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高中数学选修1-1北师大版 函数的极值 课件(35张)

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北师大版选修1-1高中数学4.1.2《函数的极值》ppt课件1

北师大版选修1-1高中数学4.1.2《函数的极值》ppt课件1
当 x<x1 时，f ′(x)>0，f(x)为增函数， 当 x1<x<x2 时，f ′(x)<0，f(x)为减函数， 则 x＝x1 为极大值点， 同理，x＝x3 为极大值点，x＝x2，x＝x4 为极小值点.
分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用
若 a≠0，试求函数 f(x)＝－23ax3－x2＋a2x2＋2ax 的单调区间与极值．
• (′1()x如)<果0在，x那0附么近f(的x0左)是侧极f大值；
′(x)>0，右侧f
• (′2()x如)>果0在，x那0附么近f(的x0左)是侧极f小值；
′(x)<0，右侧f
• (f3()x如 0)不果是f 函数′f((xx))在的点极x值0的．左、右两侧符号不变，则
• 2．利用导数求函数极值的步骤：
求函数 y＝2x＋8x的极值． [解析] 函数的定义域为 x∈R 且 x≠0，∴y′＝2－x82，令
y′＝0.得 x＝±2.
当 x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
y′
＋
0－
－0 ＋
y
－8
.
8
因此当 x＝－2 时，y 极大值＝－8，当 x＝2 时，由表易知 y 极 小值＝8.
[解析] ∵f(x)＝－32ax3－x2＋a2x2＋2ax， ∴f ′(x)＝－2ax2－2x＋2a2x＋2a ＝－2(ax2＋x－a2x－a) ＝－2(x－a)(ax＋1)． 令 f ′(x)＝0，可得 x＝－1a或 x＝a. 若 a>0，当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
[解析] (1)f ′(x)＝3ax2＋2bx，∵当 x＝1 时，函数有极大

高中数学 北师大选修1-1 3.3.2《函数的极值与导数》

高中数学 北师大选修1-1 3.3.2《函数的极值与导数》
解方程 f ( x)=0.当 f ( x) =0时.
①如果在x0附近的左侧 f (x) 0 右侧 f (x) 0
那么,f(x0)是极大值; 即“峰顶” ②如果在x0附近的左侧 f (x) 0 右侧 f (x) 0 那么,f(x0)是极小值. 即“谷底”
例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值： (1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间。
例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.
解：f (x) =3x2-12=3(x-2)(x+2) 令 f (x)=0 得x=2,或x=-2 下面分两种情况讨论： (1)当 f (x) >0即x>2,或x<-2时; (2)当 f (x) <0即-2<x<2时;
当x变化时， , f(x)的变化情况如下表；
在点 x=e 附近的左侧 f (x) >0 在点 x=e 附近的右侧 f (x) <0
极小值点、极大值点统称为极值点 极小值、极大值统称为极值
极大值一定大于极小值吗？
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法, 看极值与导数之间有什么关系?
y
oa
y
x0 b x
oa x0
bx
x x0左侧
x0 x0右侧
A.1 B.2 C.3 D. 4
y
y f ?(x)
f(x) <0 f(x) >0
b
a
O
x
f(x) =0
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
2.函数 f (x) x3 ax2 bx a2 在 x 1 时有极值10，
则a，b的值为（ C ）

北师大版高中数学选修1-1课件4-1.2函数的极值

北师大版高中数学选修1-1课件4-1.2函数的极值

【错因】 根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函 数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧函数的单调性，故 求错．
【正解】 求解过程同上． 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去， 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)， 当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数， 当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的 极大值未必大于极小值．如图所示，x1是极大值点，x4是极小值 点，而f(x4)>f(x1)．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能 成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的 内部，也可能在区间的端点．
1．导数与极值的关系
答案： B
2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别 为( )
A．1，－3
B．1,3
C．－1,3
D．－1，－3
解析： f′(x)＝3ax2＋b，f′(1)＝3a＋b＝0，a＋b＝－2，
解得a＝1，b＝－3.
答案： A
3．函数y＝x3－6x的极大值为________，极小值为 ________．
(a，x0)
x0
(x0，b)
＋
0
－
极大值
(2)极小值
x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f′(x)
Байду номын сангаас
－
0
＋
y＝f(x)
极小值
1．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是( )

高中数学北师大版选修1-1第三章《函数的极值》ppt课件

高中数学北师大版选修1-1第三章《函数的极值》ppt课件
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
当 2 x 3时, f (x) 0,函数在(2,3)上是递减的, 当x 3时, f (x) 0,函数在(3,)上是递增的; 因此, x2 3是函数的极小值点.
可用下表来判断
x (,2) 2
y
+
0
y f (x)
极大值
(2,3)

3
0 极小值
(3,)
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
例3求函数f (x) 3x3 3x 1的极值.
解 : 首先求出导函数,由导数公式表和求导法则可得: f (x) 9x2 3.
解方程: f (x) 0,得 : x1
3 3 , x2
3. 3
根据x1, x2列出下表 ,分析f (x)的符号, f (x)的单调性和
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。

北师大版高中数学选修1-1课件1.2函数的极值

北师大版高中数学选修1-1课件1.2函数的极值

当-2<x<3时， f ( x ) 0 ，函数在（-2,3）上是减 少的；当x>3时， f ( x ) 0 ，函数在（3，+∞）上 是增加的，所以x2=3是函数的极小值点. 这个判断过程可通过下表直观反映出来
x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 (－2，3) － 3 0 (3，＋∞) ＋
极大 值
极小 值
抽象概括：求函数极值点的步骤： 1.求出导数 f ( x ) .
2.解方程 f ( x ) =0. 3.对于方程 f ( x )=0的每一个解x0,分析 f ( x ) 在x0
左、右两侧的符号（即f(x)的单调性），确定极值点： (1)若 f ( x ) 在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极
结合思想的应用.（难点）
探究点1
极值、极值点
观察函数 y=f (x)图像在点x1，x2，x3，x4处的函数值 f(x1)， f (x2)， f (x3)， f (x4)，与它们左右附近 各点处的函数值相比有什么特点?
y yf ( x)
提示：f(x1)，f (x3)
都大于近旁的点；
f (x2)，f (x4)都小于 近旁的点；这些点我 们称为极值点;
大值点； (2)若 f ( x ) 在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小 值点； (3)若 f ( x ) 在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.
【变式练习】
求函数 f ( x ) 3 x x 的极值点.
注意观察图
o
a x1
Q(x2,f(x2))
像
x2
x3 x4 b
x
探究点2
函数的极值与单调性、导数的关系
思考1：观察图像看极值点与函数的单调性有什么关系?

2019北师大版高中数学选修1-1课件：4.1.2 函数的极值

2019北师大版高中数学选修1-1课件：4.1.2 函数的极值

当堂自测
1.函数y=x3+1的极大值是 ( ) A.1 B.0 C.2 D.不存在
[答案] D [解析] ∵y'=3x2≥0在R上 恒成立,∴函数y=x3+1在R 上是增加的, ∴函数y=x3+1无极值.
当堂自测
2.已知函数f(x)的定义域为R,导函数y=f'(x)的大 致图像如图4-1-10所示,则函数f(x) ( )
2．极值点与导数为零的关系 (1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点， 即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件． (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0的左侧和右侧f′(x0) 的符号不同． (3)如果在x0的两侧f′(x0)的符号相同，则x0不是f(x0)的极值点．
备课素材
一、函数的极值点和极值
1．对极值概念的两点说明 (1)端点非极值：函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而 言的．极值点是区间内部的点而不会是端点． (2)单调无极值：若f(x)在某区间内有极值，则f(x)在该区间内一定不是单调函数，即 在区间上单调的函数没有极值．
备课素材
新课导入
[导入一] 1．通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？(提问学生回答) 2．图表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像， 回答以下问题：
(1)在点t＝a附近的图像有什么特点？ (2)函数在t＝a处的函数值和附近函数值之间有什么关系？
新课导入
(3)在点t＝a附近的导数符号有什么变化规律？ (4)函数在t＝a处的导数是多少？ 共同归纳：函数h(t)在a点处h′(a)＝0，在t＝a的附近，当t＜a时，函数h(t)单调递增， h′(t)＞0；当t＞a时，函数h(t)单调递减，h′(t)＜0，即当t在a的附近从小到大经过a时， h′(t)先正后负，且h′(t)连续变化，于是h′(a)＝0. 3．观察如图所示函数的图像，回答问题．

北师版数学选修1-1课件：第4章 §1 1-2 函数的极值

北师版数学选修1-1课件：第4章 §1 1-2 函数的极值

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【答案】 1.x0
极大值点 f(x0) 极大值 2.称点 x0 极小值点 4.局部
极小值点 f(x0)
3.
极大值 极小值 极大值点
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关于函数的极值，下列说法正确的是( A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值
)
C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数
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2．在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数值都大于 或等于 x0 点的函数值，______为函数 y＝f(x)的________，其函数值________为 函数的极小值． 3．函数的________与________统称为极值，________与________统称为极 值点． 4．极值是函数在一个适当区间内的________性质，函数的某些极大值有时 候比其他极大值小，有时候可能比一些极小值还小．
阅读教材 P83“练习”以下部分，完成下列问题． 1．在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数值都小于 或等于 x0 点的函数值，则称点 ______ 为函数 y ＝ f(x) 的 ________ ，其函数值 ________为函数的________．
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阶 段 一
阶 段 三
1.2
函数的极值
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
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1．了解函数极值的概念．(重点) 2．理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的关系．(难点) 3．掌握利用导数判断或求函数极值的方法．(重点)

高中数学选修1-1北师大版 最大值、最小值问题 课件(40张)

高中数学选修1-1北师大版 最大值、最小值问题 课件(40张)

4π 3 0 极小值 2π 3 3－ 2
4π ，2π 3
2π
＋
－
＋ π
∴当 x＝0 时，f(x)取最小值 0； 当 x＝2π 时，f(x)取最大值 π.
1．求函数在闭区间上的最值的方法： (1)列表法：求出 f(x)在(a，b)上的极值，通过列表的方法，比较极值与端点 值的大小，从而得出最大值或最小值． (2)比较法：令 f′(x)＝0，求 y＝f′(x)的零点，把所有零点处的函数值直接 与端点值相比较，得出最大值或最小值． 2．当函数解析式或所给区间含有字母时，求函数的最值时需要分类讨论．
根据导数公式表和求导法则，可得 f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)． 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝4(舍去)． ①当 a>0 时，列表如下： x f′(x) f ( x) －1 15a －7a＋b (－1,0) 0 (0,2) ＋ 0 b － 2 －12a －16a＋b
4 得 x1＝0，x2＝3.因此 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f ( x) －2 －1 (－1，0) ＋ 0 0 极大 值1
4 0， 3
4 3 0 极小值 5 －27
4 ，2 3
2
－
＋ 1
∴当 x＝0 或 2 时，f(x)取最大值 1； 当 x＝－1 时，f(x)取最小值－2.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

高中数学北师大版选修1-1 函数的极值 课件(36张)

高中数学北师大版选修1-1 函数的极值 课件(36张)

讲课堂互动讲义
求函数的极值
3 求函数 f(x)＝ ＋3ln x 的极值． x
[思路导引] 按照求极值的基本方法，首先从方程 f′(x)
＝0 入手，求出在函数 f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后 按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值，是极大值 还是极小值．
3 [边听边记] 函数 f(x)＝ ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， x 3 3 3x－1 f′(x)＝－ 2＋ ＝ ， x x x2 令 f′(x)＝0 得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (0,1) － 1 0 极小值 3 (1，＋∞) ＋
(1) 在 包 含 x0 的 一 个 区 间 (a ， b) 内 ， 函 数 y ＝ f(x) 在 任何一点 的函数值都 __________ 不大于 x0 点的函数值，称点 x0 为函 __________
数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2) 在 包 含 x0 的 一 个 区 间 (a ， b) 内 ， 函 数 y ＝ f(x) 在 任何一点 的函数值都 __________ 不小于 x0 点的函数值，称点 x0 为函 __________ 数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
(1)对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的
导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3
在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点． (2)可导函数y＝f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x)＝0，
且在x0的左侧与右侧，f′(x)的符号不同．
(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上有极值，则y＝f(x)在(a，b)上不 是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值．例如，函数y

高中数学选修1-1北师大版 函数的极值 课件(42张)

高中数学选修1-1北师大版 函数的极值 课件(42张)

x y′ y
1 (－∞，－ ) 3 ＋ 单调ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ增
1 － 3 0
1 1 (－ ， ) 3 3 －
1 3 0
1 ( ，＋∞) 3 ＋
11 7 单调递减 极小值 单调递增 极大值 9 9
1 11 因此，当 x＝－ 时，y 有极大值，并且 y 极大值＝ . 3 9 1 7 而当 x＝ 时，y 有极小值，并且 y 极小值＝ . 3 9
小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.
函数的极值与导数的关系
1．如图是函数y＝f(x)的图像，在x＝a邻近的左侧f(x)单调 > 增 ，f ′(x) _____0，右侧 递_____ f(x)单调递_____，减 f ′(x) _____0， ＝ 在< x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f ′(a) _____0.在x＝ b邻近情 ( c， f(c 形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________， (e， f)) (e))， (d，f(d)) 与b类似的点还有__________． 大 值点，f(a)是函数的一个 我们把点a叫作函数f(x)的极_____ 大 值；把点b叫作函数f(x)的极_____ 小 值点，f(b)是函数的一 极_____ 小 值． 个极_____
可，要注意极值必须在区间内的连续点取得，一个函数在其定 义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可 能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的 大小关系．即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极 大值小．(如图)
3．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单 调函数，即在区间上单调的函数没有极值.
0
极小值 ，并把x0称为函数f(x)的一个__________ 极小值点 ．极大值与极 ________ 极值 ，极大值点与极小值点统称为________. 极值点 小值统称为_____

高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值课件北师大版选修1-1

高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值课件北师大版选修1-1

4．求可导函数 y＝f(x)极值点的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数 f′(x)． (2)求 f(x)的拐点，即求方程 f′(x)＝0 的根． (3)利用 f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况表，根据极值点左右两侧 单调性的变化情况求极值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导数值为 0 的点一定是函数的极值点．( × ) (2)在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行．( × ) 1 (3)函数 f(x)＝ 无极值．( √ ) x (4)定义在[a，b]上的连续函数 f(x)若有极值 f(x0)，则 x0∈(a， b)．( √ )
2.已知函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图像如图，则( A )
A．函数 f(x)有 1 个极大值点，1 个极小值点 B．函数 f(x)有 2 个极大值点，2 个极小值点 C．函数 f(x)有 3 个极大值点，1 个极小值点 D．函数 f(x)有 1 个极大值点，3 个极小值点 解析：由 y＝f′(x)图像可知 x2 为 f(x)的极大值点，x3 为 f(x)的
1 － e 4．设函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的极小值为________ ．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 1 1 令 f′(x)＝0 即 ln x＋1＝0 得 x＝ ， 当 x∈(0， )时， f′(x)＜0， e e 1 1 1 1 1 当 x∈e，＋∞时，f′(x)＞0，故当 x＝ 时，fe ＝ ln ＝ e e e 1 － 为 f(x)的极小值． e
极小值 ____________ ．
极值 ， 极大值与极小值统称为___________ 极大值点与极小值点统 极值点 ． 称为________

高中数学北师大版选修1-1 函数的极值 课件(46张)

高中数学北师大版选修1-1 函数的极值 课件(46张)
【精彩点拨】 求导 → 求导函数的零点 → 列表得单调性、极值
【自主解答】
(1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x1＝－1，x2＝3. 当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f ( x) (－∞，－1) ＋ 增加 －1 0 (－1,3) － 3 0 (3，＋∞) ＋ 增加
由上表可以看出： －2 当 x＝－1 时，函数有极小值，且 f(－1)＝ 2 －2＝－3； 2 当 x＝1 时，函数有极大值，且 f(1)＝2－2＝－1.
利用极值求参数的值
已知函数 f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在 x＝1 处取得极值－3－c，其 中 a，b 为常数． (1)试确定 a，b 的值； (2)讨论函数 f(x)的单调区间．
【解析】 根据极值的定义可知 D 选项正确． 【答案】 D
教材整理 2
函数极值的判定
阅读教材 P84 至 P85“例 3”以上部分，完成下列问题． 1．单调性判别 (1)如果函数 y＝f(x)在区间(a， x0)上是________， 在区间(x0， b)上是________， 则 x0 是极大值点，f(x0)是极大值． (2)如果函数 y＝f(x)在区间(a， x0)上是________， 在区间(x0， b)上是________， 则 x0 是极小值点，f(x0)是极小值．
图 413
【答案】 1.(1)增加的 减少的 (2)减少的 增加的
函数 f(x)＝2－x2－x3 的极值情况是( A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值
)
2 【解析】 f′(x)＝－2x－3x ，令 f′(x)＝0 有 x＝0 或 x＝－3.
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x f′(x)
(0，e) ＋
e 0
(e，＋∞) －
f(x)

极大值

1 因此，x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f(e)＝e，没有极小值点， 也没有极小值．
求含参数的函数的极值
[ 例 2] 值．
(12 分 ) 设函数 f(x) ＝ ax2 ＋ 2ln x，其中 a≠0 ，试讨论 f(x) 的极
1．求可导函数f(x)极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)； (3)求方程f′(x)＝0的全部实根；
(4)检验f′(x)在方程 f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，如果在
根的左侧附近f′(x)>0，右侧附近f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个 根处取得极大值；如果在根的左侧附近 f′(x)<0，右侧附近 f′(x)>0，
研重点 究疑点 8 1．提示：不一定，极值是一个局部概念．例如函数 y＝2x＋x在 x＝ －2 时，取 y 极大值＝－8；而当 x＝2 时，取 y 极小值＝8.
2．提示：只有当这点左右两侧导数异号时为极值点，否则不是，
如f(x)＝x3，在x＝0处导数为0，但不是极值点，由此可得导数为0不是
该点为极值点的充分条件；又如f(x)＝ |x|，x＝0为其极值点，但f(x)在x ＝0处不可导，由此可得，某点为极值点也不是该点导数为0的充分条
1．2 函数的极值
重点：求解函数的极大值点、极小值点、极大值 与极小值． 难点：常用函数的单调性、图像等综合考查.
一、函数极值的定义
1．极大值点与极大值： 在包含x0 的一个区间(a ，b)内，函数y＝
f(x)在任何一点的函数值都______x0点的函数值，称______为函数y＝ f(x)的极大值点，其________为函数的极大值．
1 3 2 [解析] (1)∵f(x)＝3x －x －3x＋4， ∴f′(x)＝x2－2x－3. 令 f′(x)＝0，得 x1＝3，x2＝－1， 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
∴x＝－1 是 f(x)的极大值点，x＝3 是 f(x)的极小值点． 17 ∴f(x)极大值＝f(－1)＝ 3 ，f(x)极小值＝f(3)＝－5.
件．综上，导数为0是该点为极值点的既不充分也不必要条件．
3．A ∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.①
又x＝1时有极值－2，∴f(1)＝a＋b＝－2.②
由①②联立，解得a＝1，b＝－3. 4．4 3 y′＝6x2－30x＋36，即y′＝6(x－2)(x－3)，令 y′＝0，得x
( ) A．1，－3 B．1,3
C．－1,3
________．
D．－1，－3
4 ． 函数 y ＝ 2x3 － 15x2 ＋ 36x － 24 的极大值为 ________ ，极小值为
读教材 理要点
一、 1. 不 大于
点 x0
函数值 f(x0)
2. 不小于
点 x0
函数值 f(x0)
3.极大值 极小值 极大值点 极小值点 二、1.导数f′(x) 2.f′(x)＝0 3.左正右负 左负右正 相同
(3)若f′(x)在x0两侧的符号________，则x0不是极值点．
[想一想]
1．同一函数的极大值一定大于它的导数为0是该点为极值点的什么
条件？
[练一练]
3 ． 函数 f(x) ＝ ax3 ＋ bx 在 x ＝ 1 处有极值－ 2 ，则 a ， b 的值分别为
2．极小值点与极小值： 在包含x0 的一个区间(a ，b)内，函数y＝
f(x)在任何一点的函数值都______x0点的函数值，称______为函数y＝ f(x)的极小值点，其________为函数的极小值．
3．极值与极值点：________与________统称为极值，________与
________统称为极值点．
解析：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x
－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) f(x)
(－∞，－1)
＋
－1
0 极大 值
(－1,3)
－
3
0 极小 值
(3，＋∞)
＋



因此，x＝－1 是函数的极大值点，极大值为 f(－1)＝10；x＝3 是函 数的极小值点，极小值为 f(3)＝－22. 1－ln x ln x (2)函数 f(x)＝ x 的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝ x2 . 令 f′(x)＝0，解得 x＝e. 当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
二、求极值点的一般步骤
1．求出________；
2．解方程________； 3 ．对于方程 f′(x)＝ 0的每一个解 x0，分析 f′(x)在 x0左、右两侧的符
号(即f(x)的单调性)，确定极值点：
(1)若f′(x)在x0两侧的符号“________”，则x0为极大值点； (2)若f′(x)在x0两侧的符号“________”，则x0为极小值点；
(2)∵f(x)＝x2ex， ∴f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(x2＋2x)． 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
由表可知：x＝－2是f(x)的极大值点，x＝0是f(x)的极小值点． f(x)极大值＝f(－2)＝4e－2，f(x)极小值＝f(0)＝0.
那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．
2 ．在 f(x0)存在时， f′(x0)＝0 只是函数f(x)在 x0处有极值的必要不充
分条件，必须再加上在x0左右两侧导数的符号相反，才能断定函数在x0
处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出 现的错误．
1．求下列函数的极值： ln x (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ x .
＝2或x＝3，经判断极大值为f(2)＝4，极小值为f(3)＝3.
求函数的极值
[例 1] 求下列函数的极值点和极值： 1 3 2 (1)f(x)＝3x －x －3x＋4； (2)f(x)＝x2ex.
[思路引导] 求f′x ― → 令f′x＝0，求x0 ― →
判断f′x在x＝x0左右两侧的符号 ― → 由定义求出极值点及极值