高考数学二轮复习 8.23 函数与方程思想课件

02
函数与方程的基本概念
函数的定义与性质
函数的定义
函数是一种特殊的对应关系，它表示 了自变量与因变量之间的依赖关系。 通常记为$y = f(x)$，其中$x$为自 变量，$y$为因变量，$f$表示对应 关系。
函数的性质
函数具有单调性、奇偶性、周期性、 有界性等基本性质。这些性质反映了 函数图像的形态和变化趋势，是研究 函数的重要基础。
函数与方程的转化
在实际问题中，函数和方程往往可以相互转化。例如，通过设定未知数并建立等式，可以将函数问题转化为方程 问题；反之，通过解方程并研究解的性质，也可以将方程问题转化为函数问题。这种转化为我们提供了多种解决 问题的思路和方法。
03
函数与方程思想的解题方 法
构造函数法
01
通过构造函数，将问题转化为函数的性质或图象问 题。
06
高考中函数与方程思想的 备考策略
熟悉考纲和考试要求
认真研读《考试大纲》和《考试说明》，明确考 试内容和要求。
了解函数与方程思想在高考中的考查形式和所占 分值。
关注历年高考真题中函数与方程思想的考查情况 ，把握命题趋势。
掌握基本概念和解题方法
01
02
03
熟练掌握函数的概念、性质、图 像等基础知识。
深入理解方程的思想，掌握方程 的解法和应用。
学会运用函数与方程的思想分析 和解决问题，如求函数的零点、 解不等式等。
多做真题，加强训练
1
多做历年高考真题和模拟题，熟悉考试形式和难 度。
2
注重训练自己的思维能力和解题技巧，提高解题 速度和准确性。
3
对于做错的题目，要认真分析原因，及时纠正自 己的错误。
02
利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质解题。

D．E∩F＝∅
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多 有关函数的问题也可以用方程的方法来解决．函数与方程思想 是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点和热点．
1．函数的思想：它是用运动和变化的观点，分析和研究数 学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，并运用函数的图 象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数 思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函 数知识或函数观点观察、分析和解决问题．

【配对练习】
1．(2011 年全国)已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1,1]
时 f(x)＝x2，那么函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝|lgx|的图象的交
点共有( A )
A．10 个
B．9 个 C．8 个 D．1 个
解析：由题意作出函数图象如图 D45，由图象知共有 10 个 交点．
图 D45
函数与方程思想在不等式中的应用
在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是 构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．在含有多 个变量的数学问题中，需要确定合适的变量或参数，能使函数 关系更加清晰明朗．一般地，已知存在范围的量为变量，而待 求范围的量为参数．
例 1：设集合 A＝{x|4x－2x＋2＋a＝0，x∈R}． (1)若 A 中仅有一个元素，求实数 a 的取值集合 B； (2)若对于任意 a∈B，不等式 x2－6x＜a(x－2)恒成立，求 x 的取值范围． 解：(1)令2x＝t(t＞0)，设f(t)＝t2－4t＋a. 由f(t)＝0在(0，＋∞)有且仅有一实根或两相等实根，得 ①当f(t)＝0有两相等实根时，Δ＝0⇒16－4a＝0⇒a＝4. 验证：t2－4t＋4＝0⇒t＝2∈(0，＋∞)，这时x＝1. ②当f(t)＝0有一正实根和一负实根时，f(0)＜0⇒a＜0，

即
1
(x-2) + (x-2)2
2
2
> 0,
3(-2) + (-2) > 0.
解得 x>2 或 x<-1.
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破点四
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
点评:在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函
数利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学
因此 h(x)在(1,3)内单调递减.又 h(1)=0,所以 h(x)<0,即 f(x)<
+5
.
答案
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破点四
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点二 利用函数与方程思想解决数列问
题
思考:数列是函数吗?若是,是怎样的函数?
提示:数列的本质是定义域为正整数集或有限子集的函数,数列的通项
题
思考:如何将函数 y=f(x)转化为不等式?
提示:函数与不等式可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不
等式 f(x)>0,借助于函数图象与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不
开解不等式.
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破点四
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
分析推理可将 Tn 看作关于自然数 n 的函数,通过函数的单
调性来证明不等式.
我的解答:
(1)解:当 n=1 时,a1=S1=1.
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-4n+4-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5.

1
-9热点考题诠释 高考方向解读
因为f'(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点. 由f'(x0)=0得ln x0=2(x0-1), 故f(x0)=x0(1-x0).
由 x0∈(0,1)得 f(x0)< .
因为x=x0是f(x)在(0,1)内的最大值点,由e-1∈(0,1),f'(e-1)≠0得 f(x0)>f(e-1)=e-2. 所以e-2<f(x0)<2-2.
-7热点考题诠释 高考方向解读
4.(2017全国2,理21)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.
解: (1)f(x)的定义域为(0,+∞). 设 g(x)=ax-a-ln x,则 f(x)=xg(x),f(x)≥0 等价于 g(x)≥0. 因为 g(1)=0,g(x)≥0,故 g'(1)=0,而 g'(x)=a-������,g'(1)=a-1,得 a=1. 若 a=1,则
1 4
-10热点考题诠释 高考方向解读
5.(2017浙江,22)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*). 证明:当n∈N*时, (1)0<xn+1<xn;
������������ ������������+1 (2)2xn+1-xn≤ ; 2 1 1
(3)
由已知及椭圆的对称性知,直线 AM
π 的倾斜角为 . 4
又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.

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• 数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数，可用函数 与方程思想处理数列问题．涉及特殊数列(等差、等比数列)，已知Sn 与an关系问题，应用方程思想列方程(组)求解；涉及最值问题或参数
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• (2)xex－2ln x＞2x＋a恒成立， • ∴a＜xex－2ln x－2x， • 设f(x)＝xex－2ln x－2x，对任意x∈(0，＋∞)， • 设t＝ln x＋x，则t∈R， • 设g(t)＝et－2t， • 则g′(t)＝et－2， • 令g′(t)＝0，解得t＝ln 2，
范围问题，应用函数思想来解决．
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应用三 函数与方程思想在解析几何中的应用
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• 当t＜ln 2时，g′(t)＜0，当t＞ln 2，g′(t)＞0， • ∴g(t)在(－∞，ln 2)上是减函数，在(ln 2，＋∞)上是增函数， • ∴g(t)≥g(ln 2)＝2－2ln 2， • ∴g(t)的最小值为2－2ln 2，即f(x)的最小值为2－2ln 2， • ∴a＜2－2ln 2，

5. 等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式， 都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法 解决。 2020/8/6
考题分析
【例1】建造一个容积为8m，深为2m的长方体无 盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120元和80元，则水池的最低造价为１__７__６__０__元__。
【略解】
【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到 一个和式，再用方程思想求解?
A ,C 5
4 12
a8,b46,c434
2020/8/6
考题分析
【例4】 设 f(x)lg12x 4xa ，如果当x∈(-∞,1]
3
时f(x)有意义，求实数a的取值范围。
【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)有意义的函数问题，转 化为 12x4x a0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。
设长x，则宽 4 ，
x 造价y＝4×120＋4x×80＋
1
6 x
×80
≥1760，
答：1760元。
2020/8/6
考题分析
【例2】 设等差数列{an}的前n项的和为S，已知 a3＝12，S12>0，S13<0 。 ① 求公差d的取值范围； ②指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由。 【分析】 ①问利用公式an与Sn建立不等式，容易求 解d的范围；②问利用Sn是n的二次函数，将S中哪 一个值最大，变成求二次函数中n为何值时Sn取最大 值的函数最值问题。
x0或 x1
2020/8/6
规律方法 总结
2020/8/6
2020/8/6
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质 解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1 ( x ) 的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等， 要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函 数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，得 F→1P＝(x0＋c，y0)，F→1B＝(c，c)． 由已知，得F→1P·F→1B＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.① 因为点P在椭圆上，故x22c02 ＋yc220＝1.② 由①和②，可得3x20＋4cx0＝0. 而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－43c，
化简，得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 当d＝0时，an＝2； 当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2. 从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
第二十三页，共45页。
(2)当an＝2时，Sn＝2n. 显然2n<60n＋800， 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立． 当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋24n－2]＝2n2. 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(舍去)，
同理可得函数 f(x)的单调递减区间为(－1－ －2－k，－1)， (－1＋ 2－k，＋∞)．
(3)由 f(x)＝f(1)，得(x2＋2x＋k)2＋2(x2＋2x＋k)－3＝(3＋k)2 ＋2(3＋k)－3，
∴[(x2＋2x＋k)2－(3＋k)2]＋2[(x2＋2x＋k)－(3＋k)]＝0， ∴(x2＋2x＋2k＋5)(x2＋2x－3)＝0. ∵k＜－6，∴－2k－4＞0，
()
A．[3－2 3，＋∞)
B．[3＋2 3，＋∞)
C.－74，＋∞
D.74，＋∞
答案：B
第十八页，共45页。
解析：因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝
4，即a2＝3，所以双曲线方程为
x2 3

(2)已知 f(x)是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函 数 y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数 λ 的值是 ( )(导学号 55410001) 1 A. 4 1 B. 8 7 C．－ 8 3 D．－ 8
解析：(1)设 f(x)＝ex－x－1 且 x＞0，则 f′(x)＝ex－1. 所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0.
n 1 ＝ . 1 2n＋1 2＋ n
又 y＝ 在[1，＋∞)上是增函数， 1 2＋x 1 所以当 n＝1 时，Tn 取到最小值 . 3
1
[规律方法] 1．本题完美体现函数与方程思想的应用，第(1)问由 条件列方程求公差与首项，从而求出通项公式与前 n 项 和．第(2)问利用裂项相消求 Tn，构造函数 f(x)＝ 1 1 2＋ x ，
(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离 参数化为函数解决．
[变式训练]
x (1)设函数 f(x)＝ －cos x，则方程 f(x) 2 ) 3π D. 2
π ＝ 所有实根的和为( 4 π A．0 B. 4 π C. 2
(2)(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处 的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切， 则 a＝________．
所以 ex－1＞x，即 ea－1＞a. 又 y＝ax(0＜a＜1)在 R 上是减函数，得 a＞ae 从而 ea －1＞a＞ae. (2)令 y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，且 f(x)是奇函数． 则 f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ) 又因为函数 f(x)是 R 上的单调函数．
角度 2 函数与方程思想在数列中的应用 [ 例 2] (2017· 深圳调研 ) 已知等差数列 {an} 的公差

（2）该厂家2009年的促销费用投入(tóurù)多少万元
时，
厂家的利润最大？
解1 （3 1）k,由即题k 意2可,知x， 3当m=02时，, x=1, m 1
每件产品的销售价格为1.5 8 16x 元. x
2009年的利润
y
x
1.5
8
16 x x
(8
16x
m)
4 8x m 4 8(3 2 ) m m 1
以用函数
思想来处理.如求函数y=f(x)的零点，就是解方程
f(x)=0；解不等式f(x)>0 （或f(x)<0），就是求
函
数y=f(x)值为正(负)时,所对应的自变量x的区间.
2.函数与方程思想的应用概括地讲，一是构建函数
与方程，二是应用函数与方程的性质思考问题.
含有一个变量的等式，就是方程，含有多个变量
f（1）·（1+3.12%），
一般地：f（3）=f（2）·（1+6.24%）- · 1
f（2）·6.24% =f（1）·(1+3.12%)2,
2
∴f（x）=19 800·（1+3.12%）x-1 （x∈N*）.
第十八页，共40页。
（2）2008年诺贝尔奖发奖后基金总额为： f(10)=19 800·(1+3.12%)9=26 107， 2009年度诺贝尔奖各项奖金额为
∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8, ∴7<1-a1<8.∴-7<a1<-6. ∴a1的取值范围是（-7，-6）. 探究拓展 解决数列问题，似乎永远离不了函数 与方程思想，因为数列实质是特殊的函数，回归 函数后，便于使用函数的性质与图象等工具解决 数调列性问结题合，定从 义本在例正中自可然见数一集斑上的.函数数列，便y确 定x的1了7单

＝－sin
x－122＋a＋14.
因为－1≤sin x≤1，所以当 sin x＝12时， 函数有最大值 f(x)max＝a＋14， 当 sin x＝－1 时，函数有最小值 f(x)min＝a－2. 因为 1≤f(x)≤147对一切 x∈R 恒成立， 所以 f(x)max≤147且 f(x)min≥1， 即a＋14≤147，解得 3≤a≤4，
1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的 数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函 数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问 题获得解决的思想方法. (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立 方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运 用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.
(2)证明 因为 an＝3n，所以 bn＝n32n. 所以 bn＋1－bn＝（n3＋n＋11）2－n32n＝－2n23＋n＋21n＋1(n∈N*)， 若－2n2＋2n＋1＜0，则 n＞1＋2 3， 即当 n≥2 时，有 bn＋1＜bn， 又因为 b1＝13，b2＝49，故 bn≤49.
探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型： (1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或 不等式求解. (2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式 组aann－≥1≤ana＋n1，，aann－≤1≥ana＋n1，求解. (3)数列中前 n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单 调性或求使 an≥0(an≤0)成立时最大的 n 值即可求解.
解 (1)依题意得椭圆的方程为x42＋y2＝1，直线 AB，EF 的方程分 别为 x＋2y＝2，y＝kx(k＞0).如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2， kx2)，其中 x1＜x2，且 x1，x2 满足方程(1＋4k2)x2＝4，

第一讲 函数与方程思想——求解数学问题最用运动和变化的观点，分析和研究数学中 的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想． 2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立 方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用 方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.
2创新应用 应用 1 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [典例 1] (1)(2016· 全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数， 当 x＜0 时， f(x)＝ln( －x)＋3x，则曲线 y＝f(x) 在点(1，－3)处的切线方程是 ________． (2)(2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间 － (－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)＞f(－ 2)，则 a 的 取值范围是________．
[反思领悟] (1)本题是数列与不等式交汇，在第(1)问中，是 由一元二次不等式转化为数列， 而第三问借助于函数的单调性证 明不等式成立， 在证明中， 利用了函数思想， 要注意定义域范围． (2) 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系， 将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单 调性或有界性来求解数列中的最值． 但由于数列的通项是一类特 殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列 中的自变量只能取正整数这一特点．
1 3 (2) ， 2 2
利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函
数值大小关系转化为不等式求解． ∵ f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴ 在(0，＋∞)上单调递减，f(－ 2)＝f( 2)， 1 |a－1| |a－1| ∴ f(2 )＞f( 2)，∴ 2 ＜ 2＝2 ， 2 1 1 1 1 3 ∴ |a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，即2＜a＜2.

恒成立问题中的端点能否取到
a 1 ( 2)a f ( x ) (1,2) a 1 ( 3)a f ( x ) [1,2] a 1 (4)a f ( x ) [1,2] a 1
(1)a f ( x ) (1,2)
已知二次函数f ( x ) ax 2 bx 1(a、b R，a 0)， 设方程f ( x ) x的两个实数根为x 1 和x 2 (1)如果x 1 2 x 2 4，函数f ( x )的对称轴为x x 0 ，求证：x 0 1 ； ( 2)如果 x 1 2， x 2－x 1 ＝2，求b的取值范围。
1 1 1 n1 n 2 2n 1 1 0 2n 1 2n 2 7 所以f ( n)为增函数, 从而f (n) f (2) 12
已知不等式
1 1 1 1 2 loga a 1 对于大于1的 n1 n 2 2n 12 3 正整数n恒成立，试确定a的取值范围
9 b ,1 b (b 0)在 区 间 4
b f ( x ) 3( x ) 2 7在区间1,2的最大值为 20, 求b ? 2
y
答案：b 4或－ 10
b x 2
1
x2
已知不等式
1 1 1 1 2 loga a 1 对于大于1的 n1 n 2 2n 12 3 正整数n恒成立，试确定a的取值范围
即 loga a 1 － 1 loga
[1, ), 不等式2 x 2 3 x 3 4 x 5 x a 0恒成立, 求a的取值范围 2、解不等式5 4 x 5 5 2 x 8 6 x 3 0
1 1 1 的取值范围 n1 n 2 2n 7 所以f ( n)为增函数, 从而f (n) f (2) 12 1 1 1 1 2 要使 loga a 1 对于大于1的 n1 n 2 2n 12 3 正整数n恒成立， 关键是确定