2020优化方案高考总复习文科数学学案及练习第十二章复数、算法、推理与证明第4讲直接证明与间接证明

教课资料范本2020版高三新课标专题指导与增分攻略数学（文）专题加强训练：复数、算法、推理与证明含分析编辑： __________________时间： __________________一、选择题2i1．(20xx ·西安二模 )已知 z ＝1＋2i.则复数 z －2的虚部是 ()22A. 5B ．－ 522C.5iD ．－ 5i[分析 ]2i2i＝错误 ! ＝错误 ! －错误 ! i. 该复数的虚部为＝－1＋2iz －22－ 5.应选 B.[答案 ] B2 ． (20xx ·南京模拟 若复数 ＝ ＋ 2i. 则 4i 等于() ) z 1 －z z －1 A ．1 B ．－ 1 C ． iD ．－ i[分析 ]4i＝错误 ! ＝i.应选 C.－z z －1[答案 ]C3．(20xx ·吉林调研 )已知 z( 3＋i) ＝－ 3i(i 是虚数单位 ).那么复数 z 对应的点位于复平面内的 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限－ 3i [ 分析] ＝＝错误 ! ＝错误 ! ＝－ 错误 ! －错误 ! .z 对应的点z3＋i33－ 4 ，－ 4 位于复平面内的第三象限．应选 C.[答案]C4．(20xx ·大连模拟 )以下推理是演绎推理的是 ( )A ．因为 f(x)＝ccosx 知足 f(－x)＝－ f(x)对随意的 x ∈R 都建立 .推测f(x)＝ccosx 为奇函数猜出数列的前 项和的表B．由 1＝1.a n ＝3n －1.求出 S 12 3na.S.S.{ a } n达式．由圆 2＋y 2＝1的面积 S ＝πr 2 推测：椭圆 x2 y2＋C x .a2 b2＝1的面积 S ＝πabD ．由平面三角形的性质推测空间四周体的性质[ 分析 ] 由特别到一般的推理过程 .切合概括推理的定义；由特别到与它近似的另一个特别的推理过程 .切合类比推理的定义；由一般到特别的推理切合演绎推理的定义．A 是演绎推理 .B 是概括推理.C 和 D 为类比推理 .应选 A.[答案]A5．(20xx ·江西南昌三模 )中国古代有计算多项式值的秦九韶算法.如图是实现该算法的程序框图 .履行该程序框图 .若输入的 x ＝3.n ＝2. 挨次输入的 a 为2,2,5.则输出的 s ＝()A ．8B ．17C ． 29D ．83[ 分析 ] 依据已知的程序框图可得 .该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的值．模拟程序的运转过程：输入的x ＝3.n ＝2.当输入的 a 为 2 时.s＝2.k＝1.不知足退出循环的条件；当再次输入的a 为 2 时.s＝8.k＝2.不知足退出循环的条件；当输入的 a 为 5 时.s＝29.k＝3.知足退出循环的条件．故输出的s 的值为 29.应选 C.[答案]C6．(20xx ·河北保定模拟 )用反证法证明命题：“已知 a.b是自然数.若a＋b≥3.则a.b中起码有一个不小于 2”．提出的假定应当是( )A ．a.b起码有两个不小于 2B． a.b起码有一个不小于 2C． a.b都小于 2D．a.b起码有一个小于 2[ 分析 ]依据反证法可知提出的假定为“a.b都小于2”．应选C.[答案]C7．(20xx ·广东汕头一模 )履行以下图的程序框图.输出的结果是()A ．56B．54C． 36D．64[分析 ]模拟程序的运转 .可得：第 1 次循环 .c＝2.S＝4.c<20.a＝1.b＝2；第 2 次循环 .c＝3.S＝7.c<20.a＝2.b＝3；第 3 次循环 .c＝5.S＝12.c<20.a ＝3.b＝5；第 4 次循环 .c＝8.S＝20.c<20.a＝5.b＝8；第 5次循环 .c＝13.S＝33.c<20.a＝8.b＝13；第 6 次循环 .c＝21.S＝54.c>20.退出循环 .输出 S的值为 54.应选 B.[答案]B8．(20xx ·广东茂名一模 )履行以下图的程序框图.那么输出的 S 值是()1A.2B．－1C． 20xx D．21 [ 分析 ] 模拟程序的运转 .可知 S＝2.k＝0；S＝－ 1.k＝1；S＝2.k＝2；S＝2.k＝3；.可见 S的值每 3 个一循环 .易知 k＝20xx 对应的S值是第2020 个.又 2020＝3×673＋1.∴输出的 S值是 2.应选 D.[答案] D111 9．(20xx ·湖南长沙模拟 )如图 .给出的是计算 1＋4＋7＋＋100的值的一个程序框图 .则图中判断框内 (1)处和履行框中的 (2)处应填的语句是()A ．i>100.n＝n＋1B．i<34.n＝n＋3C． i>34.n＝n＋ 3D．i ≥34.n＝n＋3分析算法的功能是计算111147100[]＋＋＋＋的值 .易知1,4,7. .100 成等差数列 .公差为 3.所以履行框中 (2)处应为 n＝ n＋3.令1＋(i －1)×3＝100.解得 i ＝34.∴停止程序运转的i 值为 35.∴判断框内(1)处应为 i>34.应选 C.[答案]C10．(20xx ·汉调研武 )一名法官在审理一同瑰宝偷窃案时 .四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的口供以下 .甲说：“犯人在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案 .是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过检核查实 .四人中有两人说的是实话 .此外两人说的是谎话 .且这四人中只有一人是犯人 .由此可判断犯人是 ()A ．甲B．乙C．丙D．丁[ 分析 ]由题可知.乙、丁两人的看法一致.即同真同假 .假定乙、丁说的是实话 .那么甲、丙两人说的是谎话 .由乙说的是实话 .推出丙是犯人 .由甲说谎话 .推出乙、丙、丁三人不是犯人 .明显两个结论互相矛盾 .所以乙、丁两人说的是谎话 .而甲、丙两人说的是实话 .由甲、丙供述可得 .乙是犯人．[答案]B11．(20xx ·明七校调研昆 )阅读以下图的程序框图.运转相应的程序 .若输出 S的值为 1.则判断框内为 ()A ．i>6?B．i>5?C． i≥3?D．i ≥4?[ 分析 ]依题意.履行程序框图.进行第一次循环时.S＝1×(3－1)＋1＝3.i ＝1＋1＝2；进行第二次循环时 .S＝3×(3－2)＋ 1＝4.i ＝2＋1＝3；进行第三次循环时 .S＝4×(3－3)＋ 1＝1.i ＝4.所以当输出的 S的值为 1 时.判断框内为“i≥4？”.选 D.[答案]D12．(20xx 长·春一模 )祖暅是南北朝时代的伟大数学家 .5世纪末提出体积计算原理 .即祖暅原理：“幂势既同 .则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体 .被平行于这两个平面的任何一个平面所截.假如截面面积都相等.那么这两个几何体的体积必定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体 .图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球.则知足祖暅原理的两个几何体为 ()A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④[ 分析 ] 设截面与底面的距离为 h.则①中截面内圆的半径为 h.则截面圆环的面积为 π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为 R －h.则截面h 圆的面积为 π(R －h)2；③中截面圆的半径为 R －2.则截面圆的面积为hπ(R －2)2；④中截面圆的半径为 R2－h2.则截面圆的面积为 π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等 .故其体积相等 .选 D.[答案 ] D二、填空题13 ． (20xx ·北唐山模拟河 若 ＝ 2＋m －6)＋(m － 2)i 为纯虚数 . ) z (m则实数 m 的值为 ________．[ 分析] ∵ ＝2＋m －6)＋ (m － 2)i 为纯虚数 .z (m∴m2＋m －6＝0，m －2≠0， 解得 m ＝－ 3.[答案 ]－314．(20xx 厦·门模拟 )如图是一个三角形数阵：11 13 51117911111113151719依据以上摆列的规律 .第16行从左到右的第 2个数为 ________．[ 分析 ]前15行共有错误!＝120(个)数.故所求的数为a122＝错误!1＝243.[答案 ]1 24315．(20xx 河·南三市联考 )履行以下图的程序框图.假如输入 m ＝30.n＝18.则输出的 m的值为 ________．[ 分析 ]假如输入m＝30.n＝18.第一次履行循环体后.r＝12.m＝18.n＝12.不知足输出条件；第二次履行循环体后.r＝6.m＝12.n＝6.不知足输出条件；第三次履行循环体后.r＝0.m＝6.n＝0.知足输出条件 .故输出的 m 值为 6.[答案] 616．(20xx 天·津调研 )“求方程5 x1213＋13512x＝1的解” .有以下解题思路：设 f(x)＝13x＋13x.则f(x)在R上单一递减 .且 f(2)＝1.所以原方程有独一解 x＝2.类比上述解题思路 .可得不等式 x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2的解集是 ________．[ 分析 ]因为x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2.所以x6＋x2>(x＋2)3＋(x＋2).所以 (x2)3＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)．令 f(x)＝x3＋x.所以不等式可转变为 f(x2)>f(x＋2)．因为 f(x)在 R 上单一递加 .所以 x2>x＋2.解得 x<－ 1或 x>2.故原不等式的解集为 (－∞.－1)∪ (2.＋∞)．[答案 ] (－∞.－1)∪(2.＋∞)。

【课时训练】复 数一、选择题1．(2018佛山二检)已知a >0，b >0，且(1＋a i)(b ＋i)＝5i(i 是虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4【答案】D【解析】由题意，得(1＋a i)(b ＋i)＝(b －a )＋(1＋ab )i ＝5i ，则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，1＋ab ＝5，又a >0，b >0，所以a ＝b ＝2，则a ＋b ＝4.2．(2018南昌一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】复数(1＋3i)i ＝－3＋i 在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.3．(2018天津质检)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a1－i 是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4【答案】D 【解析】∵2i －a 1－i＝2i －a 1＋i1－i1＋i＝2i －a 2－a2i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 2i －a 2，a ∈R ，∴2－a2＝0.∴a ＝4.4．(2018安徽六安第一中学三模)设复数z ＝1＋b i(b ∈R )，且z 2＝－3＋4i ，则z 的共轭复数z 的虚部为( )A ．－2B ．2iC ．2D ．－2i【答案】A【解析】由题意得z 2＝(1＋b i)2＝1－b 2＋2b i ＝－3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－3，2b ＝4，∴b ＝2，故z ＝1＋2i ，z ＝1－2i ，虚部为－2.故选A.5．(2018洛阳模拟)设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为(2＋a i)i ＝－a ＋2i ，又其实部与虚部互为相反数，所以－a ＋2＝0，即a ＝2.故选B.6．(2018南昌月考)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i【答案】D【解析】解法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 解法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2. ∴2z ＝－2i ＋2.∴z ＝1－i.7．(2018新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2c os θ＋(λ＋3sinθ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7【答案】C【解析】由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2c os θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简，得4－4c os 2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4c os 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.8．(2018湖北鄂州调研)已知复数z ＝1＋2i 1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．0【答案】D【解析】z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i1＋i 2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝1×1－z 2 0201－z＝1－i2 0201－i＝1－i4×5051－i＝0.9．(2018广东六校联考)已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3)【答案】C【解析】由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且0<a <2， 所以由|z |＝1＋a 2，得1<|z |< 5.10．(2018湖北武汉模拟)设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( )A ．－5＋12iB ．－5－12iC ．－13＋12iD ．－13－12i【答案】A【解析】∵z 1＝3－2i ，∴z 2＝－3＋2i.∴z 1·z 2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i.故选A.11．(2018郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i 21＝0的复数z对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由题意，得z ×1－2(1＋i)＝0，则z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A.12．(2018皖西七校联考)若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i (a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x2＋y 2＝2的位置关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定【答案】A【解析】∵a ＋b i ＝2＋i 1－i ＝2＋i 1＋i 2＝12＋32i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32，则a 2＋b 2＝52>2.∴点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝2外．故选A.二、填空题13．(2018北京西城期末)已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．【答案】3或6【解析】∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M .∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3.∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意． 14．(2018河北唐山高三期末)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________.【答案】1＋i. 【解析】原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i 4×252＋1＝1＋i.15．(2018天津实验中学期中)已知复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c os θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数( i 为虚数单位)，则t a n ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.【答案】－7【解析】因为c os θ－45＝0，sin θ－35≠0⇒c os θ＝45，sin θ＝－35⇒t a n θ＝－34，所以t a n ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－34－11－34＝－7. 16．(2018山东滨州模拟)给出下列命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限． 其中正确的命题是______．(填上所有正确命题的序号) 【答案】④【解析】由复数的概念及性质，知①错误；②错误；若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．。

第十二章复数、算法、推理与证明第一节 数系的扩充与复数的引入一、基础知识1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．二、常用结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)． (4)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n.考点一 复数的四则运算[典例] (1)(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i[解析] (1)∵z i ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.(2)(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i1－2i ＝2，故选A.[答案] (1)A (2)A[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[题组训练]1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A 法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.3．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z ＝________.解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0， 而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i.答案：i考点二 复数的有关概念[典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1D. 2[解析] (1)z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝ －2i 2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C. [答案] (1)D (2)C[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．[题组训练]1．(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a ＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A 由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a ＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A. 2．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i，则|z |＝( ) A ．2 B ．2 2 C.22D.12解析：选B 法一：由z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ，得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.3．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________． 解析：由于z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数，因此a 2－a －2＝0且a ＋1≠0，解得a ＝2. 答案：2考点三 复数的几何意义[典例] (1)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，若zz 2＝z 1，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i(2)复数z ＝4i 2 018－5i1＋2i (其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由题意知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，故z (－1＋i)＝1＋2i ， 即z ＝1＋2i －1＋i ＝(1＋2i )(1＋i )(－1＋i )(1＋i )＝1－3i 2＝12－32i ，z ＝12＋32i ，故选A.(2)z ＝4i 2 018－5i1＋2i ＝4×i 2 016·i 2－5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－4－5(2＋i )5＝－6－i ，故z 在复平面内对应的点在第三象限． [答案] (1)A (2)C[解题技法] 对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝i ＋i 22－i ＝－1＋i 2－i ＝(－1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－3＋i 5＝－35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－35，15，该点位于第二象限．故选B.2．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋(y －1)2≤ 2，所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.答案：2π3．已知复数z ＝2＋a i1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为________．解析：因为z ＝2＋a i 1＋2i ＝(2＋a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋2a ＋(a －4)i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45，所以⎩⎨⎧2＋2a5＞0，a －45＜0，解得－1＜a ＜4，又a 为整数，所以a 的最大值为3.答案：3[课时跟踪检测]1．(2019·广州五校联考)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，选C.2．(2018·洛阳第一次统考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i 为纯虚数，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C ∵a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －12－a ＋12i 为纯虚数，∴a －12＝0且a ＋12≠0，解得a ＝1，故选C.3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ 1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：选A 由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.4．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20.5．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.6．(2018·昆明高三摸底)设复数z 满足(1＋i)z ＝i ，则z 的共轭复数 z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选B 法一：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法二：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝2i2(1＋i )＝(1＋i )22(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法三：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵(1＋i)z ＝i ，∴(1＋i)(a ＋b i)＝i ，∴(a －b )＋(a ＋b )i ＝i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12，∴z ＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.7．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．8．已知复数z ＝m i1＋i ，z ·z ＝1，则正数m 的值为( )A. 2 B ．2 C.22D.12解析：选A 法一：z ＝m i 1＋i ＝m i (1－i )(1＋i )(1－i )＝m 2＋m 2i ，z ＝m 2－m 2i ，z ·z ＝m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.法二：由题意知|z |＝|m i||1＋i|＝|m |2，由z ·z ＝|z |2，得m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：210．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i.答案：i11．(2019·重庆调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i2＋i ，复数|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 212．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14. 答案：1413．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1.(4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.第二节 算法与程序框图一、基础知识1．算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构定义由若干个依次执行的步骤组成程序框图(2)条件结构定义算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构程序框图(3)循环结构定义从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体程序框图直到型循环结构先循环，后判断，条件满足时终止循环.当型循环结构先判断，后循环，条件满足时执行循环.三种基本逻辑结构的适用情境(1)顺序结构：要解决的问题不需要分类讨论．(2)条件结构：要解决的问题需要分类讨论．(3)循环结构：要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间有相同的规律．考点一顺序结构和条件结构[例1](2019·沈阳质检)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为()A．－3 B．－3或9C．3或－9 D．－3或－9[解析]当x≤0时，y＝⎝⎛⎭⎫1x－8＝0，x＝－3；当x>0时，y＝2－log3x＝0，x＝9.故x＝－3或x＝9，选2B.[答案] B[例2]某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为()A ．f (x )＝cos x x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2，且x ≠0 B ．f (x )＝2x －12x ＋1C ．f (x )＝|x |xD ．f (x )＝x 2ln(x 2＋1)[解析] 由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数，选项A 、C 中的函数虽然是奇函数，但在给定区间上不存在零点，故排除A 、C.选项D 中的函数是偶函数，故排除D.选B.[答案] B[解题技法] 顺序结构和条件结构的运算方法(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断． (3)对于条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．[题组训练]1．半径为r 的圆的面积公式为S ＝πr 2，当r ＝5时，计算面积的流程图为( )解析：选D 因为输入和输出框是平行四边形，故计算面积的流程图为D. 2．运行如图所示的程序框图，可输出B ＝______，C ＝______.解析：若直线x ＋By ＋C ＝0与直线x ＋3y －2＝0平行，则B ＝3，且C ≠－2， 若直线x ＋3y ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则|C |12＋(3)2＝1，解得C ＝±2，又C ≠－2，所以C ＝2. 答案：3 2考点二 循环结构考法(一) 由程序框图求输出(输入)结果[例1] (2018·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输入N 的值为20， 第一次执行条件语句，N ＝20， i ＝2，Ni＝10是整数，∴T ＝0＋1＝1，i ＝3＜5；第二次执行条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝203不是整数，∴i ＝4＜5；第三次执行条件语句，N ＝20，i ＝4，Ni ＝5是整数，∴T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成立，∴输出T ＝2. [答案] B[例2] (2019·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的n ＝2，那么输入的 a 的值可以为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 执行程序框图，输入a ，P ＝0，Q ＝1，n ＝0，此时P ≤Q 成立，P ＝1，Q ＝3，n ＝1，此时P ≤Q 成立，P ＝1＋a ，Q ＝7，n ＝2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P >Q ，所以1＋a >7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.[答案] D[解题技法] 循环结构的一般思维分析过程 (1)分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．(2)结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式． (3)辨析循环结构的功能． 考法(二) 完善程序框图[例1] (2018·武昌调研考试)执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2,2,5时，输出的s 为17，那么在判断框中可以填入( )A ．k <n?B ．k >n?C ．k ≥n?D ．k ≤n?[解析] 执行程序框图，输入的a ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1；输入的a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2；输入的a ＝5，s ＝2×6＋5＝17，k ＝3，此时结束循环，又n ＝2，所以判断框中可以填“k >n ？”，故选B.[答案] B[例2] (2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] 由题意可将S 变形为S ＝⎝⎛⎭⎫1＋13＋…＋199－⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋1100，则由S ＝N －T ，得N ＝1＋13＋…＋199，T ＝12＋14＋…＋1100.据此，结合N ＝N ＋1i ，T ＝T ＋1i ＋1易知在空白框中应填入i ＝i ＋2.故选B. [答案] B[解题技法] 程序框图完善问题的求解方法 (1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； (3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．[题组训练]1．(2018·凉山质检)执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数y ＝x a ，x ∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )A.47B.45C.35D.34解析：选C 执行程序框图，x ＝－3，y ＝3；x ＝－2，y ＝0；x ＝－1，y ＝－1；x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝3；x ＝2，y ＝8；x ＝3，y ＝15；x ＝4，退出循环．则集合A 中的元素有－1,0,3,8,15，共5个，若函数y ＝x a ，x ∈[0，＋∞)为增函数，则a >0，所以所求的概率为35.2．(2019·珠海三校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的n 的值为4，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤34，78B.⎝⎛⎭⎫516，＋∞C.⎣⎡⎭⎫516，78D.⎝⎛⎦⎤516，78解析：选A S ＝0，n ＝1；S ＝12，n ＝2；S ＝12＋122＝34，n ＝3；满足条件，所以p >34，继续执行循环体；S＝34＋123＝78，n ＝4；不满足条件，所以p ≤78.输出的n 的值为4，所以34<p ≤78，故选A. 3．(2019·贵阳适应性考试)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是137，则整数a 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选A 先不管a 的取值，直接运行程序．首先给变量S ，k 赋值，S ＝1，k ＝1，执行S ＝S ＋1k (k ＋1)，得S ＝1＋11×2，k ＝2；执行S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；……继续执行，得S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，由2－1k ＋1＝137得k ＝6，所以整数a ＝6，故选A.考点三 基本算法语句[典例] 执行如图程序语句，输入a ＝2cos 2 019π3，b ＝2tan 2 019π4，则输出y 的值是( )INPUT a ，b IF a<b THENy ＝a(a ＋b) ELSEy ＝a 2－b END IF PRINT y ENDA ．3B ．4C ．6D ．－1[解析] 根据条件语句可知程序运行后是计算y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＋b )，a <b ，a 2－b ，a ≥b ，且a ＝2cos 2 019π3＝2cos π＝－2，b ＝2tan 2 019π4＝2tan 3π4＝－2.因为a ≥b ，所以y ＝a 2－b ＝(－2)2－(－2)＝6， 即输出y 的值是6.[答案] C[变透练清]1. 执行如图所示的程序，输出的结果是________．i ＝11S ＝1DOS ＝S*ii ＝i －1LOOP UNTIL i<9PRINT S END解析：程序反映出的算法过程为 i ＝11⇒S ＝11×1，i ＝10； i ＝10⇒S ＝11×10，i ＝9； i ＝9⇒S ＝11×10×9，i ＝8；i ＝8<9退出循环，执行“PRINT S ”． 故S ＝990. 答案：9902．阅读如图所示的程序．a 的值是________． 解析：由题意可得程序的功能是计算并输出a ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a >2，a ×a ，a ≤2的值， 当a >2时，由2＋a ＝9得a ＝7； 当a ≤2时，由a 2＝9得a ＝－3， 综上知，a ＝7或a ＝－3. 答案：－3或7[课时跟踪检测]1．(2019·湖北八校联考)对任意非零实数a ，b ，定义a *b 的运算原理如图所示，则(log222)*⎝⎛⎭⎫18－23＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 因为log222＝3，⎝⎛⎭⎫18－23＝4,3<4，所以输出4－13＝1，故选A. 2．执行如图所示的程序框图，则输出的x ，y 分别为( )A ．90,86B ．94,82C ．98,78D ．102,74解析：选C 第一次执行循环体，y ＝90，s ＝867＋15，不满足退出循环的条件，故x ＝90；第二次执行循环体，y ＝86，s ＝907＋433，不满足退出循环的条件，故x ＝94；第三次执行循环体，y ＝82，s ＝947＋413，不满足退出循环的条件，故x ＝98；第四次执行循环体，y ＝78，s ＝27，满足退出循环的条件，故x ＝98，y ＝78.3．(2018·云南民族大学附属中学二模)执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12？B ．s >710？C ．s >35？D ．s >45？解析：选B s ＝1，k ＝9，满足条件；s ＝910，k ＝8，满足条件；s ＝45，k ＝7，满足条件；s ＝710，k ＝6，不满足条件．输出的k ＝6，所以判断框内可填入的条件是“s >710？”．故选B.4．(2019·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k 的值为3，则输入的a 的值可以是( )A ．20B ．21C ．22D ．23解析：选A 根据程序框图可知，若输出的k ＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S ＝2×0＋3＝3，执行第2次时，S ＝2×3＋3＝9，执行第3次时，S ＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数a 的取值范围是9≤a <21，故选A.5．(2019·重庆质检)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝－1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－3xC ．y ＝－4xD ．y ＝－8x解析：选C 初始值x ＝0，y ＝－1，n ＝1，x ＝0，y ＝－1，x 2＋y 2<36，n ＝2，x ＝12，y ＝－2，x 2＋y 2<36，n ＝3，x ＝32，y ＝－6，x 2＋y 2>36，退出循环，输出x ＝32，y ＝－6，此时x ，y 满足y ＝－4x ，故选C.6．(2018·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s ＝132，则判断框中可以填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C ．i ≤11?D ．i ≥12?解析：选B 执行程序框图，i ＝12，s ＝1；s ＝12×1＝12，i ＝11；s ＝12×11＝132，i ＝10.此时输出的s ＝132，则判断框中可以填“i ≥11？”．7．(2019·漳州八校联考)执行如图所示的程序，若输出的y 的值为1，则输入的x 的值为( )INPUT xIF x>＝1 THEN y ＝x 2ELSEy ＝－x 2＋1END IF PRINT y ENDA ．0B ．1C ．0或1D ．－1,0或1解析：选C 当x ≥1时，由x 2＝1得x ＝1或x ＝－1(舍去)；当x <1时，由－x 2＋1＝1得x ＝0.∴输入的x 的值为0或1.8．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝4，则输出的s ＝( )A．10 B．16C．20 D．35解析：选C执行程序框图，第一次循环，得s＝4，i＝2；第二次循环，得s＝10，i＝3；第三次循环，得s＝16，i＝4；第四次循环，得s＝20，i＝5.不满足i≤n，退出循环，输出的s＝20.9.(2018·洛阳第一次统考)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是()A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：选D由程序框图得，输出的S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 019－1)，可看作数列{2n－1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和．故选D.10．(2018·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是()A．(30,42] B．(30,42)C．(42,56] D．(42,56)解析：选A k＝1，S＝2，k＝2；S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8＝20，k＝5；S＝20＋10＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足S＝42<m，退出循环，所以30<m≤42，故选A.11．(2019·石家庄调研)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换，如果n 是奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是偶数，则下一步变成n2.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5或16B ．16C ．5或32D ．4或5或32解析：选C 若n ＝5，执行程序框图，n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.若n ＝32，执行程序框图，n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.当n ＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n ＝5或32，故选C.12．(2018·贵阳第一学期检测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为( )A ．20B ．25C ．30D ．35解析：选B 法一：执行程序框图，n ＝20，m ＝80，S ＝60＋803＝8623≠100；n ＝21，m ＝79，S ＝63＋793＝8913≠100；n ＝22，m ＝78，S ＝66＋783＝92≠100；n ＝23，m ＝77，S ＝69＋773＝9423≠100；n ＝24，m ＝76，S ＝72＋763＝9713≠100；n ＝25，m ＝75，S ＝75＋753＝100，退出循环．所以输出的n ＝25.法二：设大和尚有x 个，小和尚有y 个， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，3x ＋13y ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝75， 根据程序框图可知，n 的值即大和尚的人数，所以n ＝25.13．已知函数y ＝lg|x －3|，如图所示程序框图表示的是给定x 值，求其相应函数值y 的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．解析：由y ＝lg|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －3)，x >3，lg (3－x )，x <3及程序框图知，①处应填x <3？，②处应填y ＝lg(x －3)．答案：x <3？ y ＝lg(x －3)14．执行如图所示的程序框图，若输入的N ＝20，则输出的S ＝________.解析：依题意，结合题中的程序框图知，当输入的N ＝20时，输出S 的值是数列{2k －1}的前19项和，即19(1＋37)2＝361.答案：36115．执行如图所示的程序框图，则输出的λ是________．解析：依题意，若λa ＋b 与b 垂直，则有(λa ＋b )·b ＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝0，解得λ＝－2；若λa ＋b 与b 平行，则有－2(λ＋4)＝4(－3λ－2)，解得λ＝0.结合题中的程序框图可知，输出的λ是－2.答案：－216．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为________．解析：当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时，输出S 的值为1，当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表输出S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.答案：2第三节 合情推理与演绎推理一、基础知识1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．↓演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理． 考点一 归纳推理考法(一) 与数字有关的推理[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，3 38＝ 338，4 415＝4415，5 524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．25 B ．48 C ．63 D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝ 5524，…， 可得若99n ＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80. [答案] D考法(二) 与式子有关的推理[典例] 已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x，…，照此规律，则f n (x )＝________. [解析] 因为导数分母都是e x，分子为(－1)n(x －n )，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .[答案] (－1)n (x －n )e x考法(三) 与图形有关的推理[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 019＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 019＝32 018－12.[答案] 32 018－12[题组训练]1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 22．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段， 二级分形图有9＝3×22－3条线段， 三级分形图中有21＝3×23－3条线段， 按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3. 答案：3×2n －3考点二 类比推理[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋ 14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. [答案] A[题组训练]1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．类比以上结论：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3，________，________，T 12T 9成等比数列．解析：等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 3＝b 1b 2b 3，T 6＝b 1b 2…b 6，T 9＝b 1b 2…b 9， T 12＝b 1b 2…b 12，所以T 6T 3＝b 4b 5b 6，T 9T 6＝b 7b 8b 9，T 12T 9＝b 10b 11b 12，所以T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9的公比为q 9，因此T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9成等比数列．答案：T 6T 3 T 9T 6考点三 演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [解题技法] 演绎推理问题求解策略(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[题组训练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明：设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， (x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． ∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数．考点四 逻辑推理问题[典例] (2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点：①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇；③B ，C 两镇只去一镇；④C ，D 两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.[答案] C[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：(1)根据条件直接进行推理判断；(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．[题组训练]1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是()A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.。

[基础题组练]1.观察下列各式:a＋b＝1,a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7,a5＋b5＝11,…,则a10＋b10＝()A.121B.123C.231D.211解析:选B.法一:令a n＝a n＋b n,则a1＝1,a2＝3,a3＝4,a4＝7,…,得a n＋2＝a n＋a n＋1,从而a6＝18,a7＝29,a8＝47,a9＝76,a10＝123.法二:由a＋b＝1,a2＋b2＝3,得ab＝－1,代入后三个等式中符合,则a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123.2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1,z2∈C,则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；②“若a,b,c,d∈R,则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c,b＝d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c,b＝d”；③“若a,b∈R,则a－b>0⇒a>b”类比推出“若z1,z2∈C,则z1－z2>0⇒z1>z2”.其中类比得到的结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a,b,c,d都是有理数,2是无理数,所以②正确；因为复数不能比较大小,所以③不正确.3.(2019·广西柳州模拟)给出以下数对序列:(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij,如a43＝(3,2),则a nm＝()A.(m,n－m)B.(m－1,n－m)C.(m－1,n－m＋1)D.(m,n－m＋1)解析:选D.由前4行的特点,归纳可得,若a nm＝(a,b),则a＝m,b＝n－m＋1,所以a nm＝(m,n－m＋1).故选D.4.(2019·福建莆田质量检测)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,干支是天干和地支的总称.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥这十二个符号叫地支.如公元1984年农历为甲子年,公元1985年农历为乙丑年,公元1986年农历为丙寅年,则公元2047年农历为( )A.乙丑年B.丙寅年C.丁卯年D.戊辰年解析:选C.记公元1984年为第一年,则公元2047年为第64年,即天干循环了六次,第四个为“丁”.地支循环了五次,第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年,故选C.5.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB →⊥AB →时,其离心率为5－12,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于 ( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析:选A.设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0),则B (0,b ),F (－c ,0),A (a ,0). 在“黄金双曲线”中,因为FB →⊥AB →, 所以FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ,b ),AB →＝(－a ,b ),所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2,所以c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2,得e 2－1＝e , 解得e ＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝1－52舍去.6.观察下列式子:1×2<2,1×2＋2×3<92,1×2＋2×3＋3×4<8,1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252,…,根据以上规律,第n (n ∈N *)个不等式是____________________.解析:根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）22.答案:1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）227.祖暅是我国南北朝时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于______________.解析:椭圆的长半轴长为a ,短半轴长为b ,现构造两个底面半径为b ,高为a 的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(πb 2a －13πb 2a )＝43πb 2a .答案:43πb 2a8.设f (x )＝13x ＋3,先分别求f (0)＋f (1),f (－1)＋f (2),f (－2)＋f (3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.解:f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33,同理可得:f (－1)＋f (2)＝33,f (－2)＋f (3)＝33, 并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于1. 归纳猜想得:当x 1＋x 2＝1时,均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明:设x 1＋x 2＝1,f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝（3x 1＋3）＋（3x 2＋3）（3x 1＋3）（3x 2＋3）＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3（3x 1＋3x 2）＋3＝3x 1＋3x 2＋233（3x 1＋3x 2）＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233（3x 1＋3x 2＋23）＝33.9.给出下面的数表序列:表1 表2 表31 1 3 1 3 5 4 4 8 (12)其中表n (n ＝1,2,3,…)有n 行,第1行的n 个数是1,3,5,…,2n －1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明).解:表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n (n ≥3),即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ,公比为2的等比数列.[综合题组练]1.(应用型)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人解析:选 B.利用推理以及逻辑知识求解.首先要证,没有任意两个同学的数学成绩是相同的.假设A ,B 两名同学的数学成绩一样,由题知他们的语文成绩不一样,这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高,相应地由题可知,语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”,与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此,没有任意两个同学的数学成绩是相同的.因为数学成绩等级只有3种,因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件.易证3名同学的成绩等级分别为(优秀,不合格)、(合格,合格)、(不合格,优秀)时满足条件,因此满足条件的人数最多是3.2.(2019·安徽“江淮十校”联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x ,这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2,则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52解析:选C.1＋11＋11＋…＝x ,即1＋1x ＝x ,即x 2－x －1＝0,解得x 1＝1＋52,x 2＝1－52()舍,故1＋11＋11＋…＝1＋52,故选C. 3.(2019·辽宁沈阳模拟)“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是( )A.2 017×22 016B.2 018×22 015C.2 017×22 015D.2 018×22 016解析:选B.从给出的数表可以看出,该数表每行的数都构成等差数列,其中第一行从右到左是公差为1的等差数列,第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,……,第n 行从右到左的公差为2n －1,而从右向左看,每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21,20＝5×22,48＝6×23,……,所以第n 行的第一个数为(n ＋1)×2n －2.显然第2 017行只有一个数,为(2 017＋1)×22 017－2＝2 018×22 015.故选B.4.(应用型)(2019·吉林长春质监)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m 月n 日,张老师把m 告诉了甲,把n 告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是________.解析:根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日,5月8日,9月4日,9月6日,9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师的生日为8月4日.答案:8月4日5.已知O 是△ABC 内任意一点,连接AO ,BO ,CO 并延长,分别交对边于A ′,B ′,C ′,则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”: OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1.请运用类比思想猜想,对于空间中的四面体V -BCD ,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明.解:结论:在四面体V -BCD 中,任取一点O ,连接VO ,DO ,BO ,CO 并延长,分别交四个面于E ,F ,G ,H 点.则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1. 证明如下:在四面体O -BCD 与V -BCD 中,设其高分别为h 1,h , 则OE VE ＝h 1h ＝13S △BCD·h 113S △BCD·h ＝V O ­BCD V V ­BCD. 同理,OF DF ＝V O ­VBC V D ­VBC ；OG BG ＝V O ­VCD V B ­VCD ；OH CH ＝V O ­VBDV C ­VBD ,所以OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O ­BCD ＋V O ­VBC ＋V O ­VCD ＋V O ­VBD V V -BCD＝V V ­BCDV V ­BCD ＝1.6.我们将具有下列性质的所有函数组成集合M :函数y ＝f (x )(x ∈D ),对任意x ,y ,x ＋y2∈D 均满足f ⎝⎛⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )],当且仅当x ＝y 时等号成立.(1)若定义在(0,＋∞)上的函数f (x )∈M ,试比较f (3)＋f (5)与2f (4)的大小； (2)设函数g (x )＝－x 2,求证:g (x )∈M . 解:(1)对于f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )],令x ＝3,y ＝5得f (3)＋f (5)≤2f (4). (2)证明:g ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－12[g (x 1)＋g (x 2)]＝－（x 1＋x 2）24＋x 21＋x 222＝（x 1－x 2）24≥0,当且仅当x 1＝x 2时取等号, 所以g ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥12[g (x 1)＋g (x 2)],所以g (x )∈M .。

文档根源为 : 从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持 .【创新方案】 2017 届高考数学一轮复习第十二章 推理与证明、算法、复数 第三节 数学概括法课后作业 理一、选择题1．已知 f ( n ) ＝1＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋12，则 ( )n n ＋ 1 n ＋ 2 nA ． f ( n ) 中共有 n 项，当 n ＝ 2 时， f (2) 11＝2＋3B ． f ( )中共有 n ＋1 项，当＝ 2 时， f (2) 1 1 1＝ ＋ ＋n n2 3 4C ． f ( n ) 中共有 n 2－n 项，当 n ＝ 2 时， f (2) 1 1＝2＋ 32 1 1 1 D ． f ( n ) 中共有 n －n ＋ 1 项，当 n ＝ 2 时， f (2) ＝ 2＋ 3＋42．某个命题与自然数 n 相关， 若 n ＝k ( k ∈ N * ) 时命题建立， 那么可推适当 n ＝ k ＋1 时该命题也建立，现已知 n ＝ 5 时，该命题不建立，那么能够推得()A ． n ＝6 时该命题不建立B ． n ＝6 时该命题建立C ． n ＝4 时该命题不建立D． n ＝4 时该命题建立1 11 127*3．用数学概括法证明不等式1＋ 2＋ 4＋ ＋ 2n － 1＞ 64 ( n ∈ N ) 建立，其初始值起码应取()A ． 7 B． 8C ． 9D． 104．凸 n 边形有 f ( n ) 条对角线，则凸 n ＋ 1 边形的对角线的条数 f ( n ＋ 1) 为 ()A ． f ( n ) ＋ n ＋ 1B ．f ( n ) ＋ nC ． f ( n ) ＋ n － 1D．f ( n ) ＋ n －25．利用数学概括法证明“( n ＋ 1)( n ＋2)n*”·(n ＋ n ) ＝ 2 ×1×3× × (2 n － 1) ，n ∈ N 时，从“ n ＝ k ”变到“ n ＝ k ＋1”时，左侧应增乘的因式是()A ． 2k ＋ 1B． 2(2 k ＋ 1)2k ＋ 12k ＋ 3C.k ＋ 1D.k ＋ 1二、填空题1 116．用数学概括法证明1＋ 2＋ 3＋ ＋ 2n － 1<n ( n ∈N ，且 n >1) ，第一步要证的不等式是________________ ．7．用数学概括法证明“当n 为正奇数时， x n ＋ y n 能被 x ＋ y 整除”，当第二步假定 n ＝2 －1(k*＝ ________时，命题亦真．∈N ) 命题为真时，从而需证kn文档根源为 : 从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持 .8．用数学概括法证明1＋2＋ 3＋ ＋ n 2＝ n 4＋ n 2 ，则当 n ＝ k ＋ 1 时左端应在 n ＝ k 的基2础上加上的项为 ______________________________________ ．三、解答题1 1 11 1 111*9．求证： 1－ 2＋ 3－ 4＋ ＋ 2n － 1－2n ＝ n ＋ 1＋ n ＋ 2＋ ＋ 2n ( n ∈N ) ． 10．用数学概括法证明：1 111*1＋ 22＋ 32＋ ＋ n 2<2－n ( n ∈ N ， n ≥2) ．1．平面内有 n 条直线，最多可将平面分红f ( n ) 个地区，则f ( ) 的表达式为 ( )nA ． n ＋1B． 2nC. n 2＋ n ＋2D． n 2＋ n ＋ 121的表达式为 ()2．在数列 { a } 中，a ＝ 3，且 S ＝ n(2 n － 1) a ，经过求 a ，a ，a ，猜想 an1nn234nA. 1B.1－ 1＋ 12 2 ＋ 1nnnnC.1D.12n －12n ＋12n ＋12n ＋23．用数学概括法证明不等式11113＋＋ ＋>的过程中，由 n ＝k 推导 n ＝k ＋n ＋ 1 n ＋2n ＋n 241 时，不等式的左侧增添的式子是____________ ．4．已知函数 f ( x ) ＝ 1 3－ x ，数列 { n } 知足条件：1≥1， a n ＋ 1≥ ′( n ＋ 1) ，试比较13xa afa1＋ a 1＋ 1 ＋1 1 与 1 的大小，并说明原因．1＋ a ＋ ＋ 1＋a1＋a2 3n答 案一、选择题21 1 11．分析：选 D 由 f ( n ) 可知，共有 n － n ＋ 1 项，且 n ＝ 2 时， f (2) ＝ 2＋ 3＋ 4.2．分析：选 C 由于当 n ＝ k ( k ∈ N * ) 时命题建立，则当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也建立．现已知 n ＝ 5 时，命题不建立，故 n ＝ 4 时命题也不建立．11 111－2n1n 的最小值3．分析：选 B 左侧＝ 1＋ 2＋4＋ ＋ 2n －1＝1 ＝ 2－ 2n － 1，代入考证可知1－2是 8.4．分析：选 C 边数增添 1，极点也相应增添 1 个，它与和它不相邻的n － 2 个极点连文档根源为 : 从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持.接成对角线，本来的一条边也成为对角线，所以，对角线增添n － 1 条．5．分析：选 B当 n ＝ k ( k ∈ N * ) 时，左式为 ( k ＋ 1)( k ＋2) · ·( k ＋k ) ；当 n ＝k ＋ 1 时，左式为 ( k ＋ 1＋1) ·(k ＋ 1＋2) · ·(k ＋ 1＋ k －1) ·(k ＋ 1＋ k ) ·(k ＋ 1＋ k ＋ 1) ，2k ＋ 12k ＋ 2＝ 2(2 k ＋ 1) ．则左侧应增乘的式子是k ＋ 1二、填空题6．分析：当 ＝ 2 时，左侧为 1＋1＋ 2 1 ＝ 1＋ 1＋ 1，右侧为 2. 故应填 1＋1＋ 1<2.n2 2－12 32 311答案： 1＋ 2＋ 3<27．分析： n 为正奇数，假定n＝ 2 － 1 建立后，需证明的应为 ＝ 2 k ＋ 1 时建立．kn答案： 2k ＋ 18．分析：当 n ＝ k 时左端为 1＋ 2＋ 3＋ ＋ k ＋ ( k ＋ 1) ＋ ( k ＋ 2) ＋ ＋ k 2， 则当 ＝ ＋ 1 时，左端为n k22221＋ 2＋3＋ ＋ k ＋( k ＋ 1) ＋( k ＋ 2) ＋ ＋ ( k ＋ 1) ，答案： ( k 2＋ 1) ＋ ( k 2＋ 2) ＋ ＋ ( k ＋ 1) 2三、解答题1 19．证明： (1) 当 n ＝ 1 时，左侧＝ 1－ 2＝ 2，11右侧＝＝ ，左侧＝右侧，等式建立．1＋1 2*1 1 1 11 1 1 (2) 假定 n ＝ k ( k ∈ N ) 时等式建立， 即 1－ 2＋ 3－ 4＋ ＋ 2k － 1－ 2k ＝ k ＋ 1＋ k ＋ 2＋ ＋12k，则当 n ＝ k ＋ 1 时，11 111 1 11－ 2＋ 3－ 4＋ ＋ 2k － 1－2k ＋ 2k ＋1－2k ＋ 2 1 ＋ 1 ＋ ＋11 － 1＝k ＋ 1k ＋ 22k ＋2k ＋ 1 2k ＋ 21 1 1 1 ＝ k ＋ 2＋ k ＋ 3＋ ＋ 2k ＋ 1＋ 2k ＋ 2.即当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也建立．综合 (1) ， (2) 可知，对全部 n ∈ N * ，等式建立．1 51 310．证明： (1) 当 n ＝ 2 时， 1＋ 22＝ 4<2－ 2＝ 2，命题建立． (2) 假定 n ＝ k ( k ≥2，且 k ∈ N * ) 时命题建立，即1 1 1 11＋22＋ 32 ＋ ＋ k 2<2－k .当 n ＝k ＋ 1 1 11 1 11 11时， 1＋ 22＋ 32＋ ＋ k 2＋ k ＋1 2<2－k ＋ k ＋ 1 2<2－ k ＋ k k ＋ 1 ＝ 21 1 1－ k＋ k －k ＋ 11＝ 2－k ＋ 1，命题也建立．综合 (1) ， (2) 知原不等式在 n ∈ N * ， n ≥2时均建立．1．分析：选 C 1 条直线将平面分红1＋ 1 个地区； 2 条直线最多可将平面分红1＋ (1＋2) ＝ 4 个地区； 3 条直线最多可将平面分红 1＋(1 ＋2＋3)＝7个地区； ； n 条直线最多可将平面分红n n ＋1n 2＋ n ＋ 21＋ (1 ＋ 2＋ 3＋ ＋ n ) ＝1＋2＝个地区．22．分析：选 C 111 ，a 3＝ 1 11由 a 1＝ ，S n ＝n (2 n － 1) a n 求得 a 2＝＝＝ ，a 4＝＝3153×5 35 5×7631 . 猜想 a n ＝1.7×92n － 12n ＋13．分析：不等式的左侧增添的式子是1 1 － 1 ＝1，故＋2k ＋ k ＋ 12k ＋ 22k ＋ 1 2 2k ＋ 1填1.2k ＋ 1 2k ＋ 2答案：12k ＋ 12k ＋ 24．解：∵ f ′(x ) ＝ x 2－ 1，且 a n ＋ 1≥f ′(a n ＋ 1) ，∴ a n ＋1≥(a n ＋ 1) 2－ 1.∵函数 g ( x ) ＝ ( x ＋ 1) 2－ 1 在 [1 ，＋∞ ) 上是增函数．于是由 a 1≥1，得 a 2≥(a 1＋ 1) 22－1≥2－ 1，从而 a 3≥(a 2＋ 1) 2－1≥24－ 1>23－ 1，n由此猜想： a n ≥2－ 1.下边用数学概括法证明这个猜想：1①当 n ＝ 1 时， a 1≥2－ 1＝ 1，结论建立；*k②假定 n ＝ k ( k ≥1且 k ∈N ) 时结论建立，即 a k ≥2－1.当 n ＝ ＋1 时，由 ( ) ＝ ( x ＋1) 2 － 1 在区间 [1 ，＋∞ ) 上是增函数知k ＋ 1≥( k ＋ 1) 2 －kg xaa2kk ＋ 11≥2 －1≥2 － 1，即 n ＝k ＋ 1 时，结论也建立．由①②知，对随意 n ∈ N * ，都有na n ≥2－ 1.n1≤ 1即 1＋a n ≥2，∴n ，1＋a2n1 11 ＋ ＋ 111 ＋ 1 ＋ ＋ 1＝ 1－ 1 n ∴＋＋≤ ＋2 3<1.1＋ a 1 1＋ a 2 1＋a 31＋ a n2 n22 2 2。

2020 年高考数学（理）总复习：算法、复数、推理与证明题型一复数的观点与运算【题型重点】复数问题的解题思路(1)以复数的基本观点、几何意义、相等的条件为基础，联合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其余知识联合考察，则要借助其余的有关知识解决问题．【例 1】设有下边四个命题()1p1：若复数 z 知足z∈R，则 z∈R；p2：若复数 z 知足 z2∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1，z2知足 z1z2∈R，则 z1＝Z2；p4：若复数 z∈R，则 z ∈R.此中的真命题为()A ． p1， p3 B． p1， p4C．p2， p3 D． p2， p4【分析】令 z＝a＋ bi(a， b∈R)，则由1＝ 1 ＝a2－bi2∈R得b＝0，所以z∈R，故z a＋ bi a ＋ bp1正确；当 z＝ i 时，因为 z2＝ i 2＝－ 1∈R，而 z＝ i? R知，故 p2不正确；当z1＝ z2＝ i 时，知足 z1·z2＝－ 1∈R，但 z1≠Z2，知 p3不正确；对于 p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它自己，也属于实数，故p4正确，应选 B.【答案】 B【例 2】． i 是虚数单位，复数4＋ 2i－ (1－ i) 2－ 4i ＝ ()1－ 2iA ． 0B ． 2C ．－ 4iD ． 4i【分析】4＋2i－ (1－ i) 2－4i ＝4＋2i1＋2i － (1－ 2i － 1)－ 4i ＝2i ＋ 2i － 4i ＝ 0，所以选1－ 2i1－ 2i 1＋ 2iA.【答案】A【例 3】．已知 a ∈ R ，若 a ＋ 2i是纯虚数，则在复平面内，复数z ＝ ai ＋ i 2018 所对应的点4－ i位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】依题意，a ＋ 2i a ＋ 2i 4＋ i 4a － 2＋ a ＋8 i4a － 2＝ 0 1 ＝ ＝ ，故a ＋ 8≠0，解得 a ＝ .4－ i4－ i 4＋ i172故 z ＝ ai ＋i2018＝12i － 1 在复平面内所对应的点为1, 1，位于第二象限，应选 B.2【答案】 B题组训练一复数的观点与运算1．已知 a ∈ R ， i 是虚数单位．若 a － i与 3i － 5i 互为共轭复数，则a ＝ ()2＋i 2－ i11A. 3 B ．－ 3 C ．－ 3D ． 3a － i a － i 2－ i 2a － 1 － a ＋ 2 i 2a － 1 a ＋ 2 5i ＝ 3i【分析】 2＋ i ＝5 ＝ 5 ＝ 5 － 5 i,3i － 2－ i － 5i 2＋ i － 5＋ 10i a － i 5i 2a － 1 a ＋ 2＝3i 与3i ＝－1，解得 a＝ 3.应选 D.【答案】 D2．已知复数 z 的共轭复数为z 在复平面内对应的点z ＝1＋ 3i(i 为虚数单位 )，则复数1＋i位于()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵ z ＝ 1＋3i(i 为虚数单位 )，∴ z＝ 1－ 3i.则复数z ＝ 1－ 3i＝ 1－ 3i 1－ i ＝－ 2－ 4i＝－ 1－ 2i1 ＋ i 1＋ i 1＋ i 1－ i 2在复平面内对应的点(－ 1，－ 2)位于第三象限．应选 C. 【答案】 C3．“z＝ 1 －1 π(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的 ________条件sin θ＋ cos θ·i 2 6()A ．充足不用要B．必需不充足C．充要D．既不充足也不用要【分析】z＝ 1 －1＝ sin θ－1－ icos θ(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．sin θ＋ cos θ·i 2 2则 sin θ－1＝ 0， cos θ≠0，2ππ解得：θ＝ 2kπ＋或θ＝ 2kπ＋π－ (k∈Z )．6 6∴ z＝ 1π－1(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的必需不充足条sin θ＋ cos θ·i 2 6 件．应选 B.【答案】 B题型二程序框图【题型重点】解答程序框图问题的三个关注点(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向履行直至结束．(2)关注输出的是哪个量，何时结束．(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防备运转程序不完全，同时注意划分计算变量与循环变量．【例 4】履行以下图的程序框图，输出的n 为 ()A ． 1 B． 2C．3 D． 4【分析】当 n＝ 1 时， f(x)＝ 1，知足 f(x)＝ f(－x)，不知足 f(x)＝ 0 有解，故 n＝ 2；当 n ＝2时， f(x)＝2x，不知足 f(x)＝ f(－ x)，故 n＝ 3；当 n＝3 时， f(x) ＝3x2，知足 f(x) ＝f(－ x)，知足 f( x)＝ 0 有解，故输出的n 为 3，应选 C.【答案】 C1＋1＋1＋＋1的值的一个框图，此中菱形判断框内应填【例 5】．如图给出的是计算2 4 620入的条件是 ()A ． i ＞8B． i＞ 9 C．i ＞10D． i＞ 11【分析】经过第一次循环获取S＝1， i ＝ 2，此时的i 应当不知足判断框中的条件21 1经过第二次循环获取S＝＋， i ＝ 3，此时的i 应当不知足判断框中的条件11 1经过第三次循环获取S＝＋＋， i＝ 4，此时的i 应当不知足判断框中的条件经过第十次循环获取S＝12＋14＋16＋＋201，i＝ 11，此时的 i 应当知足判断框中的条件，履行输出故判断框中的条件是i ＞ 10，应选 C.【答案】 C题组训练二程序框图1．以下程序框图输出的 a 的值为 ()A ． 5 B． 0C．－ 5 D． 10【答案】 A2．履行以下图的程序框图，假如输入的x＝ 0，y＝ 1，n＝1，则输出 x，y 的值知足 ()A ． y＝ 2x B． y＝ 3xC．y＝ 4x D． y＝ 5x【分析】输入 x＝ 0， y＝1， n＝ 1，运转第一次，x＝0， y＝ 1，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第二次，x＝12， y＝ 2，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第三次，x＝3， y＝ 6，知足 x2＋ y2≥ 36，2输出 x＝3， y＝ 6. 2因为点3,6在直线y＝4x上，应选C. 2【答案】 C题型三推理与证明【题型重点】合情推理的解题思路(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们适合变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象的性质，而后经过类比，推导出类比对象的性质．(3)概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．【例 6】我国古代数学著作《九章算术》有以下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金1，第 2 关收税金为节余2的1，第 3 关收税金为节余的1，第 4 关收税金为节余的1，第 5 关收税金为节余的1，5 关所3 4 5 6收税金之和，恰巧重 1 斤，问本来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰巧重1 斤，问原本持金多少？”改成“假定这个人本来持金为x，按此规律经过第8 关”，则第 8 关所收税金为____________x.1 1 1 x x【分析】第1 关收税金：2x；第 2 关收税金：3 1 2 x＝6＝2×3；第 3 关收税金：11 1 x ＝x ；412 6x＝12 3×4第 8 关收税金：x＝x. 8×9 721【答案】72【例 7】．已知点A(x1， ax1)、 B( x2， ax2)是函数y＝ a x(a＞ 1)的图象上随意不一样两点，依ax 1＋ ax 2x 1 ＋x 2据图象可知，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图象的上方， 所以有结论＞ a22建立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1， sin x 1 )、 B(x 2， sin x 2)是函数 y ＝ sin x[ x ∈(0 ，π )] 图象上的不一样两点，则近似地有 ________建立．xx【分析】 由题意知， 点 A 、B 是函数 y ＝ a (a ＞ 1)的图象上随意不一样两点， 函数 y ＝ a (a ＞1) 图象下凸，线段 AB 老是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，所以有结论ax 1＋ ax 2＞2x 1 ＋ x 2a 建立；而函数 y ＝ sin x(x ∈ (0，π))图象上凸，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图 2象的下方，所以可类比获取结论sin x 1＋ sin x 2 ＜ sin x 1＋ x 2. 2 2【答案】sin x 1＋ sin x 2x 1＋ x 22＜ sin2题组训练三 推理与证明1．“已知对于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，解对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋ a>0. ” 给出以下的一种解法：【解】 由 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，得 a1x2＋b1＋ c>0 的解集为1,1 ，即x2对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋a>0 的解集为1,1 .2类比上述解法：若对于x 的不等式 b ＋ x ＋ b1,1∪1,1 ，则对于<0 的解集为x ＋a x ＋ c32bx － bx 的不等式－>0 的解集为 ______________________ ．x － a x － c【分析】依据题意，由 b＋ x ＋ b1,1 1 ，<0 的解集为∪,1x ＋a x ＋ c32得 b ＋ － x ＋ b1,11,1 ，－x ＋ c <0 的解集为∪－ x ＋ a23即 b － x － b1, 11,1 .x － a x －c>0的解集为2 ∪ 3【答案】1,1∪1,1232．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品展望以下：甲说： “是 C 或 D 作品获取一等奖”；乙说： “B 作品获取一等奖”；丙说： “A，D 两项作品未获取一等奖”；丁说： “是 C 作品获取一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是________．【分析】若 A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不知足题意，若 B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故知足题意，若 C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不知足题意，若 D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是B.【答案】B题型四 复数代数运算的转变方法【题型重点】(1) 求解复数问题：就是利用复数相等转变为实数问题，此中解法一、二、三用了整体思想，即 x ＋yi 是一个数．(2)解法三是技巧，利用了模的性质：Z 1 Z 1 |z 1·z 2|＝ |z 1| |z ·2|，.Z 2Z 2【例 8】若 i(x ＋ yi) ＝3＋ 4i ， x ， y ∈R ，则复数 x ＋ yi 的模是 ()A ． 2 B． 3 C．4 D． 5 【分析】法一：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 x＋yi ＝3＋4i＝3＋4i －i＝ 4－ 3i，i i － i故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5.法二：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 (－ i)i( x＋ yi) ＝ (－ i) (3·＋ 4i)＝ 4－ 3i，即 x＋ yi ＝ 4－3i ，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5. 法三：∵ i( x＋ yi) ＝ 3＋ 4i∴ |i(x＋ yi)| ＝ |3＋4i|∴ |i||x＋ yi|＝ 5，∴ |x＋ yi|＝ 5.法四：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以－ y＋ xi ＝3＋ 4i，所以 x＝4， y＝－ 3，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝ 42＋－ 3 2＝ 5.【答案】 D题组训练四复数代数运算的转变方法已知 i 是虚数单位，则7＋i＝ ________. 3＋ 4i【分析】7＋ i ＝ 7＋i 3－ 4i ＝ 25－ 25i＝1－i，填1－i.3＋ 4i 25 25【答案】1－ i【专题训练】一、选择题1．设 a， b 是两个实数，给出以下条件：①a＋ b>1；② a＋b＝ 2；③ a＋ b>2；④ a2＋ b2>2；⑤ ab>1.此中能推出：“a，b中起码有一个大于1”的条件是 ()A ．②③B．①②③C．③D．③④⑤【分析】若 a＝1， b＝2，则 a＋b>1 ，但 a<1， b<1，故①推不出；2 3若 a＝b＝ 1，则 a＋ b＝ 2，故②推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 a2＋b2 >2，故④推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 ab>1，故⑤推不出；对于③，即 a＋b>2，则 a， b 中起码有一个大于 1，反证法：假定a≤1且 b≤1，则 a＋ b≤2与 a＋ b>2 矛盾，所以假定不建立，a， b 中起码有一个大于 1.【答案】 C2．若复数z＝1－3i(i 为虚数单位 )，则 |z＋ 1|＝() 1＋ iA ． 3 B． 2 C. 2 D. 5【分析】z＝ 1－3i ＝ 1－ 3i 1－i＝－ 1－2i1＋ i 1＋ i 1－ i 所以 |z＋ 1|＝ 2，应选 B.【答案】 B1，则 z－ |z|对应的点所在的象限为 ()3．已知复数 z＝1－iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵复数 z＝ 1 ＝1＋ i 1＋1 i ，＝1－ i 1－ i 1＋ i 2 22 2 2＋1 i ，∴ z－ |z|＝1＋1i － 1 1 ＝ 1－2 2 2 2 2 2其对应的点 1 2 , 1 所在的象限为第二象限．应选B.2 2【答案】 B4．复数 z＝m－2i( m∈R， i 为虚数单位 )在复平面上对应的点不行能位于() 1＋ 2iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由已知 z＝m－2i＝m－2i1－2i ＝1[(m－ 4)－ 2(m＋1)i] 在复平面对应点假如1＋ 2i 1＋2i 1－ 2i 5在第一象限，则m－ 4＞ 0，而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不行能位于第一象m＋ 1＜ 0，限．应选 A.【答案】 A5．履行以下图的程序框图，若输入m＝ 1， n＝3，输出的 x＝ 1.75 ，则空白判断框内应填的条件为 ( )A ． |m－ n|＜ 1B． |m－ n|＜C．|m－ n|＜D． |m－ n|＜【分析】当第一次履行， x ＝ 2,2 2－3>0， n ＝ 2，返回，第二次履行 3 3 2－3<0 ，x ＝ ， ()22m ＝ 3，返回，第三次， x ＝3＋ 4＝，(7)2－ 3>0，n ＝ 7，要输出 x ，故知足判断框，此时 m2444－n ＝ 3－ 7＝－ 1，应选 B.244 【答案】B6．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生认识考试状况，四名学生回答以下：甲说：“我们四人都没考好 ”；乙说： “我们四人中有人考得好 ”；丙说： “乙和丁起码有一人没考好 ”；丁说： “我没考好 ”．结果，四名学生中有两 人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙【分析】 假如甲对， 则丙、丁都对， 与题意不符， 故甲错， 乙对； 假如丙错， 则丁错， 所以只好是丙对，丁错，应选D.【答案】D7.定义：若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值域同样，则称变换 T 是 f(x)的 “同值变换 ”．下边给出四个函数及其对应的变换 T ，此中不属于 f(x)的 “同值变换 ”的是 ()A ． f(x)＝ (x － 1)2， T ：将函数 f(x)的图象对于 y 轴对称B ．f(x)＝ 2x ＋ 3， T ：将函数 f(x)的图象对于点 ( －1,1)对称C ．f(x)＝ 2x －1－ 1，T ：将函数 f(x)的图象对于 x 轴对称D ． f(x)＝ sin x， T ：将函数 f(x)的图象对于点 (－ 1,0)对称3【分析】A ． f(x)＝ (x － 1)2 对于 y 轴对称的函数是 y ＝ (x ＋ 1)2，值域 (0，＋ ∞)同样；B ．f(x)＝ 2x ＋ 3 对于点 (－ 1,1)对称的函数为 f(x)＝ 2x ＋3，值域 R 同样；C ．f(x)＝ 2x －1－ 1＞－ 1，对于 x 轴对称的函数是 y ＝－ 2x － 1＋ 1＜1，值域不一样；D． f(x)＝ sin x对于(－1,0)对称的函数是y＝－ sin 2 x，值域[－1,1]相3 3同，应选 C.【答案】 C8．履行以下程序框图，若输出i 的值为 3，则输入x 的取值范围是()A ． 0<x<3B． 1<x<3C．1≤x<3D． 1<x≤3【分析】该程序框图履行以下程序：i ＝ 1， x＝ 2x＋ 1； i ＝ 2， x＝ 2(2x＋ 1)＋ 1＝ 4x＋ 3； i ＝ 3， x＝ 2(4x＋ 3)＋ 1 ＝ 8x＋ 7 则由8x＋ 7>15可得 1<x≤3.4x＋ 3≤ 15应选 D.【答案】 D9．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创办的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a， b，c(a＞ b＞ c 且 a，b，c∈N* )，选手最后得分为各项得分之和．已知甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，且乙的马术竞赛获取了第一名，则游泳竞赛的第三名是()A ．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能【分析】∵甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，∴5(a＋ b＋c)＝ 22＋ 9＋9? a＋ b＋ c＝ 8即每个项目三个名次总分是8 分．每个项目的三个名次的分值状况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分；对于状况① 5 分、 2 分、 1 分：乙的马术竞赛获取了第一名， 5 分，余下四个项目共得 4 分，只好是四个第三名；余下四个第一名，若甲得三个第一名，15 分，还有两个项目得7 分不行能，故甲一定得四个第一名，一个第二名，余下一个第三名，四个第二名恰巧切合丙得分，由此可得乙和丙都有可能得第三名．对于状况② 4 分、 3 分、 1 分；同上剖析，应选 D.【答案】 D10．以下图将若干个点摆成三角形图案，每条边(包含两个端点)有 n(n＞ 1， n∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n，则9 ＋9＋9＋＋9＝()a2a3a3a4a4a5a2 015a2 0162 012 2 013A.2 013 B.2 0122 014 2 014C.2 015 D.2 013【分析】每条边有 n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的 3 个极点都被重复计算了一次，所以减 3 个极点，即 a ＝ 3n－ 3，那么9 ＝9 ＝ 1 ＝1－1，则9n a n a n＋1 3n－ 3 ×3n n－ 1 n n－ 1 na2 a3 ＋9 ＋9 ＋＋9a3a4 a4a5 a2 015a2 016＝11 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2014 2015＝ 1－ 1 ＝2 014 ，应选 C.2 015 2 015【答案】 C11．以下数表的结构思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字构成，从第 2 行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()2 015 2 014A．2 017 ×2 B． 2 017 ×22 015 2 014C．2 016 ×2 D． 2 016 ×2【分析】由题意知数表的每一行都是等差数列，且第 1 行数的公差为1，第 2 行数的公差为 2，第 3 行数的公差为4，，第 2 015行数的公差为22 014，第 1 行的第一个数为 2×2－1，第 2 行的第一个数为 3×20，第 3 行的第一个数为 4×21，第 n 行的第一个数为 (n＋ 1) ×2n－2，【答案】 B二、填空题12．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【分析】由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和 2”或“1和 3”，又乙说“我与丙的卡片上同样的数字不是 1”，所以乙只可能为“2和 3”，所以由甲说“我与乙的卡片上同样的数字不是 2”，所以甲只好为“1和 3”．【答案】 1和 3z13．设复数 z 的共轭复数为z ，若 z＝ 1－ i(i 为虚数单位 )，则z＋ z2的虚部为 ________．16【分析】∵ z＝1－ i(i 为虚数单位 )，z 1＋i＋ (1－ i)2＝ 2 － 2i ∴＋ z2＝1＋ iz 1－ i 1－ i 1＋ i＝2i－ 2i＝－ i，故其虚部为－ 1. 2【答案】－ 114．履行以下图所示的程序框图，则S 的值为 ()A．16 B． 32C．64 D． 128【分析】模拟程序的运转，可得i＝ 1， S＝ 1，履行循环体，S＝ 2， i＝ 2，知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 8， i ＝ 4.知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 128， i ＝8.此时，不知足条件i ≤4，退出循环，输出S 的值为 128.故答案为 D.【答案】 D15． 2016 年夏天大美青海又迎来了旅行热，甲、乙、丙三位旅客被咨询能否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方．由此可判断乙去过的地方为____________ ．【分析】由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只好是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一个地方，则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖．【答案】陆心之海青海湖16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年 )一书中，用以以下图 1 所示的三角形，解说二项和的乘方规律．在欧洲直到1623 年此后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作 (1655 年 )介绍了这个三角形．最近几年来外国也渐渐认可这项成就属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle) 如图 1,17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”以以下图 2.在杨辉三角中相邻两行知足关系式：r r＋1 r＋1C n＋C n ＝ C n＋1，此中 n 是行数， r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行知足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1C n0 C n1 C n r C n n－1 C n n图 11 12 21 1 13 6311 1 14 12 12 41 1 1 1 1520 3020 51 1 1 1 1 16 30 60 60 30 6111 1r1110 111n －11nC n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1 C n C n ＋1C n图 2【分析】 类比察看得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数11，而相邻两项之C n ＋1和是上一行的二者相拱之数， 所以类比式子 C r n ＋ C n r ＋ 1＝C nr ＋＋11，有 1 1 r＝11 r ＋ 1 1r ＋ 1.C n ＋1C nC n ＋ 2C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1【答案】1＝ 1 1 11r r ＋ 1r ＋1C n ＋1C n C n ＋2 C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1。

第2讲算法与程序框图1．算法与程序框图(1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤；②应用：算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构及相应语句导师提醒注意区分两种循环结构的不同(1)当型循环结构：先判断是否满足条件,若满足条件,则执行循环体．(2)直到型循环结构：先执行循环体,再判断是否满足条件,直到满足条件时结束循环．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)一个程序框图一定包含顺序结构,但不一定包含条件结构和循环结构．( ) (2)条件结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的．( ) (3)输入框只能紧接开始框,输出框只能紧接结束框．( )(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．( ) (5)在算法语句中,x ＝x ＋1是错误的．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×执行如图所示的程序框图,若输入x ＝2,则输出的y 值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.因为2>0,所以y ＝2×2－3＝1. 执行如图所示的程序框图,输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53D.85解析：选C.运行该程序,k ＝0,s ＝1,k <3； k ＝0＋1＝1,s ＝1＋11＝2,k <3；k ＝1＋1＝2,s ＝2＋12＝32,k <3；k ＝1＋2＝3,s ＝32＋132＝53,k ＝3.输出的s 值为53.故选C.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为________．解析：由题意知i ＝2,S ＝20－2＝18；i ＝4,S ＝18－4＝14；i ＝8,S ＝14－8＝6, 满足i >5的条件,结束循环,输出S 的值为6. 答案：6顺序结构与条件结构(自主练透)1．给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的x 值与输出的y 值相等,则这样的x 值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由程序框图知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2＜x ≤5，1x ，x ＞5，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x 2＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧2＜x ≤5，2x －3＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，1x＝x .解得x ＝0或x ＝1或x ＝3,这样的x 值的个数是3.2．执行如图所示的程序框图,如果输入的t ∈[－1,3],则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：选A.由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t <1时,s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时,s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4,所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3,4],即输出的s 属于[－3,4]．3．执行如图的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为( )A．x>3? B．x>4?C．x≤4? D．x≤5?解析：选B.因为log24＝2,4＋2＝6,所以当x＝4时,应执行否．结合选项知选B.顺序结构和条件结构的运算方法(1)顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题,只需分清运算步骤、赋值量及其范围进行逐步运算即可．(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能,然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．(3)对于条件结构,无论判断框中的条件是否成立,都只能执行两个分支中的一个,不能同时执行两个分支．循环结构(多维探究)角度一由程序框图求输出结果(1)(2019·合肥调研性检测)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A．9 B．19C．33 D．51(2)(2019·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n ,x 的值分别为3,3,则输出v 的值为( )A ．15B ．16C ．47D ．48【解析】 (1)m ＝1,S ＝1,满足条件,S ＝1＋2×1＝3,m ＝1＋2＝3；满足条件,S ＝3＋2×3＝9,m ＝3＋2＝5；满足条件,S ＝9＋2×5＝19,m ＝5＋2＝7；满足条件,S ＝19＋2×7＝33,m ＝7＋2＝9,不满足条件,输出的S 的值为33,故选C.(2)执行程序框图,n ＝3,x ＝3,v ＝1,i ＝2≥0,v ＝1×3＋2＝5,i ＝1≥0；v ＝5×3＋1＝16,i ＝0≥0；v ＝16×3＋0＝48,i ＝－1<0,退出循环,输出v 的值为48.故选D.【答案】 (1)C (2)D角度二 由输出结果判断输入量的值(1)(2019·贵阳模拟)某算法的程序框图如图所示,若输出的y ＝12,则输入的x 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．0(2)执行如图的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 (1)由程序框图知,当x ≤2时,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＝12,x ∈Z ,得π6x ＝π6＋2k π(k ∈Z )或π6x ＝5π6＋2k π(k ∈Z ),即x ＝1＋12k (k ∈Z )或x ＝5＋12k (k ∈Z ),所以x max ＝1；当x >2时,y ＝2x >4≠12.故选B.(2)S ＝0＋100＝100,M ＝－10,t ＝2,100>91；S ＝100－10＝90,M ＝1,t ＝3,90<91,输出S ,此时,t ＝3不满足t ≤N ,所以输入的正整数N 的最小值为2,故选D.【答案】 (1)B (2)D角度三 辨析程序框图的算法功能(1)如图所示的程序框图,该算法的功能是( )A ．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n ＋1＋2n )的值B ．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n )的值C ．计算(1＋2＋3＋…＋n )＋(20＋21＋22＋…＋2n －1)的值D ．计算[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n )的值(2)(2019·长春质量检测(一))已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是( )A ．求首项为1,公差为2的等差数列的前2 017项和B ．求首项为1,公差为2的等差数列的前2 018项和C ．求首项为1,公差为4的等差数列的前1 009项和D ．求首项为1,公差为4的等差数列的前1 010项和【解析】 (1)初始值k ＝1,S ＝0,第1次进入循环体时,S ＝1＋20,k ＝2；当第2次进入循环体时,S ＝1＋20＋2＋21,k ＝3,…；给定正整数n ,当k ＝n 时,最后一次进入循环体,则有S ＝1＋20＋2＋21＋…＋n ＋2n －1,k ＝n ＋1,终止循环体,输出S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(20＋21＋22＋…＋2n －1),故选C.(2)由程序框图可得S ＝1＋5＋9＋…＋4 033,故该算法的功能是求首项为1,公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.【答案】 (1)C (2)C角度四 完善程序框图(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)如图程序框图是为了求出满足3n －2n >1 000的最小偶数n ,那么在和 两个空白框中,可以分别填入( )A．A>1 000和n＝n＋1B．A>1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋2【解析】(1)由程序框图的算法功能知执行框N＝N＋1i计算的是连续奇数的倒数和,而执行框T＝T＋1i＋1计算的是连续偶数的倒数和,所以在空白执行框中应填入的命令是i＝i ＋2,故选B.(2)因为要求的是最小偶数n,所以执行框中应填入n＝n＋2,排除A,C；判断框中填入A≤1 000时,才能循环,排除B,故选D.【答案】(1)B(2)D与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知程序框图,求输出的结果,可按程序框图的流程依次执行,最后得出结果．(2)完善程序框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断．[提醒](1)注意区分当型循环和直到型循环．(2)循环结构中要正确控制循环次数．(3)要注意各个框的顺序．1．(2019·洛阳第一次联考)执行如图所示的程序框图,若输入m＝209,n＝121,则输出的m 的值为()A ．0B ．11C ．22D ．88解析：选B.当m ＝209,n ＝121时,m 除以n 的余数r ＝88,此时m ＝121,n ＝88,m 除以n 的余数r ＝33,此时m ＝88,n ＝33,m 除以n 的余数r ＝22,此时m ＝33,n ＝22,m 除以n 的余数r ＝11,此时m ＝22,n ＝11,m 除以n 的余数r ＝0,此时m ＝11,n ＝0,退出循环,输出m 的值为11,故选B.2．(2019·辽宁五校联合体模拟)我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今有器中米,不知其数．前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升．问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S ＝1.5(单位：升),则输入k 的值为( )A ．4.5B ．6C ．7.5D ．9解析：选B.由程序框图知S ＝k －k 2－k 2×3－k 3×4＝1.5,解得k ＝6,故选B.3．(2019·武汉调研)执行如图所示的程序框图,如果输入的a 依次为2,2,5时,输出的s 为17,那么在判断框中可以填入( )A．k<n?B．k>n?C．k≥n?D．k≤n?解析：选B.执行程序框图,输入的a＝2,s＝0×2＋2＝2,k＝1；输入的a＝2,s＝2×2＋2＝6,k＝2；输入的a＝5,s＝2×6＋5＝17,k＝3,此时结束循环,又n＝2,所以判断框中可以填“k>n？”,故选B.1．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法,下面给出了程序的一部分,则在①处不能填入的数是()S＝1i＝3WHILE i<①S＝S*ii＝i＋2WENDPRINT SENDA．13B．13.5C．14 D．14.5解析：选 A.若填13,当i＝11＋2＝13时,不满足条件,终止循环,因此得到的是1×3×5×7×9×11的计算结果,故不能填13,但填的数字只要超过13且不超过15时均可保证终止循环,得到的是1×3×5×7×9×11×13的计算结果．2．下列程序执行后输出的结果是________．i＝11S＝1DOS＝S*ii＝i－1LOOP UNTIL i<9PRINT SEND解析：程序反映出的算法过程为i＝11⇒S＝11×1,i＝10；i＝10⇒S＝11×10,i＝9；i＝9⇒S＝11×10×9,i＝8；i＝8<9退出循环,执行“PRINT S”．故S＝990.答案：9903．表示函数y＝f(x)的程序如图所示INPUT xIF x＞0THENy＝1ELSEIF x＝0THENy＝0ELSEy＝－1END IFEND IFPRINT yEND则关于函数y＝f(x)有下列结论：①y＝f(x)的图象关于原点对称；②y＝f(x)的值域为[－1,1]；③y＝f(x)是周期为1的周期函数；④y＝f(x)在R上是增函数；⑤函数y＝f(x)－kx(k＞0)有三个零点．其中正确结论的序号为________．(填上所有正确结论的序号)解析：由程序知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0,其图象如图图象关于原点对称,①正确；值域为{1,0,－1},②错误；不是周期函数,在R 上也不是增函数,③④错误；当k ＞0时,y ＝f (x )与y ＝kx 有三个交点,故⑤正确．答案：①⑤[基础题组练]1．(2019·辽宁五校协作体联考)执行如图所示的程序框图,如果输入的x ＝－10,则输出的y ＝( )A ．0B ．1C ．8D ．27解析：选C.开始x ＝－10,满足条件x ≤0,x ＝－7；满足条件x ≤0,x ＝－4；满足条件x ≤0,x ＝－1；满足条件x ≤0,x ＝2,不满足条件x ≤0,不满足条件x >3,y ＝23＝8.故输出的y ＝8.故选C.2．(2019·南宁模拟)执行如图所示的程序框图,那么输出S 的值是( )A ．－1B ．2 C.12D ．1解析：选B.运行框图,首先给变量S ,k 赋值,S ＝2,k ＝2 015.判断2 015<2 018,S ＝11－2＝－1,k ＝2 015＋1＝2 016,判断2 016<2 018,S ＝11－（－1）＝12,k ＝2 016＋1＝2 017,判断2017<2 018,S ＝11－12＝2,k ＝2 017＋1＝2 018,判断2 018<2 018不成立,输出S ,此时S ＝2.故选B.3．(2019·洛阳模拟)执行如图程序框图,若输入的n 为2 018,则输出的是( )A ．前 1 008 个正偶数的和B ．前 1 009 个正偶数的和C ．前 2 016 个正整数的和D ．前 2 018 个正整数的和解析：选B.模拟程序的运行过程知,该程序运行后计算并输出S ＝2＋4＋6＋…＋2 018 的值．故选B.4．执行如图所示的程序框图,若输出i 的值为2,则输入x 的最大值是( )A ．5B ．6C ．11D ．22解析：选D.执行该程序可知⎩⎨⎧x2－1>3，12⎝⎛⎭⎫x 2－1－2≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >8，x ≤22，即8<x ≤22,所以输入x 的最大值是22.5．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为－4时,条件框内应填写( )A ．i >3?B ．i <5?C ．i >4?D ．i <4?解析：选D.由程序框图可知,S ＝10,i ＝1；S ＝8,i ＝2；S ＝4,i ＝3；S ＝－4,i ＝4.由于输出的S ＝－4.故应跳出循环,故选D.6．(2019·湖南湘东五校联考)若[x ]表示不超过x 的最大整数,则如图中的程序框图运行之后输出的结果为( )A ．600B ．400C ．15D ．10解析：选B.根据题意,得[19940]＝[4.975]＝4,所以该程序框图运行后输出的结果是40个0,40个1,40个2,40个3,40个4的和,所以输出的结果为S ＝40＋40×2＋40×3＋40×4＝400.故选B.7．执行如图的程序框图,如果输入的a ＝－1,则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.由程序框图可得S ＝0,a ＝－1,K ＝1≤6； S ＝0＋(－1)×1＝－1,a ＝1,K ＝2≤6； S ＝－1＋1×2＝1,a ＝－1,K ＝3≤6； S ＝1＋(－1)×3＝－2,a ＝1,K ＝4≤6； S ＝－2＋1×4＝2,a ＝－1,K ＝5≤6； S ＝2＋(－1)×5＝－3,a ＝1,K ＝6≤6；S ＝－3＋1×6＝3,a ＝－1,K ＝7>6,退出循环,输出S ＝3.故选B.8．(2019·开封模拟)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前300年前,如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b ”表示a 除以b 的余数),若输入的a ,b 分别为675,125,则输出的a ＝( )A ．0B ．25C ．50D ．75解析：选B.初始值：a ＝675,b ＝125,第一次循环：c ＝50,a ＝125,b ＝50；第二次循环：c ＝25,a ＝50,b ＝25；第三次循环：c ＝0,a ＝25,b ＝0,此时不满足循环条件,退出循环．输出a 的值为25,故选B.9．执行如图的程序框图,如果输入的x ＝0,y ＝1,n ＝1,则输出x ,y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：选C.x ＝0,y ＝1,n ＝1,x ＝0,y ＝1,n ＝2；x ＝12,y ＝2,n ＝3；x ＝32,y ＝6,此时x 2＋y 2>36,输出x ＝32,y ＝6,满足y ＝4x .故选C. 10．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14解析：选B.开始：a ＝14,b ＝18,第一次循环：a ＝14,b ＝4；第二次循环：a ＝10,b ＝4； 第三次循环：a ＝6,b ＝4；第四次循环：a ＝2,b ＝4； 第五次循环：a ＝2,b ＝2. 此时,a ＝b ,退出循环,输出a ＝2.11．(2019·石家庄模拟)如图是计算1＋13＋15＋…＋131的值的程序框图,则图中①②处可以填写的语句分别是( )A ．n ＝n ＋2,i >16?B ．n ＝n ＋2,i ≥16?C ．n ＝n ＋1,i >16?D ．n ＝n ＋1,i ≥16?解析：选 A.式子1＋13＋15＋…＋131中所有项的分母构成公差为2的等差数列1,3,5,…,31,31＝1＋(k －1)×2,k ＝16,共16项,故选A.12．(2019·郑州第一次质量预测)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是7,则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30,42]B ．(30,42)C ．(42,56]D ．(42,56)解析：选 A.k ＝1,S ＝2,k ＝2,S ＝2＋4＝6,k ＝3,S ＝6＋6＝12,k ＝4,S ＝12＋8＝20,k ＝5,S ＝20＋10＝30,k ＝6,S ＝30＋12＝42,k ＝7,此时不满足S ＝42<m 退出循环,所以30<m ≤42,故选A.13．程序框图如图,若输入的S ＝1,k ＝1,则输出的S 为________．解析：第一次循环,k ＝2,S ＝4；第二次循环,k ＝3,S ＝11；第三次循环,k ＝4,S ＝26；第四次循环,k ＝5,S ＝57.此时,终止循环,输出的S ＝57.答案：5714．执行如图所示的程序框图,输出的s 的值为________．解析：依题意,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sinn π3的项以6为周期重复出现,且前6项和等于0,因为2 017＝6×336＋1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sinn π3的前2 017项和等于336×0＋sin π3＝32,执行题中的程序框图,输出s 的值等于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sinn π3的前2 017项和,等于32.答案：3215．执行如图所示的程序框图,输出的结果为________．解析：第一步：s ＝1－1＝0,t ＝1＋1＝2,x ＝0,y ＝2,k ＝1＜3； 第二步：s ＝－2,t ＝2,x ＝－2,y ＝2,k ＝2＜3；第三步：s ＝－4,t ＝0,x ＝－4,y ＝0,k ＝3,结束循环．故输出的结果为(－4,0)． 答案：(－4,0)16．(2019·陕西教学质量检测(一))执行如图所示的程序框图,设输出的数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数y ＝x a ,x ∈[0,＋∞)是增函数的概率为________．解析：执行程序框图,x ＝－3,y ＝3；x ＝－2,y ＝0；x ＝－1,y ＝－1；x ＝0,y ＝0；x ＝1,y ＝3；x ＝2,y ＝8；x ＝3,y ＝15；x ＝4,退出循环．则集合A 中的元素有－1,0,3,8,15,共5个,若函数y ＝x a ,x ∈[0,＋∞)为增函数,则a >0,所以所求的概率为35.答案：35[综合题组练]1．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民的数学智慧,其中有一竹节容量问题,某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图,若输出的m 的值为35,则输入的a的值为()A．4 B．5C．7 D．11解析：选A.起始阶段有m＝2a－3,i＝1,第一次循环,m＝2(2a－3)－3＝4a－9,i＝2；第二次循环,m＝2(4a－9)－3＝8a－21,i＝3；第三次循环,m＝2(8a－21)－3＝16a－45,i＝4；接着计算m＝2(16a－45)－3＝32a－93,跳出循环,输出m＝32a－93,令32a－93＝35,得a＝4.2．执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的x的值为7,第二次输入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0,0 B．1,1C．0,1 D．1,0解析：选D.当输入x＝7时,b＝2,因为b2＞x不成立且x不能被b整除,故b＝3,这时b2＞x成立,故a＝1,输出a的值为1.当输入x＝9时,b＝2,因为b2＞x不成立且x不能被b整除,故b＝3,这时b2＞x不成立且x能被b整除,故a＝0,输出a的值为0.3．(2019·山西八校第一次联考)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法．已知f(x)＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1,如图所示的程序框图是求f(x0)的值,在“”中应填的语句是()A．n＝i B．n＝i＋1C．n＝2 018－i D．n＝2 017－i解析：选C.由秦九韶算法得f(x)＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1＝(…((2 018x＋2 017)x＋2 016)x＋…＋2)x＋1,所以程序框图的执行框内应填写的语句是n＝2 018－i,故选C.4．(综合型)(2019·福州模拟)如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子定理”．图中的Mod(N,m)＝n表示正整数N除以正整数m后的余数为n,例如Mod(10,3)＝1.执行该程序框图,则输出的i等于()A．23 B．38C．44 D．58解析：选A.执行程序框图,i＝2,Mod(2,3)＝2,Mod(2,5)＝2≠3,i＝3,Mod(3,3)＝0≠2,i ＝4,Mod(4,3)＝1≠2,i＝5,Mod(5,3)＝2,Mod(5,5)＝0≠3,i＝6,Mod(6,3)＝0≠2,i＝7,Mod(7,3)＝1≠2,i＝8,Mod(8,3)＝2,Mod(8,5)＝3,Mod(8,7)＝1≠2,i＝9,Mod(9,3)＝0≠2,i＝10,Mod(10,3)＝1≠2,i＝11,Mod(11,3)＝2,Mod(11,5)＝1≠3,i＝12,Mod(12,3)＝0≠2,i＝13,Mod(13,3)＝1≠2,i＝14,Mod(14,3)＝2,Mod(14,5)＝4≠3,i＝15,Mod(15,3)＝0≠2,i＝16,Mod(16,3)＝1≠2,i＝17,Mod(17,3)＝2,Mod(17,5)＝2≠3,i＝18,Mod(18,3)＝0≠2,i＝19,Mod(19,3)＝1≠2,i＝20,Mod(20,3)＝2,Mod(20,5)＝0≠3,i＝21,Mod(21,3)＝0≠2,i＝22,Mod(22,3)＝1≠2,i＝23,Mod(23,3)＝2,Mod(23,5)＝3,Mod(23,7)＝2,结束循环,所以输出的i＝23.故选A.。

[基础题组练]1.用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时,第一步证明中的起始值n 0应取( )A.2B.3C.5D.6解析:选C.当n ＝1时,21＝2＝12＋1, 当n ＝2时,22＝4<22＋1＝5, 当n ＝3时,23＝8<32＋1＝10, 当n ＝4时,24＝16<42＋1＝17, 当n ＝5时,25＝32>52＋1＝26,当n ＝6时,26＝64>62＋1＝37,故起始值n 0应取5.2.设f (x )是定义在正整数集上的函数,且f (x )满足:当f (k )≥k ＋1成立时,总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立,那么下列命题总成立的是( )A.若f (1)<2成立,则f (10)<11成立B.若f (3)≥4成立,则当k ≥1时,均有f (k )≥k ＋1成立C.若f (2)<3成立,则f (1)≥2成立D.若f (4)≥5成立,则当k ≥4时,均有f (k )≥k ＋1成立解析:选 D.当f (k )≥k ＋1成立时,总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立,说明如果当k ＝n 时,f (n )≥n ＋1成立,那么当k ＝n ＋1时,f (n ＋1)≥n ＋2也成立,所以如果当k ＝4时,f (4)≥5成立,那么当k ≥4时,f (k )≥k ＋1也成立.3.用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ,则当n ＝k ＋1时,左端应在n ＝k 的基础上加上( )A.12k ＋2B.－12k ＋2C.12k ＋1－12k ＋2D.12k ＋1＋12k ＋2 解析:选C.因为当n ＝k 时,左端＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ,当n ＝k ＋1时,左端＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.所以,左端应在n ＝k 的基础上加上12k ＋1－12k ＋2. 4.已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2,则f (k ＋1)与f (k )的关系是( ) A.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2B.f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)2C.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋2)2D.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2解析:选A.f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋[2(k ＋1)]2＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.5.利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2,n ∈N *)的过程中,由n ＝k到n ＝k ＋1时,左边增加了( )A.1项B.k 项C.2k －1项D.2k 项解析:选D.令不等式的左边为g (n ),则g (k ＋1)－g (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k＋1＋…＋12k ＋1－1－⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1,其项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k ＋1－2k ＝2k . 故左边增加了2k 项.6.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *,n >1)时,第一步应验证的不等式是________.解析:由n ∈N *,n >1知,n 取第一个值n 0＝2, 当n ＝2时,不等式为1＋12＋13<2.答案:1＋12＋13<27.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2)的过程中,由n ＝k 推导n ＝k ＋1时,不等式的左边增加的式子是________.解析:不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1（2k ＋1）（2k ＋2）,故填1（2k ＋1）（2k ＋2）.答案:1（2k ＋1）（2k ＋2）8.用数学归纳法证明122＋132＋…＋1（n ＋1）2>12－1n ＋2,假设n ＝k 时,不等式成立,则当n ＝k ＋1时,应推证的目标不等式是________________.答案:122＋132＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2>12－1k ＋39.用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2.证明:(1)当n ＝1时,左边＝12＝1,右边＝(－1)0×1×（1＋1）2＝1,左边＝右边,原等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1,k ∈N *)时等式成立,即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k－1·k （k ＋1）2.那么,当n ＝k ＋1时,12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k －1·k （k ＋1）2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k ·（k ＋1）（k ＋2）2.所以当n ＝k ＋1时,等式也成立, 由(1)(2)知,对任意n ∈N *,都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2.10.已知整数p >1,证明:当x >－1且x ≠0时,(1＋x )p >1＋px . 证明:用数学归纳法证明.①当p ＝2时,(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ,原不等式成立. ②假设当p ＝k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1＋x )k >1＋kx 成立.则当p ＝k ＋1时,(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x >－1且x ≠0时,对一切整数p >1, 不等式(1＋x )p >1＋px 均成立.[综合题组练]1.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立.证明:①当n ＝2时,左边＝1＋13＝43,右边＝52.因为左边>右边,所以不等式成立.②假设当n ＝k (k ≥2,且k ∈N *)时不等式成立,即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时,⎝⎛⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1⎣⎡⎦⎤1＋12（k ＋1）－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2（k ＋1）＋12.所以当n ＝k ＋1时,不等式也成立.由①②知,对于一切大于1的自然数n ,不等式都成立. 2.已知数列{x n }满足x 1＝12,且x n ＋1＝x n2－x n (n ∈N *).(1)用数学归纳法证明:0<x n <1； (2)设a n ＝1x n,求数列{a n }的通项公式.解:(1)证明:①当n ＝1时,x 1＝12∈(0,1),不等式成立.②假设当n ＝k (k ∈N *,k ≥1)时,不等式成立, 即x k ∈(0,1), 则当n ＝k ＋1时,x k ＋1＝x k2－x k, 因为x k ∈(0,1),所以2－x k >0,即x k ＋1>0. 又因为x k ＋1－1＝2（x k －1）2－x k <0,所以0<x k ＋1<1.综合①②可知0<x n <1.(2)由x n ＋1＝x n 2－x n 可得1x n ＋1＝2－x n x n ＝2x n －1,即a n ＋1＝2a n －1,所以a n ＋1－1＝2(a n －1). 令b n ＝a n －1,则b n ＋1＝2b n ,又b 1＝a 1－1＝1x 1－1＝1,所以{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列, 即b n ＝2n －1,所以a n ＝2n －1＋1.3.将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),…分别计算各组包含的正整数的和如下:S 1＝1,S2＝2＋3＝5,S3＝4＋5＋6＝15,S4＝7＋8＋9＋10＝34,S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65,S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111,…试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果,并用数学归纳法证明.解:由题意知,当n＝1时,S1＝1＝14；当n＝2时,S1＋S3＝16＝24；当n＝3时,S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时,S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想:S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明:(1)当n＝1时,S1＝1＝14,等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*,k≥1)时等式成立,即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4,那么,当n＝k＋1时,S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4, 所以当n＝k＋1时,等式也成立.根据(1)和(2)可知,对于任意的n∈N*,S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立.。

一、知识梳理１．推理（１）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．（２）分类：推理错误!２．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理（１）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．（２）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．（３）模式：三段论错误!二、教材衍化１．已知在数列{a n}中，a１＝１，当n≥２时，a n＝a n—１＋２n—１，依次计算a２，a３，a４后，猜想a n的表达式是（）Ａ．a n＝３n—１Ｂ．a n＝４n—３Ｃ．a n＝n２Ｄ．a n＝３n—１解析：选Ｃ．a２＝a１＋３＝４，a３＝a２＋５＝9，a４＝a３＋7＝１6，a１＝１２，a２＝２２，a３＝３２，a４＝４２，猜想a n＝n２.２．对于任意正整数n，２n与n２的大小关系为（）Ａ．当n≥２时，２n≥n２Ｂ．当n≥３时，２n≥n２Ｃ．当n≥４时，２n>n２Ｄ．当n≥５时，２n>n２解析：选Ｄ．当n＝２时，２n＝n２；当n＝３时，２n<n２；当n＝４时，２n＝n２；当n＝５时，２n>n２；当n＝6时，２n>n２；归纳判断，当n≥５时，２n>n２.故选Ｄ．３．在等差数列{a n}中，若a１0＝0，则有a１＋a２＋…＋a n＝a１＋a２＋…＋a１9—n（n<１9，n∈N+）成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝１，则存在的等式为________．解析：利用类比推理，借助等比数列的性质，b错误!＝b１＋n·b１7—n，可知存在的等式为b１b２…b n ＝b１b２…b１7—n（n<１7，n∈N*）．答案：b１b２…b n＝b１b２…b１7—n（n<１7，n∈N*）一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．（）（２）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．（）（３）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（）（４）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）归纳推理没有找出规律；（２）类比推理类比规律错误．１．在△ABC中，不等式错误!＋错误!＋错误!≥错误!成立；在凸四边形ABCD中，不等式错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!成立；在凸五边形ABCDE中，不等式错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!成立…依此类推，在凸n边形A１A２…A n中，不等式错误!＋错误!＋…＋错误!≥__________________________成立．解析：因为错误!＋错误!＋错误!≥错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＝错误!，…，所以错误!＋错误!＋…＋错误!≥错误!（n∈N+，n≥３）．答案：错误!（n∈N+，n≥３）２．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S１，外接圆面积为S２，则错误!＝错误!，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P­ABC的内切球体积为V１，外接球体积为V２，则错误!＝________．解析：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比为３∶１，故正四面体P­ABC的内切球体积V１与外接球体积V２之比等于错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：错误!归纳推理（多维探究）角度一与数字有关的推理有一个奇数组成的数阵排列如下：１３7 １３２１…５9 １５２３……１１１7 ２５………１9 ２7 …………２9 ……………………………则第３0行从左到右第３个数是________．【解析】观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第３0行的第１个数是１＋４＋6＋8＋１0＋…＋60＝错误!—１＝9２9．又第n行从左到右的第２个数比第１个数大２n，第３个数比第２个数大２n＋２，所以第３0行从左到右的第２个数比第１个数大60，第３个数比第２个数大6２，故第３0行从左到右第３个数是9２9＋60＋6２＝１0５１．【答案】１0５１角度二与等式有关的推理（１）已知１３＋２３＝错误!错误!，１３＋２３＋３３＝错误!错误!，１３＋２３＋３３＋４３＝错误!错误!，….若１３＋２３＋３３＋４３＋…＋n３＝３0２５，则n＝（）Ａ．8 Ｂ．9Ｃ．１0 Ｄ．１１（２）观察下列等式：错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×１×２；错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×２×３；错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝错误!×３×４；错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝错误!×４×５；……照此规律，错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝__________．【解析】（１）观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n３时，等号右边的数为错误!错误!，因此，令错误!错误!＝３0２５，则错误!＝５５，所以n＝１0．故选Ｃ．（２）每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为错误!n（n＋１）．【答案】（１）C （２）错误!n（n＋１）角度三与不等式有关的推理已知x∈（0，＋∞），观察下列各式：x＋错误!≥２，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥３，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥４，…，类比得x＋错误!≥n＋１（n∈N+），则a＝________．【解析】第一个式子是n＝１的情况，此时a＝１１＝１；第二个式子是n＝２的情况，此时a＝２２＝４；第三个式子是n＝３的情况，此时a＝３３＝２7，归纳可知a＝n n.【答案】n n角度四与图形变化有关的推理（１）图１是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图２是第１代“勾股树”，重复图２的作法，得到图３为第２代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为１，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）Ａ．nＢ．n２Ｃ．n—１Ｄ．n＋１（２）我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的１２３４为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（n）的表达式为（）Ａ．f（n）＝２n—１Ｂ．f（n）＝２n２Ｃ．f（n）＝２n２—２nＤ．f（n）＝２n２—２n＋１【解析】（１）最大的正方形面积为１，当n＝１时，由勾股定理知正方形面积的和为２，依次类推，可得所有正方形面积的和为n＋１．故选Ｄ．（２）我们考虑f（２）—f（１）＝４，f（３）—f（２）＝8，f（４）—f（３）＝１２，…，结合图形不难得到f（n）—f（n—１）＝４（n—１），累加得f（n）—f（１）＝２n（n—１）＝２n２—２n，故f（n）＝２n２—２n＋１．【答案】（１）D （２）D错误!归纳推理问题的常见类型及解题策略（１）与“数字”相关的问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．（２）与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看，找出隐含规律．（３）与图形有关的推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．１．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：２错误!＝错误!，３错误!＝错误!，４错误!＝错误!，５错误!＝错误!，则按照以上规律，若8错误!＝错误!具有“穿墙术”，则n＝（）Ａ．３５Ｂ．４8Ｃ．6３Ｄ．80解析：选Ｃ．根据规律得３＝１×３，8＝２×４，１５＝３×５，２４＝４×6，…，所以n＝7×9＝6３．故选Ｃ．２．从１开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）Ａ．２0１8 Ｂ．２0１9Ｃ．２0２0 Ｄ．２0２１解析：选Ｄ．根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋１４，a＋１５，a＋１6，a＋１7，a＋１8，这九个数之和为a＋３a＋２４＋５a＋80＝9a＋１0４．由9a＋１0４＝２0２１，得a＝２１３，是自然数，故选Ｄ．３．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在２0世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图（１）所示的分形规律可得如图（２）所示的一个树形图．若记图（２）中第n行黑圈的个数为a n，则a２0１8＝________．解析：根据题图（１）所示的分形规律，可知１个白圈分形为２个白圈１个黑圈，１个黑圈分形为１个白圈２个黑圈，把题图（２）中的树形图的第１行记为（１，0），第２行记为（２，１），第３行记为（５，４），第４行的白圈数为２×５＋４＝１４，黑圈数为５＋２×４＝１３，所以第４行的“坐标”为（１４，１３），同理可得第５行的“坐标”为（４１，４0），第6行的“坐标”为（１２２，１２１），….各行黑圈数乘２，分别是0，２，8，２6，80，…，即１—１，３—１，9—１，２7—１，8１—１，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数a n＝错误!（n∈N*），所以a２0１8＝错误!.答案：错误!类比推理（师生共研）（１）等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则数列错误!为等差数列，公差为错误!.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q，前n项的积为T n，则等比数列{错误!}的公比为（）Ａ．错误!Ｂ．q２Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）在平面上，设h a，h b，h c是△ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a，P b，P c，我们可以得到结论：错误!＋错误!＋错误!＝１．把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为________．【解析】（１）由题意知，T n＝b１·b２·b３·…·b n＝b１·b１q·b１q２·…·b１q n—１＝b错误!q１＋２＋…＋（n—１）＝b错误!q错误!，所以错误!＝b１q错误!，所以等比数列{错误!}的公比为错误!，故选Ｃ．（２）设h a，h b，h c，h d分别是三棱锥A­BCD四个面上的高，P为三棱锥A­BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为P a，P b，P c，P d，于是可以得出结论：错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝１．（３）在双曲线中，设△ABC的外接圆的半径为r，则|AB|＝２r sin C，|AC|＝２r sin B，|BC|＝２r sin A，则由双曲线的定义得||BA|—|BC||＝２a，|AC|＝２c，则双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!.【答案】（１）C （２）错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝１（３）错误!＝错误!错误!类比推理的分类已知正三角形内切圆的半径r与它的高h的关系是r＝错误!h，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体的高h的关系是________．解析：球心到正四面体一个面的距离即内切球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以４×错误!S×r＝错误!×S×h，所以r＝错误!h（其中S为正四面体一个面的面积）．答案：r＝错误!h演绎推理（师生共研）（１）某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（）Ａ．今天是周六Ｂ．今天是周四Ｃ．A车周三限行Ｄ．C车周五限行（２）已知函数y＝f（x）满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af（a）＋bf（b）>af（b）＋bf（a），试证明：f（x）为R上的增函数．【解】（１）选Ｂ．因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二，也不是周六，所以今天是周四，故选Ｂ．（２）证明：设x１，x２∈R，取x１<x２，则由题意得x１f（x１）＋x２f（x２）>x１f（x２）＋x２f（x１），所以x１[f（x１）—f（x２）]＋x２[f（x２）—f（x１）]>0，[f（x２）—f（x１）]（x２—x１）>0，因为x１<x２，所以f（x２）—f（x１）>0，f（x２）>f（x１）．综上，y＝f（x）为R上的增函数．错误!演绎推理的推证规则（１）演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．（２）在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．１．（２0２0·陕西铜川模拟）沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F 尝试做了，并且这6人中只有１人答对了．同学甲猜测：D或E答对了．同学乙猜测：C不可能答对．同学丙猜测：A，B，F当中必有１人答对了．同学丁猜测：D，E，F都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有１人猜对，则此人是（）Ａ．甲Ｂ．乙Ｃ．丙Ｄ．丁解析：选Ｄ．若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙也猜对，与题意不符，故乙也猜错；若丙猜对，则乙也猜对，与题意不符，故丙猜错；因为甲、乙、丙、丁四人中只有１人猜对，所以丁猜对．故选Ｄ．２．数列{a n}的前n项和记为S n，已知a１＝１，a n＋１＝错误!S n（n∈N+）．证明：（１）数列{错误!}是等比数列；（２）S n＋１＝４a n.证明：（１）因为a n＋１＝S n＋１—S n，a n＋１＝错误!S n，所以（n＋２）S n＝n（S n＋１—S n），即nS n＋１＝２（n＋１）S n.故错误!＝２·错误!，故{错误!}是以１为首项，２为公比的等比数列．（２）由（１）可知错误!＝４·错误!（n≥２），所以S n＋１＝４（n＋１）·错误!＝４·错误!·S n—１＝４a n（n≥２）．又因为a２＝３S１＝３，S２＝a１＋a２＝１＋３＝４＝４a１，所以对于任意正整数n，都有S n＋１＝４a n.[基础题组练]１．观察下列各式：a＋b＝１，a２＋b２＝３，a３＋b３＝４，a４＋b４＝7，a５＋b５＝１１，…，则a１0＋b１0＝（）Ａ．１２１Ｂ．１２３Ｃ．２３１Ｄ．２１１解析：选Ｂ．法一：令a n＝a n＋b n，则a１＝１，a２＝３，a３＝４，a４＝7，…，得a n＋２＝a n＋a n＋，从而a6＝１8，a7＝２9，a8＝４7，a9＝76，a１0＝１２３．１法二：由a＋b＝１，a２＋b２＝３，得ab＝—１，代入后三个等式中符合，则a１0＋b１0＝（a５＋b ５）２—２a５b５＝１２３．２．（２0２0·安徽六校联考）如图，第１个图形由正三角形扩展而成，共１２个顶点．第n个图形由正（n＋２）边形扩展而成，n∈N*，则第n个图形的顶点个数是（）Ａ．（２n＋１）（２n＋２）Ｂ．３（２n＋２）Ｃ．２n（５n＋１）Ｄ．（n＋２）（n＋３）解析：选Ｄ．由题图我们可以得到，当n＝１时，顶点个数为１２＝３×４，n＝２时，顶点个数为２0＝４×５，n＝３时，顶点个数为３0＝５×6，n＝４时，顶点个数为４２＝6×7，…，由此我们可以推断：第n个图形共有（n＋２）·（n＋３）个顶点，故选Ｄ．３．（２0２0·福建永春调研）在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB２＝BD·BC.拓展到空间，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）Ａ．S错误!＝S△BCO·S△BCDＢ．S错误!＝S△BOD·S△BOCＣ．S错误!＝S△DOC·S△BOCＤ．S错误!＝S△ABD·S△ABC解析：选Ａ．由已知，在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB２＝BD·BC.可以类比这一性质，推理出：若三棱锥D­ABC中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，如图所示，则（S△ABC）２＝S△BCO·S△BCD.故选Ａ．４．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）．抓完阄后，甲说：“我没抓到．”乙说：“丙抓到了．”丙说：“丁抓到了．”丁说：“我没抓到．”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）Ａ．甲Ｂ．乙Ｃ．丙Ｄ．丁解析：选Ａ．如果甲说的是真的，那么乙和丙说的都是假的，但由此推出丁说的是真的，与题意矛盾；如果甲说的是假的，即甲抓到了，那么丁说的就是真的，乙和丙说的就是假的，符合题意．故可以断定甲抓到了，值班的人是甲．故选Ａ．５．桌上共8个球，甲、乙二人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则是：第一次取球至少１个，至多不超过总数的错误!，每次取球的数量不超过前面一次且不少于前面取球数的错误!.比如，前面一次甲取球３个，接着乙取球的数量为２或３．若甲先取球，甲为了有必胜的把握，第一次应取球的个数为（）A．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｃ．由题意可知，若甲先取１球，则乙取１球，以此类推，乙胜．若甲先取２球，则乙只能取２球或１球，乙取２球时，甲只能取２球或１球，此时无论如何都是乙胜；乙取１球时，则甲取１球，以此类推，甲胜．若甲先取４球，则乙可取完剩下的球，乙胜．若甲先取３球，则乙只能取２球或３球，乙取２球时，甲取１球，然后乙取１球，甲取１球，甲胜；乙取３球时，甲取完，甲胜．综上可知，甲先取３球有必胜的把握．6．（２0２0·西藏林芝一中调考）已知集合A，B与集合A@B的对应关系如下表：A{１，２，３，４，５}{—１，0，１}{—４，8}B{２，４，6，8}{—２，—１，0，１}{—４，—２，0，２}A@B{１，３，５，6，8}{—２}{—２，0，２，8}若．解析：由题意可知，集合A@B是由A∪B中的元素去掉A∩B中的元素组成的，已知A＝{—２009，0，２0１8}，B＝{—２009，0，２0１9}，则A∪B＝{—２009，0，２0１8，２0１9}，A∩B＝{—２009，0}，则A@B＝{２0１8，２0１9}．答案：{２0１8，２0１9}7．某校为高一学生开设了三门选修课程，分别是文学与艺术、哲学初步、数学史．调查某班甲、乙、丙三名学生的三门选修课程的选修情况时，甲说：“我选修的课程比乙多，但没有选修哲学初步．”乙说：“我没有选修数学史．”丙说：“我们三人选修的课程中，有一门课程是相同的．”由此可以判断乙选修的课程为________．解析：由丙说的话，可知甲、乙两人至少选修了一门课程，且选修的课程中有一门课程是相同的，又甲比乙选修的课程多，且没有选修哲学初步，所以甲选修了文学与艺术和数学史．又乙没有选修数学史，所以乙选修的课程为文学与艺术．答案：文学与艺术8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当错误!⊥错误!时，其离心率为错误!，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝________．解析：设“黄金双曲线”的方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），则B（0，b），F（—c，0），A（a，0）．在“黄金双曲线”中，因为错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0．又错误!＝（c，b），错误!＝（—a，b），所以b２＝ac.而b２＝c２—a２，所以c２—a２＝ac.在等号两边同除以a２，得e２—１＝e，解得e＝错误!错误!.答案：错误!9．设f（x）＝错误!，先分别求f（0）＋f（１），f（—１）＋f（２），f（—２）＋f（３），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f（0）＋f（１）＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!，同理可得：f（—１）＋f（２）＝错误!，f（—２）＋f（３）＝错误!，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于１．归纳猜想得：当x１＋x２＝１时，均有f（x１）＋f（x２）＝错误!.证明：设x１＋x２＝１，f（x１）＋f（x２）＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.１0．给出下面的数表序列：表１表２表３１１３１３５４４8１２…其中表n（n＝１，２，３，…）有n行，第１行的n个数是１，３，５，…，２n—１，从第２行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表４，验证表４各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥３）（不要求证明）．解：表４为１３５7４8 １２１２２0３２它的第１，２，３，４行中的数的平均数分别是４，8，１6，３２，它们构成首项为４，公比为２的等比数列．将这一结论推广到表n（n≥３），即表n（n≥３）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为２的等比数列．[综合题组练]１．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了“方垛”的计算方法：“果子以垛，下方十四个，问计几何？术曰：下方加一，乘下方为平积．又加半为高，以乘下方为高积．如三而一．”意思是说，将果子以方垛的形式摆放（方垛即每层均为正方形，自下而上每层每边果子数依次递减１个，最上层为１个），最下层每边果子数为１４个，问共有多少个果子？计算方法用算式表示，为错误!×１４×（１４＋１）×错误!.利用“方垛”的计算方法，可计算最下层每边果子数为１４个的“三角垛”（三角垛即每层均为正三角形，自下而上每层每边果子数依次递减１个，最上层为１个）共有果子数为（）Ａ．４２0个Ｂ．５60个Ｃ．680个Ｄ．１0１５个解析：选Ｂ．由题意知，最下层每边为１４个果子的“方垛”总的果子数的计算式为１２＋２２＋…＋１４２＝错误!×１４×（１４＋１）×错误!，所以可得最下层每边为n（n∈N+）个果子的“方垛”总的果子数的计算式为１２＋２２＋…＋n２＝错误!×n×（n＋１）×错误!.最下层每边为n个果子的“三角垛”自上而下的第k（k≤n，k∈N*）层果子数为错误!，所以n层“三角垛”总的果子数为１＋３＋…＋错误!.因为１＋３＋…＋错误!＝错误!×[１×２＋２×３＋…＋n（n＋１）]＝错误!×（１２＋１＋２２＋２＋…＋n２＋n）＝错误!×[（１２＋２２＋…＋n２）＋（１＋２＋…＋n）]＝错误!×错误!＝错误!n（n＋１）·错误!＝错误!n（n＋１）（n＋２），所以取n＝１４，可得“三角垛”的果子总数为５60个．故选Ｂ．２．（２0２0·陕西第二次质检）一布袋中装有n个小球，甲、乙两个同学轮流抓球，且不放回，每次最少抓一个球，最多抓三个球．规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（）Ａ．若n＝9，则乙有必赢的策略Ｂ．若n＝7，则甲有必赢的策略Ｃ．若n＝6，则甲有必赢的策略Ｄ．若n＝４，则乙有必赢的策略解析：选Ａ．若n＝9，则乙有必赢的策略．（１）若乙抓１个球，甲抓１个球时，乙再抓３个球，此时剩余４个球，无论甲抓１～３的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；（２）若乙抓１个球，甲抓２个球时，乙再抓２个球，此时剩余４个球，无论甲抓１～３的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；（３）若乙抓１个球，甲抓３个球时，乙再抓１个球，此时剩余４个球，无论甲抓１～３的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球．所以若n＝9，则乙有必赢的策略，故选Ａ．３．有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下１0个日期供选择：２月５日，２月7日，２月9日，５月５日，５月8日，8月４日，8月7日，9月４日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除５月５日，５月8日，9月４日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除２月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师的生日为8月４日．答案：8月４日４．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在错误!中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程错误!＝x确定x＝２，则１＋错误!＝________．解析：１＋错误!＝x，即１＋错误!＝x，即x２—x—１＝0，解得x１＝错误!，x２＝错误!错误!，故１＋错误!＝错误!.答案：错误!５．如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．解：如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球（与四个面都相切的球）的球心O，且与BC，DC 分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A­BEFD与三棱锥A­EFC的表面积相等．下面证明该结论的正确性：设内切球半径为R，则V A­BEFD＝错误!（S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD）×R＝V A­EFC＝错误!（S△AEC＋S△ACF＋S△ECF）×R，即S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD＝S△AEC＋S△ACF＋S△ECF，两边同加S△AEF可得结论．6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f（x）（x∈D），对任意x，y，错误!∈D 均满足f错误!≥错误![f（x）＋f（y）]，当且仅当x＝y时等号成立．（１）若定义在（0，＋∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（３）＋f（５）与２f（４）的大小；（２）设函数g（x）＝—x２，求证：g（x）∈M.解：（１）对于f错误!≥错误![f（x）＋f（y）]，令x＝３，y＝５得f（３）＋f（５）≤２f（４）．（２）证明：g错误!—错误![g（x１）＋g（x２）]＝—错误!＋错误!＝错误!≥0，当且仅当x１＝x２时取等号，所以g错误!≥错误![g（x１）＋g（x２）]，所以g（x）∈M.。

[基础题组练]1.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的实数x 的值为( )A.－3B.－3或9C.3或－9D.－3或－9解析：选B.当x ≤0时,⎝⎛⎭⎫12x－8＝0,x ＝－3；当x >0时,2－log 3x ＝0,x ＝9.故x ＝－3或x ＝9,故选B.2.(2019·石家庄模拟)执行如图所示的程序框图,若输入的a 的值为1,则输出的k 的值为( )A.1B.2C.3D.4解析：选D.开始,k ＝0,a ＝1,所以b ＝1；第一次循环,a ＝－11＋1＝－12,此时a ≠b ；第二次循环,k ＝2,a ＝－11＋⎝⎛⎭⎫－12＝－2,此时a ≠b ；第三次循环,k ＝4,a ＝－11＋（－2）＝1,此时a ＝b ,结束循环,输出k 的值为4,故选D.3.(2019·成都第一次诊断性检测)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例,其对应的程序框图如图所示.若输入的x ,y ,k 的值分别为4,6,1,则输出k 的值为( )A.2B.3C.4D.5解析：选C.执行程序框图,x ＝4,y ＝6,k ＝1, k ＝k ＋1＝2,x >y 不成立,x ＝y 不成立,y ＝y －x ＝2； k ＝k ＋1＝3,x >y 成立,x ＝x －y ＝4－2＝2；k ＝k ＋1＝4,x >y 不成立,x ＝y 成立,输出k ＝4.4.(2019·陕西质量检测(一))若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( )A.5B.6C.7D.8解析：选A.n ＝5,n 为奇数,则n ＝3×5＋1＝16,k ＝1,不满足n ＝1；n ＝16,n 为偶数,则n ＝8,k ＝2,不满足n ＝1；n ＝8,n 为偶数,则n ＝4,k ＝3,不满足n ＝1；n ＝4,n 为偶数,则n ＝2,k ＝4,不满足n ＝1；n ＝2,n 为偶数,则n ＝1,k ＝5,退出循环.故输出的k 的值是5,故选A.5.(2019·重庆质量调研(一))执行如图所示的程序框图,如果输入的x ＝0,y ＝－1,n ＝1,则输出x ,y 的值满足( )A.y ＝－2xB.y ＝－3xC.y ＝－4xD.y ＝－8x解析：选C.初始值x ＝0,y ＝－1,n ＝1,x ＝0,y ＝－1,x 2＋y 2<36,n ＝2,x ＝12,y ＝－2,x 2＋y 2<36,n ＝3,x ＝32,y ＝－6,x 2＋y 2>36,退出循环,输出x ＝32,y ＝－6,此时x ,y 满足y ＝－4x ,故选C.6.(2019·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图,输出的结果是( )A.56B.54C.36D.64解析：选B.模拟程序的运行,可得：第1次循环,c ＝2,S ＝4,c <20,a ＝1,b ＝2；第2次循环,c ＝3,S ＝7,c <20,a ＝2,b ＝3；第3次循环,c ＝5,S ＝12,c <20,a ＝3,b ＝5；第4次循环,c ＝8,S ＝20,c <20,a ＝5,b ＝8；第5次循环,c ＝13,S ＝33,c <20,a ＝8,b ＝13；第6次循环,c ＝21,S ＝54,c >20,退出循环,输出S 的值为54.故选B.7.(2019·陕西质量检测(一))执行如图所示的程序框图,设输出的数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数y ＝x a ,x ∈[0,＋∞)是增函数的概率为( )A.47 B.45 C.35D.34解析：选C.执行程序框图,x ＝－3,y ＝3；x ＝－2,y ＝0；x ＝－1,y ＝－1；x ＝0,y ＝0；x ＝1,y ＝3；x ＝2,y ＝8；x ＝3,y ＝15；x ＝4,退出循环.则集合A 中的元素有－1,0,3,8,15,共5个,若函数y ＝x a ,x ∈[0,＋∞)为增函数,则a >0,所以所求的概率为35.8.(2019·武汉武昌区调研考试)执行如图所示的程序框图,如果输入的a 依次为2,2,5时,输出的s 为17,那么在判断框中可以填入( )A.k<n?B.k>n?C.k≥n?D.k≤n?解析：选B.执行程序框图,输入的a＝2,s＝0×2＋2＝2,k＝1；输入的a＝2,s＝2×2＋2＝6,k＝2；输入的a＝5,s＝2×6＋5＝17,k＝3,此时结束循环,又n＝2,所以判断框中可以填“k>n？”,故选B.9.(2019·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是7,则判断框内m的取值范围是()A.(30,42]B.(30,42)C.(42,56]D.(42,56)解析：选 A.k＝1,S＝2,k＝2,S＝2＋4＝6,k＝3,S＝6＋6＝12,k＝4,S＝12＋8＝20,k＝5,S＝20＋10＝30,k＝6,S＝30＋12＝42,k＝7,此时不满足S＝42<m,退出循环,所以30<m≤42,故选A.10.(2019·石家庄市质量检测(二))20世纪70年代,流行一种游戏——角谷猜想,规则如下：任意写出一个自然数n,按照以下的规律进行变换,如果n是奇数,则下一步变成3n＋1；如果n是偶数,则下一步变成n2.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落在谷底,更准确地说是落入底部的4－2－1循环,而永远也跳不出这个圈子,下列程序框图就是根据这个游戏而设计的,如果输出的i值为6,则输入的n值为()A.5B.16C.5或32D.4或5或32解析：选C.若n ＝5,执行程序框图,n ＝16,i ＝2,n ＝8,i ＝3；n ＝4,i ＝4；n ＝2,i ＝5；n ＝1,i ＝6,结束循环,输出的i ＝6.若n ＝32,执行程序框图,n ＝16,i ＝2；n ＝8,i ＝3；n ＝4,i ＝4；n ＝2,i ＝5；n ＝1,i ＝6,结束循环,输出的i ＝6.当n ＝4或16时,检验可知不正确,故输入的n ＝5或32,故选C.11.我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今有器中米,不知其数.前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S ＝1.5(单位：升),则输入k 的值为________.解析：由程序框图知S ＝k －k 2－k 2×3－k3×4＝1.5,解得k ＝6.答案：612.阅读下面的程序,当分别输入实数x ＝3和x ＝0时,其输出的结果是________. INPUT x IF x >1 THEN y ＝x －2 ELSE y ＝2*x END IFPRINT y END解析：由程序可知,它解决的是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，2x ，x ≤1的函数值问题,显然,当x ＝3时,y ＝3－2；当x ＝0时,y ＝0.故输出的结果是3－2和0. 答案：3－2和0[综合题组练]1.(2019·河南开封一模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思是：一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺),则①②③处可分别填入的语句是( )A.i <7,s ＝s －1i ,i ＝2iB.i ≤7,s ＝s －1i ,i ＝2iC.i <7,s ＝s2,i ＝i ＋1D.i ≤7,s ＝s2,i ＝i ＋1解析：选D.由题意可知第一天后剩下12,第二天后剩下122,……,由此得出第7天后剩下127,则①应为i ≤7,②应为s ＝s2,③应为i ＝i ＋1,故选D.2.(2019·新疆乌鲁木齐一诊)执行如图所示的程序框图(n ∈N *),则输出的S ＝( )A.a ＋aq ＋…＋aqn －1B.a （1－q n ）1－qC.a ＋aq ＋…＋aq nD.a （1－q n ＋1）1－q解析：选C.执行第1次循环体运算,得i ＝1,S ＝a ； 执行第2次循环体运算,得i ＝2,S ＝a ＋aq ； …执行第n ＋1次循环体运算,得i ＝n ＋1,S ＝a ＋aq ＋…＋aq n .故选C.3.执行如图所示的程序框图,若输入向量a ＝c ＝(－2,2),b ＝(1,0),则输出S 的值是( )A.18B.20C.22D.24解析：选B.程序对应的运算：a ＝c ＝(－2,2),则a ·c ＝8,S ＝0＋8＝8,i ＝1,c ＝c ＋b ＝(－1,2)；a ＝(－2,2),b ＝(1,0),c ＝(－1,2),则a ·c ＝6,S ＝8＋6＝14,i ＝2,c ＝c ＋b ＝(0,2)；a＝(－2,2),b＝(1,0),c＝(0,2),则a·c＝4,S＝14＋4＝18,i＝3,c＝c＋b＝(1,2)；a＝(－2,2),b＝(1,0),c＝(1,2),则a·c＝2,S＝18＋2＝20,i＝4,c＝c＋b＝(2,2)；a＝(－2,2),b＝(1,0),c＝(2,2),则a·c＝0,此时跳出循环体.故输出S的值为20,故选B.4.运行如图所示的程序框图,则输出的S表示()A.a0＋a1＋a2＋a3的值B.a3＋a2x0＋a1x20＋a0x30的值C.a0＋a1x0＋a2x20＋a3x30的值D.以上都不对解析：选C.第一次循环,k＝3＞0,k＝k－1＝2,S＝a2＋a3x0；第二次循环,k＝2＞0,k＝k －1＝1,S＝a1＋(a2＋a3x0)x0＝a1＋a2x0＋a3x20；第三次循环,k＝1＞0,k＝k－1＝0,S＝a0＋(a1＋a2x0＋a3x20)x0＝a0＋a1x0＋a2x20＋a3x30,此时k＝0,不满足判断框内的条件,故输出S＝a0＋a1x0＋a2x20＋a3x30,故选C.。

2020年高考文科数学一轮总复习：复数、算法、推理与证明理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.算法与程序框了解算法的含义，了解算法的思想．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.了解程序框图、工序流程图(即统筹图)与结构图．能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用．会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息.合情推理与演绎推理了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.直接证明与间接证明了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．(2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0），非纯虚数（a ≠0，b ≠0）. (3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝ a 2＋b 2(r ≥0，a 、b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ←―――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←―――→一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．常用知识拓展1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)．4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ∈C ，则a 2≥0.( )(2)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( ) (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (4)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (2018·高考全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D.1＋2i 1－2i ＝（1＋2i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－35＋45i ，故选D.(教材习题改编)设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，所以x ＝4，y ＝－2，所以复数z ＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选D. 复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：5(教材习题改编)已知(1＋2i)z －＝4＋3i ，则z ＝________． 解析：因为z －＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i. 答案：2＋i复数的有关概念(师生共研)(1)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1D. 2(2)(2019·湖北八校联考)已知复数z ＝a2－i ＋2－i 5的实部与虚部的和为2，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)法一：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝－i ＋2i ＝i ，所以|z |＝1，故选C.法二：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i ＋2i （1＋i ）1＋i ＝－1＋i 1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋i 1＋i ＝|－1＋i||1＋i|＝22＝1，故选C.(2)易知z ＝a 2－i ＋2－i 5＝a （2＋i ）5＋2－i 5＝2a ＋25＋（a －1）i 5，由题意得2a ＋25＋a －15＝2，解得a ＝3.故选D.【答案】 (1)C (2)D解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．1．(2019·甘肃兰州模拟)把复数z 的共轭复数记作z －，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z －＝( )A.2＋1＋i B ．3－i C.2＋1－iD ．3＋i解析：选B.因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以(1＋z )·z －＝z －＋z ·z －＝1－i ＋2＝3－i ，故选B.2．(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A.由3－4i 3＝2－b i a ＋i 得，3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.复数的几何意义(师生共研)(1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i(i 为虚数单位)，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i(2)若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】 (1)因为复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋（y －1）2≤2，所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.【答案】 (1)A (2)2π复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．(2019·南宁摸底联考)已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z ＝3i ，所以z ＝3i1＋i ＝3i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋3i 2，则复数z在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2．(2019·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由已知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0，1)， 所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1z 2＝1－2i ， 它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．复数代数形式的运算(师生共研)(1)(2019·广东五校协作体第一次诊断考试)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0201＋i＝( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i(2)(一题多解)(2019·广州调研测试)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10【解析】 (1)z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数， 则有a 2－1＝0，a ＋1≠0， 得a ＝1，则有1＋i 2 0201＋i ＝1＋11＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i.(2)法一：由(1＋2i)z ＝1－i ，可得z ＝1－i 1＋2i ＝（1－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝1－2i －i －25＝－15－35i ，所以|z |＝1＋95＝105，故选C.法二：由(1＋2i)z ＝1－i 可得|(1＋2i)z |＝|1－i|，即|1＋2i||z |＝|1－i|，得到5|z |＝2，故|z |＝105，故选C. 【答案】 (1)D (2)C复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A.法一：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝10－5i2－i＝5，故选A.法二：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝（2＋i ）2（3－4i ）（2＋i ）（2－i ）＝（3＋4i ）（3－4i ）5＝5，故选A.2．若复数z 满足2z ＋z ·z －＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．－1－i B ．－1－2i C ．－1＋2iD ．1－2i解析：选B.设z ＝a ＋b i ⇒2(a ＋b i)＋(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＋2a ＋2b i ＝3－4i ⇒a ＝－1，b ＝－2⇒z ＝－1－2i.[基础题组练]1．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i解析：选C.因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C. 2．(2019·福建第一学期高三期末考试)若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A.因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.3．(2019·太原模拟试题(一))设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i解析：选A.设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为1－z1＋z＝i ，所以1－z ＝i ＋z i ，所以1－a －b i ＝i＋a i －b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝－b ，－b ＝1＋a ，，所以a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z －＝i.故选A.4．(2019·云南民族大学附属中学期中)复数z 满足z (1－i)＝|1＋i|，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.因为z (1－i)＝|1＋i|，所以z ＝|1＋i|1－i ＝2（1＋i ）2＝22＋22i ，所以z －＝22－22i ，所以复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫22，－22，位于第四象限，故选D. 5．已知i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是________．解析：因为2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－2i ＋i －i 22＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，所以a ＝32，b＝－12.所以lg(a ＋b )＝lg 1＝0.答案：06．(2019·重庆质量调研(一))已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i2＋i，复数|z |＝________． 解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝（1＋3i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 27．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－58．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i （3＋i ）2. 解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i.(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i ＝（－i ）（3－i ）4 ＝－14－34i.[综合题组练]1．已知复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )A ．θ＝π4B ．θ＝π2C ．θ＝3π4D ．θ＝5π4解析：选C.z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z 是纯虚数等价于⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝0，cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝3π4＋k π，k ∈Z .故选C.2．(应用型)(2019·成都第二次诊断性检测)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数， 所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.因为yx 是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝⎛⎭⎫y x max＝tan ∠AOB ＝3，所以yx的最大值为 3.3．已知复数z 满足z ＋z －＝2(i 为虚数单位)，其中z －是z 的共轭复数，|z |＝2，则复数z 的虚部为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由z ＋z －＝2可得2a ＝2，解得a ＝1，由z ＝1＋b i ，|z |＝b 2＋1＝2，解得b ＝±1.答案：±14．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，对应的点的坐标为(0，1)． 答案：(0，1)第2讲 算法与程序框图1．算法与程序框图 (1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． ②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． (2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形． 2．三种基本逻辑结构及相应语句①输入语句：INPUT②输出语句：PRINT③赋值语句：变量＝表达式IF语句体IF语句体语句体WHILE循环体WENDDO循环体LOOP__UNTIL判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．()(2)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．()(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．()(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．()(5)在算法语句中，x＝x＋1是错误的．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费，每月收费方法是：4人和4人以下的住房，每户收取6元；超过4人的住户，每超出1人加收1.1元，相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填( )A ．y ＝6＋1.1xB ．y ＝15＋1.1xC ．y ＝6＋1.1(x －4)D ．y ＝15＋1.1(x －4)解析：选C.依题意得，费用y 与人数x 之间的关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≤4，6＋1.1（x －4），x >4，则程序框图中①处应填y ＝6＋1.1(x －4)．(2018·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A.12 B.56 C.76D.712解析：选B.运行程序框图，k ＝1，s ＝1；s ＝1＋(－1)1×12＝12，k ＝2；s ＝12＋(－1)2×13＝56，k ＝3；满足条件，跳出循环，输出的s ＝56，故选B. 执行如图所示的程序框图，则输出的A 是________．解析：i ＝0，A ＝2；A ＝2＋12＝52，i ＝1；A ＝2＋25＝125，i ＝2；A ＝2＋512＝2912，i ＝3；A＝2＋1229＝7029，i ＝4，输出A ，故输出的A ＝7029.答案：7029如图所示的框图，已知集合A ＝{x |框图中输出的x 值}，集合B ＝{y |框图中输出的y 值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集，则当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝________．解析：依题意得，当x ＝－1时，A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{－3，－1，1，3，5，7，9}，(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7，9}．答案：{－3，－1，7，9}顺序结构与条件结构(典例迁移)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( )A ．[－3，4]B ．[－5，2]C ．[－4，3]D ．[－2，5]【解析】 由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3，3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3，4]，即输出的s 属于[－3，4]．【答案】 A[迁移探究1] (变条件)若本例的判断框中的条件改为“t ≥1？”，则输出的s 的范围是________．解析：由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ≥1，4t －t 2，t <1.所以当1≤t ≤3时，s ＝3t ∈[3，9]，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时－5≤s <3.综上函数的值域为[－5，9]，即输出的s 属于[－5，9]．答案：[－5，9][迁移探究2] (变结论)本例框图不变，若输出s 的值为3，求输入的t 的值．解：由本例解析知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <14t －t 2，t ≥1， 则3t ＝3，所以t ＝1(舍)， 4t －t 2＝3，所以t ＝1或3.应用顺序结构和条件结构的注意点(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．[提醒] 条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构．1．阅读如图所示的程序框图，若输入x 为3，则输出的y 的值为( )A ．24B ．25C ．30D ．40解析：选D.a ＝32－1＝8，b ＝8－3＝5，y ＝8×5＝40.2．执行如图所示的程序框图，若输出y ＝－3，则输入的θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3解析：选D.对于A ，当θ＝π6时，y ＝sin θ＝sin π6＝12，则输出y ＝12，不合题意；对于B ，当θ＝－π6时，y ＝sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，则输出y ＝－12，不合题意；对于C ，当θ＝π3时，y ＝tan θ＝tan π3＝3，则输出y ＝3，不合题意；对于D ，当θ＝－π3时，y ＝tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3，则输出y ＝－3，符合题意．故选D.循环结构(多维探究)角度一 由程序框图求输出的结果或输入的值(1)(2018·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 (1)N ＝20，i ＝2，T ＝0，N i ＝202＝10，是整数；T ＝0＋1＝1，i ＝2＋1＝3，3<5，N i ＝203，不是整数；i ＝3＋1＝4，4<5，N i ＝204＝5，是整数；T ＝1＋1＝2，i ＝4＋1＝5，结束循环． 输出的T ＝2，故选B.(2)S ＝0＋100＝100，M ＝－10，t ＝2，100>91；S ＝100－10＝90，M ＝1，t ＝3，90<91，输出S ，此时，t ＝3不满足t ≤N ，所以输入的正整数N 的最小值为2，故选D.【答案】 (1)B (2)D 角度二 完善程序框图(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4【解析】 由程序框图的算法功能知执行框 N ＝N ＋1i 计算的是连续奇数的倒数和，而执行框T ＝T ＋1i ＋1计算的是连续偶数的倒数和，所以在空白执行框中应填入的命令是i ＝i＋2，故选B.【答案】 B角度三 辨析程序框图的功能如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n ＋1＋2n )的值B ．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n )的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值【解析】初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；当第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3，…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故选C.【答案】 C求程序框图运行结果的思路(1)要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．[提醒](1)注意区分当型循环和直到型循环．(2)循环结构中要正确控制循环次数．(3)要注意各个框的顺序．1.(2019·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s＝132，则判断框中可以填()A．i≥10?B．i≥11?C．i≤11?D．i≥12?解析：选B.执行程序框图，i＝12，s＝1；s＝12×1＝12，i＝11；s＝12×11＝132，i＝10.此时输出的s＝132，则判断框中可以填“i≥11？”．2.(2019·洛阳第一次统考)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是()A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：选C.由程序框图得，输出的S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 017－1)，可看作数列{2n－1}的前2 017项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.3．(2019·长春质量检测(二))更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是依据更相减损术写出的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出的值为________．解析：输入a ＝91，b ＝39，91≠39，91>39，a ＝91－39＝52；52≠39，52>39，a ＝52－39＝13；13≠39，13<39，b ＝39－13＝26；13≠26，13<26，b ＝26－13＝13；a ＝b ，输出的a 的值为13.答案：13基本算法语句(师生共研)执行如图程序语句，输入a ＝2cos 2 017π3，b ＝2tan 2 017π4，则输出y 的值是( )A ．3B ．4C ．6D ．－1【解析】 根据条件语句可知程序运行后是计算y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋b ），a <b ，a 2－b ，a ≥b ，且a ＝2cos 2 017π3＝2cos π3＝1，b ＝2tan2 017π4＝2tan π4＝2； 因为a <b ，所以y ＝a (a ＋b )＝1×3＝3， 即输出y 的值是3. 【答案】 A算法语句应用的三个关注点下列程序执行后输出的结果是________．解析：i ＝11⇒S ＝11×1，i ＝10；i ＝10⇒S ＝11×10，i ＝9； i ＝9⇒S ＝11×10×9，i ＝8；i ＝8<9退出循环，执行“PRINT S ”． 故S ＝990. 答案：990[基础题组练]1.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为( )A ．－3B ．－3或9C ．3或－9D ．－3或－9解析：选B.当x ≤0时，⎝⎛⎭⎫12x－8＝0，x ＝－3；当x >0时，2－log 3x ＝0，x ＝9.故x ＝－3或x ＝9，故选B.2．(2019·石家庄模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为1，则输出的k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.开始，k ＝0，a ＝1，所以b ＝1；第一次循环，a ＝－11＋1＝－12，此时a ≠b ；第二次循环，k ＝2，a ＝－11＋⎝⎛⎭⎫－12＝－2，此时a ≠b ；第三次循环，k ＝4，a ＝－11＋（－2）＝1，此时a ＝b ，结束循环，输出k 的值为4，故选D.3.(2019·成都第一次诊断性检测)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示．若输入的x ，y ，k 的值分别为4，6，1，则输出k 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.执行程序框图，x ＝4，y ＝6，k ＝1， k ＝k ＋1＝2，x >y 不成立，x ＝y 不成立，y ＝y －x ＝2； k ＝k ＋1＝3，x >y 成立，x ＝x －y ＝4－2＝2；k ＝k ＋1＝4，x >y 不成立，x ＝y 成立，输出k ＝4.4.(2019·陕西质量检测(一))若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选A.n ＝5，n 为奇数，则n ＝3×5＋1＝16，k ＝1，不满足n ＝1；n ＝16，n 为偶数，则n ＝8，k ＝2，不满足n ＝1；n ＝8，n 为偶数，则n ＝4，k ＝3，不满足n ＝1；n ＝4，n 为偶数，则n ＝2，k ＝4，不满足n ＝1；n ＝2，n 为偶数，则n ＝1，k ＝5，退出循环．故输出的k 的值是5，故选A.5．(2019·重庆质量调研(一))执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝－1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－3xC ．y ＝－4xD ．y ＝－8x解析：选C.初始值x ＝0，y ＝－1，n ＝1，x ＝0，y ＝－1，x 2＋y 2<36，n ＝2，x ＝12，y ＝－2，x 2＋y 2<36，n ＝3，x ＝32，y ＝－6，x 2＋y 2>36，退出循环，输出x ＝32，y ＝－6，此时x ，y 满足y ＝－4x ，故选C.6．(2019·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．56B ．54C ．36D ．64解析：选B.模拟程序的运行，可得：第1次循环，c ＝2，S ＝4，c <20，a ＝1，b ＝2；第2次循环，c ＝3，S ＝7，c <20，a ＝2，b ＝3；第3次循环，c ＝5，S ＝12，c <20，a ＝3，b ＝5；第4次循环，c ＝8，S ＝20，c <20，a ＝5，b ＝8；第5次循环，c ＝13，S ＝33，c <20，a ＝8，b ＝13；第6次循环，c ＝21，S ＝54，c >20，退出循环，输出S 的值为54.故选B.7．(2019·陕西质量检测(一))执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数y ＝x a ，x ∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )A.47B.45C.35D.34解析：选 C.执行程序框图，x ＝－3，y ＝3；x ＝－2，y ＝0；x ＝－1，y ＝－1；x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝3；x ＝2，y ＝8；x ＝3，y ＝15；x ＝4，退出循环．则集合A 中的元素有－1，0，3，8，15，共5个，若函数y ＝x a ，x ∈[0，＋∞)为增函数，则a >0，所以所求的概率为35.8．(2019·武汉武昌区调研考试)执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框中可以填入( )A ．k <n?B ．k >n?C ．k ≥n?D ．k ≤n?解析：选B.执行程序框图，输入的a ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1；输入的a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2；输入的a ＝5，s ＝2×6＋5＝17，k ＝3，此时结束循环，又n ＝2，所以判断框中可以填“k >n ？”，故选B.9．(2019·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)解析：选A.k ＝1，S ＝2，k ＝2，S ＝2＋4＝6，k ＝3，S ＝6＋6＝12，k ＝4，S ＝12＋8＝20，k ＝5，S ＝20＋10＝30，k ＝6，S ＝30＋12＝42，k ＝7，此时不满足S ＝42<m ，退出循环，所以30<m ≤42，故选A.10．(2019·石家庄市质量检测(二))20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换，如果n 是奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是偶数，则下一步变成n 2.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32解析：选C.若n ＝5，执行程序框图，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.若n ＝32，执行程序框图，n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.当n ＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n ＝5或32，故选C.11．我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝1.5(单位：升)，则输入k 的值为________．解析：由程序框图知S ＝k －k 2－k 2×3－k3×4＝1.5，解得k ＝6.答案：612．阅读下面的程序，当分别输入实数x ＝3和x ＝0时，其输出的结果是________． INPUT x IF x >1 THEN y ＝x －2 ELSE y ＝2*x END IF PRINT y END解析：由程序可知，它解决的是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，2x ，x ≤1的函数值问题，显然，当x ＝3时，y ＝3－2；当x ＝0时，y ＝0.故输出的结果是3－2和0.答案：3－2和0[综合题组练]1．(2019·河南开封一模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思是：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的语句是( )A ．i <7，s ＝s －1i ，i ＝2iB ．i ≤7，s ＝s －1i ，i ＝2iC ．i <7，s ＝s2，i ＝i ＋1D ．i ≤7，s ＝s2，i ＝i ＋1解析：选D.由题意可知第一天后剩下12，第二天后剩下122，……，由此得出第7天后剩下127，则①应为i ≤7，②应为s ＝s2，③应为i ＝i ＋1，故选D. 2．(2019·新疆乌鲁木齐一诊)执行如图所示的程序框图(n ∈N *)，则输出的S ＝( )A ．a ＋aq ＋…＋aqn －1B.a （1－q n ）1－qC ．a ＋aq ＋…＋aq nD.a （1－q n ＋1）1－q解析：选C.执行第1次循环体运算，得i ＝1，S ＝a ； 执行第2次循环体运算，得i ＝2，S ＝a ＋aq ； …执行第n ＋1次循环体运算，得i ＝n ＋1，S ＝a ＋aq ＋…＋aq n .故选C.3．执行如图所示的程序框图，若输入向量a ＝c ＝(－2，2)，b ＝(1，0)，则输出S 的值是( )A．18 B．20C．22 D．24解析：选B.程序对应的运算：a＝c＝(－2，2)，则a·c＝8，S＝0＋8＝8，i＝1，c＝c＋b＝(－1，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(－1，2)，则a·c＝6，S＝8＋6＝14，i＝2，c＝c＋b＝(0，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(0，2)，则a·c＝4，S＝14＋4＝18，i＝3，c＝c＋b＝(1，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(1，2)，则a·c＝2，S＝18＋2＝20，i＝4，c＝c＋b＝(2，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(2，2)，则a·c＝0，此时跳出循环体．故输出S的值为20，故选B.4．运行如图所示的程序框图，则输出的S表示()A．a0＋a1＋a2＋a3的值B．a3＋a2x0＋a1x20＋a0x30的值C ．a 0＋a 1x 0＋a 2x 20＋a 3x 30的值D ．以上都不对解析：选C.第一次循环，k ＝3＞0，k ＝k －1＝2，S ＝a 2＋a 3x 0；第二次循环，k ＝2＞0，k ＝k －1＝1，S ＝a 1＋(a 2＋a 3x 0)x 0＝a 1＋a 2x 0＋a 3x 20；第三次循环，k ＝1＞0，k ＝k －1＝0，S ＝a 0＋(a 1＋a 2x 0＋a 3x 20)x 0＝a 0＋a 1x 0＋a 2x 20＋a 3x 30，此时k ＝0，不满足判断框内的条件，故输出S ＝a 0＋a 1x 0＋a 2x 20＋a 3x 30，故选C.第3讲 合情推理与演绎推理1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×(教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：选C.由a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n －1，则 a 2＝a 1＋2×2－1＝4；a 3＝a 2＋2×3－1＝9； a 4＝a 3＋2×4－1＝16，所以a n ＝n 2.(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论． 答案：②在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8归纳推理(多维探究) 角度一 与数字(数列)有关的推理观察下列等式：1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为________．【解析】 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .【答案】 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n角度二 与式子有关的推理设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．【解析】 根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2，4，8，16，…，可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2n －1）x ＋2n.【答案】x（2n－1）x ＋2n角度三 与图形变化有关的推理我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n ) 个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1【解析】 我们考虑f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.【答案】 D归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律． (2)与式子有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．(3)与图形有关的推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．1.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记a n 为图中第n 行各个数之和，则a 5＋a 11的值为( )A ．528B ．1 020C ．1 038D ．1 040解析：选D.a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4＝22，a 4＝8＝23，a 5＝16＝24，…，所以a n ＝2n －1，a 5＋a 11＝24＋210＝1 040，故选D.2．(2019·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3(n ∈N *)．答案：3×2n －3(n ∈N *)类比推理(典例迁移)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【解】 如题图所示，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，在四面体P -DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的2条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．[迁移探究] (变条件)若本例条件“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2 A ＋cos 2 B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①由“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②由“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③由“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④由“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤由“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a |·|b|”； ⑥由“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.由向量的数量积的运算律可知①②正确，③④⑤⑥错误．故选B. 2．(2019·沈阳质量检测(一))在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________．解析：令S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°①， S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°②， 则①＋②得2S ＝89，S ＝892.答案：892演绎推理(师生共研)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1， 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明：设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， 所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， 因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数．逻辑推理——归纳推理中的核心素养(2019·安徽知名示范高中联考)某参观团根据下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点：①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇； ③B ，C 两镇只去一镇；。

第5讲 数学归纳法数学归纳法一般地,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n ＝k ＋1时命题也成立．导师提醒应用数学归纳法应注意两点(1)归纳假设就是已知条件．(2)在推证n ＝k ＋1时,必须用上归纳假设．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n ＝1时结论成立．( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( )(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n ＝k 到n ＝k ＋1时,项数都增加了一项．( )(4)用数学归纳法证明问题时,必须要用归纳假设．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1,n ∈N *)”,在验证n ＝1时,等式左边是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：选C.由题意,根据数学归纳法的步骤可知,当n ＝1时,等式的左边应为1＋a ＋a 2,故选C.用数学归纳法证明：首项是a 1,公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋n （n －1）2d 时,假设当n ＝k 时,公式成立,则S k ＝( ) A ．a 1＋(k －1)d B.k （a 1＋a k ）2C ．ka 1＋k （k －1）2dD ．(k ＋1)a 1＋k （k ＋1）2d解析：选 C.假设当n ＝k 时,公式成立,只需把公式中的n 换成k 即可,即S k ＝ka 1＋k （k －1）2d . 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时,第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.三角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验n ＝3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时,从n ＝k 到n ＝k ＋1,左边需增添的代数式是______________．解析：当n ＝k 时,待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋1),当n ＝k ＋1时,待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3),所以从n ＝k 到n ＝k ＋1,左边需增添的代数式是(2k ＋2)＋(2k ＋3)．答案：(2k ＋2)＋(2k ＋3)用数学归纳法证明等式(师生共研)用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n4（n ＋1）(n ∈N *)．【证明】 (1)当n ＝1时,左边＝12×1×（2×1＋2）＝18,右边＝14×（1＋1）＝18.左边＝右边,所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立,即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）, 则当n ＝k ＋1时,12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[（2（k ＋1）＋2] ＝k 4（k ＋1）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14（k ＋1＋1）. 所以当n ＝k ＋1时,等式也成立,由(1)、(2)可知,对于一切n ∈N *等式都成立．用数学归纳法证明等式的注意点(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n 0是多少．(2)由n ＝k 时等式成立,推出n ＝k ＋1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标；二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程．(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法．求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时,等式左边＝2,右边＝2,故等式成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N *,k ≥1)时等式成立, 即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k ) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时,左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)．这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知,对所有n ∈N *等式成立．用数学归纳法证明不等式(典例迁移)已知数列{a n },a n ≥0,a 1＝0,a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ,求证：当n ∈N *时,a n <a n ＋1.【证明】 (1)当n ＝1时,因为a 2是方程a 22＋a 2－1＝0的正根,所以a 2＝5－12,即a 1<a 2成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *,k ≥1)时,0≤a k <a k ＋1,所以a 2k ＋1－a 2k ＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2k ＋1＋a k ＋1－1)＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)>0,又a k ＋1>a k ≥0,所以a k ＋2＋a k ＋1＋1>0,所以a k ＋1<a k ＋2,即当n ＝k ＋1时,a n <a n ＋1也成立． 综上,可知a n <a n ＋1对任何n ∈N *都成立．[迁移探究] (变条件)在本例中把题设条件中的“a n ≥0”改为“当n ≥2时,a n <－1”,其余条件不变,求证：当n ∈N *时,a n ＋1<a n .证明：(1)当n ＝1时,因为a 2是a 22＋a 2－1＝0的负根,所以a 2＝－1－52,即a 1>a 2成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *,k ≥1)时,a k ＋1<a k ,因为a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1),a k ＋1<a k <－1, 所以a 2k ＋1－a 2k >0,又a k ＋2＋a k ＋1＋1<(－1)＋(－1)＋1＝－1, 所以a k ＋2－a k ＋1<0,所以a k ＋2<a k ＋1, 即当n ＝k ＋1时,命题成立． 由(1)(2)可知,对任意n ∈N *,a n ＋1<a n .用数学归纳法证明不等式的注意点(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立,推证n ＝k ＋1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3,g (n )＝32－12n 2,n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明． 解：(1)当n ＝1时,f (1)＝1,g (1)＝1, 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时,f (2)＝98,g (2)＝118,所以f (2)＜g (2)；当n ＝3时,f (3)＝251216,g (3)＝312216,所以f (3)＜g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n ),下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时,不等式显然成立,②假设当n ＝k (k ≥3,k ∈N *)时不等式成立,即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2.那么,当n ＝k ＋1时,f (k ＋1)＝f (k )＋1（k ＋1）3＜32－12k 2＋1（k ＋1）3. 因为12（k ＋1）2－⎣⎡⎦⎤12k 2－1（k ＋1）3 ＝k ＋32（k ＋1）3－12k 2＝－3k －12（k ＋1）3k 2＜0, 所以f (k ＋1)＜32－12（k ＋1）2＝g (k ＋1)．由①②可知,对一切n ∈N *,都有f (n )≤g (n )成立．归纳—猜想—证明(师生共研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝a n 2＋1a n－1,且a n >0,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,a 3,并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．【解】 (1)当n ＝1时,由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1,即a 21＋2a 1－2＝0, 解得a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时,由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1,将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0,解得a 2＝5－3(a 2>0)．同理可得a 3＝7－ 5. 猜想a n ＝2n ＋1－2n －1.(2)证明：①由(1)知,当n ＝1,2,3时,通项公式成立．②假设当n ＝k (k ≥3,k ∈N *)时,通项公式成立,即a k ＝2k ＋1－2k －1.由于a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k,将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式,整理得a 2k ＋1＋22k ＋1·a k ＋1－2＝0,解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1, 即n ＝k ＋1时通项公式仍成立．由①②可知对所有n ∈N *,a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．“归纳—猜想—证明”的一般步骤(1)计算：根据条件,计算若干项．(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论． (3)证明：用数学归纳法证明．已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1,a 2,a 3,并推测a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)将n ＝1,2,3分别代入可得a 1＝32,a 2＝74,a 3＝158,猜想a n ＝2－12n .(2)证明：①由(1)得n ＝1时,结论成立．②假设n ＝k (k ≥1,k ∈N *)时,结论成立,即a k ＝2－12k ,那么当n ＝k ＋1时,a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1, 且a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ,所以2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3, 所以2a k ＋1＝2＋2－12k ,a k ＋1＝2－12k ＋1,即当n ＝k ＋1时,结论也成立．根据①②得,对一切n ∈N *,a n ＝2－12n 都成立．[基础题组练]1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时,第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C.当n ＝1时,21＝2＝12＋1, 当n ＝2时,22＝4<22＋1＝5, 当n ＝3时,23＝8<32＋1＝10, 当n ＝4时,24＝16<42＋1＝17, 当n ＝5时,25＝32>52＋1＝26,当n ＝6时,26＝64>62＋1＝37,故起始值n 0应取5.2．设f (x )是定义在正整数集上的函数,且f (x )满足：当f (k )≥k ＋1成立时,总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立,那么下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立,则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立,则当k ≥1时,均有f (k )≥k ＋1成立C ．若f (2)<3成立,则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立,则当k ≥4时,均有f (k )≥k ＋1成立解析：选 D.当f (k )≥k ＋1成立时,总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立,说明如果当k ＝n 时,f (n )≥n ＋1成立,那么当k ＝n ＋1时,f (n ＋1)≥n ＋2也成立,所以如果当k ＝4时,f (4)≥5成立,那么当k ≥4时,f (k )≥k ＋1也成立．3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ,则当n ＝k ＋1时,左端应在n ＝k 的基础上加上( )A.12k ＋2B ．－12k ＋2C.12k ＋1－12k ＋2D.12k ＋1＋12k ＋2解析：选C.因为当n ＝k 时,左端＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ,当n ＝k ＋1时,左端＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.所以,左端应在n ＝k 的基础上加上12k ＋1－12k ＋2. 4．已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2,则f (k ＋1)与f (k )的关系是( ) A ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 B ．f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)2 C ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋2)2 D ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2解析：选A.f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋[2(k ＋1)]2＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.5．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2,n ∈N *)的过程中,由n ＝k到n ＝k ＋1时,左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项解析：选D.令不等式的左边为g (n ),则g (k ＋1)－g (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k＋1＋…＋12k 1－1－⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k 1－1,其项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k ＋1－2k ＝2k . 故左边增加了2k 项．6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *,n >1)时,第一步应验证的不等式是________．解析：由n ∈N *,n >1知,n 取第一个值n 0＝2, 当n ＝2时,不等式为1＋12＋13<2.答案：1＋12＋13<27．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2)的过程中,由n ＝k 推导n＝k ＋1时,不等式的左边增加的式子是________．解析：不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1（2k ＋1）（2k ＋2）,故填1（2k ＋1）（2k ＋2）.答案：1（2k ＋1）（2k ＋2）8．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1（n ＋1）2>12－1n ＋2,假设n ＝k 时,不等式成立,则当n＝k ＋1时,应推证的目标不等式是________________．答案：122＋132＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2>12－1k ＋39．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2.证明：(1)当n ＝1时,左边＝12＝1,右边＝(－1)0×1×（1＋1）2＝1,左边＝右边,原等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1,k ∈N *)时等式成立,即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k－1·k （k ＋1）2.那么,当n ＝k ＋1时,12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k －1·k （k ＋1）2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k ·（k ＋1）（k ＋2）2.所以当n ＝k ＋1时,等式也成立, 由(1)(2)知,对任意n ∈N *,都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2.10．已知整数p >1,证明：当x >－1且x ≠0时,(1＋x )p >1＋px . 证明：用数学归纳法证明．①当p ＝2时,(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ,原不等式成立． ②假设当p ＝k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．则当p ＝k ＋1时,(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时,原不等式也成立．综合①②可得,当x >－1且x ≠0时,对一切整数p >1, 不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．[综合题组练]1．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数,不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．证明：①当n ＝2时,左边＝1＋13＝43,右边＝52.因为左边>右边,所以不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2,且k ∈N *)时不等式成立, 即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时,⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1⎣⎡⎦⎤1＋12（k ＋1）－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2（k ＋1）＋12.所以当n ＝k ＋1时,不等式也成立．由①②知,对于一切大于1的自然数n ,不等式都成立． 2．已知数列{x n }满足x 1＝12,且x n ＋1＝x n2－x n (n ∈N *)．(1)用数学归纳法证明：0<x n <1； (2)设a n ＝1x n,求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：①当n ＝1时,x 1＝12∈(0,1),不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *,k ≥1)时,不等式成立, 即x k ∈(0,1), 则当n ＝k ＋1时,x k ＋1＝x k2－x k, 因为x k ∈(0,1),所以2－x k >0,即x k ＋1>0. 又因为x k ＋1－1＝2（x k －1）2－x k <0,所以0<x k ＋1<1.综合①②可知0<x n <1.(2)由x n ＋1＝x n 2－x n 可得1x n ＋1＝2－x n x n ＝2x n －1,即a n ＋1＝2a n －1,所以a n ＋1－1＝2(a n －1)． 令b n ＝a n －1,则b n ＋1＝2b n ,又b 1＝a 1－1＝1x 1－1＝1,所以{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列, 即b n ＝2n －1,所以a n ＝2n －1＋1.3．将正整数作如下分组：(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),…分别计算各组包含的正整数的和如下：S 1＝1, S 2＝2＋3＝5, S 3＝4＋5＋6＝15, S 4＝7＋8＋9＋10＝34, S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65, S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111, …试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果,并用数学归纳法证明． 解：由题意知,当n ＝1时,S 1＝1＝14； 当n ＝2时,S 1＋S 3＝16＝24； 当n ＝3时,S 1＋S 3＋S 5＝81＝34； 当n ＝4时,S 1＋S 3＋S 5＋S 7＝256＝44. 猜想：S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4. 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时,S 1＝1＝14,等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *,k ≥1)时等式成立,即S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2k －1＝k 4,那么,当n ＝k ＋1时,S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2k －1＋S 2k ＋1＝k 4＋[(2k 2＋k ＋1)＋(2k 2＋k ＋2)＋…＋(2k 2＋k ＋2k ＋1)]＝k 4＋(2k ＋1)(2k 2＋2k ＋1)＝k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1＝(k ＋1)4,所以当n ＝k ＋1时,等式也成立．根据(1)和(2)可知,对于任意的n ∈N *,S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4都成立.。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数12-3数学归纳法学案理考纲展示►1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．考点1 用数学归纳法证明等式数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基．②假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．(2)框图表示：答案：(1)②n＝k＋1[典题1] 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．[证明] (1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有1＋＋＋…＋＝，2×4则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋1＋＋＋2]＝＋1＋＋＝＋＋1＋＋＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．[点石成金] 用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．考点2 用数学归纳法证明不等式[典题2] 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．由(1)(2)知，原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．[点石成金] 用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an＋1<an.证明：(1)当n＝1时，∵a2是a＋a2－1＝0的负根，∴a2<a1.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1<ak，∵a－a＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1<ak≤0，∴a－a>0，又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，∴ak＋2－ak＋1<0，∴ak＋2<ak＋1，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，当n∈N*时，an＋1<an.考点3 观察——归纳——猜想——证明[考情聚焦] 通过近几年的高考试题分析，“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式成为高考命题的热点之一．从考查题型看，数学归纳法常与数列、函数等知识结合在一起考查，常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度，属中高档题．主要有以下几个命题角度：角度一与数列的通项公式或前n项和有关的证明[典题3] 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．(1)[解] 当n＝1时，由已知，得a1＝＋－1，则a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1>0)．当n＝2时，由已知，得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)．(2)[证明] ①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝－.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，将ak＝－代入上式，整理得a＋2ak＋1－2＝0，∴ak＋1＝－，即n＝k＋1时通项公式成立．由①②可知，对所有n∈N*，an＝－都成立．[点石成金] “归纳——猜想——证明”的基本步骤是“观察——归纳——猜想——证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．角度二证明存在性问题[典题4] 设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．[解] 解法一：(1)a2＝2，a3＝＋1，再由题设条件知，(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*)．(2)设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝.下面用数学归纳法证明命题：a2n<c<a2n＋1<1.当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，所以a2<<a3<1，结论成立．假设n＝k时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1.故c<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.解法二：(1)a2＝2，a3＝＋1，可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.因此猜想an＝＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1.则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．所以an＝＋1(n∈N*)．(2)设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．先证：0≤an≤1(n∈N*)．①当n＝1时，结论明显成立．假设n＝k时结论成立，即0≤ak≤1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝－1<1.即0≤ak＋1≤1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立，故①成立．再证：a2n<a2n＋1(n∈N*)．②当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝－1，有a2<a3，即n＝1时②成立．假设n＝k时，结论成立，即a2k<a2k＋1，由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得a2k＋1＝f(a2k)>f(a2k＋1)＝a2k＋2，a2(k＋1)＝f(a2k＋1)<f(a2k＋2)＝a2(k＋1)＋1.这就是说，当n＝k＋1时②成立，所以②对一切n∈N*成立．由②得a2n< －1，即(a2n＋1)2<a－2a2n＋2，因此a2n<.③又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2，所以a2n＋1> －1，解得a2n＋1>.④综上，由②③④知，存在c＝使a2n<c<a2n＋1对一切n∈N*成立．[点石成金] 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.[方法技巧] 1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础．2．利用归纳假设的技巧在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．[易错防范] 1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．课外拓展阅读归纳、猜想、证明[典例] [2016·江西九江模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*)．(1)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；(2)设x>0，y>0，且x＋y＝1，证明：＋≤. [审题视角] (1)将n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明．(2)利用分析法，结合x>0，y>0，x＋y＝1，利用基本不等式可证．(1)[解] 分别令n＝1,2,3，得∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3.猜想：an＝n.∵2Sn＝a＋n，①当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1)．②①－②，得2an＝a－a＋1，即a＝2an＋a－1.(ⅰ)当n＝2时，a＝2a2＋12－1，∵a2>0，∴a2＝2.(ⅱ)假设当n＝k(k≥2)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，a＝2ak＋1＋a－1＝2ak＋1＋k2－1，∴[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0，∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0，∴ak＋1＝k＋1.即当n＝k＋1时也成立．∴an＝n(n≥2)．显然n＝1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有an＝n.(2)[证明] 要证＋≤，只要证nx＋1＋2＋ny＋1≤2(n＋2)．即n(x＋y)＋2＋2≤2(n＋2)，将x＋y＝1代入，得2≤n＋2，即只要证4(n2xy＋n＋1)≤(n＋2)2，即4xy≤1.∵x>0，y>0，且x＋y＝1，∴≤＝，即xy≤，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．[答题模板]第1步：寻找特例a1，a2，a3等．第2步：猜想an的公式．第3步：转换递推公式为an与an－1的关系．第4步：用数学归纳法证明an.①验证递推公式中的第一个自然数n＝2.②推证ak＋1的表达式为k＋1.③补验n＝1，说明对于n∈N*成立．第5步：分析法证明．[方法点睛] (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值．(3)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．如本题：∵2Sn－1＝a＋n－1，∴2(Sn－Sn－1)＝a－a＋1，推导an与an－1的递推关系，再推出an，则不是数学归纳法．(4)本题第(2)问中的不等式证明不是关于n的不等式，由x＋y＝1来推证，则不能称为数学归纳法．。