yx
y
x
y
x
x
yx 2 yx
yx
这五个函数可以统一写成个 一般形式
y x1
3
y x（ R）
2
yx
1
幂函数
幂函数的定义
一般地,函数 y x
叫做幂函数, 其中x是自变量,
是常量.
观察：表达式的结构有什么特点？
y x
（1） 底数为自变量 （2） 指数为常数； （3） 幂的系数为1 .
证明幂函数 f ( x) x 在［0，+∞）上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
x1 f ( x1 ) x1 1 f ( x2 ) x2 x2
所以
即
f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x)
x在0， 为增函数
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出f(x1)<f(x2)。
二.思想与方法 1.数形结合的思想：
2. 类比法：
青岛市崂山区第一中学
刘文杰
当 0时,是否有相应的结论？
一般地，当 0时,y x
①图象过（０，０）， （１，１）； ②函数在（０，＋∞）上是增函数；
当 0时,是否有相应的结论？
一般地，当 0时,y x
①图象过（１，１）； ②函数在（０，＋∞）上是减函数； ③在第一象限内，图象向上无限接近y轴，向右无限接近x轴；
例3. 证明幂函数 f ( x) x 在［0，+∞）上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2; (2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ; (3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号； (4). 下结论.
证明:任取 x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 则
例2.比较下列各组数的大小：
(1)1.3 和 1.4
1
1 2
1 2
(2)0.26 和0.27
(3)0.7 和0.7
1 2 2
1
思考： 两个数比较 大小时，何 时用幂函数 模型，何时 用指数函数 模型？
思维升华： 指数相同的幂，构造幂函数， 底数相同的幂，构造指数函数， 然后利用单调性进行大小比较。
我国著名数学家华罗庚指出:
“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧, 地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用 数学。”
创设情境，导入课题：
平度人杰地灵，物产丰富，大泽山的葡萄更是闻名遐尔。 请同学们阅读以下材料并思考问题： 问题1:如果小明购买了价格为1元的葡萄包装盒x个，那 yx 么他支付的钱数y＝ ？(元) 问题2:如果一块正方形的葡萄地边长为x，那么葡萄地的 2 面积y＝ ？ 问题3:如果正方体的葡萄包装盒棱长为x，那么包装盒的 3 体积y＝ ？ yx 问题4:如果正方形葡萄地的面积为x，那么葡萄地的1 边长 y＝ ？ x 2 问题5:如果小丽去买葡萄，x秒内骑车行进1千米，那么 她骑车的平均速度y= ？（千米/秒） 1 1
幂函数的图象与性质： 3 在同一坐标系中画 yx y
y x, y x , y x ，
2
1
y x y x1
2
yx ,yx ,
3
1 2
yx
1
O
1 2
五个幂函数的图象.
1.自主学习： 请同学们画出 yx ,yx
3 1 2
yx
1
1
x
两个幂函数的图象.
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
公共点
图象都过点(1,1)
合作探究：学习小组合作讨论
请同学们根据五个特殊幂函数的图象和性质,总结归纳出一 般的幂函数y =x 图象的特点与性质，它的图象和性质与什 么因素有关系？你发现了哪些规律？ 1
问题1：从解析式出发，五个幂函数y x, y x 2 , y x3 , y x 2 , y x 1 最大的区别是什么？ 研究他们的共同点应该从他们的指数开始，对指数进行归类。
y=x 定义域 值域 奇偶性 R R y=x2 R y=x3 y=x
1 2
y=x-1
R ［0,+∞） R ［0,+∞）
{x|x≠0}
{y|y≠0}
［0,+∞）
奇
偶
奇 上增 在［0，+∞）上增， 增
在［0， 在（-∞，0)上减， +∞）上增， 在(0，+∞)上减
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
x1 x2 , x1 x2 0, x1 x2 0, f ( x1 ) f ( x2 ). x1 x2
所以幂函数 f ( x) x 在［0，+∞）上是增函数.
x；
【小试牛刀】
（1）（3）（5） 1.下列函数是幂函数的有______________.
(1) y=x4
(2) y 2
x
1 (3) y 2 x
(4) y=3x2 (5) y= x0
f ( x) x 2 则函数f ( x)的解析式为____________.
2.幂函数f ( x)的图象经过点（2，2）， 1
定义域，根式求；一象限，都有图； 四象限，都没有；二和三，看奇偶； 正递增，负递减；都过1，正过0； 奇偶性，看指数；指奇奇，指偶偶。
典例解析：
例1. 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限
内的图象，已知 k分别取 1,1, 2, 四个值， 2 C4 C2 C1 则相应图象依次为:________ C3
练习: 比较各组值的大小
2 > 1 （1） 3 2
（2） 5.1
2
0.5
0.5
< 2 ≤2 3 （3）(2 a )
2 2 3
5.092
思考:
如果函数 f ( x) (m m 1) x
2 m 2 2 m 3
是幂函数，且在
区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实
1
1
思维升华：幂函数图象在直线x=1的右侧时:图象越高, 指数越大;图象越低，指数越小。在Y轴与直线x =1之 间正好相反。
练习：图中曲线是幂函数 y x n 在第一象限的图象，已
1 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4 知n取 2， 2
的n依次为
(A) 2, 1 1 , ,2 2 2 1 1 (B) 2, , , 2 2 2 1 1 (C) , 2,2, 2 2 (D) 2, 1 1 , 2, 2 2
数m的值。
m2
舍去m 1
1）函数f(x)的图象与x、y轴不相交 （或与坐标轴无公共点）。 2）函数f(x)的图象不经过原点）。
课堂小结：
一.幂函数的图象与性质 定义域，根式求；一象限，都有图； 四象限，都没有；二和三，看奇偶； 正递增，负递减；都过1，正过0； 奇偶性，看指数；指奇奇，指偶偶。
幂函数的性质
幂函数的定义域、奇偶性、单调性， 因解析式中指数a的不同而各异.
1.单调性： ①如果a>0,则幂函数在(0,+∞)上为增函数; ②如果a<0,则幂函数在(0,+∞)上为减函数.
a>1 0<a<1
a<0
2.奇偶性： ①当a为奇数时，幂函数为奇函数； ②当a为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数的图象与性质 （三字经）
问题2：这五个幂函数的指数有何特点？
问题3：这五个幂函数的图象位置有何特点？奇偶性有何特点？ 问题4：这五个幂函数的单调性有何特点？
幂函数的图象分布规律
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象 都通过点(1,1);
(2) 如果a＞０,则图象都过点（0,0）和（1,1）;
(3) 如果a＜０，则图象都只过点(1,1）， 在第一象限内，图象都向上无限接近y轴，向右 无限接近x轴； (4)图象分布：第Ⅰ象限都有图象；第Ⅳ象限都 没有图象；二三象限可能有，也可能没有图象；
