -cos )(12) tan45 = 1=sin cos (13) sin +cos )(cos a x b x x ααααααθθθ-︒++==其中二、解三角形（先画图，标已知未知）222222===2R ()sin sin sin ()111S sin sin sin 222()=2coscos 2AASa b c ASA A B C SSA ab C ac B bc ASAS a b c bc A SSS b c a A SSAbc ∆⎧⎪⎨⎪⎩===⎧+-⎪⎨+-=⎪⎩解三角形解三角形（唯一解）正弦定理：正弦唯一解两个，一个，无解三角形面积公式：唯一解余弦定理：余弦（唯一解）（两个，一个，无解）1.2.⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩边角互化定理作用判断三角形形状三、数列 （一）等差数列通项公式： ①1(1)n a a n d =+- ②()n m a a n m d =+-公差d 的计算：① 1=n n d a a +- ②=n ma a d n m -- 前n 项和公式：① 1()2n n a a n S += ②1(1)2n n n S na d -=+ ③21()22n d dS n a n =+-其他：①等差中项： 2A=x y + ②性质：若m+n=p+q,则+m n p q a a a a =+③ 若n a kn b =+，则{}n a 是等差数列，d=k ④前n 项和S n 最值110,010,011.:002.:00n n a d n n n a d n S a a a a a <>+><+⎧⎪⎧≤⎧⎪⎨⎪⎪≥⎨⎪⎩⎨⎪≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪≤⎩⎩⎩知二次函数最值问题负变正知正变负（二）等比数列 通项公式： ①11n n a a q -= ②n m n m a a q -=公比q 的计算：① +1=n n a q a ②=n m n maq a - 前n 项和公式： 11 1(1) 11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩其他：①等差中项： 2(0)G xy xy =>，同号 ②性质：若m+n=p+q,则m n p q a a a a ⋅=⋅（三）数列求和： 1. =n a 等差±等比 （分组求和） 2. =n a 等差×等比 （错位相减）3. 裂项相消 （1111111= =() (1)1(21)(21)22121n n a a n n n n n n n n =-=-++-+-+） 4. 公式法（四）求通项问题： 1.观察法 2.公式法（定义：11,n n n na a a d q a ++-==） 3. 累加法：1=()n n a a f n +- 4.累乘法：1()n na f n a += 5. 知S n 求通项a n ：111= 2n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩6 .构造法：若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+,{}1, n a m a m q p ++=数列是等比数列，首项公比四、平面向量11221212121211112221212 1. (,), (,)(,+) (,) (,)2(,),(,),( ,),(3. =a x y b x y a b x x y y a b x x y y a x y A x y B x y AB x x y y AB x a b λλλ==+=+-=--==--=-⋅已知.若则向量数量积的坐标运算：1212122112*********. 0 ( =5. 06. =(,) ,7. cos<,>=x x y y a b x yx y x y x y a b x x y y a x y a x y a b a b a bx +⇔-=⊥⇔+==+⋅=两向量平行的坐标关系： ∥或 )两向量垂直的坐标关系：向量的模：两向量的夹角：五、不等式1. 均值定理：（一正二定三相等） 如果+∈R b a ,，那么+2a b≥=a b 时，等号成立。
高考微点六 三角恒等变换与解三角形牢记概念公式，避免卡壳1.三角恒等变换的主要公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.正弦定理与余弦定理 (1)正弦定理①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . ③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径. (2)余弦定理①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .活用结论规律，快速抢分1.辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .2.在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sinB.3.△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 4.设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则 (1)若a 2＋b 2＝c 2，则C ＝π2；(2)若a 2＋b 2>c 2，则C <π2； (3)若a 2＋b 2<c 2，则C >π2.高效微点训练，完美升级1.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2－1＝( )A.13 B.－13 C.79D.－79解析 2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13. 答案 A2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为( )A.12 B.23 C.－12D.1解析 由题意得cos α＝12，sin α＝－32， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案 C3.已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2 B.1 C. 3D. 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D4.sin 10°1－3tan 10°＝( ) A.14 B.12 C.32 D.1解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14.答案 A5.在△ABC 中，三边长分别为a ，a ＋2，a ＋4，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为( ) A.154 3 B.154 C.214 3D.354 3解析 由条件知长为a 的边对应的角最小，设为A ，则由余弦定理，得cos A ＝（a ＋2）2＋（a ＋4）2－a 22（a ＋2）（a ＋4）＝1314，解得a ＝3或a ＝－2(舍去)，则三边长分别为3，5，7，且sin A ＝3314，所以△ABC 的面积S ＝12×5×7×3314＝1534. 答案 A6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＋sin C ＋ba ＋c＝1，则C＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋ba ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3，故选B. 答案 B7.已知3cos 2α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin 2α＝( )A.79 B.－79 C.19D.－19解析 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α).由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，故9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 答案 D8.在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC ＋3BC 的最大值为( ) A.7 B.27 C.37D.47解析 在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6， 则AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B ＝4， 则AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＋43sin A ＝2cos A ＋63sin A＝47sin(A ＋θ)(其中tan θ＝39). 所以AC ＋3BC 的最大值为47. 答案 D9.若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( ) A.1110 B.－1110 C.1D.－1解析 ∵点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心， ∴sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2.∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1. 答案 D10.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝____________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 答案 3211.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.解析 连接OC ，由题意知CD ＝150米，OD ＝100米，∠CDO ＝60°.在△COD 中，由余弦定理得OC 2＝CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°，即OC ＝507. 答案 50712.(多填题)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则sin θ＝________；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ·cos π4＋cos θsin π4＝35，cos θcos π4－sin θsin π4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－152，cos θ＝752，∴tan θ＝－17，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtanπ4＝－17－11－17×1＝－43.答案 －210 －4313.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B. ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×32＝334.。
失分警示]1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．3．忽视解的多种情况如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π，求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ，但解可能有多种情况．4．忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围． 5．忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．考点三角恒等变换典例示法 题型1 求角典例1 中山模拟]已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解答此类问题的关键是结合已知条件，求出相应角的三角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.题型2 求值典例2 安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．化简常用的方法技巧(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．考点正、余弦定理典例示法题型1应用正、余弦定理求边、角典例3淄博模拟]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C ＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果． 题型2 判断三角形的形状典例4 设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．题型3 求有关三角形的面积典例5 2014·浙江高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．考点正、余弦定理的实际应用典例示法典例6如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．1．解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2．解三角形应用题的一般步骤针对训练2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_______________________________________________ _________________________m.全国卷高考真题调研]1．全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－7253．2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．4．浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.5．2015·广东高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.6．2014·山东高考]设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．一、选择题1．合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.122．广西质检]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B.64 C.223 D.326。
向量知识点一、向量有关概念1、字母表示法：如a r 、AB u u u r； 2、几何表示法：用一条______________表示向量； 3、坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA u u u r的始点为坐标原点， 终点坐标为A （X ，Y ），则向量OA u u u r坐标记为（X ，Y ）四、两个向量的夹角1、定义：已知两个_______向量a r 与b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则AOB θ∠=叫做向量a r 与b r的夹角。
2、范围：00180θ≤≤，a r 与b r 同向时，夹角θ=_______；a r 与b r反向时，夹角θ=_______3、向量垂直：如果向量a r 与b r 的夹角是_______时，则a r 与b r垂直，记为_______五、平面向量基本定理及坐标表示1、定理：如果1e u r 、2e u u r是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，_______一对实数1λ、2λ，使a r=___________，其中，___________叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。
3、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与X 轴、Y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r作为基底，对于平面内的一个向量a r ，有且只有一对实数对X ，Y ，使a xi y j =+r r r，把有序实数对_______叫做向量a r 的坐标，记作a r =_______，其中_____叫做a r 在X 轴上的坐标，其中_____叫做a r 在Y 轴上的坐标。
即a xi y j =+r r ra r=（X ，Y ）六、平面向量的坐标运算：1、向量坐标求法：已知()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r，即一个向量的坐标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。
2、向量坐标加法、减法、数乘运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r加法：a r +b r =()1212,x x y y ++ 减法：a r -b r =()1212,x x y y -- 数乘： ()()1111,,a x y x y λλλλ==r3、平面向量共线与垂直的表示：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r，其中0b ≠r ，则a r 与b r 共线（或a b r r P ）111221220x y a b x y x y x y λλ⇔=⇔==⇔-=r r a r b ⊥⇔r 121200a b x x y y =⇔+=r r g七、平面向量数量积ABO1、已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为θ，把数量_______叫做a r 与b r 的数量积（或内积），记作a r 。
b r，即a r 。
b r=_______，并规定零向量与任一向量的数量积为_______注：两个非零向量a r 和b r的数量积是一个数量，不是向量，其值为两向量的模与它们夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定。
当)0,90θ⎡∈⎣0a b ⇔>r r g ； 当0900a b θ=⇔=r r g 当(0090,180θ⎤∈⎦0a b ⇔<r r g； 数量积是内积，用a b r r g表示，不能用a b ⨯r r 或ab r r表示 2、一向量在另一向量方向上投影定义： _______（_______）叫做a r 在b r 的方向上（b r 在a r 的方向上）的投影。
如图OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，过B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1cos OB b θ=rg1cos OB b θ=rg 叫做向量b r 在a r 的方向上当θ为锐角时，如图1，它是_______； 当θ为钝角时，如图2，它是_______；当θ为直角时，如图3，它是_______； 当θ=00时，它是_______； 当θ=0180时，它是_______；a b r r g 的几何意义：数量积a b r r g 等于a r 的长度a r与______________的乘积3、平面向量数量积的重要性质：设a r 、b r 都是非零向量，e r是与b r 方向相同的单位向量，θ是a r 与e r 的夹角，则 e r 。
a r = a r 。
e r =_______ 当a r 与b r 同向时，a b r r g =_______； 当a r 与b r 反向时，a b r rg =_______； 特别是a r 。
a r =22a a =r ra ==ra rb ⊥⇔r a b r r g =_______ |cos |a b a b θ=r r r rgg 4、平面向量数量积的运算律交换律：a r +b r =_______ 数乘结合律：()a b λ=r rg______________=______________ 分配律：（a r +b r ）c rg =______________ ()2222a ba ab b +=++r r r r r r g()()22a b a b a b-+=-r r r r r r g ()2222222a b c a b c a b a c b c ++=++++++r r rr r r r r r r r r g g g八、向量的应用：1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件1101B 图1图2图3a r 与b r 共线（或a b r r P ）111221220x ya b x y x y x y λλ⇔=⇔==⇔-=r r2、证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a r b ⊥⇔r 121200a b x x y y =⇔+=r rg3、求夹角的问题，利用夹角公式cos a ba b θ==r rg r r4、求线段的长度，可以利用向量的线性运算，向量的模若(),a x y =r ，则a ==r 若()()1122,,,A x y B x y ，则AB =u u u ra b ±==r r 5、如图所示，在ABC V 中，D 是BC 边上有中点（AD 是ABC V 的BC 边上中线），则有()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r三角函数恒等变换（一）基本公式：1、两角和与差的公式：①cos()αβ±= ；②sin()αβ±= ； ③tan()αβ±= 。
理解：①两角和与差的公式揭示“同名不同角的三角函数的运算规律”。
②对公式会正用、逆用、变形用．．．．．．．．．。
③善于对角按需要变形。
2、二倍角公式：①sin 2α= ；②cos2α= = = ；③tan 2α= 。
理解：二倍角公式揭示“具有倍数关系的两角的三角函数的运算规律”。
3、辅助角公式和万能公式：①辅助角公式：sin cos a b θθ+= ； （其中tan ϕ= ，ϕ所在的象限由点（ ）所在的象限所确定。
）4、了解以下公式：①半角公式：sin 2α=cos 2α=1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-===+②积化和差公式：1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--。
③和差化积公式：sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cos sin 22αβαβαβ+--=；cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-。
（二）、三角恒等变换是本章的主题和核心。
1、三角恒等变换的入手点：“角”、“名”、“形”。
其中角的变换尤应注意。
A BC D2、三角恒等变换的核心：角的变换和角的限定3、三角恒等变换的手段和方法：①角的配凑；如：2()(),()ααβαββαβα=++-=+-等等； ②降次与升次：升次公式：1cos2α+= ；1cos2α-= ；αsin 1+=_________________αsin 1-=______________ 降次公式：2cos α= ；2sin α= 。
③常值代换：特别是1的代换。
如：221sin cos tan cot 2sin 2cos 4463ππππαα=+====等等。
ααtan 1tan 1-+=________________ βαtan tan +=____________________解三角形1、内角和：ο180=++C B A ；οοοοοο1800,1800,1800<<<<<<C B A2、(1))(180C B A +-=ο；)(180C A B +-=ο；)(180B A C +-=ο； (2))sin(sin C B A +=；)sin(sin C A B +=；)sin(sin B A C +=； )cos(cos C B A +-=；)cos(cos C A B +-=；)cos(cos B A C +-=；3、(1)2902C B A +-=ο；2902C A B +-=ο；2902BA C +-=ο； (2)2cos 2sin CB A +=；2cos 2sinC A B +=；2cos 2sin BA C +=；2sin 2cos C B A +=；2sin 2cos C A B +=；2sin 2cos BA C +=；4、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；5、大边对大角，大角对大边；6、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 指三角形外接圆半径） （(1) 解三角形：①已知两边和其中一边的对角；②已知两角和一边； (2) 注意已知两边和其中一边的对角解三角形有一解、两解及无解情形）变形：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2⋅=⋅=⋅= C B A c b a sin :sin :sin ::=7、余弦定理： 变形：A bc c b a cos 2222-+=； bca cb A 2cos 222-+=；B ca a c b cos 2222-+=； cab ac B 2cos 222-+=；C ab b a c cos 2222-+=； abc b a C 2cos 222-+=；（解三角形①已知两边一夹角；②已知三边）8、已知形如b a +或b a -，由ab b a b a ab b a b a 2)(,2)(22222+-=+-+=+变形； C ab ab b a C ab b a c cos 22)(cos 22222--+=-+=C ab ab b a C ab b a c cos 22)(cos 22222-+-=-+=数列基本公式1、一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =______________2、等差数列的通项公a n =___________=___________ (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。
