练习(异方差)

问题：现有某地区人均可支配收入与人均生活费用支出资料：人均可支配收入人均生活费用支出3547 29402769 23222334 28981957 25601893 15851953 19771960 16584279 35202774 23113626 28592248 18492839 20481919 37772515 23021695 1847要求运用下列方法诊断和检验上述样本观察资料中是否存在异方差问题：（1）回归残差图法。

（2）Goldfeld—Quant检验法。

（3）Glejser检验法。

（4）White检验法。

（5）比较各种方法检验和诊断的结果。

(6)用加权最小二乘法估计家庭消费函数。

解答：（1）从图中看出，点在x为2000左右时残差突然很大，而随着x的增大残差逐渐减小，趋于平缓，所以可以推测该样本存在递减异方差。

（2）先排序，分成两组，奇数项，把中间一组数删去从而得到：x y x y1695 1847 2515 23021893 1585 2769 23221919 3777 2774 23111953 1977 2839 20481957 2560 3547 29401960 1658 3626 28592248 1849 4279 3520分别求出残差平方和观测值预测 Y 残差残差平方1 2230.696981 -383.697 147223.37292 2189.985608 -604.986 366007.58633 2184.639671 1592.36 2535611.4194 2177.648829 -200.649 40259.952555 2176.826377 383.1736 146822.02546 2176.209538 -518.21 268541.1253观测值预测 Y 残差残差平方1 2094.119622 207.8804 43214.251732 2289.179342 32.82066 1077.1956033 2293.0191 17.9809 323.31276114 2342.935958 -294.936 86987.219115 2886.645729 53.35427 2846.6782326 2947.31391 -88.3139 7799.34665RSS1和RSS2的值显然不同，所以存在异方差。

异方差与序列相关性练习一、异方差检验与修正（一）建立初始回归模型相关命令：data x yscat x yls y c x模型一：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/23/14 Time: 10:46Sample: 1 20Included observations: 20Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 272.3635 159.6773 1.705713 0.1053X 0.755125 0.023316 32.38690 0.0000R-squared 0.983129 Mean dependent var 5199.515Adjusted R-squared 0.982192 S.D. dependent var 1625.275S.E. of regression 216.8900 Akaike info criterion 13.69130Sum squared resid 846743.0 Schwarz criterion 13.79087Log likelihood -134.9130 F-statistic 1048.912Durbin-Watson stat 1.301684 Prob(F-statistic) 0.000000（二）异方差的四种检验方法及其分析右击resid选择Object Copy，输入e得到初始回归模型的残差序列；1. 图示法：scat x e^22. 模型检验法：ls e^2 c xDependent Variable: E^2Method: Least SquaresDate: 10/23/14 Time: 10:52Sample: 1 20Included observations: 20Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -65281.66 21544.58 -3.030073 0.0072X 16.49344 3.145895 5.242843 0.0001R-squared 0.604286 Mean dependent var 42337.15Adjusted R-squared 0.582302 S.D. dependent var 45279.67S.E. of regression 29264.05 Akaike info criterion 23.50075Sum squared resid 1.54E+10 Schwarz criterion 23.60032Log likelihood -233.0075 F-statistic 27.48740Durbin-Watson stat 1.029463 Prob(F-statistic) 0.0000553. GQ假设检验法首先，点击工具按钮proc选择sort current page，输入X，按升序排序；去掉中间约n/4个样本点，然后对前后两个子样本分别进行回归；子样本模型一：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/23/14 Time: 10:57Sample: 1 8Included observations: 8Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 1277.161 1540.604 0.829000 0.4388X 0.554126 0.311432 1.779287 0.1255R-squared 0.345397 Mean dependent var 4016.814Adjusted R-squared 0.236296 S.D. dependent var 166.1712S.E. of regression 145.2172 Akaike info criterion 13.00666Sum squared resid 126528.3 Schwarz criterion 13.02652Log likelihood -50.02663 F-statistic 3.165861Durbin-Watson stat 3.004532 Prob(F-statistic) 0.125501子样本模型二：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/23/14 Time: 10:57Sample: 13 20Included observations: 8Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 212.2118 530.8892 0.399729 0.7032X 0.761893 0.060348 12.62505 0.0000R-squared 0.963723 Mean dependent var 6760.477Adjusted R-squared 0.957676 S.D. dependent var 1556.814S.E. of regression 320.2790 Akaike info criterion 14.58858Sum squared resid 615472.0 Schwarz criterion 14.60844Log likelihood -56.35432 F-statistic 159.3919Durbin-Watson stat 1.722960 Prob(F-statistic) 0.000015根据得到的RSS1与RSS2，求得F检验统计量值。

异方差练习题在统计学中，方差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

如果我们要比较两组数据的方差是否相等，就需要进行异方差检验。

本文将介绍一些异方差检验的练习题，帮助读者巩固对于异方差的理解和应用。

题目一：某研究人员想要比较两种不同药物在治疗头痛方面的效果。

为此，他随机选取了两组患者，第一组患者接受药物A的治疗，第二组患者接受药物B的治疗。

研究人员在治疗结束后，记录了患者的头痛缓解时间（单位：分钟）如下：药物A: 40, 45, 50, 55, 60药物B: 20, 25, 30, 35, 40请用适当的统计方法检验这两组数据的方差是否相等，并给出相应的结论。

解答一：为了比较这两组数据的方差是否相等，我们可以使用F检验。

F检验的零假设是两组数据的方差相等。

首先，我们计算两组数据的方差。

对于药物A组的数据，方差为：方差A = ((40-50)^2 + (45-50)^2 + (50-50)^2 + (55-50)^2 + (60-50)^2) / (n-1) = 62.5对于药物B组的数据，方差为：方差B = ((20-30)^2 + (25-30)^2 + (30-30)^2 + (35-30)^2 + (40-30)^2) / (n-1) = 62.5其中n为每组的样本数，这里为5。

然后，我们计算F统计量：F = 方差A / 方差B = 62.5 / 62.5 = 1接下来，我们需要根据自由度来查找F分布表中的临界值。

在这个例子中，自由度为4和4（n-1），显著性水平选择为α = 0.05。

根据F分布表可以查到，当自由度为4和4，显著性水平为0.05时，临界值为2.866。

由于计算得到的F统计量（1）小于临界值（2.866），因此我们无法拒绝零假设，即两组数据的方差相等。

结论：根据F检验结果，我们无法拒绝两组数据的方差相等的零假设。

题目二：某市场调研公司想要研究某产品在不同年龄段消费者中的满意度是否存在差异。

异方差练习题参考解答练习题1.设消费函数为i i i i u X X Y +++=33221βββ式中，i Y 为消费支出；i X 2为个人可支配收入；i X 3为个人的流动资产；i u 为随机误差项，并且222)(,0)(i i i X u Var u E σ==（其中2σ为常数）。

试回答以下问题：(1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；(2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

2.由表中给出消费Y 与收入X 的数据，试根据所给数据资料完成以下问题： （1）估计回归模型u X Y ++=21ββ中的未知参数1β和2β，并写出样本回归模型的书写格式；（2）试用Goldfeld-Quandt 法和White 法检验模型的异方差性； （3）选用合适的方法修正异方差。

Y X Y X Y X 55 80 152 220 95 140 65 100 144 210 108 145 70 85 175 245 113 150 80 110 180 260 110 160 79 120 135 190 125 165 84 115 140 205 115 180 98 130 178 265 130 185 95 140 191 270 135 190 90 125 137 230 120 200 75 90 189 250 140 205 74 105 55 80 140 210 110 160 70 85 152 220 113 150 75 90 140 225 125 165 65 100 137 230 108 145 74 105 145 240 115 180 80 110 175 245 140 225 84 115 189 250 120 200 79 120 180 260 14524090125178265130185981301912703.表中的数据是美国1988研究与开发（R&D）支出费用（Y）与不同部门产品销售量（X）。

异⽅差性习题及答案异⽅差性⼀、单项选择1.Goldfeld-Quandt ⽅法⽤于检验（）A.异⽅差性B.⾃相关性C.随机解释变量D.多重共线性2.在异⽅差性情况下，常⽤的估计⽅法是（）A.⼀阶差分法B.⼴义差分法C.⼯具变量法D.加权最⼩⼆乘法3.White 检验⽅法主要⽤于检验（）A.异⽅差性B.⾃相关性C.随机解释变量D.多重共线性4.Glejser 检验⽅法主要⽤于检验（）A.异⽅差性B.⾃相关性C.随机解释变量D.多重共线性5.下列哪种⽅法不是检验异⽅差的⽅法（）A.⼽德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.⼽⾥瑟检验D.⽅差膨胀因⼦检验6.当存在异⽅差现象时，估计模型参数的适当⽅法是（）A.加权最⼩⼆乘法B.⼯具变量法C.⼴义差分法D.使⽤⾮样本先验信息7.加权最⼩⼆乘法克服异⽅差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从⽽提⾼估计精度，即（）A.重视⼤误差的作⽤，轻视⼩误差的作⽤B.重视⼩误差的作⽤，轻视⼤误差的作⽤C.重视⼩误差和⼤误差的作⽤D.轻视⼩误差和⼤误差的作⽤8.如果⼽⾥瑟检验表明，普通最⼩⼆乘估计结果的残差i e 与i x 有显著的形式i i i v x e +=28715.0的相关关系（i v满⾜线性模型的全部经典假设），则⽤加权最⼩⼆乘法估计模型参数时，权数应为（） A. i x B. 21i x C. i x 1 D. i x 19.如果⼽德菲尔特——匡特检验显著，则认为什么问题是严重的（）A.异⽅差问题B.序列相关问题C.多重共线性问题D.设定误差问题10.设回归模型为i i i u bx y +=，其中i i x u Var 2)(σ=，则b 的最有效估计量为（） A. ∑∑=2?x xy b B. 2 2)(?∑∑∑∑∑--=x x n y x xy n b C. x y b =? D. ∑=x y n b 1?⼆、多项选择1.下列计量经济分析中那些很可能存在异⽅差问题（）A.⽤横截⾯数据建⽴家庭消费⽀出对家庭收⼊⽔平的回归模型B.⽤横截⾯数据建⽴产出对劳动和资本的回归模型C.以凯恩斯的有效需求理论为基础构造宏观计量经济模型D.以国民经济核算帐户为基础构造宏观计量经济模型E.以30年的时序数据建⽴某种商品的市场供需模型2.在异⽅差条件下普通最⼩⼆乘法具有如下性质（）A 、线性B 、⽆偏性C 、最⼩⽅差性D 、精确性E 、有效性3.异⽅差性将导致A 、普通最⼩⼆乘法估计量有偏和⾮⼀致B 、普通最⼩⼆乘法估计量⾮有效C 、普通最⼩⼆乘法估计量的⽅差的估计量有偏D 、建⽴在普通最⼩⼆乘法估计基础上的假设检验失效E 、建⽴在普通最⼩⼆乘法估计基础上的预测区间变宽4.下列哪些⽅法可⽤于异⽅差性的检验（）A 、DW 检验B 、⽅差膨胀因⼦检验法C 、判定系数增量贡献法D 、样本分段⽐较法E 、残差回归检验法5.当模型存在异⽅差现象进，加权最⼩⼆乘估计量具备（）A 、线性B 、⽆偏性C 、有效性D 、⼀致性E 、精确性6.下列说法正确的有（）A 、当异⽅差出现时，最⼩⼆乘估计是有偏的和不具有最⼩⽅差特性B 、当异⽅差出现时，常⽤的t 和F 检验失效C 、异⽅差情况下，通常的OLS 估计⼀定⾼估了估计量的标准差D 、如果OLS 回归的残差表现出系统性，则说明数据中不存在异⽅差性E 、如果回归模型中遗漏⼀个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势三、名词解释1.异⽅差性2.格德菲尔特-匡特检验3.怀特检验4.⼽⾥瑟检验和帕克检验四、简答题1.什么是异⽅差性？试举例说明经济现象中的异⽅差性。

第五章练习题参考解答练习题5.3 由表中给出消费Y 与收入X 的数据，试根据所给数据资料完成以下问题： （1）估计回归模型u X Y ++=21ββ中的未知参数1β和2β，并写出样本回归模型的书写格式；（2）试用Goldfeld-Quandt 法和White 法检验模型的异方差性； （3）选用合适的方法修正异方差。

Y X Y X Y X 55 80 152 220 95 140 65 100 144 210 108 145 70 85 175 245 113 150 80 110 180 260 110 160 79 120 135 190 125 165 84 115 140 205 115 180 98 130 178 265 130 185 95 140 191 270 135 190 90 125 137 230 120 200 75 90 189 250 140 205 74 105 55 80 140 210 110 160 70 85 152 220 113 150 75 90 140 225 125 165 65 100 137 230 108 145 74 105 145 240 115 180 80 110 175 245 140 225 84 115 189 250 120 200 79 120 180 260 145 240 90 125 178 265 130185981301912705.5 表中的数据是美国1988研究与开发（R&D ）支出费用（Y ）与不同部门产品销售量（X ）。

试根据资料建立一个回归模型，运用Glejser 方法和White 方法检验异方差，由此决定异方差的表现形式并选用适当方法加以修正。

单位：百万美元工业群体销售量X R&D 费用Y利润Z 1.容器与包装 6375.3 62.5 185.1 2.非银行业金融 11626.4 92.9 1569.5 3.服务行业 14655.1 178.3 276.8 4.金属与采矿 21869.2 258.4 2828.1 5.住房与建筑 26408.3 494.7 225.9 6.一般制造业 32405.6 1083 3751.9 7.休闲娱乐 35107.7 1620.6 2884.1 8.纸张与林木产品 40295.4 421.7 4645.7 9.食品 70761.6 509.2 5036.4 10.卫生保健 80552.8 6620.1 13869.9 11.宇航 95294 3918.6 4487.8 12.消费者用品 101314.3 1595.3 10278.9 13.电器与电子产品 116141.3 6107.5 8787.3 14.化工产品 122315.7 4454.1 16438.8 15.五金141649.9 3163.9 9761.4 16.办公设备与电算机 175025.8 13210.7 19774.5 17.燃料 230614.5 1703.8 22626.6 18.汽车2935439528.218415.4练习题参考解答练习题5.3参考解答（1）该模型样本回归估计式的书写形式为2ˆ9.34750.6371(2.5691)(32.0088)0.9464,..9.0323,1023.56i iY X R s e F =+===（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。

1、考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年美国数据）（括号中给出的是标准差）：t t t D GNP C 4398.0624.019.26-+= e s ：（2.73）（0.0060） （0.0736） R ²=0.999tt t GNP D GNP GNP C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4315.06246.0192.25 e s ： （2.22） （0.0068）（0.0597） R ²=0.875式中，C 为总私人消费支出；GNP 为国民生产总值；D 为国防支出；t 为时间。

研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。

（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？（3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。

（4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？（5）能否将两个回归方程中的R²加以比较？为什么？2、根据某城市1978-1998年人均储蓄(Y)与人均收入(X)的数据资料建立了如下回归模型：se=（340.0103）（0.0622）20.9748,..1065.425,0.2934,733.6066R S E DW F ====下面取时间段1978-1985和1991-1998，分别建立两个模型（括号内为t 值），模型1：xy 6843.1521.2187ˆ+-=221ˆ145.44150.3971(8.7302)(25.4269)0.9908,1372.202yx R e =-+-==∑模型2： 222ˆ4602.365 1.9525( 5.0660)(18.4094)0.9826,5811189yx R e =-+-==∑请你继续完成上述工作，并回答所做的是一项什么工作，其结论是什么？3、中国农村居民家庭对数的人均食品支出（Lnfood ）与生活支出（Lnlive ）数据（1978-1998）散点图、一元线性回归结果如下所示。

异方差习题(共5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--异 方 差习 题一、单项选择题1． 回归模型中具有异方差性时，仍用OLS 估计模型，则以下说法正确的是（ ）A. 参数估计值是无偏非有效的B. 参数估计量仍具有最小方差性C. 常用F 检验失效D. 参数估计量是有偏的 2．更容易产生异方差的数据为 ( )A. 时序数据B. 修匀数据C. 横截面数据D. 年度数据3．在具体运用加权最小二乘法时, 如果变换的结果是 011yx ux x x x ββ=++ 则Var(u)是下列形式中的哪一种( )A.2x σB. 22x σC. σD. 2log x σ4. 在异方差性情况下，常用的估计方法是（ ）A ．一阶差分法 B. 广义差分法 C ．工具变量法 D. 加权最小二乘法5. 在异方差的情况下，参数估计值的方差不能正确估计的原因是（ ）A. 22()i E u σ≠ B. ()0()i j E u u i j ≠≠C. ()0i i E x u ≠D. ()0i E u ≠6. 设)()(,2221i i i i i i x f u Var u x y σσββ==++=，则对原模型变换的正确形式为( )01212222212...()()()().()()()()i i i i i i i i i i i i i i i i i A y x u B y x u C f x f x f x f x D y f x f x x f x u f x βββββββ=++==++=++7. 下列说法不正确的是（ ）A.异方差是一种随机误差现象B.异方差产生的原因有设定误差C.检验异方差的方法有F 检验法D.修正异方差的方法有加权最小二乘法8. 如果回归模型违背了同方差假定，最小二乘估计是（ ）A ．无偏的，非有效的 B. 有偏的，非有效的 C ．无偏的，有效的 D. 有偏的，有效的 9. 在检验异方差的方法中，不正确的是（ ）A. Goldfeld-Quandt 方法B. ARCH 检验法C. White 检验法D. DW 检验法10. 在异方差的情况下，参数估计值仍是无偏的，其原因是（ ）A.零均值假定成立B.序列无自相关假定成立C.无多重共线性假定成立D.解释变量与随机误差项不相关假定成立 11. 在修正异方差的方法中，不正确的是（ ）A.加权最小二乘法B.对原模型变换的方法C.对模型的对数变换法D.两阶段最小二乘法 12. 下列说法正确的是（ ）A.异方差是样本现象B.异方差的变化与解释变量的变化有关C.异方差是总体现象D.时间序列更易产生异方差二、多项选择题1． 如果模型中存在异方差现象，则会引起如下后果（ ）A. 参数估计值有偏B. 参数估计值的方差不能正确确定C. 变量的显著性检验失效D. 预测精度降低E. 参数估计值仍是无偏的2． Goldfeld-Quandt 检验法的应用条件是（ ）A. 将观测值按解释变量的大小顺序排列B. 样本容量尽可能大C. 随机误差项服从正态分布D. 将排列在中间的约1/4的观测值删除掉 E ．除了异方差外，其它假定条件均满足三、计算题1．根据某城市1978——1998年人均储蓄(y)与人均收入(x)的数据资料建立了如下回归模型x y 6843.1521.2187ˆ+-=se=（）（）20.9748,..1065.425,0.2934,733.6066R S E DW F ====下面取时间段1978——1985和1991——1998，分别建立两个模型（括号内为t 值），221ˆ145.44150.3971(8.7302)(25.4269)0.9908,1372.202yx R e=-+-==∑模型2：222ˆ4602.365 1.9525( 5.0660)(18.4094)0.9826,5811189yx R e=-+-==∑计算F 统计量，即222158111891372.2024234.9370F e e===∑∑，对给定的05.0=α，查F 分布表，得临界值28.4)6,6(05.0=F 。

第五章异方差性习题与答案1、产生异方差的后果是什么？2、下列哪种情况是异方差性造成的结果？(1)OLS估计量是有偏的(2)通常的t检验不再服从t分布。

(3)OLS估计量不再具有最佳线性无偏性。

3、已知模型：乙=0o+0]X”+02X2i+"i式中，乙为某公司在第i个地区的销售额；X“为该地区的总收入；X2,为该公司在该地区投入的广告费用(£=0,1,2……，50)。

(1)由于不同地区人口规模乙可能影响着该公司在该地区的销售，因此有理由怀疑随机误差项g是异方差的。

假设b,依赖于总体£•的容量，逐步描述你如何对此进行检验。

需说明：A、零假设和备择假设；B、要进行的回归；C、要计算的检验统计值及它的分布(包括自由度)；D、接受或拒绝零假设的标准。

(2)假设q =陋-逐步描述如何求得BLUE并给出理论依据。

4、下表数据给出按学位和年龄划分的经济学家的中位数工薪：表1经济学家的工资表中位数工薪(以千美元计算)年龄硕士博士25-29&08.830-349.29.635-3911.011.040-4412.812.545-4914.213.650-5414.714.355-5914.515.060—6413.515.065-6912.015.0(1)有硕士学位和有博士学位经济学家的中位数工薪的方差相等么？(2)如果相等，你会怎样检验两组平均中位数工薪相等的假设？(3)在年龄35至5岁之间的经济学家，有硕士学位的比有博士学位的赚更多的钱，那么你会怎样解释这一发现？5、为了解美国工作妇女是否受到歧视，可以用美国统计局的“当前人口调查” 中的截面数据，研究男女工资有没有差别。

这项多元回归分析研究所用到的变量有：W—雇员的工资率(美元/小时)1表示雇员为女性，0表示女性意外的雇员。

ED：受教育的年数。

AGE：年龄对124名雇员的样本进行的研究得到回归结果为：（括号内为估计的t值）W = -6.41 -2.76sex + 0.99ED + 0.12AGE R2 -0.867 E = 23.2求：（1）该模型调整后的决定系数艮2 （2）各估计值的标准差为多少？（3）检验美国工作妇女是否受到歧视，为什么？（4）按此模型预测一个30岁受教育16年的美国男性的平均每小时的工作收入为多少美元？6、下表给出了2000年中国部分省市城镇居民每个家庭平均全年可支配收入X 与消费支出Y的统计数据。