江苏省苏、锡、常、镇四市2010年高三教学情况调查(二)(数学)

2024届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★) 5. 羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知非零向量，，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（）A．B．C．-1D．二、多选题(★★) 9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A．若，，，则B．，，，则C．若，，，则D．若，，，则(★★★) 10. 已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（）A．若2为的周期，则为奇函数B．若为奇函数，则2为的周期C．若4为的周期，则为偶函数D．若为偶函数，则4为的周期(★★★★) 11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（）A．，B．为定值C．的最小值50D．的最大值为三、填空题(★★★) 12. 已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为 ____________ . (★★★) 13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 ________ .(★★★) 14. 如果函数在区间[ a，b]上为增函数，则记为，函数在区间[ a，b]上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为 ________ ；如果函数，且，，则实数 ________ .四、解答题(★★) 15. 如图，直三棱柱的体积为1，，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．(★★)16. 某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．(1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？阅读附：，．0.1k 2.706(2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望．(★★★★) 17. 已知函数.(1)当时，证明：；(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.(★★★★★) 18. 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.(1)求C的方程；(2)存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；(3)对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，| MN|存在最小值，试求出这个最小值.(★★★★) 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.。

苏锡常镇四市2025届高三年级第二学期调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+ 2．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n n N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )A ．215B ．15C ．415D ．13 3．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=4．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ BC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+ 5．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．116．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 7．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π8．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则AB =（ ） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-9．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 10．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ）A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．||5z =D ．13122z i i =++ 11．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B 6C 3D ．23 12．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则A ．{|02}AB x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学2024.3注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A xx x =++>∣，集合{}04B x x =∣ ，则（）A.A B ⋂=∅ B.A B ⋃=R C.A B ⊆ D.B A⊆2.设5250125(12)x a a x a x a x +=++++ ，则125a a a +++= （）A.-2 B.-1 C.242 D.2433.已知平面向量,,a b c 满足0,||||1,||3a b c a b c ++====，则a 与b 的夹角为（）A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π44.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：cm ）近似服从正态分布()2172,N σ，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的约有（）A.150人 B.300人 C.600人 D.900人5.函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间()0,2π内的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.56.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与C 的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（）2 B.2 C.2 D.47.莱莫恩（Lemoine ）定理指出：过ABC 的三个顶点,,A B C 作它的外接圆的切线，分别和,,BC CA AB 所在直线交于点,,P Q R ，则,,P Q R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线.在平面直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为()()()0,1,2,0,0,4-，则该三角形的Lemoine 线的方程为（）A.2320x y --= B.2380x y +-=C.32220x y +-= D.23320x y --=8.已知正项数列{}n a 满足()*1223111121n n n n a a a a a a n ++++=∈+N ，若5627a a -=，则1a =（）A.13 B.1 C.32D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数123,,z z z ，下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =，则12z z = B.若22120z z +=，则120z z ==C.若1213z z z z =，则10z =或23z z = D.若1212z z z z -=+，则120z z =10.已知函数()sin 2cos2x f x x=-，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于点()π,0对称C.不等式()f x x >无解D.()f x 的最大值为2411.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，点F 满足()11101A F A B λλ= ，则（）A.当0λ=时，1AC ⊥平面BDFB.任意[]0,1λ∈，三棱锥F BDE -的体积是定值C.存在[]0,1λ∈，使得AC 与平面BDF 所成的角为π3D.当23λ=时，平面BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为56π19三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知变量,x y 的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为8ˆˆ0.yx a =+，据此模型预测当10x =时ˆy 的值为__________.x56789ˆy 3.5456 6.513.已知()(),0,11,,4log log 4a b a b b a ∞∈⋃++=，则2ln a b b+的最小值为__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1P -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 交于,A B 两点.记线段AB 的中点为M ，若线段MP 的中点在C 上，则k 的值为__________；AF BF ⋅的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a +=.（1）证明：2B A =；（2）若2sin ,144A b ==，求ABC 的周长.16.（15分）如图，在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥平面,,ABCD DC BC AB ⊥∥,22DC DC AB ==，CB CE =，点F 在棱BE 上，且12BF FE =.（1）证明：DE ∥平面AFC ；（2）当二面角F AC D --为135 时，求CE .17.（15分）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭.（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.18.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点50,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上项点A 作两条动直线()112212:1,:10l y k x l y k x k k =+=+<<分别与C 交于另外两点,M N .当1k 22=时，AM PM =.（1）求a 的值；（2）若1291,8MN k k NP ==，求1k 和2k 的值.19.（17分）已知函数()24e 2(0)x f x x x x-=->，函数()()2233g x x ax a a a =-+--∈R .（1）若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q .①求a 的值；②当,P Q 两点不重合时，求线段PQ 的长；（2）若01x ∃>，使得不等式()()00f x g x 成立，求a 的最小值.2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案1.【答案】D【解析】{2A x x =<-∣或{}1},04x B xx >-=≤≤∣，则B A ⊆，选D.2.【答案】C【解析】0x =时，55000123451,1;1,3,a a x a a a a a a =∴===+++++51234531242a a a a a ∴++++=-=，选C.3.【答案】B【解析】a b c +=- ，所以22()a b c += ，所以2223a a b b +⋅+= ，所以12a b ⋅= ，1πcos ,,,23a b a b a b a b ⋅==∴= ，选B.4.【答案】A【解析】()2172,,(168176)0.75,(172176)0.375X N P X P X σ~<<=∴<<=，(176)0.50.3750.125,0.1251200150P X ∴>=-=⨯=，选A.5.【答案】C 【解析】π2π3x k +=，则πππ5,.1,2,π6236k x k k x k x =-+∈====Z ；()4113,π;4,π,36k x k x f x ====在()0,2π选C.6.【答案】B 【解析】tan b AOM a ∠=，则112sin ,22b b AM a AOM ec OA a c ∠===∴==，选故答案选B.7.【答案】B【解析】ABC 的外接圆设为22100,4201640E F x y Dx Ey F D F E F ++=⎧⎪++++=∴++=⎨⎪-+=⎩，034D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴外接圆：22340x y y ++-=，即2232524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，在A 处切线：31,:1,,1,C,D 242x y y BC P ⎛⎫=+=∴ ⎪-⎝⎭排除.在C 处切线()4,:1,10,42x y AB y R =-+=∴-，选B.8.【答案】D【解析】1n =时，1211;23n a a =≥时，21111212141n n n n a a n n n +-=-=+--()5666654545611117,99,2799,,18,63,9922a a a a a a a a a a a =∴=∴+=∴===∴=，343232121335,10,15,,3,22a a a a a a a a a =∴==∴==∴= ，选D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】1122z z z z ⋅=，则221212,z z z z =∴=，A 对.2212z z =，则12i,i z z ==-满足条件，10z ≠，B 错.()12131231,0,0z z z z z z z z =∴-=∴=或230,z z C -=对.令()221212i,i,i ()()z a b z c d z z a c b d a c b d =+=+-=-+-=-+-，()22121212i ()(),z z a c b d a c b d z z z z +=+++=+++-=+，则220ac bd +=，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++不一定为0,D 错，选AC .10.【答案】BD【解析】()()()()sin πsin π,π2cos2π2cos2x x f x f x x x+-+==≠∴-+-不是()f x 的周期，A 错.()()()()()sin 2πsin 2π,2cos22π2cos2x x f x f x f x x x---===-∴---关于()π,0对称，B 对.()()π0π,f f x x -=>-∴>有解，C 错，选B D.()()22sin sin 2sin 1212sin x x f x x x ==+--，求()f x 的最小值.令()112sin 0,12222sin sin x f x x x >=≤=+，当且仅当12sin sin x x =，即2sin 2x =时取"="，D 对，选BD.11.【答案】ACD【解析】0λ=时，F 与1A 重合，平面BDF 为平面11,BDC AC ⊥ 面1BDA ，1AC ∴⊥平面,A BDF 对.11A B 不与平面BDE 平行，F ∴到面BDE 的距离不为定值，∴三棱锥F BDE -的体积不为定值，B 错.当F 在1A 时，AC 与平面BDF 所成角的正弦值为6332<，此时AC 与平面BDF 所成角小于π3，当F 在1B 时，AC 与平面BDF 所成角为ππ,23>∴存在[]0,1λ∈使AC 与平面BDF 所成角为π,C 3正确.如图所示建系，()()()0,0,0,2,2,0,2,2,2D B F λ，设平面BDF 的法向量为()0220,,,,22200n DB x y n x y z x y z n DF λ⎧⋅=+=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ 不妨设1x =，则()()1,1,1,1,1,2,2,0y z n AC λλ=-=-=--=- .23λ=，则42,,23F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平面BDF 的法向量11,1,3n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，球心()1,1,1O ，O 到面BDF 的距离19OD n d n ⋅== 44432R ++==，∴截面圆半径2225656,ππ,D 1919r R d S r =-===对，选ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】7.4【解析】7,5,50.87,0.6,0.80.6,ˆ0ˆˆ1x y aa y x x ==∴=⨯+∴=-=-=ˆ7.4.y=13.【答案】ln21+【解析】114log log 4,4log 4,log ,log 2a b a a a b a b b b a b +=∴+=∴=∴=，即22222,ln ln ln a b a b b b b b b b =+=+=+，令()2ln f x x x =+，()221220,2x f x x x x x'-=-===.()f x 在()()()min 0,2,2,,()2ln21,f x f ∞+==+ 此时2,2b a ==14.【答案】2；5【解析】AB 为过焦点的弦，AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN 的中点在抛物线上.PM 的中点在抛物线上，,N P ∴重合.令()()()1122,,,,:1A x y B x y AB y k x =-.()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，消x 可得2121244240,,1,22y y y y y y k k k k +--=+===∴=.()()()22222121212121221111144164y y y y y y y y AF BF x x +-⎛⎫⎛⎫⋅=++=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭164815164+=++=.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）证明：()2cos 1sin sin sin cos cos sin B A C A B A B+==+()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ⇒=-=-A B A ∴=-或()πA B A +-=（舍），2B A ∴=.（2）2147sin sin22444B A ==⨯⨯=，21314cos 12sin 12,cos 844B A A =-=-⨯==，()2314710252sin sin 4444168C A B ∴=+=⨯+⨯==，由正弦定理21452752448a c =⎧⇒==⇒⎨=⎩ABC ∴ 的周长为714+16.【解析】（1）设BC m =，如图建系.()()()()21,0,1,0,0,0,0,0,2,0,,0,,,033A m C D E m F m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()()21,0,1,,,0,0,,2,33CA m CF m m DE m ⎛⎫===- ⎪⎝⎭设平面AFC 的：一个法向量为()1,,n x y z = ，()101,2,21033mx z n m mx my +=⎧⎪∴⇒=--⎨+=⎪⎩ 1220,DE n m m DE ∴⋅=-+=∴ ∥平面AFC .（2）平面ACD 的一个法向量()20,1,0n =，122122cos1353,3251n n m CE n n m ⋅∴=-=--==+⋅ 17.【解析】（1）起火点被无人机击中次数X 的所有可能取值为0,1,2,3()()32131141120,1C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()232341484642C ,3551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列如下：X 0123P 1125121254812564125()44123,,3555X B E X ⎛⎫~∴=⨯= ⎪⎝⎭.（2）击中一次被扑灭的概率为121134116C 552125P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭击中两次被火扑灭的概率为222341232C 553125P ⎛⎫=⋅⨯⨯= ⎪⎝⎭击中三次被火扑灭的概率为334645125P ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴所求概率63264102125125125125P =++=.18.【解析】（1）22222222112022a y x x a x x a y a ⎧⎛⎫=+⎪⇒++=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎩()22222225,,0,1,0,223a a M A P a a ⎛⎫--⎛⎫∴- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭由22222222222221222a a a AM PM a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⇒+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222523a a ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，解得24,2a a =∴=.（2）设()()()1122,,,,0,1M x y N x y A ，则()()121221122121211114153011141y x x y x x x y x y y x x y ⎧⎛⎫--⋅=⎪ ⎪+⎪⎝⎭⇒---=⎨⎛⎫-⎪⋅-⋅= ⎪⎪+⎝⎭⎩.()()211221503x x x y x y ⇒--+-=对比,M N 两点方程知MN 过50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭与P 重合.1212178171588x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得112121,202x k k y =-⎧⇒==⎨=⎩.19.【解析】（1）①()222e e 42x x x f x x --⋅-=⋅-'，设020004e ,2x P x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭()()0022000002004e 2e 1422,x x OPx x x k f x x x x ----∴===⋅-⇒='∴切点()2,2,1P k -=-.l ∴方程：()22y x +=--，即y x=-()2222133033y x x a x a a y x ax a a=-⎧⇒-+++=⎨=-+--⎩()()()22Δ(13)4305110a a a a a =+-+=⇒--=15a ∴=或1②当1a =时，2Q x =，此时()2,2,,Q P Q -重合，舍去.当15a =时，45Q x =，此时44,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭此时22446222555PQ ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）令()()()2224e 233x F x f x g x x x ax a a x-=-=-+-++()()()()22223e 224e 1223,420x x x x x F x x a F x x x --''-+-=-+-'=⋅+>()F x '在()1,∞+上取补集，对1x ∀>，均有()()0f x g x ->成立，即()0F x >恒成立()2222446303201F a a a a a a ∴=-+-++>⇒-+>⇒<或2a >而对1,1x a ∀><经检验均有()0F x >成立，∴原命题中1a ≥而1a =时，()()()224e 1223,x x F x x F x x -'-+-'-= ，注意到()20F '=()F x ∴在()1,2上()()min 2,,()200F x F ∞+∴==≤ 成立，符合.综上：a 的最小值为1.。

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）英语（答案在最后）2024.05注意：本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

两部分答案都做在答题卡上。

总分为150分，考试时间120分钟。

第一部分听力(共两节,满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.How did the man get to the party?A.By motorbike.B.By car. B.By bus.2.When does Michelle usually get up?A.At6:00a.m.B.At6:30a.m.C.At7:00a.m.3.What will the man probably do next Monday?A.Buy a book.B.Borrow a novel.C.Visit a writer.4.How much did the woman spend on the dress?A.$120.B.$280.C.$400.5.Why does the woman want to quit her job?A.To work more flexibly.B.To spend more time reading.C.To take care of her family.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

江苏省苏、锡、常、镇四市2010届高三教学情况调查（二）地理2010.5.6注意事项：1．本试卷包括选择题（第1题～第26题，共26题）、综合题（第27题～第30题，共4题，其中第27题～第29题为必做题，第30题为选做题）两部分。

本卷满分为120分，考试时间为100分钟。

2．作答时必须用书写黑色字迹的0 .5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效。

一、选择题（ 60 分）（一）单项选择题：本大题共18 小题，每小题2 分，共36 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

图1中S为南极点，AB为晨昏线的一段，B为晨昏线与某一纬线的切点，这一天B点最大太阳高度为20°,C 为BS间的任意点。

读图回答1一2题。

1.A点位于A．晨线上 B．昏线上 C．晨线或昏线上 D．晨线和昏线的交点上2.C点（不包括B、S两点）该大的太阳高度可能是①小于等于O°②5°③小于10°④大于20°A．① B．②③ C．③④ D．②③④读图2某地地貌景观及其地质构造示意图，完成3一4题。

3．关于图2中地貌说法正确是A.M、O、Q均为背斜山B.M、O、Q均为向斜山C.M、O、Q均为断层山D.M为背斜山，O为向斜山，Q为断层山4．关于图2中N、P两地的说法正确的是A.N处地下可能含有金、银、铜等矿产B.P处地下可能含有石油矿产C.N处岩石抗侵蚀力弱，受外力侵蚀成谷D.P处为断裂下陷形成的图3示意为某专题研究建立的地理信息系统（GIS）图层。

据此完成5一6题。

5．该专题研究可能是A．耕地分类和评价 B．煤矿整治研究 C．商业分布和规划 D.学校布局与规划6．图中城市A．①位于规划区 B．②位于非矿区 C．③位于现矿区 D．④位于原矿区图4为台湾城市发展过程示意图，读图回答7一8题。

7．从1950年到1989年，该地区城市发展的特征是A．东部地区发展快，西部地区发展慢 B．从分散到集中，出现城市群C．大城市增一长快，中小城市增长慢 D．中部地区城市发展最快8．图中大河的河口处均没有形成大城市，其主要原因是A．降水少，河流径流量小 B．台风频率高，易形成风暴潮C．河流短促湍急，航运条件差 D．泥沙淤积严重，不利于建设港口读东亚局部地区图（图5)，回答9一10题9．图中甲乙丙三地气候的海洋性特征排序正确的是A．甲＞乙＞丙 B．乙＞甲＞丙 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲10．有关三地的叙述正确的是A．所在国均为发展中国家 B．甲地发展农业的限制性因素是热量图6为气候类型分布模式图，图的左侧是某季节气压带风带位置示意图，据图中信息回答11一13题。

2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育教研室 2010．3参考公式：样本数据12x x ,，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 函数()2sin(3π1)f x x =-(x ∈R)的最小正周期为 ▲ ．2． 若2(1i)1+i a b +=-（a b ∈R ,，i 是虚数单位），则i a b += ▲ ．3． 某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差2s = ▲ ．4． 已知两个单位向量1e ,2e 的夹角为120，若向量122=+a e e ，14=b e ，则⋅a b = ▲ ． 5． 已知集合π,0,1,2,3,4,5,62n A x x n ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，若从A 中任取一个元素x ，则恰有cos 0x =的概率为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+=垂直，则实数=a ▲ ．7． 设,a b 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ；（2）若a α⊥且b α⊥，则a ∥b ； （3）若a ∥α且a ∥β，则α∥β；（4）若a α⊥且a β⊥，则α∥β． 上面命题中，所有真命题．．．的序号是 ▲ ． 8． 若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，公差为2d．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列为等比数列，公比为 ▲ ．9． 已知集合{}20A x x x x =-∈,R≤，设函数（第10题图）2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ．10．已知{}n a 是等差数列，设12||||||n n T a a a =+++()n *∈N ．某学生设计了一个求n T 的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n 的表达式对n T 赋值，则空白处理框中应填入：n T ← ▲ ．11．已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += ▲ ．12．若不等式2210843≥kx y xy +对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 只能取 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k = ▲ ． 14．若函数()=f x x t *∈N ）的最大值是正整数M ，则M = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5A =，5b c =．（1）求sin C 的值； （2）求sin(2)A C +的值；（3）若△ABC 的面积3sin sin 2S B C =，求a 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥DC ，2DC AB =，AP AD =，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点．求证：（1）AE ∥平面PBC ；（2）PD ⊥平面ACE ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：（第17题图）DCBA E P （第16题图）22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为F ，右顶点为A ，动点M 为右准线上一点（异于右准线与x 轴的交点），设线段FM 交椭圆C 于点P ，已知椭圆C 的离心率为23，点M 的横坐标为92． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线P A 的斜率为1k ，直线MA 的斜率为2k ，求12k k ⋅的取值范围．18．(本小题满分16分)如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，3m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，:16:9MN NE =．线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN =x （m ），液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)． (1) 用x 的代数式表示AM ；（2）求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；（3）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？19．(本小题满分16分)已知等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，其前n 项的和为n S ．数列2{}n a 的前n 项的和为n A ， 数列1{(1)}n n a +-的前n 项的和为n B ． （1）若25A =，21B =-，求{}n a 的通项公式； （2）①当n 为奇数时，比较n n B S 与n A 的大小；②当n 为偶数时，若1q ≠，问是否存在常数λ（与n 无关），使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．NBA（第18题图）20．(本小题满分16分)已知函数2()ln f x x mx n x =++（0x >，实数m ，n 为常数）．（1）若230n m +=（0m >），且函数()f x 在[1,)x ∈+∞上的最小值为0，求m 的值； （2）若对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，函数()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，对每个给定的n ，求m 的最大值h (n )．数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育教研室 2010．3注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在GFEDCB A （第21—A 题图）边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的方程22332y x x =-，设y tx =，t 为参数，求曲线C 的参数方程．D ．选修4—5：不等式选讲设实数,,x y z 满足26x y z ++=，求222x y z ++的最小值，并求此时,,x y z 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90oBAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b aλ=．（1）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．23．(本小题满分10分)一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球． FEC 1B 1A 1CBA（第22题图）（1）若n =15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望ξE ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．23 23. 24. 0 5．37 6．2 7．（2）（4） 89．[102-,] 10． 2940n n -+ 11．5212. 1或2 13. 0 14. 7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1） ∵2222cos a b c bc A =+-=22426105c c -⨯=218c ，∴a =． …………………………………2分∵4cos 5A =，0πA <<， ∴3sin 5A =．∵sin sin a cA C=， ∴sin sin c A C a =3c ⨯……………………………5分 （2）∵c a <，∴C 为锐角，∴cos C = ∵3424sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=，2167cos22cos 1212525A A =-=⨯-=， ………………………8分∴sin(2)A C +=sin 2cos cos 2sin A C A C +=2472525+=． ………………………10分 （3）∵5b c =， ∴sin 5sin B bC c==，sin 5sin B C =． ∴23153sin sin sin 2220B C C ==． ……………12分又∵S =2213sin 2212a bc A c ==，∴231220a =，∴a =． ……………………14分16．证明：（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF ，∵E 为PD 中点，∴EF ∥DC 且EF =12DC ．………2分∵AB ∥DC 且12AB DC =， ∴EF ∥AB 且EF =AB ．……………4分 ∴四边形ABFE 为平行四边形． ∴AE ∥BF ． …………………6分 ∵AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ， ∴AE ∥平面PBC . ………………8分 （2）∵PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，PBBD B =，∴AC ⊥平面PBD ． ∵PD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥PD ． …………………………………………10分 ∵AP AD =，E 为PD 的中点，∴PD AE ⊥． …………………………………………12分 ∵AEAC A =，∴PD ⊥平面ACE . …………………………………………14分17．解：（1）由已知，得22,39,2c a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……………………………………2分FP E A BCD（第16题图）解得3,2.a c =⎧⎨=⎩ ∴ 229,5.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ………………………………4分∴椭圆C 的标准方程为22195x y +=．………………………………6分（2）设点11(,)P x y （123x -<<），点M 29(,)2y ，∵点F 、P 、M 三点共线，12x ≠-， ∴1211322y yx =+，121132(2)y y x =+，∴点M 11139(,)22(2)y x +． ……………………………………………8分 ∵1113y k x =-，121133(2)y k x =+， ∴12k k ⋅=11111333(2)y y x x ⨯-+=2111133(2)(3)y x x +-． ……………………10分 ∵点P 在椭圆C 上， ∴2211195x y +=， ∴22115(9)9y x =--． ∴12k k ⋅=2111513()(9)93(2)(3)x x x ⨯--+-=11365272x x +-⨯+=1651(1)272x -⨯++．……………12分 ∵123x -<<， ∴12269k k ⋅<-． ∴12k k ⋅的取值范围是26(,)9-∞-． ……………………………………14分 18．解：（1）39xAM x =-(1030)x ≤≤． …………………………………2分 （2）2222229(9)x MN AN AM x x =+=+-． …………………………4分∵:16:9MN NE =， ∴916NE MN =． ∴2222999[]1616(9)x S MN NE MN x x =⋅==+-． …………………6分 定义域为[10,30]． ……………………………8分 （3）224918(9)9(218)[2]16(9)x x x x S x x ---'=+-=339[(9)81]8(9)x x x --⨯-，………11分令0S '=，得0x =（舍），9x =+…………………13分当109x <+≤0,S '<S 关于x 为减函数；当930x +≤时，0,S '>S 关于x 为增函数；∴当9x =+S 取得最小值． …………………15分 答：当AN长为9+时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小．…16分19．解: (1) ∵25,A =21B =-,∴22211115,1,a a q a a q ⎧+=⎨-=-⎩ ∴12,1,2a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩或11,2.a q =⎧⎨=⎩ ………………2分 ∴21()2n n a -=-，或12n n a -=. ……………………………………4分(2) ∵222112()n n n n a a q a a ++===常数， 2111(1)(1)(1)n n n n n na a q a a ++++-=-⨯=--=常数， ∴数列2{}n a ，1{(1)}n n a +-均为等比数列，首项分别为21a ，1a ，公比分别为2q ，q -． ………………………………6分①当n 为奇数时，当1q =时, 1n S na =，21n A na =，1n B a =, ∴21n n n B S na A ==.当1q =-时, 1n S a =，21n A na =，1n B na =,∴21n n n B S na A ==. ……………………………………8分 当1q ≠±时, 设21()n k k *=-∈N ，21121(1)1k k a q S q ---=-，222122*********[1()](1)(1)11k k k k a q a q q A q q ------+==--，21211121[1()](1)11k k k a q a q B q q-----+==++,∴212121k k k B S A ---=．综上所述，当n 为奇数时，n n n B S A =. ……………………10分②当n 为偶数时， 存在常数121a qλ=+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． ……11分 ∵1q ≠，∴1(1)1n n a q S q -=-，2212(1)1n n a q A q -=-，1(1)1n n a q B q -=+．∴()n n n B S A λ-+=221112(1)(1)(1)[]111n n n a q a q a q q q q λ----++--222211122(1)(1)(1)111n n n a q a q a q q q q λ---=-+---21122(1)(1)11n n a q a q q qλ--=---=11(1)2()11n a q a q q λ---+ ． ………………………………14分 由题设，11(1)2()011n a q a q q λ--=-+对所有的偶数n 恒成立，又1(1)01n a q q-≠-， ∴121a qλ=+． ………………………………16分 ∴存在常数121a qλ=+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． 20．解：（1）当230n m +=时，22()3ln f x x mx m x =+-．则222323(23)()()2m x mx m x m x m f x x m x x x +-+-'=+-==． 令()0f x '=，得32mx =-（舍），x m =．…………………3分①当m >1时，∴当x m =时, 2223ln ()min m x m f m -=．令2223ln 0m m m -=，得23m =e ． ……………………………5分②当01m <≤时，()f x '≥0在[1,)x ∈+∞上恒成立，()f x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，当1x =时, min ()1f x m =+．令10m +=，得1m =-（舍）．综上所述，所求m 为23e m =． ……………………………7分(2) ∵对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，()f x 在区间(,)a b 上总是减函数， 则对于x ∈(1,3)，22()2n x mx n f x x m x x++'=++=＜0， ∴()0≤f x '在区间[1,3]上恒成立． ……………………9分设g (x )=22x mx n ++，∵0x >，∴g (x )≤0在区间[1,3]上恒成立．由g (x )二次项系数为正，得(1)(3)g g ⎧⎨⎩≤0,≤0, 即2318m n m n ++⎧⎨++⎩≤0,≤0, 亦即23n m n m -⎧⎪⎨⎪⎩≤-,≤-.-6 ………12分 ∵ (2)n --(6)3n ---=224(6)33n n -=--， ∴ 当n ＜6时，m ≤3n --6， 当n ≥6时，m ≤2n --， ……………………………14分∴ 当n ＜6时，h (n )= 63n --， 当n ≥6时，h (n )= 2n --， 即 6.6,6,()32,n n h n n n ⎧--<⎪=⎨⎪--⎩≥ ……………………………16分数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结EF ．∵B C F E ,,,四点共圆,∴ABC EFD ∠=∠． ………………………………2分∵AD ∥BC ，∴BAD ABC ∠+∠=180°．∴BAD EFD ∠+∠=180°． ………………………………6分∴A D F E ,,,四点共圆． ………………………………8分∵ED 交AF 于点G ，∴AG GF DG GE ⋅=⋅． ………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵A 的特征多项式为()f λ=3101λλ--+=(3)(1)λλ-+ ， ……………………………2分 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-． ………………4分当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ……………………………7分 当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y x y y +=-⎧⎨-=-⎩,，取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ……………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将y tx =代入22332y x x =-，得222332t x x x =-，即32223x t x =-()． ………………………………4分当 x =0时，y =0；当0x ≠时， 232t x -=． ………………………………………6分 从而332t t y -=． ………………………………………8分 ∵原点(0,0)也满足233232t x t ty ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,，∴曲线C 的参数方程为233232t x t ty ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,（t 为参数）． ……………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解:∵2222222()(112)2)36x y z x y z ++++++=≥(, ………………………5分 ∴2226()x y z ++≥，当且仅当2z x y ==时取等号, ………………………8分 ∵26x y z ++=，∴1,1,2x y z ===．∴222x y z ++的最小值为6,此时1,1,2x y z ===．………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． （1）设a =1，则AB =AC =1，1AA =3，各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ．(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-．…………2分 ∵12AE A F ==11AE A F ⋅=-， ∴111,1cos 22AE A F AE A F AE A F⋅===-． ∴向量AE 和1A F 所成的角为120o ，∴异面直线AE 与1A F 所成角为060．…4分 （2）∵(,0,)3b E a ，2(0,,)3b F a ， ∴2(,0,),(0,,)33b b AE a AF a ==． 设平面AEF 的法向量为1(,,)x y z n ，则10AE ⋅=n ，且10AF ⋅=n ．即03bz ax +=，且203bz ay +=． 令1z =，则2,33b b x y a a =-=-． z A A （第22题图）∴12(,,1)33b b a a =--n =2(,,1)33λλ--是平面AEF 的一个法向量． ………6分 同理，22(,,1)33b b a a =n =2(,,1)33λλ是平面1A EF 的一个法向量． ………8分 ∵平面AEF ⊥平面1A EF ，∴120⋅=n n ．∴22221099λλ--+=． 解得，32λ=． ∴当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=． ………………………10分23．解：（1）设袋中黑球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则2()155x P A ==． ∴6x =． …………………………………………………1分设袋中白球的个数为y (个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17yC P B C -=-=， ∴2291200y y -+=， ∴5y =或24y =(舍)．∴红球的个数为15654--=(个)． …………………………………3分∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是ξ的数学期望11442560122110535105E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………6分 （2）设袋中有黑球z 个，则2(5,10,15,5z n n ==…）． 设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，则23521661()125251n n C P C C n =-=+⨯-， …………………………………8分 当5n =时，()P C 最大，最大值为710．…………………………………10分。

辅导讲义 学员编号： 年 级： 高三 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：授课主题 等比数列 等比数列 等比数列授课日期及时段教学内容等比数列知识梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示。

2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1。

3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N ＋)；(2)若{a n }为等比数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ,n ,p ,q ∈N ＋)，则n m q p a a a a ⋅=⋅ m ＋n ＝2p,n m p a a a ⋅=2(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，{a 2n }，{a n ·b n }，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .5．等比数列的前n 项和公式(1)当q ＝1时，S n ＝na 1；(2)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 利用错位相减法推导等比数列的前n 项和：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， 同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .(q ≠1) 注：错位相减的思想可以给学生渗透，为以后数列求和做铺垫。

江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练专题一、导数及其应用一、填空题1、（盐城上期中）若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2、（南京市高三学情调研）若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值， 且 x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围是＿＿＿3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率的最小值是 ▲ ．4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）函数在点A （2，1）处切线的斜率为 ▲ ．5、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三月考）若函数f(x)=kx-cosx 在区间()单调递增，则 k 的取值范围是 ▲ .6、（南师附中高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+，则实数b 的值为 ．7、（徐州市高三上期中考试）已知函数32()2f x x x a =--，若存在(]0,x a ∈-∞，使0()0f x ，则实数a 的取值范围为 ▲8、（常州上期末）已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．9、（盐城市高三上学期期中）已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．10、（苏州市高三上学期期末）曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ．11、（盐城市高三上学期期中）在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在x ＝0处的切线方程是 ．12、（盐城市高三上学期期中）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ．13、（南京市、镇江市高三上学期期中）已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －lnx 在［1，e ］的最小值为＿＿14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．15、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题1、（南京市高三9月学情调研）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ． （1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )， 记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 2、（南京市高三9月学情调研） 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值． 3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）已知函数ln (),()xx xf xg x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）已知函数，a ∈R.⑴函数y= f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a 的值； ⑵讨论函数f(x)的单调性； ⑶当a=1时，证明：不等式成立.（其中n!=1×2×3×…×n ，n ∈N*,n ≥2）5、（南京市高三12月联合调研）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x 处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间； （2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >. 6、（南京市、盐城市高三上学期期末）若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．设函数f (x )＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )． （1）若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，在函数f (x )的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t ＝3时，若函数f (x )的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．7、（如皋市高三上学期期末）已知函数()ln 2f x x ax a =-+，其中a ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x ay --=垂直，求实数a 的值； （II ）设函数()()22g x f x ax a =++． (1).求函数()g x 的单调区间；(2)若不等式()0g x >对任意的实数()1x ∈+∞，恒成立，求实数a 的取值范围． 8、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知函数()()ln f x x a x =-()a ∈R ． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．9、（苏州市高三上学期期中）设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数． （1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >． ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由．10、（南京市高三第三次模拟）已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围． 11、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）高三第一次模拟（2月）） 已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，． ① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟） 已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上 的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()1ln ax f x x =+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（一））已知函数()(1)ln (R)f x x x ax a =++∈． （1）若()y f x =在(1，(1)f )处的切线方程为0x y b ++=，求实数a ，b 的值； （2）设函数()()f x g x x=，x ∈[1，e]（其中e 为自然对数的底数）．①当a ＝﹣1时，求()g x 的最大值；②若()()exg x h x =是单调递减函数，求实数a 的取值范围．15、（盐城市2019届高三第三次模拟） 设函数x ae x x f -=)(（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在1=x 处的切线方程； （2）若函数)(x f 在区间(0,1)上具有单调性，求a 的取值范围；（3）若函数)()()(x f e e x g x -=有且仅有3个不同的零点321,,x x x ，且321x x x <<，113≤-x x ,求证: 1131-+≤+e e x x16、（南师附中高三年级5月模拟）设a 为实数，已知函数()xf x axe =，()lng x x x =+．（1）当a ＜0时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx ≥+对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+(x ＞0，x ∈R)有两个相异的零点，求a 的取值范围．参考答案一、填空题 1、 15(,6)2-- 2、[ 2ln2，＋∞） 3、44、122㏑ 5、［－12∞，＋） 6、－13 7、[1,0][2,)-+∞ 8、1e 9、12e-10、2311、32y x =+ 12、{}1- 13、e14、1 15、二、解答题1、解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g '(x )＝2(1－2ln x )x 3．令g '(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4．令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4． 因为h ' (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0， 所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1． 因为h ' (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0． 所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a ∈(53，2)时，h (a )＞h (53)＝827． ………………………14分③当a ≥2时，当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减， 所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5， 所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1．综上，h (a )的最小值为827． ………………………16分2、解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x (x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则直线l 的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即 y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．…………………… 3分因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． …………………… 6分 （2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a 2x ＝2(x －a )( x ＋a )x(x ＞0)． 因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． …………………… 8分 ① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1． …………………… 11分 ② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增， 所以 H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ) 当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0， 又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ) 当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0， 所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上 φ(x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜a ≤1，a 2(1－2ln a )，1＜a ＜e ，0， a ≥e ． …………………… 16分3、（1）1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分 （2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分 当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分则ln 1b a a a +≥-， 记ln 1()a n a a+=-，则2ln ()(0)a n a a a '=>，令()0n a '=，得1a =当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a 单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分 （3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln 2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性：① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x -<+->>，此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k=符合题意．……………………………16分4、5、解：(1)因为1()f x axx'=+，所以(1)1f a'=+,由(1)(1)2f g'=--可得a=b-3.又因为()f x在2x=处取得极值，所以22(20f'=，所以a= -2,b=1 . …………………………………2分所以2()lnh x x x x=-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. …………………………4分 （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①'1()h x b x=+,当0b ≥,则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意。

江苏省苏锡常镇四市2022_2023学年度高三教学情况调研(二)数学试卷及参考答案江苏省苏锡常镇四市2022_2023学年度高三教学情况调研(二)数学试卷及参考答案一、选择题1. 设函数 $f(x)=2x^2+4x+1$，则 $f(-\frac{3}{2})$ 的值是_________。

A. $-\frac{23}{4}$B. $-\frac{9}{2}$C. $\frac{23}{4}$D. $-\frac{7}{4}$2. 平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A(1,2)$，$B(1,0)$，$C(3,0)$，$D(3,2)$，则四边形 $ABCD$ 的面积为_________。

A. $4$B. $6$C. $8$ D . $12$3. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2$，则 $a_n$ 的值为_________。

A. $n+1$B. $n$C. $1$D. $0$4. 若 $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1$，则 $x$ 的值为_________。

A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$5. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=BC$，$D$ 为边 $BC$ 的中点，若$\angle ADC=90^\circ$，则 $\angle ABC$ 的度数是_________。

A. $30$B. $45$C. $60$D. $90$二、解答题1. 设实数集合 $A=\{x\mid x^2-4x+4\leq0\}$，求 $A$ 的取值范围。

解：首先化简不等式 $x^2-4x+4\leq0$，得到 $(x-2)^2\leq0$。

由平方非负的性质可知，$(x-2)^2$ 的取值范围不小于 $0$，即 $(x-2)^2\geq0$。

当且仅当 $(x-2)^2=0$ 时，等号成立。

所以，可以推出 $x-2=0$，解得 $x=2$。

综上所述，集合 $A=\{x\mid x=2\}$，即 $A=\{2\}$。

语文本试卷满分150分。

考试用时150分钟。

一、现代文阅读（36分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。

2009年12月7日，举世瞩目的联合国气候变化峰会在丹麦首都哥本哈根召开，经过近2周的激烈争吵，各方最终未能对下一步温室气体减排达成共识。

以下是记者对本次会议中方科技顾问丁仲礼院士的采访。

记者：这次哥本哈根的峰会给人的感觉一直是激烈的争吵，到底在吵什么？丁：就是今后不同的国家还能排放多少二氧化碳。

记者：这个排放多少，对于我们意味着什么？丁：简单讲，就是一个国家以后还能使用多少能源。

对普通国民来说，它意味着生活能否继续改善，福利能否进一步增加，甚至有没有工作。

记者：基于IPCC（联合国政府间气候变化专门委员会）报告对于气候升温的预测，哥本哈根会议提出，相对于1750年工业化前的水平，全球平均气温升高2摄氏度是人类社会可以容忍的最高升温。

对此，您怎么看？丁：许多人都把它理解为一个科学结论，其实这个2摄氏度只是英国某研究机构通过计算机模拟出来的。

随着这个结论的迅速流行，它慢慢变成了一个价值判断。

记者：如果计算机模拟的结果是可信的话，那不算一个依据吗？丁：你怎么知道它可信？它并非科学实验的结果，它只是计算机的模拟。

记者：丁院士，我们当然知道科学界有反对和怀疑的声音，但是IPCC作为各国科学家共同参与的一个组织，它拿出的报告，不应该得到主流科学界的认同吗？丁：科学家有主流吗？科学是根据人多人少来定的吗？科学是真理的判断。

在IPCC报告原文中．并没有确认气候变暖就是由人类活动产生二氧化碳带来的结果，也没有精确的数据表明二氧化碳到底对气候变暖有多大的影响，按照哥本哈根大会达成的控制升温2摄氏度的共识，到2050年全球二氧化碳的最大排放量约为8000亿吨。

这个总量非常非常小。

打个比方，假如我们现在是人均排放1.4吨碳，那么到2050年人均排放量就只有0.8吨碳。

这还是建立在人口总量维持不变的前提之下。

江苏省苏锡常镇四市2021~2022学年度高三教学情况调研（二）化学试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Al-27 S-32 Fe-56 Cu-64 Ag-108 一、单项选择题：共13题，每题3分，共39分。

每题只有一个选项最符合题意。

1．反应2Al+ Fe2O3高温2Fe+Al2O3可用于焊接钢轨。

下列有关说法不正确的是A．该反应吸收大量热B．铝在反应中作还原剂C．该反应属于置换反应D．Al2O3属于两性氧化物2．利用反应4NH3+COCl2=CO(NH2)2+ 2NH4Cl可去除COCl2污染。

下列说法正确的是A．中子数为10的氧原子108O B．NH3的电子式为C．COCl2是极性分子D．CO(NH2)2含离子键和共价键3．下列有关氮及其化合物的性质与用途具有对应关系的是A．N2难溶于水，可用作粮食保护气.B．氨水具有碱性，可用于去除烟气中的SO2C．NO2具有还原性，与N2H4混合可用作火箭推进剂D．HNO3具有氧化性，可用于生产氮肥NH4NO34．在指定条件下，下列选项所示的物质间的转化可以实现的是A．NH32OΔ−−−−→催化剂、NO22OH O−−−→HNO3B．Ca(ClO)2(aq)2CO−−−−→HClO−−→光Cl2C．NaCl(aq)电解−−−−→Na(s)2O−−−→点燃Na2O2D．CuSO4NaOH−−−→Cu(OH)2Δ−−−→葡萄糖Cu5.前四周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，且位于周期表4个不同的周期。

Y的电负性仅次于氟元素，常温下Z单质是气体，基态W原子的外围电子排布为ns2np5。

下列有关说法正确的是A．W位于元素周期表中第四周期V A族B．Z的最高价氧化物的水化物为弱酸C．X与Y组成的化合物分子间可形成氢键D．Z和W形成的化合物中W显负价阅读下列材料，完成6~8题：C、Si同处于ⅣA族，它们的单质或化合物有重要用途。

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（参考答案） 2024. 5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A B C D A D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 题号9 10 11 答案 BCD ABD AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1y =或3450x y ++= 1314．4，1四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分） 【法一】（1）证明：在直棱柱111C B A ABC −中，1B B ⊥面ABC ，则面11BB CC ⊥面ABC ， ……2分面11BB CC 面ABC BC =，AB ⊂面ABC ，BC AB ⊥，所以⊥AB 面11B BCC ……4分因为11//B A AB ，所以⊥11B A 面11B BCC . 则1A C 在面11B BCC 的射影为1B C ， 在正方形11B BCC 中，有.11C B BC ⊥所以由三垂线定理得：.11C A BC ⊥ ……6分（2）解：直三棱柱111ABC A B C 的体积为111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA =. ……7分由（1）⊥11B A 平面11B BCC ，1BC ⊂平面11B BCC ，则⊥11B A 1BC ， 在正方形11B BCC 中，1B C ⊥1BC ，且111A B B C ⊂，平面C B A 11， 1111A B B C B = ，所以⊥1BC 平面C B A 11.……8分设11B C BC O = ， 在△11A B C 中，过O 作C A OH 1⊥于H ，连接BH . 因为OH 为BH 在面11A B C 的射影，由三垂线定理得：⊥C A 1.BH 所以BHO ∠为二面角11B A B C −−的平面角. ……10分 因为Rt △COH ∽Rt △11CA B ，111B A CA OH CO =，得33=OH ， 又在Rt △BOH 中，22=BO ，得630=BH ， ……12分 .51063033cos ===∠BHOHBHO所以二面角B C A B −−11的余弦值为.510……13分【法二】直三棱柱111ABC A B C 的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=，则11AA =. ……1分（1）证明：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系.…2分 (0,0,0)B ，1(0,0,1)B =，(1,0,0)C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C .1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ， ……4分11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以.11C A BC ⊥ ……6分（2）(0,0,0)B ，1(0,0,1)B =，(1,0,0)C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C .(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量1η111(,,)x y z =，则111111020BC x BA y z ⋅==⋅+，，ηη取11y =，得1η(0,1,2)−. ……8分1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2η222(,,)x y z =， 则21222112020B C x z B A y ⋅=−= ⋅== ，，ηη 取21x =，得2η(1,0,1)=. ……10分 设二面角11B A B C −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|⋅=<>==ηηθηηηη. ……12分 因为θ为锐角，所以二面角11B A B C −−余弦值为510. ……13分16.（15分） （1）提出假设0H ：是否喜爱阅读与性别没有关系． ……3分根据列联表的数据，可以求得：2250(10121315)0.725 2.70625252327χ×−×=≈<×××，……5分所以没有90%的把握认为喜爱阅读与性别有关. ……7分 （2）随机变X 服从超几何分布(3,2,6)H ，X 可能取0，1，2. ……8分……2分0324361(0)5C C P X C ===，1224363(1)5C C P X C ===，2124361(2)5C C P X C ===. ……11分……14分答：抽取男生人数的数学期望为1． ……15分17.（15分）解：（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x−=.要证()1f x >，只需证：当0x >时，e 1x x >+. ……1分令()e 1x p x x =−−，则()e 10x p x ′−>，则()p x 在(0,)x ∈+∞单调递增，……3分 所以()(0)0p x p >=，即e 1x x >+. ……5分 （2）2(1)e 1()x x a f x x x −+=+′1(1)e 1x x a x x −+=⋅+， ……6分令(1)e 1()(1)x x g x a x x−+=+>， 则()2222e (1)1(1)110x x x x x x g x x x x ′−+−−+−−=>=>.所以()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+， ……8分 ①当1a − 时，()(1)10g x g a >=+ ，()0f x ′>. 则()f x 在(1,)+∞为增函数，()f x 在(1,)+∞上无极值点，矛盾. ……11分 ②当1a <−时，(1)10g a =+<. 由（1）知，e 1x x x >+>，(1)e 1(1)e (1)()1x x x x x xg x a a a x a x x x−+−−=+>+>+=−+，则(1)0g a −>，则0(1,1)x a ∃∈−使0()0g x =. ……14分 当0(1,)x x ∈时，()0g x <，()0f x ′<，则()f x 在0(1,)x 上单调递减； 当0(),x x ∈+∞时，()0g x >，()0f x ′>，则()f x 在0(,)x +∞上单调递增. 因此，()f x 在区间(1,)+∞上恰有一个极值点，所以a 的取值范围为(,1)−∞−. ……15分18. （17分）（1）解： F (0，2p)，设A (211,2x x p )，则FA = 211(,)22x p x p−1)4−，……1分所以1211224x x p p = −=−，得：2260p p −−=，解得2p =或32p =−（舍）， 所以抛物线C 的方程为24x y =①. ……4分（2）设直线MN ：y kx m =+②， M (11,x y )，N (22,x y )， 联立①②，得2440x kx m −−=. 所以216()0k m ∆=+>③，121244x x k x x m +=⋅=−，④.111111222y kx m m k k x x x ++++===+，222222222y kx m m k k x x x ++++===+，则1212121211(2)2(2)()2(2)x x k m k k k m k m x x x x m+−+=+++=++⋅=， ……5分 121212(2)(2)kx m kx m k k x x ++++=2222121212(2)()(2)8(2)4k x x k m x x m k m x x m+++++++=−. ……6分因为12123()24k k k k +−=，即：22(2)8(2)32404k m k m m m−++×−×−=−， 即：(22)(42)0k m k m +−+−=， 则22m k =−或24m k =−，能满足③式. ……8分则MN ：22(2)2y kx k k x =+−=−+，或MN ：24(4)2y kx k k x =+−=−+， 所以定点Q 的坐标为(2,2)或(4,2)，……10分（3）如MN 过(4,2)点，当122k k ==时， 12123()24k k k k +−=，但此时M ，N 重合，则||MN 无最小值，所以MN 只能过(2,2)点，此时||MN 有最小值. ……11分 由（2），在④中，令22m k =−得：1212488x x k x x k +=⋅=−，，MN 2x −===. ……13分令432()2322f k k k k k =−+−+，则32246622(21)(1)0()k f k k k k k k ′=−+−=−−+=，12k =. ……15分当12k <时,()0f k ′<，()f k 在1(,)2−∞上为减函数， 当12k >时,()0f k ′>，()f k 在1(,)2+∞上为增函数， ……16分所以当12k =时，()f k 有最小值，MN 有最小值.min5MN =. ……17分19.（17分）（1）解：第1行最后两数0101C C 1==，第2行的最后两数120233C C C 2=−=. ……1分 第m （3m ）行的第m 个数为132222C C m m m m −−−−−，第1m +个数为22121C C m m m m −−−−，猜测：132********C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−. ……2分【法一】即证：12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−，……3分 因为11233222222222222C C C C C C m m m m m m m m m m m m −−−−−−−−−−−+−=+−，……5分只要证明22222C C m m m m −−−=，该式显然成立，所以12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−，所以每行最后两个数相等.……6分【法二】因为22121(21)!(21)!C C !(1)!(2)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−=−−−+[](21)!(1)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−+2(21)!(2)!!(1)!!(1)!m m m m m m m −=++； ……4分 又因为132222(22)!(22)!C C (1)!(1)!(3)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−−=−−−−+[](22)!(1)(1)(2)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−−−+(42)(22)!(1)!(1)!m m m m −−=−+2(21)!(2)!(1)!(1)!!(1)!m m m m m m −=−++. 即：13222222121C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−.所以每一行的最后两个数相等. ……6分（2）第1行所有数之和为0101C C 2+=，第2行的最后一个数为0323312C C =−−=， 此时结论成立. ……7分因为11C C C k k k n n n −++=，第m （2m ）行的1m +个数之和为：0120312111222121C C (C C )(C C )(C C )m m m m m m m m m m −−++++−−++−+−++−01201211211221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −−+−++−=++++−+++0120121212221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −+−++−=++++−+++1212211213321(C C C )(C C C )m m m m m m m m −++−++−=+++−+++222C C m m m m −==− . ……10分而第1m +行倒数第二个数为222C C m m m m −−，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. ……11分（3）当1n =，3k =时，1111C 1S a ===，11341S =−，当4k ≥时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数k ，使得41n n kS − 恒成立，k 的最大值为3. ……12分 下证：当2n 时，341n n S <− 恒成立. 由（1）知，(2)!!(1)!n n n a n +=，则1(22)!(1)!(2)!n a n n n +=+++，因为1(22)!(22)(1)!(!)!(1)!(212)!(2)())(12n n a n n n n n n n a n n n +++++++=++×=2(21)4(2)6644222n n n n n ++−===−<+++. ……14分又0n a >，当2n 时，2111214444n n n n n a a a a −−−−<<<<= . ……15分当2n 时，211241...144 (4)3n n n n S a a a −−=+++<++++=，所以341n n S <−. 综上：存在正整数k ，k 的最大值为3，使得41n n kS − 恒成立. ……17分。

江苏省苏、锡、常、镇四市2010届高三教学情况调查（一）2010.3注意事项：1 .本试卷分选择题和非选择题两部分，共 120分。

考试时间100分钟2 •请将答案填写在答题纸的指定栏目内。

可能用到的相对原子质量： H-1 C —12 N —14 O —16 Na —23 Mg —24 K —39第I 卷选择题（42分）单项选择题：本题包括6小题，每小题3分，共计18分。

每小题只有一个选项符 合题意。

1. 2010年上海世博会的主题是“城市，让生活更美好”。

下列叙述中不正确的是A. 世博会前期，处理废水时加入明矶可作为混凝剂以吸附水中的杂质B. 世博会期间，利用可降解的“玉米塑料”替代一次性饭盒，可防止产生白 色污染C. 世博会中国馆一一“东方之冠”使用的钢筋混凝土属于高分子化合物3. 设2为阿伏加德罗常数，下列叙述中正确的是A. 在含有4mol Si — O 键的石英晶体中，氧原子的数目为 2MB. 常温常压下，2.24L 氯气与过量的氢氧化钠溶液完全反应转移的电子数为 0.1 NxC. 标准状况下，1L 辛烷完全燃烧后，所生成气体产物的分子数为 8N A /22.4D. 0.1L 2mol?L 宀的(NH )2S 溶液中含有的S®数目为0.2 Nk5. 下列各组离子，一定能在指定环境中大量共存的是A. 在含有大量I 「离子的溶液中：Cl —、Fe 3+、Al 3+、Cif +B. 在由水电离出的c （H +） = 10_12 mol ・L _1的溶液中：N6、B E T 、Cl Br -2++ 2 一 一C. 在使pH 试纸变红的溶液中：Fe 、Na 、SO 、ClOD. 在加入Al 能放出大量 H 的溶液中：NH +、SO 2—、C1—D.世博停车场安装催化光解设施 ,可将汽车尾气中CO 和NO 反应生成无毒气体 2. 下列化学用乙醇分子比例模型:S C .质量数 D. 羰基硫（COS 的结构式: A.实验室制取并收集NH 备乙烯C .检查装置气密性D.实验室制4.下列装置或操作不能达到实验目的的是6. X 、Y 、Z 是三种常见的单质，甲、乙是两种常见的化合物。

江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ． 2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 6．函数()2ln f x x x =-+的定义域为 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c是正数，求证：对任意x∈R，不等式21b c ax xa b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点．（1）求二面角M—AC—D的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0． 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =+的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e -){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin cos sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan 3θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +，得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立，令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min所以P 到直线l 的距离的最小值为2． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD所成角的正弦值为22，22，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑． 解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。

常州市2009-2010学年度高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题 2010.5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2． 函数sin 3cos y x x =+()x ∈R 的值域为 ▲ ．3． 若2()(31)i 25i a a a -+-=+，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为 ▲ ．4． 在平面直角坐标系xOy 中，“方程22113x y k k +=--表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件是k ∈ ▲ ．5． 若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则实数m 的值为 ▲ ．6． 将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，则“A ，B 两人恰好在同一组”的概率为 ▲ ． 7． 在平面直角坐标系x o y 中，点p （ 0 ，1 ）在曲线c ： 32y x x ax b =--+（a ，b 为实数）上，已知曲c 在点p 处 的切线方程为21y x =+，则a ＋b ＝ ▲ ．8． 数列{a n }满足a 1＝1，111111n na a +=+++，则a 10＝ ▲ ． 9． 满足π4π1sinsin cos cos 552x x +=的锐角x ＝ ▲ ． 10． 右图是一个算法的流程图，最后输出的n ＝ ▲ ．高三数学 第1页（共4页）11． 如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC xOA yOB =+， （x ，y ∈R ），则x －y ＝ ▲ ．12． 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论： ① D 1C ∥平面A 1ABB 1； ② ②A 1D 1与平面BCD 1相交； ③ AD ⊥平面D 1DB ； ④ ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1．上面结论中，所有正确结论的序号为 ▲ ．13． 如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点，B ，C 在椭圆E 上，若 四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E的离心率等于 ▲ ．14． 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上是单调增函数，当n *∈N 时，()f n *∈N ，若[()]3f f n n =，则f(5)的值等于 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABCD 中，CA ＝CD ＝12AB ＝1， AB AC ⋅ ＝1，sin ∠BCD ＝35．（1）求BC 的长； （2）求四边形ABCD 的面积；（3）求sin D 的值．高三数学 第2页（共4页）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题 ~ 第14题）、解答题（第15题~第20题）．本 卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答 必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔．结束 开始 P ← 0 n ← 1 P ←1(1)P n n ++n ← n ＋1 输出n YN （第10题）P ＜0.99C y x O A B （第13题） ACB O （第11题） BC D A 1 A B 1 C 1D 1 （第12题） D CBA （第15题）16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD是菱形，且 ∠ABC ＝60°，点M 是AB 的中点，点E 在棱QD 上，满足DE ＝2PE ．求证： （1）平面P AB ⊥平面PMC ； （2）直线PB ∥平面EMC ．17．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且122n n a S +=+()n *∈N ． （1）求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）解不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N ．18．（本小题满分16分）在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，B （－1，0），D （2，0）为AC 的中点． （1）求点C 的轨迹方程；（2）已知直线l ：x ＋y －4＝0，求边BC 在直线l 上的投影EF 长的最大值．高三数学 第3页（共4页）19．（本小题满分16分）如图一块长方形区域ABCD ，AD ＝2（km ），AB ＝1（km ）．在边AD 的中点O 处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF 始终为π4，设∠AOE ＝α，探照灯O 照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S ．（1）当0≤α＜π2时，写出S 关于α的函数表达式；（2）当0≤α≤π4时，求S 的最大值．（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G ，且∠AOG ＝π6，求点G 在“一个来回”中，被照到的时间．20．（本小题满分16分）已知函数()|2|ln f x ax b x =-+（x ＞0）．（1）若a ＝1，f (x )在（0，＋∞）上是单调增函数，求b 的取值范围； （2）若a ≥2，b ＝1，求方程1()f x x=在（0，1]上解的个数．高三数学 第4页（共4页）DAB C PE M （第16题）l y x O F EDCB A （第18题）G αF E D C B A O （第19题）苏、锡、常、镇2010届高三调研测试（二）参考答案一、填空题1．{x |1＜x ＜2} 2．[－2，2] 3．2 4．（1，3） 5．－26．137．－1 8．1719- 9．7π15 10．100．11．－3 12．①④ 13．22314．8二、解答题 15．（1）由条件，得AC ＝CD ＝1，AB ＝2．∵AB AC ⋅ ＝1，∴1×2×cos ∠BAC ＝1．则cos ∠BAC ＝12．∵∠BAC ∈（0，π），∴∠BAC ＝π3． ……………… 2分∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋1－2×2×12＝3．∴BC ＝3． ……………… 5分（2）由（1）得BC 2＋AC 2＝AB 2．∴∠ACB ＝π2． ……………… 6分∴sin ∠BCD ＝πsin()cos 2ACD ACD +∠=∠＝35．∵∠ACD ∈∈（0，π），∴4sin 5ACD ∠=． ……………… 8分∴S △ACD ＝12×1×1×45＝25．∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝3225+． ……………… 10分 （3）在△ACD 中，AD 2＝AC 2＋DC 2－2AC ·DC cos ∠ACD ＝1＋1－2×1×1×35＝45．∴AD ＝255． ……………… 12分∵sin sin AD AC ACD D=∠， ∴1425sin sin 55255AC D ACD AD =∠=⋅=． ……………… 14分 16．（1）∵P A ＝PB ，M 是AB 的中点．∴PM ⊥AB ． …………………… 2分∵底面ABCD 是菱形，∴AB ＝AC ．∵∠ABC ＝60°．∴△ABC 是等边三角形． 则CM ⊥AB ． …………………… 4分 ∵PM ∩CM ＝M ，∴AB ⊥平面PMC ． ……………… 6分∵AB ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PMC ．………… 8分（2）连BD 交MC 于F ，连EF ．由CD ＝2BM ，CD ∥BM ，易得△CDF ∽△MBF ． ∴DF ＝2BF ． ………… 10分 ∵DE ＝2PE ，∴EF ∥PB ．………… 12分∵EF ⊂平面EMC ，PB ⊄平面EMC ，∴PB ∥平面EMC ． ……………… 14分17．（1）∵2112223a S a =+=+=，∴232a =． ……………… 1分∵321292222a S a a =+=++=，∴394a =． ……………… 2分∵122n n a S +=+，∴122n n a S -=+（n ≥2），两式相减，得1122n n n n a a S S +--=-．∴122n n n a a a +-=．则132n n a a +=（n ≥2）． ………………4分∵2132a a =，∴132n n a a +=()n *∈N ． ……………… 5分∵110a =≠，∴{}n a 为等比数列，132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭． ………… 6分（2）13233n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，∴数列3{}n a 是首项为3，公比为23等比数列．………… 7分数列3{}n a 的前5项为：3，2，43，89，1627．{}n a 的前5项为：1，32，94，278，8116． ∴n ＝1，2，3时，13nn i iS a =>∑成立； ………… 10分而n ＝4时，13nn i iS a =∑≤； ………… 11分∵n ≥5时，3n a ＜1，a n ＞1，∴13nn i iS a =∑≤．………… 13分 ∴不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N 的解集为{1，2，3}． ………… 14分18．（1）设C （x ，y ），∵D （2，0）为AC 的中点， ∴A （4－x ，－y ）． …………………… 2分 ∵B （－1，0），由AB ＝AC ，得AB 2＝AC 2． ∴2222(5)(24)(2)x y x y -+=-+． …… 4分 整理，得22(1)4x y -+=． …………… 6分 ∵A ，B ，C 三点不共线，∴y ≠0． 则点C 的轨迹方程为 22(1)4x y -+=（y ≠0）． …………… 7分 （2）解法1：由条件，易得DA B CP EMFM lH G y xOFEDC BABE ：x －y ＋1＝0． …………………… 8分 设CF ：x －y ＋b ＝0， 当EF 取得最大值时，直线CF 与圆22(1)4x y -+=相切．…… 10分设M （1，0），由|10|22b -+=，得221b =-（舍去），或221b =--．…… 13分 ∴CF ：x －y 221--＝0． ……………… 14分 ∴max EF 等于点B 到CF 的距离＝|10221|222----=+． ……………… 16分解法2：设点M （1，0），过M 作AE ，CF 的垂线，垂足分别为G ，H ，则EF ＝GH ． …………………… 9分由条件，得MG ＝2222BM ==． ……… 11分∵MH 的最大值为半径2， …………… 15分∴max EF ＝22+． ………………… 16分19．解：（1）过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足．①当0≤α≤π4时， E 在边AB 上，F 在线段BH 上（如图①），此时，AE ＝tan α，FH ＝πtan()4α-，… 2分∴S ＝S 正方形OABH －S △OAE －S △OHF ＝11π1tan tan()224αα---． ………… 4分 ②当π4＜α＜π2时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上（如图②），此时，EH ＝1tan α，FH ＝13πtan()4α-，… 6分∴EF ＝113πtan tan()4αα+-． ∴S ＝S △OEF ＝1113π2tan tan()4αα⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪-⎝⎭． 综上所述，11ππ1tan tan(),(0),2244111ππ,().3π2tan 42tan()4S αααααα⎧---⎪⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪+<< ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩≤≤ ………… 8分 （2）当0≤α≤π4时，S ＝11π1tan tan()224αα---， 即S 122(1tan )21tan αα=-+++． ……………… 10分∵0≤α≤π4，∴0≤tan α≤1．即1≤1＋tan α≤2．∴21tan 1tan αα+++≥22．∴S ≤2－2．当tan α＝2－1时，S 取得最大值为2－2． ……………… 12分（3）在“一个来回”中，OE 共转了2×3π4＝3π2．其中点G 被照到时，共转了2×π6＝π3． ……………… 14分则“一个来回”中，点G 被照到的时间为π3923π2⨯=（分钟）．…… 16分20．（1）2ln ,(02),()|2|ln 2ln ,(2).x b x x f x x b x x b x x -++<<⎧=-+=⎨-+⎩≥① 当0＜x ＜2时，()2ln f x x b x =-++，()1bf x x'=-+． 由条件，得10bx-+≥恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2． …………………… 2分② 当x ≥2时，()2ln f x x b x =-+，()1bf x x'=+．由条件，得10bx+≥恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2． …………………… 4分 综合①，②得b 的取值范围是b ≥2． …………………… 5分（2）令1()|2|ln g x ax x x =-+-，即122ln ,(0),()122ln ,().ax x x x ag x ax x x x a ⎧-++-<<⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩≥当20x a <<时，1()2ln g x ax x x =-++-，211()g x a x x'=-++．∵20x a <<，∴12ax >．则2(2)()244a a a a g x a -'>-++=≥0． 即()0g x '>，∴()g x 在（0，2a）上是递增函数． ………………… 7分当2x a ≥时，1()2ln g x ax x x=-+-，211()g x a x x'=++＞0．∴()g x 在（2a ，＋∞）上是递增函数．……… 9分∵g (x )的图象在（0，＋∞）上不间断，H O AB C D E F αG图② H G αF E D C B AO 图①∴()g x 在（0，＋∞）上是递增函数． ………………… 10分∵22()ln 2a g a a =-，而a ≥2，∴2ln 0a ≤，则2()g a ＜0． …………… 12分∵a ≥2，∴3)1(-=a g 当a ≥3时，3)1(-=a g ≥0∴g (x )＝0在]1,0(上有惟一解．…………………………………………… 14分 当32<≤a 时，3)1(-=a g <0∴g (x )＝0在]1,0(上无解．………………………………………………… 16分。