高考数学(理)一轮复习分层演练：1.1集合及其运算(含答案)

1}，专题1.1集合的概念及其基本运算（讲）【辭析】由已知得^ = {1,4}.当口 = ＜时.A = [3],则討二〔12*卜・4厂直=0,当也=1时,J = ；L3j ; 则JU5 = {1.3r 4} p = 当a = 4时.^ = {4.3}, = （1,3.4}, -40-8={4}.当疽产1,戊戸吳。

否4时…儿丘二卩”丸好，JO^ =0,综上所述，当a = 3时—儿P = {1S4齐AClB^Qi 当应"时，血JH"4}, /仃丘二{1»当*4时,则加UE 二口34、“5={4}f 当口工1, 口产3, a 芦4时I dl-再三卜 B =0.2.【2015高考天津，理1】已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A 2,3,5,6，集合B 1,3,4,6,7则集合AI ejB （） (A )2,5( B )3,6 (C ) 2,5,6 ( D ) 2,3,5,6,8【答案】A【赭斤】^5 = （2,5,8}_所以二冷5},故选九3. 【云南省玉溪一中 2015届高三上学期第一次月考试卷】设集合B {(x, y) y 3x }，则A B 的子集的个数是( )A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A1.【课本典型习题，P12第3题】设集合Ax(x a)(x 3) 0,a R , Bx(x 4)(x 1) 0 ,AUB , AI B .【答案】当a 3时，AU B 1,3,4 , AI B ;当a 1 时，AU B1,3,4,AI B 1 ;当 a时，贝U AU B 1,3,4 , AIB 4 ;当 a 1 ,a 3, a 4时， AU B1,3,4, a , AI B【课前小测摸底细】求4{(“)話【解析】篥會話为橢區|兰+匸=1上的昌集合卫为扌無心煎i' = 丁上的点，由于指纹函数恒过点(Q1)・16 -4* 斗由于点121在椭圆兰十二“曲内部，因此扌旨数函数与椭圆有2个交点.，的子篥的个数次F =4个，16 4故答累为扎4. 【基础经典试题】集合M ={y | y= x2—1, x R}，集合N={x|y= 9 x2, x R}，则MIN等于( )A. {t|0 t 3} B . {t|—1 t 3} C . {(- . 2,1),( .2,1) D •【答案】B【鱷析】■・」=/—in —h 二対=[—h +工)・又丫)=嗣-》匸9 - ? > 0 +/■[- 3,3]. ■- M A -V = [-l(3].5. 【改编自2012年江西卷理科】若集合A={— 1,1}, B= 0,2，则集合{z|z= x+ y, x A, y B}中的元素的非空子集个数为()A. 7 B . 6 C . 5 D . 4【答案】A【鋒析】由已知得，集台V尸K+F送用ye ^={-1.1.3}-所以其非空子集个数冷2为二7,故选【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识•纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算•解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素•二是考查抽象集合的关系判断以及运算•【经典例题精析】考点1集合的概念K【1-1 】若a, b R，集合{1 , a b, a 0,-,b，求b a的值_____________________ .a【答案】2iy【解析】由d d+方卫｝=0—血可知“山则只能卄庄0,则有以下对应关爲CJ - b = 0.b—=c ab = 1.Jl_2【1-2】已知集合A=｛x|x+ m好4 = 0｝为空集，则实数m的取值范围是()A. ( —4, 4) B . [ —4, 4] C . ( —2, 2) D . [ —2, 2]【答案】A【解析】依题意知一元二次方程F十ww十4二0无解，^flzA A= w;_16 < 0(解得一4€楞羔4.故选A.【1-3】已知A=｛a+ 2, (a+ 1)2, a2+ 3a+ 3｝，若1€ A,则实数a构成的集合B的元素个数是()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3【答案】B丽析】若口则1,代入集合」」得川=｛1"1｝,与集合元责的互异性若S+1F=1,帶住=0或一2,代入集合4帰/=匸切｝或去｛0二1｝,后■看与集合的互异性矛盾，故尸0 符合要求J若/+3卄3=1,则尸—诫-拿代人黑皆出得沪｛山1｝或看•戶｛轴助都与集合的互异性相矛盾, 無上可如只有口二。

第一节 集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合间的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算．知识点一 集合的基本概念1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. 3．集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn 图法．易误提醒 在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[自测练习]1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，a 2，0，则a ＝________.解析：1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，只有a 2＝1.当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1.答案：－1知识点二 集合间的基本关系A必记结论若集合A中有n个元素，则其子集个数为2，真子集个数为2－1，非空真子集的个数为2n－2.易误提醒易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．[自测练习]2．已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i}(a∈R，i是虚数单位)，若A⊆R，则a＝() A．1 B．－1 C．±1 D．0解析：A⊆R，∴a2－1＝0，a＝±1.答案：C3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈A}，则集合B的所有真子集的个数为()A．512 B．256C．255 D．254解析：由题意知当x＝1时，y可取1,2,3,4；当x＝2时，y可取1,2；当x＝3时，y可取1；当x＝4时，y可取1.综上，B中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.答案：C知识点三集合的基本运算及性质易误提醒 运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心． 必记结论 ∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[自测练习]4．(2015·广州一模)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{3,4,5}，N ＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示( )A ．M ∩NB ．(∁U M )∩NC ．M ∩(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )解析：M ∩N ＝{5}，A 错误；∁U M ＝{1,2}，(∁U M )∩N ＝{1,2}，B 正确；∁U N ＝{3,4}，M ∩(∁U N )＝{3,4}，C错误；(∁U M )∩(∁U N )＝∅，D 错误．故选B.答案：B5．(2015·长春二模)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1,0)D ．[0,2]解析：由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1<x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选D.答案：D考点一 集合的基本概念|1．已知集合S ＝{x |3x ＋a ＝0}，如果1∈S ，那么a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：∵1∈S ，∴3＋a ＝0，a ＝－3. 答案：A2．设集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A }，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：∵a ∈A ，b ∈A ，x ＝a ＋b ，∴x ＝2,3,4,5,6,8，∴B 中有6个元素，故选C. 答案：C3．(2015·贵阳期末)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)解析：若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，则a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}判断一个元素是某个集合元素的三种方法：列举法、特征元素法、数形结合法．考点二集合间的基本关系及应用|(1)已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2B．3C．4 D．5[解析]依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.[答案] C(2)已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1][解析]依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B.[答案] B1．判断两集合的关系常有两种方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．(2)用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时的两个关键点(1)将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．(2)合理利用数轴、Venn图帮助分析．1．(2015·辽宁五校联考)设集合P＝{x|x>1}，Q＝{x|x2－x>0}，则下列结论正确的是() A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R解析：由集合Q＝{x|x2－x>0}，知Q＝{x|x<0或x>1}，所以选A.答案：A考点三集合的基本运算|(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝()A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}[解析]由于B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.[答案] A(2)(2015·郑州期末)已知函数f(x)＝2－x－1，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．[解析]本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．要使函数f(x)＝2－x－1有意义，则2－x－1≥0，解得x≤0，所以A＝(－∞，0]．又函数f(x)＝2－x－1的值域B＝[0，＋∞)．阴影部分用集合表示为∁A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．[答案](－∞，0)∪(0，＋∞)集合运算问题的四种常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算．常借助Venn图求解．(2)连续型数集的运算．常借助数轴求解．(3)已知集合的运算结果求集合．借助数轴或Venn图求解．(4)根据集合运算求参数．先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．2．(2015·高考陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.答案：A考点四集合的创新问题|设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是()A．7B．10C．25D．52[解析]A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.[答案] B解决集合创新问题的三个策略(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．(2)按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．3．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}解析：由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．答案：B1.遗忘空集致误【典例】 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．若(∁R A )∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x ≤3，∴∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时， B ＝{x |－－a <x <－a }， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.[答案] a ≥－14[易误点评] 由∁R A ∩B ＝B 知B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅，又集合B 中元素属性满足x 2＋a <0，当a ≥0时B ＝∅易忽视导致漏解．[防范措施] (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B ，若已知A ⊆B 或A ∩B ＝∅，则考生很容易忽视A ＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A 分三种情况进行讨论．[跟踪练习] 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－12A 组 考点能力演练1．集合U ＝{0,1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{0,1,3,4} B ．{1,2,3} C ．{0,4}D ．{0}解析：因为集合B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}＝{2,3}，所以A ∪B ＝{1,2,3}，又全集U ＝{0,1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{0,4}．所以选C.答案：C2．已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( )A．5 B．6C．7 D．8解析：由题意，得B＝{0,1，2，3，2}，所以A∩B＝{0,1,2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.答案：C3．(2015·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)x|－3<x<1，N＝{}x|－1≤x≤1，∴阴影部分表示的集合解析：由题意可知，M＝{}x|－3<x<－1.为M∩(∁U N)＝{}答案：D4．集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)C．(－∞，2] D．[2，＋∞)解析：由题意，得A＝{x|x<2}．又因为A∩B＝A，所以a≥2，故选D.答案：D5．(2015·山西质检)集合A，B满足A∪B＝{1,2}，则不同的有序集合对(A，B)共有() A．4个B．7个C．8个D．9个解析：由题意可按集合A中的元素个数分类．易知集合{1,2}的子集有4个：∅，{1}，{2}，{1,2}．若A＝∅，则B＝{1,2}；若A＝{1}，则B＝{2}或B＝{1,2}；若A＝{2}，则B ＝{1}或B＝{1,2}；若A＝{1,2}；则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}．综上所述，不同的有序集合对(A，B)共有9个，故选D.答案：D6．(2015·广州模拟)设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝4}，满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为________．解析：依题意得，A∩B＝{(8，－10)}，因此满足C⊆(A∩B)的集合C的个数是2.答案：27．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集，则S4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：78．已知集合P ＝{－1，m }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34，若P ∩Q ≠∅，则整数m ＝________. 解析：由{－1，m }∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34≠∅，可得－1<m <34，由此可得整数m ＝0. 答案：09．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∴A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是{m |m >5或m <－3}．10．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)由(1)知A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}， 当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥3}．B 组 高考题型专练1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)解析：由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.答案：A2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝() A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D.答案：D3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2，选D.答案：D4．(2015·高考福建卷)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B 等于()A．{－1} B．{1}C．{1，－1} D．∅解析：因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.答案：C5．(2015·高考浙江卷)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝() A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]解析：∁R P＝{x|0<x<2}，故(∁R P)∩Q＝{x|1<x<2}．答案：C6．(2015·高考重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A解析：由真子集的概念知B A，故选D.答案：D。

一、选择题1．会合 P＝{ x|y＝x＋ 1} ，会合 Q＝ { y|y＝x－ 1} ，则 P 与 Q 的关系是 ()A． P＝Q B ．P QC．P Q D．P∩Q＝?分析：选 B.依题意得， P＝{ x|x＋ 1≥ 0} ＝ { x|x≥ － 1} ， Q＝{ y|y≥ 0} ，∴ P Q.2．(2011 高·考课标全国卷 )已知会合 M＝ {0,1,2,3,4} ，N＝ {1,3,5} ，P＝ M∩ N，则 P 的子集共有 ()A．2个B．4 个C．6 个D．8 个22＝ 4(个 )．分析：选 B.∵ M＝ {0,1,2,3,4} ，N＝ {1,3,5} ，∴ M∩N＝ {1,3} ．∴ M∩ N 的子集共有3． (2012 高·考山东卷 ) 已知全集 U ＝ {0,1,2,3,4} ，会合 A＝{1,2,3} ， B＝ {2,4}，则 (?U A)∪B 为()A． {1,2,4} B ． {2,3,4}C． {0,2,4} D ．{0,2,3,4}分析：选 C.由题意知 ?U A＝ {0,4} ，又 B＝ {2,4} ，∴(?U A)∪ B＝ {0,2,4} ．应选 C.4．(2011 高·考北京卷 )已知会合P＝ { x|x2≤ 1} ，M＝ { a} ．若 P∪ M＝ P，则 a 的取值范围是 ()A． (－∞，－C． [ －1,1]1]B．[1，＋∞ )D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞ )分析：选 C.由 P∪M ＝P，有 M ? P.∴a2≤ 1，∴－ 1≤ a≤ 1.应选 C.5． (2011 高·考广东卷 )已知会合A＝{( x， y)|x， y 为实数，且x2＋ y2＝ 1} ， B＝ {( x， y)|x，y 为实数，且 y＝ x} ，则 A∩ B 的元素个数为 ()A． 0 B ． 1C． 2 D ．3分析：选 C.法一： A 为圆心在原点的单位圆， B 为过原点的直线，故有 2 个交点，应选C.222，2，x＋ y ＝ 1，x＝2x＝－2法二：由可得或应选 C.y＝x，2，2，y＝2y＝－2二、填空题6．(2012 ·考四川卷高)设全集 U＝ { a，b，c，d} ，会合 A＝ { a，b} ，B＝ { b，c，d} ，则 (? U A)∪ (?U B)＝ ________.分析： ?U A＝ { c，d} ， ?U B＝ { a} ，∴(?U A)∪ (?U B)＝ { a， c， d} ．答案： { a， c， d}7．(2013 南·京月考 )已知会合A＝ {(0,1) ，(1,1)， (－ 1,2)} ， B＝ {( x， y)|x＋ y－1＝ 0， x， y ∈Z }，则A∩B＝________.分析： A、B 都表示点集， A∩B 即是由 A 中在直线 x＋ y－1＝ 0 上的全部点构成的会合，代入考证即可．答案： {(0,1) ， (－ 1,2)}8．设 U ＝{0,1,2,3} ， A＝ { x∈ U |x2＋ mx＝ 0} ，若 ?U A＝ {1,2} ，则实数 m＝________.分析：∵ ?U A＝ {1,2} ，∴ A＝ {0,3} ，∴0,3 是方程 x2＋ mx＝ 0 的两根，∴m＝－ 3.答案：－3三、解答题9．设全集U＝R， A＝ { x|2x－ 10≥ 0} ，B＝ { x|x2－5x≤ 0，且 x≠ 5} ．求(1)?U (A∪B)；(2)(?U A)∩ (?U B)．解： A＝ { x|x≥ 5} ，B＝ { x|0≤ x＜ 5} ．(1)A∪ B＝ { x|x≥ 0} ，于是 ?U(A∪B)＝ { x|x＜ 0} ．(2)?U A＝ { x|x＜ 5} ， ?U B＝ { x|x＜ 0 或 x≥5} ，于是 (?U A)∩ (?U B)＝ { x|x＜0} ．10．设 A＝ {2 ，－ 1， x2－ x＋1} ， B＝ {2 y，－ 4， x＋4} ， C＝ { － 1,7} ，且 A∩ B＝ C，求x、 y 的值．解：∵A∩ B＝ C＝ { － 1,7} ，∴必有7∈A,7∈ B，－ 1∈ B.2即有 x －x＋ 1＝ 7? x＝－ 2 或 x＝ 3.①当 x＝－ 2 时， x＋ 4＝ 2，又 2∈A，∴ 2∈ A∩B，但 2?C，∴不知足 A∩B＝ C，∴ x＝－ 2 不切合题意．②当 x＝ 3 时， x＋ 4＝ 7，∴ 2y＝－ 1? y＝－1 2.1所以， x＝ 3， y＝－2.一、选择题1． (2012 ·考湖北卷高) 已知会合 A＝ { x|x2－ 3x＋ 2＝ 0， x∈R } ， B＝{ x|0＜ x＜5， x∈N} ，则知足条件 A? C? B 的会合 C 的个数为 ()A． 1 B ． 2C． 3 D ．4分析：选 D. 解出会合 A、B 后，再确立会合 C 的个数．由于会合 A＝{1,2} ，B＝ {1,2,3,4} ，所以当知足 A? C? B 时，会合 C 能够为 {1,2} 、 {1,2,3} 、{1,2,4} 、 {1,2,3,4} ，故会合 C 有 4 个．2.已知全集 U＝Z，会合 A＝ { x|x2＝ x} ，B＝ { －1,0,1,2} ，则图中暗影部分所表示的会合为()A． { －1,2} C． {0,1}B．{－ 1,0} D ．{1,2}分析：选 A. 由题意得会合A＝ {0,1} ，图中暗影部分所表示的会合是不在会合 A 中，但在会合 B 中的元素的会合，即 (?U A)∩ B，易知 (?U A)∩ B＝ { － 1,2} ，故图中暗影部分所表示的会合为 { － 1,2} ．正确选项为 A.二、填空题3．已知会合 A＝ { x|a－ 3＜ x＜ a＋3} ，B＝ { x|x＜－ 1 或 x＞2} ，若 A∪ B＝R，则 a 的取值范围为 ________．分析：由 a－ 3＜－ 1 且 a＋ 3＞ 2，解得－ 1＜a＜ 2.也可借助数轴来解．答案： (－ 1,2)4．(2012 高·考天津卷 )已知会合A ＝{ x ∈ R ||x ＋ 2|＜ 3} ，会合B ＝{ x ∈ R |(x － m)(x － 2)＜ 0} ，且 A ∩ B ＝ (－ 1， n) ，则 m ＝ ________， n ＝ ________.分析： A ＝ { x ∈ R ||x ＋ 2|<3} ＝{ x ∈ R |－ 5<x<1} ， 由 A ∩ B ＝(－1， n)，可知 m<2 ，则 B ＝ { x|m<x<2} ，画出数轴，可得 m ＝－ 1， n ＝1.答案： －1 1三、解答题5．记函数 f( x)＝2－ x ＋ 3的定义域为A ， g(x)＝ lg[( x － a － 1)(2a － x)](a ＜ 1)的定义域x ＋ 1为 B.(1)求 A ；(2)若 B? A ，务实数 a 的取值范围．解： (1)由 2－ x ＋ 3≥ 0，得 x － 1≥ 0.x ＋ 1 x ＋ 1∴ x ＜－ 1 或 x ≥1，即 A ＝ (－ ∞ ，－ 1)∪ [1，＋ ∞ )．(2)由 (x － a － 1)(2a － x)＞ 0，得 (x － a － 1)(x － 2a)＜0.∵ a ＜1，∴ a ＋1＞ 2a.∴B ＝ (2a ，a ＋ 1)．由 B? A ，得 2a ≥ 1 或 a ＋ 1≤－ 1，即 a ≥1或 a ≤ －2.而 a ＜1，2∴ 1≤a ＜ 1 或 a ≤ － 2. 21故 a 的范围是 (－∞ ，－ 2]∪ 2，1 .。

2018 北京,1
2017 北京,1
2016 北京,1 2016 北京文 ,14 2015 北京文 ,1
集合的交、 并、补运算
2014 北京,1
2013 北京,1
不等式和方程的 解法
★★★
分析解读
1. 掌握集合的表示方法 , 能判断元素与集合的 “属于 ” 关系、集合与集合之间的包含关系 .
2. 深刻理解、掌握子、交、并、补集的概念 , 熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质 , 能用韦恩 (Venn) 图表示
C.5
D.6
答案 C
考点二 集合间的基本关系
(2015 重庆 ,1,5 分) 已知集合 A={1,2,3},B={2,3},
A.A=B
B.A∩ B=?
C.A? B
答案 D
则( ) D.B ? A
考点三 集合的基本运算
1.(2017 课标 Ⅰ,1,5 分) 已知集合 A={x|x<1},B={x|3 x<1}, 则(
A.{0}
B.{0,1}
C.{0,2}
D.{0,1,2}
答案 C
5.(2013 北京 ,1,5 分 ) 已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1 ≤x<1}, 则 A∩B=( )
A.{0}
B.{-1,0}
C.{0,1}
D.{-1,0,1}
答案 B
6.(2011 北京 ,1,5 分 ) 已知集合 P={x|x 2≤1},M={a}. 若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 (
A.[0,1)
B.(0,2]
C.(1,2)
D.[1,2]
答案 C 10.(2014 浙江 ,1,5 分 ) 设全集 U={x∈ N |x ≥ 2}, 集合 A={x ∈ N |x 2≥5}, 则?UA=( )

高考数学一轮复习学案：1.1 集合及其运算（含答案）1.1集合及其运算集合及其运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言.图形语言.集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用韦恩Venn图表达集合的基本关系及集合的基本运算.集合的交.并.补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式.函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩Venn图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.1集合与元素1集合中元素的三个特征确定性.互异性.无序性2元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示3集合的表示法列举法.描述法.图示法4常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中即若xA，则xBAB或BA真子集集合A 是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合ABx|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA或xB补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合UAx|xU且xA 知识拓展1若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n1.2ABABAABB.3AUA；AUAU；UUAA.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1任何一个集合都至少有两个子集2x|yx21y|yx21x，y|yx213若x2,10,1，则x0,1.4x|x1t|t15对于任意两个集合A，B，关系ABAB恒成立6若ABAC，则BC.题组二教材改编2P11例9已知U|0180，Ax|x是锐角，Bx|x是钝角，则UAB________.答案x|x是直角3P44A组T5已知集合Ax，y|x2y21，Bx，y|yx，则AB中元素的个数为________答案2解析集合A表示以0,0为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线yx，圆x2y21与直线yx相交于两点22，22，22，22，则AB中有两个元素题组三易错自纠4若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为A5B4C3D2答案C解析当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z1；当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z3，故集合z|zxy，xA，yB中的元素个数为3，故选C.5已知集合Ax|x22x30，Bx|x1答案D解析因为AB，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a1.2集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为A0B1C2D4答案D解析由题意可得a，a24,16，a4.3设集合A0，4，Bx|x22a1xa210，xR若ABB，则实数a的取值范围是______答案，11解析因为A0，4，所以BA分以下三种情况当BA时，B0，4，由此可知，0和4是方程x22a1xa210的两个根，由根与系数的关系，得4a124a210，2a14，a210，解得a1；当B且BA时，B0或B4，并且4a124a210，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4a124a210，解得a1.综上所述，所求实数a的取值范围是，11思维升华1一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况2运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化跟踪训练1xx天津设集合A1,2,6，B2,4，CxR|1x5，则ABC等于A2B1,2,4C1,2,4,6DxR|1x5答案B解析AB1,2,4,6又CxR|1x5，则ABC1,2,4，故选B.2已知集合Ax|x2x120，Bx|2m1xm1，且ABB，则实数m的取值范围为A1,2B1,3C2，D1，答案D解析由x2x120，得x3x40，即3x4，所以Ax|3x4又ABB，所以BA.当B时，有m12m1，解得m2；当B时，有32m1，m14，2m1m1，解得1m2.综上，m的取值范围为1，题型四题型四集合的新定义问题集合的新定义问题典例已知集合Ax，y|x2y21，x，yZ，Bx，y||x|2，|y|2，x，yZ，定义集合ABx1x2，y1y2|x1，y1A，x2，y2B，则AB中元素的个数为A77B49C45D30答案C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合AB显然是集合x，y||x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点3，3，3,3，3，3，3,3之外的所有整点即横坐标与纵坐标都为整数的点，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个故AB 中元素的个数为45.故选C.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点1紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中2用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素跟踪训练定义一种新的集合运算ABx|xA，且xB若集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则按运算，BA等于Ax|3x4Bx|3x4Cx|3x4Dx|2x4答案B解析Ax|1x3，Bx|2x4，由题意知，BAx|xB，且xAx|3x4.。

专题01 集合综合归类目录题型一：相等集合 .............................................................................................................................................................. 1 题型二：相等集合求参 ...................................................................................................................................................... 2 题型三：集合中的元素 ...................................................................................................................................................... 2 题型四：集合元素个数求参............................................................................................................................................... 3 题型五：子集与真子集关系............................................................................................................................................... 4 题型十：并集运算求参 ...................................................................................................................................................... 8 题型十一：补集与全集 (9)题型十二：补集与全集运算求参..................................................................................................................................... 10 题型十三：韦恩图应用 . (11)题型十四：交并补混合型运算......................................................................................................................................... 12 题型十五：交并补综合运算求参..................................................................................................................................... 13 题型十六：集合新定义型 (14)题型一：相等集合1．（2023·浙江·三模）设函数的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，，则( ) A ．B ．C ．A=BD ．2．（21-22高三上·浙江金华模拟）已知集合{}sin ,cos ,tan ααα=M {}()0,,,,,,2πα∈=∈N a b c a b c R ，则满足M N =且2a b c +=的集合N 的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知集合1,Z 6M x x m m ==+∈，1,Z 23n N x x n ==−∈ ，1,Z 26p P x x p ==+∈，则M ，N ，P 的关系为（ ）A ．M N = PB ．N P = MC ．M N PD ．M N P =4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知{}31,Z M x x m m ==−∈， {}32,Z N x x n n ==+∈ ，集合的相关概念（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈ ；不属于，记为∉ ． （3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．{}61,Z P x x p p ==−∈ ，则下列结论正确的是（ ） A ．M P = N B ．P M N =C ．M N ⊆ PD ．N M ⊆ P5．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知R a ∈，R b ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a=−，则20232023ab +的值为（ ） A ．2− B ．1− C ．1 D ．2题型二：相等集合求参1．（22-23高三 ·江苏苏州·阶段练习）设a ､b､c 是两个两两不相等的正整数.若{a b +，bc +，2}{c a n +=，2(1)n +，2(2)}(N )n n ++∈，则222a b c ++的最小值是（ ） A ．1000 B ．1297 C ．1849 D ．20202．（2022·上海杨浦·预测）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） A ．[0,4) B ．[1,4)− C ．[3,5]− D ．[0,7)3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知集合{|A y y ==，{|}B x x a =≥，若A B =，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知函数()()221R f x x ax a =−+∈，若非空集合(){}()(){}0,1A xf x B x f f x =≤=≤∣∣，满足A B =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11 −− B ．1 −C ．D ．1,1 +5．（23-24高三·北京·阶段练习）已知函数()()2122x f x m x nx +⋅++，集合(){}0,A x f x x ==∈R ，集合{},R |[()]0Bx f f x x ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[]1,4−B ．[)1,1−C ．[]3,5−D ．[)0,4题型三：集合中的元素1．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知{}n a 是等差数列，()sin n n b a =，存在正整数()8t t ≤，使得n t n b b +=，*n ∈N .若集合{}*,n Sx x b n N ==∈中只含有4个元素，则t 的可能取值有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．51.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。

高考数学一轮复习 1.1 集合的概念和运算课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．(2013·安徽卷)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( ) A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．答案：A2．(2013·天津卷)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( ) A．(－∞，2] B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]解析：解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B ＝[－2,1]．答案：D3．(2013·福建省高三上学期第一次联考)已知集合A＝{3，a2}，集合B＝{0，b,1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝( )A．{0,1,3} B．{1,2,4}C．{0,1,2,3} D．{0,1,2,3,4}解析：因为a2＝1，所以a＝1或a＝－1，当a＝1时，B＝{0，b,0}与集合中元素互异性矛盾，所以舍去，故a＝－1，此时B＝{0，b,2}，所以b＝1，所以A∪B＝{0,1,2,3}．答案：C4．(2013·河南郑州第一次质量预测)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验当x＝2或－2时满足题意，故选B.答案：B5．(2013·合肥第二次质检)已知集合A＝{x∈R|x≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2<0}且R为实数集，则下列结论正确的是( )A．A∪B＝R B．A∩B≠ØC．A⊆(∁R B) D．A⊇(∁R B)解析：由题意可知B＝{x|－1<x<2}，故选C.答案：C6．(2013·山东烟台高三诊断性测试)若集合M＝{x∈N*|x<6}，N＝{x||x－1|≤2}，则M ∩(∁R N )＝( )A ．(－∞，－1)B ．[1,3)C ．(3,6)D ．{4,5}解析：M ＝{x ∈N *|x <6}＝{1,2,3,4,5}，N ＝{x ||x －1|≤2}＝{x |－1≤x ≤3}，∁R N ＝{x |x <－1或x >3}．所以M ∩(∁R N )＝{4,5}，选D.答案：D 二、填空题7．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝______.解析：A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}8．设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ×B ＝______.解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ×B ＝(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)9．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A B ，则a 的取值范围为________．解析：由|x －a |<1得－1<x －a <1，∴a －1<x <a ＋1，由A B 得⎩⎪⎨⎪⎧a －1>1a ＋1<5，∴2<a <4.又当a ＝2时，A ＝{x |1<x <3}满足A B ，a ＝4时，A ＝{x |3<x <5}也满足A B ，∴2≤a ≤4.答案：2≤a ≤4 三、解答题10．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求A∪B .解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈A 且12∈B .将12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0， 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12－12p ＋q ＝0，32＋12p ＋2＋5＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝－4，∴A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4. 11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2，m ∈R }． (1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值； (2)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (3)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2} (1)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，如图有：⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥－1m ＋2≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1m ≤1，∴m ＝1.(2)∵A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0m ＋2≥3，∴m ＝2.(3)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ∴m －2>3或m ＋2<－1， ∴m >5或m <－3.12．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝Ø或B ＝{2}， 当B ＝Ø时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}． [热点预测]13．(1)(2014·河北沧州高三质检)已知集合A＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －21－2x >0，B ＝{}y |y ＝log 2x －1，x ∈[3，9]，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 B ．(2,3]C ．[1,2)D ．(1,2)(2)(2013·重庆市高三模拟)对于数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，A ÷B ＝{x |x ＝a b，a ∈A ，b ∈B }，若集合A ＝{1,2}，则集合(A ＋A )÷A 中所有元素之和为( )A.102 B.152 C.212 D.232(3)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝Ø，则m ＝________.解析：(1)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，B ＝{y |1≤y ≤3}，∴A ∩B ＝[1,2)． (2)由已知A ＋A ＝{2,3,4}，所以(A ＋A )÷A ＝{2,1,3，32，4}，其和为232.(3)A ＝{－1,2}，B ＝Ø时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：(1)C (2)D (3)0,1，－12。

②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是
√A.{－1,1} √C.{1}
B.{－1,1,2,4} D.{1，－2,2}
由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现， 所以－2∉M且2∉M， 所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}.
(2)函数f(x)＝ x2－2x－3 的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若 B⊆A，则实数a的取值范围是__(－__∞__，__－__3_]_∪__[_5_，_＋__∞__)__.
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合
B中元素的个数为
A.2
B.3
√C.4
D.5
因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A， 所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4， 故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}， 即集合B中含有4个元素.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：__确__定__性__、_互__异__性__、_无__序__性___. (2)元素与集合的关系是_属__于__或_不__属__于__，用符号_∈__或__∉__表示. (3)集合的表示法：_列__举__法__、_描__述__法__、_图__示__法__. (4)常见数集的记法
√A.0是任何数域的元素 √B.若数域F有非零元素，则2 023∈F
C.集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
√D.有理数集为数域
对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确； 对于 B，若 a∈F 且 a≠0，则 1＝aa∈F，2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F， 依此类推，可得 2 023∈F，故 B 正确； 对于 C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但36∉P，故 P 不是数域，故 C 错误； 对于 D，若 a，b 是两个有理数，则 a＋b，a－b，ab，ab(b≠0)都是有 理数，所以有理数集是数域，故 D 正确.

2025年高考数学一轮复习-第一章-第一节-集合-专项训练基础巩固练1.(2023新高考Ⅰ)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}2.(2023新高考Ⅱ)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=()A.2B.1C.23D.-13.(2024南京、盐城一模)已知集合A={0,1,2},B={x|y=lg(-x2+2x)},则A∩B=()A.{0,1,2}B.{1}C.{0}D.(0,2)4.设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()A.-4B.-2C.2D.45.(2023镇江检测)记集合M={x||x|>2},N={x|y=2- },则(∁R M)∩N=()A.{x|-2≤x≤2}B.{x|x>2}C.{x|0≤x<2}D.{x|x<-2}6.设集合A={2,3,a2-2a-3},B={0,3},C={2,a}.若B⊆A,A∩C={2},则a=()A.-3B.-1C.1D.37.设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=()A.∁U(M∪N)B.N∪(∁U M)C.∁U(M∩N)D.M∪(∁U N)8.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%9.定义集合A,B的一种运算:A B={x|x=a2-b,a∈A,b∈B},若A={-1,0},B={1,2},则A B中的元素个数为()A.1B.2C.3D.410.(多选题)已知集合{x|mx2-2x+1=0}={n},则m+n的值可能为()A.0B.12C.1D.211.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”.对于集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则实数a的取值集合为.12.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax≤0},若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是.综合提升练13.设全集U={x||x|<4且x∈Z},S={-2,1,3},若P⊆U,(∁U P)⊆S,则这样的集合P共有()A.5个B.6个C.7个D.8个14.设集合M={(x,y)|y=4- 2},N={(x,y)|(x-2)2+(y-2)2=r2}(r>0).当M∩N有且只有一个元素时,正数r 的所有取值为()A.2+2或22-2B.2<r≤25C.2<r≤25或r=22-2D.2≤r≤25或r=22-215.已知集合M={x|1≤x≤10,x∈N},对它的非空子集A,将A中每个元素k都乘(-1)k再求和,如A={1,3,6},可求得和为(-1)1×1+(-1)3×3+(-1)6×6=2,则对M的所有非空子集,这些和的总和为()A.5B.5120C.2555D.256016.(多选题)已知M是同时满足下列条件的集合:①0∈M,1∈M;②若x,y∈M,则x-y∈M;③x∈M且x≠0,则1 ∈M.下列结论中,正确的有()A.13∈MB.-1∉MC.若x,y∈M,则x+y∈MD.若x,y∈M,则xy∈M17.设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有两个元素,且S,T满足:①对于任意x,y∈S,若x≠y,则有xy∈T;②对于任意x,y∈T,若x<y,则 ∈S.若S有4个元素,则S∪T有个元素.创新应用练18.已知数集A=[t,t+1]∪[t+4,t+9].若存在λ∈R,使得对任意a∈A都有 ∈A,则称A为完美集,给出下列四个结论:①存在t∈(0,+∞),使得A为完美集;②存在t∈(-∞,0),使得A为完美集;③如果t∉Z,那么A一定不为完美集;④使得A为完美集的所有t的值之和为-2.其中,所有正确结论的序号是.参考答案与解析1.C2.B3.B4.B5.A6.B7.A8.C9.C10.BD11 0,12,212 -52,-2∪113.D14.C15.D16.ACD17.718.①②。

2021年高考数学一轮复习 专题1.1 集合的概念及其基本运算（测）理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1. 【河北省“五个一名校联盟” xx 届高三教学质量监测（一）1】设集合，，则 （ ）A. B. C. D.【答案】B2. 【xx 届太原五中模拟】已知集合，，若，则（ ）A ．B ．C ．或D ．或 【答案】C ．3. 已知集合，若，则实数的取值范围为 ( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A4. 在实数集上定义运算：．若关于的不等式的解集是集合 的子集，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D5. 若集合{}{}2|,|2,M x y x N y y x x R ====-∈,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A6．【xx 届北京市西城区二模】已知集合，，若，则实数的 取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D7．设和是两个集合,定义集合或且.若, ,那么等于( )A.[-1,4]B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.(-3,5)D.(-∞,-3)∪[-1,4]∪(5,+∞) 【答案】D8．【xx 届湖南省长沙市二模】 已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若，使得成立，则实数b 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B9．设集合，，则满足且的集合S 的个数是( ) A ．57 B ．56 C ．49 D ．8【答案】B10．【xx届江西师大附中高三三模】设集合，，集合中所有元素之和为8，则实数的取值集合为（）A．Ｂ． C． D．【答案】C11．【xx届内蒙古北方重工业集团三中模拟】如图所示的韦恩图中，、是非空集合，定义*表示阴影部分集合．若，，,则*B=（）．A． B． C． D．【答案】C12．【xx届北京东城区示范校模拟】设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

§1.1高考数学第一轮复习讲义集合1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：____________、______________、____________.(2)元素与集合的关系是________或__________关系，用符号______或______表示．(3)集合的表示法：____________、__________、__________、__________.(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为__________、__________、________.2．集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则________(或________)．∅____A；A____A；A⊆B，B⊆C⇒A____C.若A含有n个元素，则A的子集有______个，A的非空子集有______个，A的非空真子集有______个．(2)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算及其性质(1)集合的交、并、补运算交集：A∩B＝________________；并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；补集：∁U A＝________________.U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(2)集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.[难点正本疑点清源]1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能的情况．3．正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.1．(课本改编题)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁U B )＝________.2．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________.3．(课本改编题)已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的可能取值组成的集合为________．4．已知A 、B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A 等于( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9}D ．{3,9}5．已知R 是实数集，M ＝{x |2x <1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(∁R M )等于( )A ．(1,2)B ．[0,2]C ．∅D ．[1,2]题型一 集合的基本概念例1 (1)已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，且1∈A ，求实数2 013a 的值；(2)x ，x 2－x ，x 3－3x 能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合．探究提高 (1)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．(2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.题型二 集合间的基本关系例2 已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2.(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由．探究提高在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.题型三集合的基本运算例3设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，则m的值是________．探究提高本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁U A)∩B＝∅⇔B⊆A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁R A)∩B＝B，求实数a的取值范围．题型四集合中的新定义问题例4在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：那么d(a c)等于()A．a B．b C．c D．d探究提高本题新定义了两种运算，看似复杂，但事实上运算结果可以通过题目中的表格得出．借助于集合定义新运算是高考中命制创新试题的一个良好素材．已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是____________．1.忽略空集致误试题：(1)(5分)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________．(2)(5分)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，则由m的可取值组成的集合为_____________________________________________________________．学生答案展示审题视角 (1)从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅.(2)从集合元素看，第(1)小题S ≠∅时，S 中元素为－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.第(2)小题B ≠∅，必有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1m ＋1≥－22m －1≤5.正确答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12 (2){m |m ≤3}解析 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．批阅笔记 本题考查的重点是集合间的关系及集合元素的特征．在解答本题时，存在两个突 出错误．一是忽略对∅的讨论．例如在(1)(2)需讨论S ＝∅和B ＝∅的情况；二是忽视对元素 的讨论，如(1)中，－1a ＝－3或－1a＝2两种情况.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．4．Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．课时规范训练(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知集合M ＝{x |xx －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( )A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0}3．如果全集U ＝R ，A ＝{x |2<x ≤4}，B ＝{3,4}，则A ∩(∁U B )等于( )A ．(2,3)∪(3,4)B ．(2,4)C ．(2,3)∪(3,4]D ．(2,4]二、填空题4．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.5．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝__________.6．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________． 三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．8．对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M *N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }，求M *N .B 组 专项能力提升题组一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3,5,7}，B ＝{x ∈Z |1<x ≤6}，全集U ＝A ∪B ，则A ∩(∁U B )等于 ( )A ．{1,4,6,7}B ．{2,3,7}C ．{1,7}D ．{1} 2．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( ) A ．57B ．56C ．49D ．8 3．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P 等于( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 4．已知集合A ＝{x |log 2x ＋1>0}，B ＝{y |y ＝3－2x －x 2}，则(∁R A )∩B 等于( )A.⎣⎡⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．(－3,2] D.⎣⎡⎦⎤－3，12 二、填空题5．已知集合A ＝(－∞，0]，B ＝{1,3，a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________． 6．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 7．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是__________． 三、解答题8．已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 答案 要点梳理1．(1)确定性 互异性 无序性 2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 区间法 (5)有限集 无限集 空集2．(1)A B B A ⊆ ⊆ ⊆ 2n 2n －1 2n －2 3．(1){x |x ∈A ，且x ∈B } {x |x ∈U ，且x ∉A } 基础自测1．{2,4} 2.{x |0<x <1}3.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12 4.D 5.B 题型分类·深度剖析例1 解 (1)当a ＋2＝1，即a ＝－1时， (a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1与a ＋2相同， ∴不符合题意．当(a ＋1)2＝1，即a ＝0或a ＝－2时， ①a ＝0符合要求．②a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝1与(a ＋1)2相同，不符合题意． 当a 2＋3a ＋3＝1，即a ＝－2或a ＝－1.①当a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝(a ＋1)2＝1，不符合题意． ②当a ＝－1时，a 2＋3a ＋3＝a ＋2＝1，不符合题意． 综上所述，a ＝0. ∴2 013a ＝1.(2)因为当x ＝0时，x ＝x 2－x ＝x 3－3x ＝0. 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合． 要使它表示一个有三个元素的集合，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠x 2－x ，x 2－x ≠x 3－3x ，x ≠x 3－3x .∴x ≠0且x ≠2且x ≠－1且x ≠－2时，{x ，x 2－x ，x 3－3x }能表示一个有三个元素的集合．变式训练1 0或98例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a ＝0，则A ＝R ；②若a <0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a ≤x <－1a ；③若a >0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a <x ≤4a .(1)当a ＝0时，若A ⊆B ，此种情况不存在． 当a <0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧4a >－12－1a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <－8a >0或a ≤－12，又a <0，∴a <－8.当a >0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≥－124a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0a ≥2或a <0.又∵a >0，∴a ≥2.综上知，当A ⊆B 时，a <－8或a ≥2. (2)当a ＝0时，显然B ⊆A ； 当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12－1a >2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－8≤a <0－12<a <0.又∵a <0，∴－12<a <0.当a >0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≤－124a ≥2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤20<a ≤2.又∵a >0，∴0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(3)当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A ＝B . 由(1)、(2)知，a ＝2. 变式训练2 4 例3 1或2变式训练3 解 (1)∵A ＝{x |12≤x ≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.例4 A变式训练4 6 {0,1,2,3} 课时规范训练 A 组1．C 2.C 3.A4．－1或2 5.{(0,1)，(－1,2)} 6．187．解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.8．解 ∵M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }＝{y |－3≤y ≤3}， ∴M －N ＝{y |y >3}， N －M ＝{y |－3≤y <0}， ∴M *N ＝(M －N )∪(N －M ) ＝{y |y >3}∪{y |－3≤y <0} ＝{y |y >3或－3≤y <0}． B 组1．C 2．B 3．A 4．A 5．a ≤0 6．－37．(－∞，－3)8．解 由x －5x ＋1≤0，所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}． (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， 所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}． (2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}， A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意， 故实数m 的值为8.。

集合的概念及集合间的关系1.(2013·大纲全国，1) 设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( ) A.3B.4C.5D.6解析 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，7，6，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M 中有4个元素. 答案 B2.(2012·全国，1)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为( ) A.3B.6C.8D.10解析 要使x －y ∈A ，当x ＝5时，y 可是1，2，3，4；当x ＝4时，y 可是1，2，3；当x ＝3时，y 可是1，2；当x ＝2时，y 可是1.综上共有10个，选D. 答案 D集合间的基本运算3.(2016·全国Ⅰ，1)设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32D.⎝⎛⎭⎫32，3解析 由A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x>32，得A∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x<3＝⎝⎛⎭⎫32，3，故选D.答案 D4.(2016·全国Ⅱ，2)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x|(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( ) A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}解析 由(x ＋1)(x －2)<0解得集合B ＝{x|－1<x<2}，又因为x ∈Z ，所以B ＝{0，1}，因为A ＝{1，2，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C. 答案 C5.(2016·全国Ⅲ，1)设集合S ＝{x|(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x|x ＞0}，则S∩T ＝( ) A.[2，3] B.(－∞，2]∪[3，＋∞) C.[3，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)解析 S ＝{x|x≥3或x≤2}，T ＝{x|x ＞0}，则S∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞).答案 D6.(2015·全国Ⅱ，1)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B ＝()A.{－1，0}B.{0，1}C.{－1，0，1}D.{0，1，2}解析由A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B ＝{－1，0}，故选A.答案 A7.(2014·全国Ⅱ，1)设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A.{1}B.{2}C.{0，1}D.{1，2}解析N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0，1，2}，所以M∩N＝{1，2}.答案 D8.(2014·全国Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解析A＝{x|x≤－1，或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A.答案 A9.(2014·大纲全国，2)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝()A.(0，4]B.[0，4)C.[－1，0)D.(－1，0]解析由题意可得M＝{x|－1<x<4}，所以M∩N＝{x|0≤x<4}，故选B.答案 B10.(2012·大纲全国，2)已知集合A＝{1，3，m }，B＝{1，m}，A∪B＝A, 则m＝()A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以m＝3或m＝m.若m＝3，则A＝{1，3，3}，B＝{1，3}，满足A∪B＝A，若m＝m，解得m＝0或m＝1，若m＝0，则A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，满足A∪B＝A，若m＝1，A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，显然不成立，综上m＝0或m＝3，选B.答案 B集合的概念及集合间的关系1.(2015·重庆，1)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()A.A＝BB.A∩B＝∅C.A⫋BD.B⫋A解析由于2∈A，2∈B，3∈A，3∈B，1∈A，1∉B，故A，B，C均错，D是正确的，选D.答案 D2.(2013·山东，2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9解析因为x，y∈{0，1，2}，所以x－y值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，所以集合B中元素的个数是5.答案 C3.(2012·江西，1)若集合A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合{z︱z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A.5B.4C.3D.2解析因为x∈A，y∈B，所以当x＝－1时，y＝0，2，此时z＝x＋y＝－1或1.当x＝1时，y＝0，2，此时z＝x＋y＝1或3，所以集合{z|z＝－1，1，3}＝{－1，1，3}共三个元素，选C.答案 C集合间的基本运算4.(2016·北京，1)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝()A.{0，1}B.{0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－1，0，1，2}解析A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－2＜x＜2}∩{－1，0，1，2，3}＝{－1，0，1}.答案 C5.(2016·山东，2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.答案 C6.(2016·四川，1)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6解析由题可知，A∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩Z中的元素的个数为5.选C.答案 C7.(2015·天津，1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝()A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}解析由题意知，∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}，选A.答案 A8.(2015·福建，1)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅解析集合A＝{i，－1，1，－i}，B＝{1，－1}，A∩B＝{1，－1}，故选C.答案 C9.(2015·广东，1)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝()A.∅B.{－1，－4}C.{0}D.{1，4}解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}＝{1，4}，所以M∩N＝∅，故选A.答案 A10.(2015·浙江，1)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝()A.[0，1)B.(0，2]C.(1，2)D.[1，2]解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.答案 C11.(2015·陕西，1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]解析由题意得M＝{0，1}，N＝(0，1]，故M∪N＝[0，1]，故选A.答案 A12.(2014·四川，1)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A.{－1，0，1，2}B.{－2，－1，0，1}C.{0，1}D.{－1，0}解析因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝Z，故A∩B＝{－1，0，1，2}.答案 A13.(2014·辽宁，1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.答案 D14.(2013·重庆，1)已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝()A.{1，3，4}B.{3，4}C.{3}D.{4}解析因为A∪B＝{1，2，3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.答案 D15.(2014·重庆，11)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________.解析依题意得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∁U A＝{4，6，7，9，10}，(∁U A)∩B ＝{7，9}.答案{7，9}集合中的创新问题16.(2015·湖北，9)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个.故A⊕B 中元素的个数为45.故选C.答案 C。

§1.1集合及其运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B (或B A )3.集合的基本运算知识拓展1．若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3．A ∩(∁U A )＝∅；A ∪(∁U A )＝U ；∁U (∁U A )＝A .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × )(3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( √ ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．[P11例9]已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________.答案 {x |x 是直角}3．[P44A 组T5]已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (3，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}， ∵A ⊆B ，B ＝{x |x <a }，∴a >3.6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或98解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.题型一集合的含义1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.答案 1解析∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.经检验，a＝1符合题意．2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是()A．2 B．3 C．4 D．5答案 B解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型二集合的基本关系典例(1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是() A．5 B．4 C．3 D．2答案 B解析∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________________________．答案[2 018，＋∞)解析由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( ) A.13或－12 B ．－13或12C.13或－12或0 D ．－13或12或0答案 D解析 由题意知，A ＝{2，－3}． 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上可知，a 的值为－13或12或0.(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，4]解析 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2；当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1， 解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算典例(1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅答案 A解析∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．(2)(2018届珠海二中月考)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A⊆BC．B⊆A D．A∪B＝R答案 D解析∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.命题点2利用集合的运算求参数典例(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是() A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1答案 D解析因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1 C．2 D．4答案 D解析由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．答案(－∞，－1]∪{1}解析因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练 (1)(2017·天津)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}．又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型四集合的新定义问题典例若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)等于()A．200 B．150C．100 D．50答案 A解析在集合E中，当s＝1时，p＝q＝r＝0，此时只有1个元素；当s＝2时，p，q，r∈{0,1}，此时有2×2×2＝8(个)元素；当s＝3时，p，q，r∈{0,1,2}，此时有3×3×3＝27(个)元素；当s＝4时，p，q，r∈{0,1,2,3}，此时有4×4×4＝64(个)元素，故card(E)＝1＋8＋27＋64＝100.在集合F中，(t，u)的取值可能是(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10种可能．同理，(v，w)也有10种可能，故card(F)＝10×10＝100，∴card(E)＋card(F)＝200.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3<x≤4} B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4} D．{x|2≤x≤4}答案 B解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A答案 D2．(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)答案 A解析∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．3．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．3 B．4C．5 D．6答案 C解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C. 4．(2017·吉林大学附中模拟)若集合A＝{x∈N|5＋4x－x2>0}，B＝{x|x<3}，则A∩B等于() A．∅B．{1,2}C．[0,3) D．{0,1,2}答案 D解析由A中不等式变形，得(x－5)(x＋1)<0，x∈N，解得－1<x<5，x∈N，即A＝{0,1,2,3,4}，∵B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{0,1,2}．5．(2018·潍坊调研)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{0,1} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}答案 B解析因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．6．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为()A．8 B．4C．3 D．2答案 B解析由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)答案 B解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.9．已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝________.答案 (1,2)解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}．10．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝______. 答案 1解析 由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1.11．(2018·衡水模拟)若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则集合A ∩B ＝________.答案 [0，＋∞)解析 集合A ＝{y |y ＝lg x }＝{y |y ∈R }＝R ， B ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，则集合A ∩B ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．(2017·安徽黄山二模)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x ＋2≥0，则A ∩B 等于( )A ．{－1,0,1}B ．{－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{0,1,2} 答案 C解析 ∵集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x ＋2≥0＝{x |x <－2或x ≥1}， ∴B ＝{x |－2≤x <1}，则A ∩B ＝{－2，－1,0}．14．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为______．答案 8解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0， ∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴4是方程x2－2x－m＝0的根，即42－2×4－m＝0，解得m＝8. 此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.。

第1讲 集合及其运算1．(2017·高考北京卷)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >2}，则∁U A ＝( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C.由已知可得，集合A 的补集∁U A ＝[－2，2]．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析：选A.集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A. 3．已知集合A ＝{x ∈R |x －1x＝0}，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选C.解方程x －1x＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1，0，1}，所以B ＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B 共有4个．4．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C.由题意，得B ＝{0，1，2，3，2}，所以A ∩B ＝{0，1，2}，所以A ∩B 的真子集个数为23－1＝7.故选C.5．(2019·云南省第一次统一检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与集合B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B ⊇AC ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A.因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝{x |x >52}，所以B ⊆A ，故选A.6．(2019·陕西西安模拟)已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( ) A ．M ＝N B ．M ∩N ＝N C ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选B.因为集合M ＝{－1，0，1}．N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝{－1，0}，所以集合M ∩N ＝N .故选B.7．(2019·河南百校联盟联考)若集合A ＝{x |y ＝lg(3x －x 2)}，B ＝{y |y ＝1＋4x ＋1，x ∈A }，则A ∩∁R B 等于( ) A ．(0，2] B ．(2，3) C ．(3，5)D ．(－2，－1)解析：选A.因为A ＝(0，3)，所以B ＝(2，5)，所以A ∩∁R B ＝(0，2]．故选A.8．(2019·湖北武昌模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0，1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，5}解析：选D.因为 A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，所以A －B ＝{0，1，2，5}．故选D.9．(2019·长沙市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数 ，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2，选B.10．(2019·安徽省两校阶段性测试)设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，32)B ．(1，32)C ．[1，32)D ．(32，3]解析：选B.A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝{x |1<x <32}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{x |1<x <32}．故选B.11．(2019·安徽淮北第二次模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( ) A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C.因为log 2(x －1)<1，所以x －1>0且x －1<2，即1<x <3，则N ＝{x |1<x <3}，因为U ＝R ，所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又因为M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩∁U N ＝{x |x＝1或x ≥3}，所以－2a ＝1，得a ＝－12.故选C.12．(2019·豫北名校联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q ＝{0，－12，12}，该集合中共有3个元素，所以选B.13．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝________． 解析：由于A ∪B ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，结合数轴，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． 答案：{x |0<x <1}14．设全集S ＝{1，2，3，4}，且A ＝{x ∈S |x 2－5x ＋m ＝0}，若∁S A ＝{2，3}，则m ＝________． 解析：因为S ＝{1，2，3，4}，∁S A ＝{2，3}, 所以A ＝{1，4}，即1，4是方程x 2－5x ＋m ＝0的两根，由根与系数的关系可得m ＝1×4＝4. 答案：415．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________． 解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}． 答案：{1}16．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)1．(2019·山东烟台调研)已知集合M ＝{x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z }，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：选B.由题意可知，M ＝{x |x ＝（2k ＋4）8π－π4，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝{x |x ＝2k π8－π4或x ＝（2k －1）8π－π4，k ∈Z }，所以M ⊆N ，故选B.2．(2019·宁夏银川二中考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选B.法一：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.法二：因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，取c ＝1，则B ＝(0，1)，所以A ⊆B 成立，可排除C ，D ；取c ＝2，则B ＝(0，2)，所以A ⊆B 成立，可排除A.3．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)． 答案：(－∞，－1]∪(0，1) 4．若集合A 具有以下性质：(1)0∈A ，1∈A ；(2)x ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A ，则称集合A 是“完美集”，给出以下结论：①集合B ＝{－1，0，1}是“完美集”； ②有理数集Q 是“完美集”；③设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ；④设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；⑤对任意的一个“完美集”A ，若x ，y ∈A ，且x ≠0，则y x∈A . 其中正确结论的序号是________．解析：①－1∈B ，1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”； ②有理数集满足“完美集”的定义；③0∈A ，x ，y ∈A ，0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ；④对任意一个“完美集”A ，任取x ，y ∈A ，若x ，y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x ，y 均不为0，1，而1xy ＝12xy ＋12xy ＝1（x ＋y ）2－x 2－y 2＋1（x ＋y ）2－x 2－y 2，x ，x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x （x －1）∈A ，所以x (x －1)∈A ，进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .结合前面的算式，知xy ∈A ；⑤x ，y ∈A ，若x ≠0，那么1x ∈A ，那么由④得yx∈A .故填②③④⑤. 答案：②③④⑤5．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋c ×3＋15＝0，c ＝－8， 所以B ＝{x ∈R |x 2－8x ＋15＝0}＝{3，5}， 又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝{x |－52≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝{x |－52≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1，0，1}．6．(2019·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法B A1．辨明三个易误点(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2．活用几组结论(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.(4)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.(6)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.1.教材习题改编已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆DB2.教材习题改编设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( )A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}C 因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}．3．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )A．0 B．1C．2 D．3C 集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.4.教材习题改编已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝________．由题意得∁U B＝{2，5，8}，所以A∩∁U B＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．{2，5}5.教材习题改编已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则(∁R A)∪B＝________．由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}，又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．{x |x ≤1或x >2}集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2. 故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素．(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a＝－1，所以a ＝－1，b＝1.所以b －a ＝2.【答案】 (1)C (2)C1．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B 因为a ∈A ，b ∈B ，所以x ＝a ＋b 为1＋4＝5，1＋5＝2＋4＝6，2＋5＝3＋4＝7，3＋5＝8.共4个元素．2．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.－32集合间的基本关系(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}． 由题意知B ＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}． (2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)D (2)(－∞，3]1.在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.2．若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？ 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R PC 因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的范围为________． 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述m 的范围为m ≤1.m ≤1集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求集合间的交或并运算； (2)求集合的交、并、补的混合运算； (3)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．(1)(2016·高考全国卷乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 (2)(2016·高考山东卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4，5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2，6}B ．{3，6}C ．{1，3，4，5}D ．{1，2，4，6}(3)已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝________．【解析】 (1)由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3. (2)由题知A ∪B ＝{1，3，4，5}，所以∁U (A ∪B )＝{2，6}． (3)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ， 又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，又U ＝{1，3，5，7，9}，假设1∈A ，由A ∩B ＝{3}， 知1∉B ，所以1∈∁U B ，则与(∁U B )∩A ＝{9}矛盾， 所以1∉A ，同理5，7∉A ，则A ＝{3，9}． 【答案】 (1)D (2)A (3){3，9}集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．角度一 求集合间的交或并运算1．(2016·高考全国卷甲)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}C 由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.角度二 求集合的交、并、补的混合运算2．(2017·海口市调研测试)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |7－6x ≤0}，集合B ＝{x |y ＝lg(x ＋2)}，则(∁U A )∩B 等于( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，76B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫76，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，76 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，－76A 依题意得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥76，∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <76；B ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}，因此(∁U A )∩B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <76，选A.3．(2017·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}C 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B )∩A ，因为∁R B ＝{x |x ≥0}，所以(∁R B )∩A ＝{x|0≤x<6}，故选C.角度三已知集合的运算结果求参数的值(范围)4．(2017·河南省六市第一次联考)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B 有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B 因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B．)——集合中的创新问题以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．【解析】由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．【答案】{0，6}解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．1.设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A ＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪ {0}∪ 符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．6)1．(2016·高考天津卷)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1}B ．{4}C ．{1，3}D ．{1，4}D 由题意得，B ＝{1，4，7，10}，所以A ∩B ＝{1，4}．2．设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0，x ∈Z }，则集合M 的真子集个数为( ) A ．8 B ．7 C ．4D ．3B 依题意，M ＝{x |(x ＋1)·(x －3)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <3，x ∈Z }＝{0，1，2}，因此集合M 的真子集个数为23－1＝7，故选B ．3．(2017·南昌月考)设集合P ＝{a 2，log 2a }，Q ＝{2a，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q ＝( ) A ．{0，1} B ．{0，1，2} C ．{0，2}D ．{0，1，2，3}B 因为P ∩Q ＝{0}，所以0∈P ，只能log 2a ＝0，所以a ＝1，a 2＝1，又0∈Q ，因为2a＝21＝2≠0，所以b ＝0，所以，P ＝{0，1}，Q ＝{2，0}，所以P ∪Q ＝{0，1，2}．4．(2017·河南省八市重点高中质量检测)若U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，则A ∩(∁U B )等于( )A ．{4，6}B ．{1，8}C ．{1，4，6，8}D ．{1，4，6，8，9}B 因为U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，所以∁U B ＝{1，8，9}，因此A ∩(∁U B )＝{1，8}，故选B ．5．(2017·湖南省东部六校联考)已知集合M ＝{－2，－1，0，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤4，x ∈Z ，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1，0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，1}D ．{0，1}C 由12≤2x ≤4，解得－1≤x ≤2，即集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0，1}，故选C.6．(2017·石家庄教学质量检测(二))设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <2，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．M ⊆NC ．M ∩N ＝∅D ．M ∪N ＝RB 因为1x －2<0，即2x －1x >0，解得x <0或x >12，因为N ＝(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，又M ＝{1，－1}，所以可知B 正确，A ，C ，D 错误，故选B ．7．已知全集U ＝Z ，P ＝{－2，－1，1，2}，Q ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{－1，－2}B ．{1，2}C ．{－2，1}D ．{－1，2} A 因为Q ＝{1，2}，所以P ∩(∁U Q )＝{－1，－2}，故选A.8．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 C 由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，m ＋n ＝7.9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( ) A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}A 由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．10．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )A．147 B．140C．130 D．117B 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5有相同的元素，当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B．11．(2017·开封市第一次模拟)设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则A∩(∁R B)＝( )A．{－1，2} B．{－2，－1，1，2，4}C．{1，4} D．∅A 当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁R B ＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．12．(2017·临沂质检)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁U B⊆A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，2]C．因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}，所以∁U B＝{x|x>a}．因为∁U B⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D．13．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.414．(2017·山西省高三考前质量检测)设全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1，0，1，2，3}．若B⊆∁U A，则集合B的个数是________．由题意得，U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，所以∁U A＝{－2，4}，所以集合B的个数是22＝4.415．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B＝________．因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U(A∪B)＝{1，3}，得A∪B＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A∩(∁U B)＝{2，4}知，{2，4}⊆A，{2，4}⊆∁U B．所以B ＝{5，6，7，8，9}．{5，6，7，8，9}16．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]．(－∞，－1]17.设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)．(－∞，－1]∪(0，1)18．已知集合M ＝{1，2，3，4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若∀x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有_____个．当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1，2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．1719．已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B ．(1)因为9∈(A ∩B )，所以2a －1＝9或a 2＝9，所以a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}，所以a ＝5或a ＝－3.(2)由(1)可知，当a ＝5时，A ∩B ＝{－4，9}，不合题意，当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}．所以a ＝－3.20．(2017·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

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4.设集合 ， ， ，若点 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选C. , ,由于 ，所以 解得 所以 ，即 的最小值为4.故选C.
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5.(2023·湖北枣阳高三阶段练习)（多选）如图所示，阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
解析：选AD.由题图及集合的运算，知阴影部分表示的集合为 或 ，故选AD.
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√
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6.（多选）若集合 , ,则集合 ( )
A. B. C. D.
解析：选BC.由题意得 , , ,所以 , .故选BC.
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14.(2023·上海七宝中学高三期中)设 均为实数，若集合 的所有非空真子集的元素之和为12，则 ___.
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解析：集合 的所有非空真子集为 ， ， ， ， ， ，由题意可得 ，解得 .
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1.1 集合课后达标 分层演练
[A级 基础达标]

A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}
【解析】选A.画出数轴如图所示,则A∩B={x|-2<x<-1}.
3.设集合A={y|y=sin x,x∈R},B={y|y=3x,x∈A},则A∩B=()
A. B.[1,3]C. D.[0,1]
【解析】选A.A={y|y=sin x,x∈R}={y|-1≤y≤1}.B={y|y=3x,x∈A}= ,
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课时分层作业一
集 合
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()
A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.设集合A={3,m},B={3m,3},且A=B,则实数m的值是________.
【解析】由集合A={3,m}=B={3m,3},得3m=m,则m=0.
答案:0
【变式备选】已知集合A={3,a2},B={0,b,1-a},且A∩B={1},则A∪B=________.
所以A∩B={y|-1≤y≤1}∩ = .
4.(2018·日照模拟)集合A={x|y= },B={y|y=log2x,x>0},则A∩B等于()
A.RB.∅
C.[0,+∞)D.(0,+∞)
【解析】选C.A={x|y= }={x|x≥0},B={y|y=log2x,x>0}=R.故A∩B={x|x≥0}.