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函数与方程例题和知识点总结在数学的学习中，函数与方程是非常重要的概念，它们不仅在数学领域有着广泛的应用，也在其他学科和实际生活中发挥着重要作用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解函数与方程，并对相关知识点进行总结。
一、函数的概念函数是一种特殊的对应关系，给定一个非空数集 A，对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在另一个非空数集 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。
例如，函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1，对于任意给定的 x 值，通过这个关系式都能唯一确定一个 y 值。
二、方程的概念方程是指含有未知数的等式。
例如，2x ＋ 3 ＝ 7 就是一个方程。
三、函数与方程的联系函数的零点就是方程 f(x) ＝ 0 的实数解。
四、例题分析例 1：已知函数 f(x) ＝ x² 2x 3，求函数的零点。
解：令 f(x) ＝ 0，即 x² 2x 3 ＝ 0因式分解得：（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0解得：x ＝ 3 或 x ＝－1所以函数 f(x) 的零点为 3 和－1。
例 2：判断函数 f(x) ＝ x³ 3x ＋ 1 在区间0, 1内是否有零点。
解：先计算 f(0) ＝ 1 ＞ 0，f(1) ＝－1 ＜ 0因为函数 f(x) 在区间0, 1上是连续的，且 f(0) 和 f(1) 的值异号所以根据零点存在定理，函数 f(x) 在区间0, 1内至少有一个零点。
例 3：已知函数 f(x) ＝ 2x ＋ m 的图像与函数 g(x) ＝ x² 4x ＋ 1 的图像有一个交点，求 m 的值。
解：将两个函数联立得：2x ＋ m ＝ x² 4x ＋ 1移项化为一元二次方程：x² 6x ＋ 1 m ＝ 0因为两个函数的图像有一个交点，所以方程有且仅有一个解即判别式Δ ＝ 36 4(1 m) ＝ 0解得：m ＝－8五、知识点总结1、函数零点的求法：令函数值为 0，求解方程的根。
函数与方程试题及解答1. 函数题（1）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
所以f(2)的值为-1。
（2）已知函数g(x) = 3x - 5，求满足g(x) = 10的x的值。
解答：将g(x) = 10代入函数表达式，得到3x - 5 = 10。
解这个方程，将常数项移到右边，得到3x = 15。
再将方程两边除以3，得到x = 5。
所以满足g(x) = 10的x的值为5。
2. 方程题（1）解方程3x + 5 = 8。
解答：将常数项移到右边，得到3x = 8 - 5 = 3。
再将方程两边除以3，得到x = 1。
所以方程3x + 5 = 8的解为x = 1。
（2）解方程2(x - 3) = 4x + 5。
解答：先将方程两边展开，得到2x - 6 = 4x + 5。
将2x移动到右边，将4x移动到左边，得到-6 - 5 = 4x - 2x。
计算得到-11 = 2x。
再将方程两边除以2，得到x = -5.5。
所以方程2(x - 3) = 4x + 5的解为x = -5.5。
3. 综合题有一个数列，前两项为1，第三项开始，每一项是前两项的和。
求这个数列的第10项。
解答：根据数列的定义，可以得到数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，接下来可以继续计算得到第10项为34。
所以这个数列的第10项为34。
4. 应用题某公司销售一种产品，根据市场调研，每降低产品售价1元，销量就会增加1000件。
已知该产品售价为20元时，销量为20000件。
问降低售价至多少元时，销量可以达到40000件？解答：假设降价x元时，销量为40000件。
根据已知条件，可以得到方程20 - x = 40000/1000。
将方程简化，得到20 - x = 40。
将常数项移到右边，得到-x = 40 - 20 = 20。
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中的重要概念和工具，它们在解决实际问题和数学推理中起着关键的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结。
一、函数的概念与性质：1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量和因变量之间的一种变化规律，它将每一个自变量值映射到唯一的因变量值。
在函数中，自变量通常表示为x，因变量表示为y或f(x)。
2. 函数的性质：函数有以下几个重要性质：a. 定义域：函数的自变量取值范围的集合。
b. 值域：函数的因变量的取值范围的集合。
c. 单调性：函数的增减关系。
可以分为增函数和减函数。
d. 奇偶性：函数关于y轴的对称性。
可以分为奇函数和偶函数。
e. 周期性：函数在一个周期内的性质重复出现。
3. 常见函数类型：a. 线性函数：y = kx + b，其中k和b是常数，描述了一条直线的方程。
b. 幂函数：y = ax^b，其中a和b是常数，x的指数为整数。
c. 指数函数：y = a^x，其中a为常数，指数为变量。
d. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为常数。
e. 三角函数：如sin(x)、cos(x)和tan(x)等。
4. 函数的运算：a. 函数的加法和减法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的加法和减法得到新的函数。
b. 函数的乘法和除法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的乘法和除法得到新的函数。
二、方程的概念与性质：1. 方程的定义：方程是一个等式，其中包含未知数和已知的数之间的关系。
在方程中，通常需要求解未知数的值使等式成立。
2. 方程的解：方程的解是能够使方程成立的未知数的值。
根据方程不同类型的解，可以将其分为实数解、复数解和无解。
3. 一元方程：只含有一个未知数的方程称为一元方程。
求解一元方程的方法包括等式两边同时加减、乘除相同的数等。
4. 二元方程：含有两个未知数的方程称为二元方程。
求解二元方程的方法包括代入法、消元法和配方法等。
5. 线性方程组：由多个线性方程组成的方程组称为线性方程组。
数学中的函数与方程数学是一门关于数字、形状、结构和变化的科学，它在我们日常生活中无处不在。
在数学的世界里，函数和方程是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨数学中的函数与方程，解释它们的定义、特性以及它们在实际问题中的应用。
一、函数函数是数学中一个基本的概念，它描述了两个集合之间的关系。
在数学中，通常用f(x)表示一个函数，其中x是输入值，f(x)是由输入值x决定的输出值。
函数可以有各种形式，比如线性函数、二次函数、指数函数等。
线性函数是最简单的一种函数，它的图像是一条直线。
二次函数的图像是一个抛物线，而指数函数的图像则是一个逐渐增长或逐渐衰减的曲线。
函数具有很多重要的特性。
首先，每个输入值x只对应一个输出值f(x)，这被称为函数的单值性。
其次，函数可以有定义域和值域。
定义域是x可能的取值范围，而值域是f(x)可能的取值范围。
函数还可以有一些特殊的性质，比如奇偶性、周期性等。
函数在实际生活中有广泛的应用。
例如，我们可以使用函数来描述物体的运动轨迹，分析经济学中的供需关系，计算复杂的统计数据等。
函数还可以帮助我们解决实际问题，比如在制定投资计划时，我们可以使用函数来模拟不同的投资策略的收益状况。
二、方程方程是数学中另一个重要的概念，它描述了一个等式中未知数的关系。
在数学中，通常使用字母表示未知数，比如x、y等。
方程的一般形式是：未知数 = 已知数。
方程可以是简单的一元方程，也可以是复杂的多元方程。
一元方程只含有一个未知数，比如2x + 3 = 7。
多元方程含有多个未知数，比如x + y = 5。
解方程是数学中一个重要的技巧，它帮助我们找到满足方程的未知数的值。
解方程可以使用代数方法，例如移项、合并同类项、消元法等。
解方程还可以使用图形方法，例如通过绘制方程的图像来找到解。
方程的应用非常广泛。
例如，我们可以使用方程来解决几何问题，如计算平面图形的面积、体积等。
方程还可以帮助我们解决实际问题，比如在物理学中，我们可以使用方程来描述物体的运动状态；在化学中，方程可以用来表示化学反应的平衡等。
第10讲函数与方程1．函数的零点[注意]函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数yA．2个B．3个C．4个D．5个解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数是方程x 12－⎝⎛⎭⎫12x＝0的解的个数，即方程x 12＝⎝⎛⎭⎫12x 的解的个数，也就是函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点个数．在同一个坐标系中作出两个函数的图象(图略)，可得交点个数为1.已知2是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋m ），x ≥2，2x ，x <2的一个零点，则f (f (4))的值是____________．解析：由题意知log 2(2＋m )＝0，所以m ＝－1，所以f (f (4))＝f (log 23)＝2log 23＝3. 答案：3已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1. 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断(师生共研)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)【解析】 因为f ′(x )＝1x ＋2x 2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.【答案】B判断函数零点所在区间的方法1．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]解析：选D.因为f (x )＝3x －x 2，所以f (－1)＝3－1－1＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0所以f (－1)·f (0)<0.2．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2) C．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2的图象交点的横坐标所在的区间．作图如下：所以函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．函数零点个数的判断(师生共研)(一题多解)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 法一(方程法)：由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二(图形法)：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点． 【答案】 B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －x －2，x ≥0，x 2＋2x ，x <0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x <0时，令f (x )＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝－2，或x ＝0(舍去)．所以当x <0时，只有一个零点；当x ≥0时，f (x )＝e x －x －2，而f ′(x )＝e x －1，显然f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝e 0－0－2＝－1<0，f (2)＝e 2－4>0，所以当x ≥0时，函数f (x )有且只有一个零点．综上，函数f (x )只有2个零点，故选C.函数零点的应用(师生共研)(1)(数形结合思想)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)(分离参数法)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.(2)因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点， 所以方程4x －2x －a ＝0在[－1，1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1，1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝(2x －12)2－14，因为x ∈[－1，1]，所以2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 所以⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 【答案】 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤－14，2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法1．(2019·四川绵阳模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C.2．(2019·福建漳州八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－14，0. 答案：⎝⎛⎦⎤－14，0直观想象——求解函数零点问题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.【答案】 B本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数．考查了直观想象这一核心素养．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)解析：选B.方程f (x )＝k 化为e |x |＝k －|x |， 设y 1＝e |x |，y 2＝k －|x |.y 2＝k －|x |表示斜率为1或－1的平行折线系， 折线与曲线y 1＝e |x |恰好有一个公共点时，k ＝1.如图，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.[基础题组练]1．(2019·福州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C.2．函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间可以是( ) A ．(0，1) B ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C.函数f (x )＝x 3－x 2－1是连续函数．因为f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (2)＝8－4－1＝3>0，所以f (1)f (2)<0，所以函数f (x )的零点所在的区间可以是(1，2)．故选C.3．(2019·辽宁大连模拟)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B.作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点，故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0)，故选D.5．(2019·河北石家庄模拟)若函数f (x )＝m ＋⎝⎛⎭⎫13x的零点是－2，则实数m ＝________． 解析：依题意有f (－2)＝m ＋⎝⎛⎭⎫13－2＝0，解得m ＝－9. 答案：－96．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos(3x ＋π6)在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：37．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．8．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a<0.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，所以无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·郑州市第一次质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A.画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1，故选A.2．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)，若当0<a <b 时，f (a )＝f (b )，则1a ＋1b 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12D.14解析：选B.因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），所以f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，则1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.3．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5.故k 的取值范围为[5，10)． 答案：[5，10)4．(应用型)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是____________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )知函数f (x )是以2为周期的周期函数，又f (x )为偶函数，故函数在[－2，3]上的图象如图所示．直线y ＝ax ＋2a 过定点(－2，0)，在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y ＝ax ＋2a 与函数y ＝f (x )的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a 满足不等式3a ＋2a >2，且a ＋2a <2，即25<a <23.答案：⎝⎛⎭⎫25，235．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f （x ）x－4ln x 的零点个数．解：(1)因为f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， 所以f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 所以f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)因为g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)，所以g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝（x －1）（x －3）x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0.又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g (x )在(0，＋∞)上只有1个零点．6．(创新型)已知函数f (x )＝－x 2－2x ， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54.。
高二数学函数与方程的关系及应用高二数学: 函数与方程的关系及应用在高二数学学习中，函数与方程是两个重要的概念。
函数是一种特殊的关系，而方程则是未知数的等式。
本文将探讨函数与方程之间的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、函数与方程的基本概念函数是一种特殊的关系，其包含输入值和输出值之间的映射关系。
数学上，我们通常用 f(x) 或 y 来表示函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。
函数可以用公式、图像或表格等形式来表示。
在函数中，每个输入值都对应唯一的输出值。
方程是一个等式，其中包含了一个或多个未知数。
方程是用来解决未知数的值的问题的。
数学中有各种各样的方程，包括一元一次方程、二次方程、指数方程等。
二、函数与方程的关系函数和方程之间存在着紧密的关联。
事实上，函数可以用来表示方程。
通常情况下，我们将函数表示为 f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量。
在方程中，我们也可以将等式表示为 f(x) = 0 的形式。
例如，考虑一元二次方程 f(x) = ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知常数。
这个方程是一个二次函数，其图像是抛物线。
方程的解即为使得方程成立的 x 值，在图像中，解对应了抛物线与 x 轴的交点。
三、函数与方程的应用函数与方程在实际问题中有广泛的应用。
它们可以帮助我们解决各种数学和实际问题。
1. 函数的图像分析：通过函数的图像，我们可以了解函数的性质，包括定义域、值域、增减性、奇偶性等。
我们可以利用这些性质来解答图像分析问题，例如求极值、交点等。
2. 方程的解析求解：方程可以用来解决各种未知数的值的问题。
通过解方程，我们可以求得未知数的具体值，例如求一元一次方程的解、二次方程的解等。
3. 函数的应用问题：函数可以帮助我们解决各种实际问题，包括数学建模、物理问题等。
例如，通过建立数学模型，我们可以利用函数来描述和分析实际问题，如弹射问题、物体运动问题等。
4. 方程的几何应用：方程可以与几何图形相结合，帮助我们解决几何问题。
函数与方程一、考点聚焦1．函数零点的概念对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点，注意以下几点：（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。
（2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。
（3）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。
2、函数零点的判断如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(<∙b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
但要注意：如果函数)(x f y =在],[b a 上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有.0)()(<∙b f a f3．函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数)(x f 的零点，就是方程0)(=x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是)(x f 的零点。
4．函数零点具有的性质注意：①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程0)(=x f 没有实数根，则函数)(x f 没有零点。
5、二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步副近零点，进而得到零点近似值的方法。
二、点击考点［考题1］若一次函数b ax x f +=)(有一个零点2，则二次函数ax bx x g -=2)(的零点是。
［考题2］求函数673+-=x x y 的零点。
［考题3］若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ）A ．)1(∞+B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．∅［考题4］无论m 取哪个实数值，函数)23(}23{2--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定［考题5］3．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 ［考点6］已知2>a ，且函数131)(23+-=ax x x f 在区间)2,0(上是减函数，则方程013123=+-ax x 在区间)2,0(上的实根个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3［考题7］函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)1,1(e和)4,3( D ．),(+∞e［考题8］已知)1)(1(+-=x x x y 的图象如图所示，因考虑01.0)1)(1()(++-=x x x x f ，则方程式0)(=x f （ ）A ．有三个实根B ．当1-<x 时，恰有一实根C ．当01<<-x 时，恰有一实根D ．当1>x 时，恰有一实根三、夯实双基1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）2．已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （ ） A ．有一个零点B ．有两个零点C ．有一个或两个零点D ．无零点 3函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．下列方程在区间)1,0(内存在实数解的是（ ） A ．012=-+x xB ．032=-+x xC ．012=-xD ．0212=+x x 5．若函数)(x f 的图象是连续不间断的，且0)4()2()1(,0)0(<∙∙>f f f f ，则下列命题正确的是（ ）A ．函数)(x f 在区间)1,0(内有零点B ．函数)(x f 在区间)2,1(内有零点C ．函数)(x f 在区间)2,0(内有零点D ．函数)(x f 在区间)4,0(内有零点6．函数1)(23+--=x x x x f 在]2,0[上（ ） A ．有三个零点 B ．有两个零点C ．有一个零点D ．没有零点7．已知方程x x -=-521，则该方程的解会落在区间（ ）内。
中考数学函数与方程的关系数学中的函数与方程是密切相关的概念，它们在中考数学中占据重要的地位。
函数是自变量与因变量之间的一种对应关系，而方程是含有未知数的等式。
它们之间的关系可从多个角度来探讨，本文将从图像、解析式和实际问题三个方面来介绍中考数学中函数与方程的关系。
一、图像与函数关系函数的图像可以用来表示函数的特征与性质，而方程则可以描述图像的形状与位置。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的单调性、最值、零点等重要信息。
而方程则可以用来确定函数的图像在平面直角坐标系中的位置。
例如，对于一元一次函数y=kx+b（其中k、b为常数），我们可以通过求解方程kx+b=0来确定它的零点，即函数与x轴的交点。
二、解析式与方程关系函数的解析式是用于计算函数值的一种数学表达式，而方程是等式中含有未知数的数学表达式。
函数与方程的关系在解析式的推导与解方程的过程中体现得尤为明显。
通过将函数的表达式与方程相等，我们可以求解方程从而获得函数在特定条件下的取值。
例如，对于一元二次函数y=ax^2+bx+c（其中a、b、c为常数），我们可以通过求解方程ax^2+bx+c=0来确定函数的零点，即函数与x轴的交点。
三、实际问题与函数方程关系函数与方程的关系在模拟与解决实际问题中具有广泛的应用。
许多实际问题可以转化为函数与方程之间的关系，从而通过求解方程得到问题的解答。
例如，在购买车票时，我们可以通过建立票价与购票数量之间的函数关系来求解购票总花费。
假设一张车票的票价为x元，购买的数量为y张，那么总花费C与购票数量y的关系可以用函数C=xy表示。
当给定购票数量y时，我们可以通过解方程C=xy来求解总花费C。
同样地，给定总花费C时，我们也能通过解方程C=xy来求解购票数量y。
综上所述，中考数学中的函数与方程是相辅相成、相互依存的。
函数的图像可以通过方程来确定，函数的解析式与方程之间建立了数学模型，函数与方程的关系也在解决实际问题中发挥重要作用。
数学函数与方程的关系数学函数与方程是数学中两个重要的概念，它们之间存在着紧密的联系与相互作用。
函数是描述一种特定关系的规则，方程则是描述等式关系的数学式子。
在数学中，函数可以通过方程进行定义，并且方程可以用函数来表示。
下面将从函数定义的角度出发，探讨函数与方程的关系。
一、函数的定义函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了自变量与因变量之间的一种特定关系。
数学函数通常用公式或者图像的形式进行表示。
其中，自变量是函数的输入值，而因变量是函数的输出值。
函数的定义包括定义域、值域和函数关系的规则。
二、方程的定义方程是一个等式，它描述了两个表达式之间的平衡关系。
方程中通常包含未知数，通过求解方程，可以得到未知数的值使得等式成立。
方程可以是一元方程，也可以是多元方程。
数学中的常见方程有线性方程、二次方程、三角方程等。
三、函数与方程的关系函数与方程之间存在着紧密的联系和相互作用。
一方面，函数可以用方程进行定义。
比如，对于一元函数y=f(x)，可以通过方程y=x^2来定义。
这个方程表示了输入x与输出y之间的平方关系。
另一方面，方程可以用函数来表示。
比如，对于二次方程y=ax^2+bx+c，可以将它视为一个关于x的函数，得到函数表达式y=f(x)=ax^2+bx+c。
通过这种方式，我们可以将方程转化为函数形式来进行研究和分析。
四、函数与方程的应用函数与方程是数学中非常重要的工具，它们在各个学科领域都有着广泛的应用。
在数学中，函数和方程是代数、几何、微积分等分支的重要基础。
在工程和物理学中，函数和方程被用来描述和解决各种实际问题。
在经济学和社会科学中，函数和方程可以用来建立模型和预测趋势。
通过函数与方程的研究和应用，我们可以解决现实世界中的各种问题，并且推动科学的发展进步。
总结：数学函数与方程之间存在着密切的联系和相互作用。
函数可以通过方程进行定义，并且方程也可以用函数来表示。
函数与方程在数学中有着广泛的应用，是数学研究和实际问题解决的重要工具。
高中数学中的函数与方程在高中数学学习过程中，函数与方程是重要的概念和工具。
它们在解决实际问题、建立数学模型以及推导数学知识的过程中起到关键作用。
本文将从函数与方程的定义、性质、应用以及解题方法等方面进行探讨和分析。
一、函数的定义与性质函数是数学中常见的一种关系，其定义为：对于集合A和B，如果对于集合A中的每一个元素a，存在唯一的元素b与之对应，则称b是a的函数值，记作b=f(a)，其中a称为自变量，b称为因变量。
函数可以用图像、表格或者公式来表示。
函数的性质包括可定义域、值域、单调性、奇偶性等。
可定义域指的是函数中自变量的取值范围，值域指的是函数中因变量的取值范围。
函数的单调性涉及到函数值随自变量的增减而变化的情况，包括增函数和减函数。
而函数的奇偶性则是指函数在自变量取相反数时，函数值是否相等。
二、方程的定义与性质方程是等式中含有未知数的数学陈述，它反映了两个或多个数、变量之间的关系。
方程可以是线性的，也可以是非线性的。
常见的方程包括一次方程、二次方程、三次方程等。
解方程即是寻找使得方程成立的未知数的取值。
方程的性质包括根、系数、次数等。
方程的根是使方程成立的未知数的取值，方程的根可以是一个或多个。
方程的系数则是指方程中各项的系数，不同的系数可能导致方程的性质不同。
方程的次数是指方程中最高次幂的指数，方程的次数越高，解题难度通常也会增加。
三、函数与方程的应用函数与方程在实际问题中有广泛的应用。
函数可以用来描述变化的关系，如物体的运动、人口的增长等。
方程则可以用来建立数学模型，解决实际问题。
例如，在经济学中，函数可以用来描述收入与消费之间的关系。
通过建立一个函数模型，可以根据收入来预测一个人的消费水平，从而做出合理的财务规划。
在物理学中，方程可以用来描述物体的运动。
通过建立运动方程，可以计算出物体的位移、速度和加速度等物理量，进而理解和解决与物理相关的问题。
四、函数与方程的解题方法解函数与方程的方法有多种，包括代入法、消元法、变量替换法、图像法等。
函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【例1】. 关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_____________解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*)作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根. (1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个； (2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根； (4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个答案：1234【例2】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值为_____________解答：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，a≥－52.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围.3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.【例3】 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为___________解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)【例4】已知实数,a b 分别满足553,1532323=+-=+-b b b a a a ，则a b +=_________解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,a b 有一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用 统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为()()()()331212,1212a a b b -+-=--+-=,根据这两个等式的特征,构造函数()32f x x x =+. 函数()f x 是一个奇函数,又是R 上的增函数,则有 ()()12,12,f a f b -=--= 于是, ()()()111,f a f b f b -=--=-因而得 11.2.a b a b -=-+=【例5】 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________ 解答： 圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)(32)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线0:=+by ax l 的距离应小于等于2，∴22|22|2a b a b ++≤，∴ 241a a b b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0， ∴ 2323a b ⎛⎫--≤≤-+ ⎪⎝⎭，a k b =-，∴ 2323k -≤≤+，直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【例6】如果实数,x y 满足等式()2223,x y -+=那么y x的最大值为___________解答：根据已知等式,画出以()2,0为圆心,以3为半径的圆,则yx的几何意义是圆上一点(),x y 与原点()0,0所连直线的斜率. 显然,yx的最大值是过原点()0,0与圆相切的直线OA 的斜率,由2,3OC CA ==可得3AOC π∠=.于是,y x 的最大值是tan 33π=【例7】设是方程0sin 1tan 12=-+θθx x 的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是___________解答：由题意，， 因此和都在直线上，∴原点到该直线的距离，∴过的直线与单位圆相切．【例8】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是__________解答：画出函数()x f 的图像,该图像关于对称,且()0≥x f ,令()t x f =,若0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,则方程02=++c bt t 有2个不同实数解,且为一正根,一零根. 因此, 充要条件是0<b 且0=c【例9】. 设函数)(x f ＝x 2－1，对任意x ∈),23(+∞，)(4)1()(4)(2m f x f x f m mxf +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0， 即(x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 因为x 2＞0，所以1－1m 2＋4m 2≥2x ＋3x 2，设g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 于是题目化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立的问题． 为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞的最大值．设u ＝1x ，则0＜u ≤23. 函数g(x)＝h(u)＝3u 2＋2u 在区间⎝⎛⎦⎤0，23上是增函数，因而在u ＝23处取得最大值． h ⎝⎛⎭⎫23＝3×49＋2×23＝83，所以1－1m 2＋4m 2≥g(x)max ＝83， 整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32， 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(解法2)(前面同解法1)原题化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立的问题．为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞的最大值． 设t ＝2x ＋3，则t ∈[6，＋∞)．g(x)＝h(t)＝4tt 2－6t ＋9＝4t ＋9t－6. 因为函数t ＋9t 在(3，＋∞)上是增函数，所以当t ＝6时，t ＋9t 取得最小值6＋32.从而h(t)有最大值46＋32－6＝83.所以1－1m 2＋4m 2≥g max (x)＝83，整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32， 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(解法3)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0，即 (x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0，令F(x)＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3.由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使F(x)≥0对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立，必须使F ⎝⎛⎭⎫32为最小值， 即实数m 应满足⎩⎨⎧1－1m2＋4m 2＞0，F ⎝⎛⎭⎫32≥0，解得m 2≥34，因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 【例10】．某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W 与全年总投入资金N 的大小关系是___________解答： 设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a ，每月的增加投入百分率为r．则每月的利润组成数列，每月投入资金组成数列， 如图，由两函数图象特点可知，有，可见，故W>N1. (2011·北京)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f 若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.3.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax 3＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．4.(2010·天津)设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解答：1. (0,1) 解析：f(x)＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，结合函数的图象可得f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．2. 10 解析：S 9＝S 4,9a 1＋9×82d ＝4a 1＋4×32d ，a 1＝1，d ＝－16；由1＋(k －1)⎝⎛⎭⎫－16＋1＋3×⎝⎛⎭⎫－16＝0，得k ＝10. 本题也可用数列性质解题，S 9＝S 47＝0.3. (－∞，0) 解析：由题意可知f ′(x)＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝＝－13x 3(x ＞∈(－∞，0)．4. (－∞，－1) 解析：因为对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx －1mx －mx＜0恒成立，显然m ≠0.所以当m ＜0时，有2m 2x 2－1－m 2＞0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，即2m 2×1－1－m 2＞0，解得m 2＞1，即m ＜－1；当m ＞0时，有2m 2x 2－1－m 2＜0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，m 无解，综上所述实数m 的取值范围是m ＜－1.解答题题型一 构造函数与方程思想【例1】 已知函数f(x)＝x|x 2－3|，x ∈[0，m]，其中m ∈R ，且m>0 (1) 若m<1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m 的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域是[0，λm 2]，试求实数λ的最小值．解答：(1) 证明：当m<1时，f(x)＝x(3－x 2)＝3x －x 3， 因为f ′(x)＝3－3x 2＝3(1－x 2)>0，所以f(x)是增函数， (2) 解：令g(x)＝x|x 2－3|，x ≥0，则g(x)＝⎩⎨⎧3x －x 3，0≤x ≤3，x 3－3x ，x> 3.当0≤x ≤3时，g ′(x)＝3－3x 2，由g ′(x)＝0得x ＝1，所以g(x)在[0,1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．当x>3时，g ′(x)＝3x 2－3>0，所以g(x)在[3，＋∞)上是增函数， 所以x ∈[0，3]时，g(x)max ＝g(1)＝2，g(x)min ＝g(0)＝g(3)＝0， 所以0<m<1不符合题意，1≤m ≤3符合题意． 当m>3时，在x ∈[0，3]时，f(x)∈[0,2]， 在x ∈[3，m]时，f(x)∈[0，f(m)]，这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2，即m 3－3m ≤2，(m －2)(m ＋1)2≤0，解得3<m ≤2. 综上，m 的取值范围是[1,2]．(3) 由(2)可知，0<m<1时，函数f(x)的最大值为f(m)＝3m －m 3， 当1≤m ≤2时，函数f(x)的最大值为f(1)＝2. 由题意知2＝λm 2，即λ＝2m 2，m ∈[1,2]时这是减函数，∴ λ∈⎣⎡⎦⎤12，2. 当m>2时，函数f(x)的最大值为f(m)＝m 3－3m ，由题意知m 3－3m ＝λm 2，即λ＝m －3m ，这是增函数，∴ λ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 综上，当m ＝2时，实数λ取最小值为12.变式训练已知函数g(x)＝xlnx ，设0＜a ＜b ，求证：0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.点拨：确定变量，构造函数证明不等式．证明：g(x)＝xlnx ，g ′(x)＝lnx ＋1.构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋x 2，则F ′(x)＝g ′(x)－2⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫a ＋x 2′＝lnx －ln a ＋x 2.当0＜x ＜a 时，F ′(x)＜0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；当x ＞a 时，F ′(x)＞0，因此F(x)在(a ，＋∞)上为增函数． 从而，当x ＝a 时，F(x)有极小值F(a)． 因为F(a)＝0，b ＞a ，所以F(b)＞0， 即0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.再构造函数G(x)＝F(x)－(x －a)ln2，则G ′(x)＝lnx －ln a ＋x2－ln2＝lnx －ln(a ＋x)．当x ＞0时，G ′(x)＜0.因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数． 因为G(a)＝0，b ＞a ，所以G(b)＜0， 即g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.综上得0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.【例2】已知二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f(x)＝g (x )x.(1) 若曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值 (2) k(k ∈R )如何取值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点． 解：(1) 设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x)＝2ax ＋b ；又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴ 2a ＝2，a ＝1.(1分) 又g(x)在x ＝－1取极小值，－b2＝－1，b ＝2，∴ g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ；(2分) f(x)＝g (x )x ＝x ＋mx＋2，设P(x 0，y 0)， 则|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，(4分) 当且仅当2x 02＝m 2x 02时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值 2.当m>0时，22m ＋2m ＝2，∴ m ＝2－1(6分) 当m<0时，－22m ＋2m ＝2，∴ m ＝－2－1(7分) (2) 由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋mx ＋2＝0，得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0. (*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m2；(8分)当k ≠1时，方程(*)有二解＝4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－1m，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；(10分)若m<0，k<1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点，x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；(12分)当k ≠1时，方程(*)有一解＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1m， 函数y ＝f(x)－kx 有一个零点，x ＝1k －1.(14分) 【例3】．对于定义域为D 的函数，若同时满足下列条件：①f(x)在D 内单调递增或单调递减；②存在区间使f(x)在上的值域为；那么把叫闭函数．（1）求闭函数符合条件②的区间；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的范围．分析：这是一个新定义型的题目，要能从题中所给信息，进行加工提炼，得出解题的条件．解：（1）由题意，上递减，则解得所以，所求的区间为[－1，1]．（2）当所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f(x)的值域为[a，b]，即，的两个实数根，即方程有两个不等的实根．设f(x)=x2－(2k＋1)x＋k2－2.法一：当时有解得．当有此时不等式组无解．综上所述，．法二：只需满足方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0有两大于或等于k的不等实根，即：点评：在解数学题的过程中，寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键，本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题．题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】．设a>b>c，且a＋b＋c=0，抛物线被x轴截得的弦长为l，求证：．证明：，且．从而．故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程必有两个不相等的实数根，由韦达定理得．．可见，是的二次函数．由及，得，解得．在上是减函数，，即．【例5】．已知函数f(x)=x2－(m＋1)x＋m(m∈R)．(1)若tanA，tanB是方程f(x)＋4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5；(2)对任意实数α，恒有f(2＋cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m．（1）证明：f(x)＋4=0即x2－(m＋1)x＋m＋4=0．依题意：又A、B锐角为三角形内两内角，∴＜A＋B＜π．∴tan(A＋B)＜0，即．∴∴m≥5．(2)证明：∵f(x)=(x－1)(x－m)，又－1≤cosα≤1，∴1≤2＋cosα≤3，恒有f(2＋cosα)≤0．=3，∴m≥x max=3．即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x－1)(x－m)≤0，∴m≥x但xmax(3)解：∵f(sinα)=sin2α－(m＋1)sinα＋m=，且≥2，∴当sinα=－1时，f(sinα)有最大值8．即1＋(m＋1)＋m=8，∴m=3．【例6】．直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．解：由消去y，得．（）因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程（）有两个不相等的负实数根．所以解得．设，则由三点共线，得出．设，则在上为减函数，，且．，或，，或．题型五函数与方程思想在立体几何中的应用【例7】．如图，已知面，于D，．（1）令，，试把表示为x的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使成立？解答：（1）∵面，于D，∴．∴．．∵为在面上的射影．∴，即．∴．即的最大值为，等号当且仅当时取得．（2）．令，解得：，与交集非空．∴满足条件的点Q存在．点评：本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求有一定的空间想象力，而且，做好问题的转化是解决此题的关键．。
初中数学知识归纳函数与方程的关系初中数学知识归纳：函数与方程的关系函数和方程是初中数学中重要的概念，它们之间存在着紧密的关系。
函数是一种特殊的方程，而方程则可以看作是函数的一种表达方式。
在解决数学问题时，函数和方程往往相互转化、相互配合，帮助我们更好地理解与应用数学知识。
本文将对初中数学中函数与方程的关系进行归纳和阐述。
1. 函数与方程的基本概念及表示方法函数是一个数到数的映射关系，表示为 y = f(x)，其中 x 和 y 是实数，f(x) 表示函数对 x 的运算结果。
方程是一个等式关系，通常表示为 y =g(x)，其中 g(x) 是一个表达式。
函数可以通过方程来表示，比如 y = x+ 2，可以看作是一个函数。
同样，方程也可以表示成函数的形式，比如 x + y = 4 可以看作是 y = 4 - x 的函数形式。
2. 函数与方程的关系函数和方程有着密切的联系。
首先，一个函数可以通过一个方程来表示。
在函数 y = f(x) 中，方程 y = g(x) 也可以表示相同的函数，只是用了不同的表达方式。
其次，一个方程可以通过画出函数图像的方式来解决。
例如，通过画出函数 y = x^2 的图像，我们可以找到方程 x^2 - 4 = 0 的解，即 x = ±2。
这说明函数和方程可以相互转化，互为表达方式，帮助我们更好地理解和解决数学问题。
3. 函数与方程在解决数学问题时的应用函数和方程在数学问题的解决中都发挥着重要作用。
函数可以帮助我们建立起数学模型，定量地描述问题中的规律和关系。
方程则可以帮助我们解决实际问题。
例如，在解决速度、时间和距离的问题时，可以通过建立函数方程来分析各个量之间的关系。
又如，在解决几何问题时，可以通过建立方程来求解未知量。
函数和方程相互配合，有助于我们系统地理解和解决各种数学问题。
综上所述，函数和方程是初中数学中非常重要的概念，它们之间存在着紧密的关系。
函数可以通过方程来表示，方程也可以表示成函数的形式。
函数与方程的应用与解决实际问题数学中的函数与方程是解决实际问题中常用的工具，它们在经济、物理、生物等各个领域中都发挥着重要的作用。
本文将以几个实际问题为例，介绍函数与方程在解决这些问题中的应用与方法。
一、名人效应问题在社交媒体的时代，我们经常听到某位名人加入某个平台后，该平台的用户数大幅增加。
我们可以利用函数来描述这个现象。
假设某个平台的用户数随时间变化的函数为y=f(x)，其中x表示时间，y表示用户数。
我们可以利用已知数据点，如某位名人加入该平台后的用户数变化，来建立函数的数学模型。
通过求解方程f(x)=y，我们可以预测未来某个时间点的用户数。
二、贷款问题在银行贷款中，我们通常需要计算每个月的还款额。
假设贷款总额为P元，贷款期限为n个月，年利率为r%，我们可以通过函数来描述每个月的还款额。
假设每月的还款额为y元，其中x表示还款的月数。
我们可以建立方程f(x)=P/n+y*(1+r/100/12)^x。
通过求解这个方程，我们可以计算出每个月的还款额。
三、溶解速度问题在化学实验中，溶解速度是一个重要的指标。
假设某种溶液的质量为m克，溶解时间为t分钟。
我们可以用函数来描述溶解速度。
假设溶解速度为v克/分钟，我们可以建立方程f(t)=m-v*t。
通过求解这个方程，我们可以计算出溶解完成所需的时间。
四、物体自由落体问题在物理实验中，研究物体自由落体是常见的课题。
假设物体下落的距离为y米，下落的时间为t秒。
我们可以用函数来描述物体的下落过程。
假设下落速度为v米/秒，我们可以建立方程f(t)=y-v*t。
通过求解这个方程，我们可以计算出物体自由落体所需的时间和下落的距离。
总结起来，函数与方程在解决实际问题中发挥着重要的作用。
通过建立函数的数学模型并求解方程，我们可以预测未来的趋势、计算出具体的数值，从而解决实际问题。
在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择合适的函数形式，并利用已知的数据点求解方程来获得实际解。
函数与方程的思想1、专题概述函数思想，就是通过建立函数关系式或构造函数，运用函数的概念和性质等知识去分析、转化和解决问题。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的特征，重在对问题的变量的动态研究。
方程的思想，就是分析变量间的等量关系，通过构造方程，从而建立方程〔组〕或方程与不等式的混合组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。
方程的思想与函数的思想是密切相关的，方程0)(=x f 的解，就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标，函数式)(x f y =也可以看作二元方程0)(=-x f y ；函数与不等式也可以相互转化，对于函数)(x f y =，当0＞y 时，就化为不等式0)(＞x f ，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性态，也离不开不等式。
这种函数与方程、不等式之间的关系表达了“联系和变化〞的辩证唯物主义观点，应注意函数思想与方程思想是相辅相成的。
利用函数思想方法解决问题，要求我们必须深刻理解掌握初等图像与性质，以及函数与反函数、最值或值域、图像的变换、函数图像的交点个数，这是必备的基础。
因此，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
运用函数思想解题具体表现在：〔1〕遇到变量，构造函数关系，利用函数沟通知识间的联系；〔2〕有关的不等式恒成立、方程根的个数及其一元二次方程根的分布、最值、值域之类的问题转化为函数问题；〔3〕含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，使问题得以解决；〔4〕等差、等比数列中，通项公式、前n 项和公式都可以看成关于自然数n 的函数，因此数列问题可以用函数思想解决；〔5〕解析几何中的直线与直线、直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过方程或方程组解决；〔6〕利用函数)()()(+∈+=N n b a x f n 用赋值法或比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题；〔7〕通过构造函数〔或建立函数关系〕，解决实际或应用问题。
函数与方程知识点随着数学的不断发展，函数与方程成为中学数学学习中重要的知识点之一。
在解决实际问题时，我们常常需要运用函数与方程知识点进行分析和计算。
本文将从函数和方程的定义、基本性质以及应用等方面进行探讨。
一、函数的定义与基本性质函数是数学中的基本概念之一。
简单来说，函数就是一种数值之间的对应关系。
数学家高斯曾经说过：“数学在本质上，是为了研究变化的。
”函数的定义就是反映这种变化规律的重要工具。
函数的定义通常用公式表示，形如：$y=f(x)$。
其中，$y$是函数的值，$x$是自变量，$f(x)$表示函数。
函数可以是一次函数、二次函数、指数函数等。
它们的表达式和图像形状各不相同，但都遵循函数的定义原则。
函数具有以下重要性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能的取值范围，值域是函数可能的输出值范围。
对于一次函数来说，定义域和值域往往是整个实数集；而对于指数函数来说，定义域通常是无穷大至零之间。
2. 奇偶性：函数的奇偶性用于描述函数在坐标系中的对称性。
若函数满足$f(-x)=-f(x)$，则称该函数为奇函数；若函数满足$f(-x)=f(x)$，则称该函数为偶函数。
3. 单调性：函数的单调性用于描述函数的增减规律。
若对于定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数为递增函数；若对于定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称函数为递减函数。
函数的单调性在研究函数的最值以及问题求解等方面具有重要的意义。
二、方程的定义与基本性质方程是数学中另一个重要的概念。
简单来说，方程就是具有等号的等式。
通过方程可以求解未知数的值，解方程是数学中的重要问题。
方程有多种形式。
常见的方程有一元一次方程、一元二次方程、直线方程等。
每种方程都有自己的解法和应用。
方程具有以下重要性质：1. 方程的解：解就是使得方程成立的未知数的值。
