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数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。
其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。
由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。
下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。
有种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。
变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。
第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =L ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈L ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
关于M个球分到N个盒子的分析前几天有考生问过其中几个，楚老师总结了一下，这类题型总共有八类，太简单的例子很多考生说不具有代表性，所以我们拿出一个相对复杂的情况M=50、N=3来逐一分析。
我们先从简单的进行分析：①50个不同的球分到3个不同的盒子，有多少种方法？楚香凝解析：这时候是不同元素分到不同盒子里，相当于每个球都有3种选择，则总情况数=350种；②50个相同的球分到3个不同的盒子，有多少种方法？楚香凝解析：插板法的三个条件：相同元素分到不同盒子、每个盒子至少一个这时候满足了前两个条件，我们可以这样想，先从3个盒子中各借一个球，总共变成了53个球，因为借了需要还回去，所以最后每个盒子至少要有一个球，这样就转化为----------53个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，有多少种方法？利用插板法，C（52 2）=1326种。
③50个相同的球分到3个相同的盒子，有多少种方法？楚香凝解析：解法一：为了防止重复，我们分组时统一按照增序进行计数，这样就不会出现类似于1、2、47和2、1、47这样的重复情况。
第一个盒子为0个球，此时另外两个盒子共有50个球，组合方式有0+50、1+49…25+25，所以共26种；第一个盒子为1个球，此时另外两个盒子共有49个球，组合方式有1+48、2+47…24+25，所以共24种；第一个盒子为2个球，此时另外两个盒子共有48个球，组合方式有2+46、3+45…24+24，所以共23种；第一个盒子为3个球，此时另外两个盒子共有47个球，组合方式有3+44、4+43…23+24，所以共21种；第一个盒子为4个球，此时另外两个盒子共有46个球，组合方式有4+43、5+42…23+23，所以共20种；···至此我们可以看到，当第一个盒子为奇数时，情况数分别为24、21、18…呈等差数列；当第一个盒子为偶数时，情况数分别为26、23、20…也呈等差数列；我们来观察最后几种情况，第一个盒子里为15个球，此时另外两个盒子共有35个球，组合方式有15+20、16+19、17+18三种；第一个盒子里为16个球，此时另外两个盒子共有34个球，组合方式有16+18、17+17两种；第一个盒子里为17个球，此时另外两个盒子共有33个球，组合方式有17+16，不符合增序，所以到此为止。
排列组合公式在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要计算可能性数量的情况。
比如，从一堆物品中挑选出几个，或者安排人员的座位顺序等等。
而解决这些问题，就离不开排列组合公式。
首先，我们来了解一下什么是排列。
排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
举个例子，假如有 5个不同的字母 A、B、C、D、E，从中选取 3 个进行排列，那么就有5×4×3 ＝ 60 种不同的排列方式。
排列的公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！这里的“n”表示元素的总数，“m”表示选取的元素个数。
“！”表示阶乘，例如5! ＝5×4×3×2×1。
接下来，我们再看看组合。
组合则是指从给定的元素集合中，不考虑顺序地选取若干个元素。
还是用上面 5 个字母的例子，如果从中选取 3 个字母组成一组，不考虑它们的排列顺序，那么组合的数量就会比排列少。
因为像 ABC、ACB、BAC 等，在组合中都被视为同一种情况。
组合的公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m!×（n m)！为了更好地理解排列组合公式，我们来看几个实际的例子。
假设一个班级有 10 名学生，要选出 3 名学生参加比赛。
这里用组合公式 C(10, 3) ＝ 10! ／（3!×7!）＝ 120 ，即有 120 种不同的选法。
如果这3 名学生有不同的比赛项目，并且需要考虑他们参赛的顺序，那么就要用排列公式 A(10, 3) ＝ 10! ／ 7! ＝ 720 ，就有 720 种不同的安排方式。
再比如，从一副扑克牌（除去大小王，共 52 张）中抽取 5 张牌，计算有多少种不同的组合。
这里就是 C(52, 5) ＝ 52! ／（5!×47!），通过计算可以得出具体的组合数量。
排列组合公式在很多领域都有着广泛的应用。
在概率论中，计算随机事件发生的可能性；在密码学中，用于生成复杂的密码组合；在数学竞赛中，解决各种计数问题；在计算机科学中，优化算法和数据结构。
解题思想方法《中学生数理化》(高中版)/2004·12 在上述同学们提出的疑问中,分子C 818表示将18个人分成两组,其中一组8人,另一组10人,属于“分成甲、乙两组”的类型,具有指向性;而C 1020表示将20个人平均分成两组,不具有指向性.(责任编辑 朱 宁)隔板法在排列组合中的应用技巧■湖北 张红兵在排列组合中,对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题,常用隔板法.例1 求方程x +y +z =10的正整数解的个数.将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值(如下图).则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系,故解的个数为C 29=36(个).实际运用隔板法解题时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧.下面举例说明.技巧一:添加球数用隔板法.例2 求方程x +y +z =10的非负整数解的个数.注意到x 、y 、z 可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了,怎么办呢?只要添加三个球,给x 、y 、z 各一个球.这样原问题就转化为求x +y +z =13的正整数解的个数了,故解的个数为C 212=66(个).本例通过添加球数,将问题转化为如例1中的典型隔板法问题.技巧二:减少球数用隔板法.例3 将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数.解法1:先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球,剩下14个球,有1种方法;再把剩下的球分成4组,每组至少1个,由例1知方法有C 313=286(种).解法2:第一步先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放1,2,3,4个球,剩下10个球,有1种方法;第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里,由例2知方法有C 313=286(种).31解题思想方法 《中学生数理化》(高中版)/2004·12两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题.技巧三:先后插入用隔板法.例4 为宣传党的十六大会议精神,一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种?记两个小品节目分别为A 、B.先排A 节目.根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数,相当于把4个球分成两堆,由例2知有C 15种方法.这一步完成后就有5个节目了.再考虑需加入的B 节目前后的节目数,同理知有C 16种方法.故由分步计数原理知,方法共有C 15·C 16=30(种). 对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法,使问题得到巧妙解决.(责任编辑 朱 宁)文学艺术作品创作大奖赛征稿启事为繁荣文艺创作,培养新秀,贵州人民出版社《少年人生》杂志社在创刊15周年之际,特聘一批创作小记者,给予定点关注指导。
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
“隔板法”详解理解隔板法隔板法就是在n个元素间的（n-1）个空插⼊k-1个板⼦，把n个元素分成k组的⽅法。
应⽤隔板法必须满⾜的3个条件：n个元素是相同的k个组是互异的每组⾄少分得⼀个元素公式将n个相同的求放到m个不同的盒⼦⾥的个数为：C m−1n−1=C29例如，把10个相同的球放⼊3个不同的箱⼦，每个箱⼦⾄少⼀个，问有⼏种情况？ C m−1n−1隔板法应⽤普通隔板法例1.求⽅程x+y+z=10的正整数解的个数。
分析：将10个求排成⼀排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插⼊这些空隙中（每空⾄多插⼀块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z的值，则隔板法与解的个数之间建⽴了⼀⼀对应关系，故解的个数为C(n-1, m-1) = C(9, 2) = 36.添元素隔板法例2. 求⽅程 x+y+z=10的⾮负整数解的个数。
分析：注意到x、y、z可以为零，故例1解法中的限定“每空⾄多插⼀块隔板”就不成⽴了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各添加⼀个球，这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，则问题就等价于把13个相同⼩球放⼊3个不同箱⼦，每个箱⼦⾄少⼀个，有⼏种情况？易得解的个数为C（n+m-1,m-1）=C（12，2）=66（个）。
例3.把10个相同的⼩球放到3个不同的箱⼦，第⼀个箱⼦⾄少1个，第⼆个箱⼦⾄少3个，第3个箱⼦可以为空，有⼏种情况？我们可以在第⼆个箱⼦先放⼊10个⼩球中的2个，⼩球剩8个放3个箱⼦，然后在第三个箱⼦放⼊8个⼩球之外的1个⼩球（即补充了⼀个球），则问题转化为把9个相同⼩球放3不同箱⼦，每箱⾄少1个，⼏种⽅法？C(8,2）=28（减元素隔板法）例4. 将20个相同的⼩球放⼊编号分别为1，2，3，4的四个盒⼦中，要求每个盒⼦中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
分析：先在编号1，2，3，4的四个盒⼦内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，再把剩下的球分成4组，每组⾄少1个，由例1知⽅法有C（13，3）=286（种）。
球与盒子的组合问题1.n个相同的球装进m个不同的盒子,共多少种不同方法显然，这是个排列组合里的隔板问题如果要求每个盒子至少有一个球，则答案为C(m-1,n-1)如果允许有盒子可空出来不装球，则答案为C(m-1,n+m-1)这个问题可以引入一个比较经典的例子，就是对于方程x1+x2+…+xn=a 的正整数解（或非负整数解）的解的个数，（a为正整数）2.n个不同的球装进m个相同的盒子,共多少种不同方法这个问题的一般形式：把n个不同元素划分成m个子集是的，这就是第二类Stirling数,用递推的方法S[n,m]=S[n-1,m-1]+m*S[n-1,m]如果要求每个盒子至少有一个球，那么 answer=S[n,m]如果允许有盒子可空出来不装球，那么answer=S[n,1]+S[n,2]+…+S[n,m]3.n个不同的球装进m个不同的盒子，共多少种不同的方法如果要求每个盒子至少有一个球，对于这个问题直接用上面问题的answer*m!即可如果允许有盒子可空出来不装球，留作思考吧~ 呵呵4.n个相同的球装进m个相同的盒子，共多少种不同的方法这是个经典的DP问题，先来讨论要求每个盒子至少有一个球的情况相当于把一个整数划n分成m个数，这m个数以升序排列S[n,m,min]表示n分成m部分且最小的那部分min的方案数那么S[n,m,min]=Sigma(S[n-min,m-1,i]) for i=min to(n-min)/(m-1)对于这个三维的状态，我们可以把它优化到二维不要考虑min，假设最小的那个数是1，这样的话如果想把它加大，这样的方案数和这种情况等价：这个1不变而是把后面所有数减小1，这样就能表示所有情况了比如12分成3部分，显然 3 4 5 和 1 2 3 等价， 2 5 5 和 1 4 4 等价。
所以就变成二维状态S[n,m]=S[n-1,m-1]+S[n-m,m]，其中S[n,m]表示n分成m个部分，最小部分至少唯一，它等于最小部分为一（S[n-1,m-1]）的加上最小部分至少为二的（S[n-m,m]）据说，这道题还可以优化到一维，不过这要用到组合数学里的母函数知识，这里就不介绍了，思考思考吧~对于允许有盒子可空出来不装球的情况，也思考思考吧~呵呵元素分组又分为相同元素分组和不相同元素分组这两类问题。
对于相同元素分组来说，如果是相同元素分到相同的组里，问题就变的没有意义，公考中也不会涉及到。
那么对于相同元素分到不同的组里，一般我们就用插板法来解决。
【基本题型】有n个相同的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法？【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n 个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
【基本题型例题】【例1】共有10完全相同的球分到7个班里，要求每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析一：我们首先用常规方法。
若想将10个球分到7个班里，球的分法共三类：第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。
这样，第一步，我们从7个班中选出3个班，每个班分2个球；第二步，从剩下的4个班中选4个班，每班分1球。
其分法种数为：C （7，3）*C（4，4）=35注明：由于排版的关系，我用C（n，m）和A（n，m）代替原来的组合与排列公式。
第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。
其分法种数：C（7，1）* C（6，1）* C（5，5）=42第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。
其分法种数：C（7，1）* C（6，6）=7所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：35+42+7=87（种）。
解析二：从上面的解题过程可以看出，用常规方法解这类题，需要分类计算，计算过程繁琐。
并且如果元素个数较多的话处理起来就变得十分的困难了。
因此我们需要寻求一种新的方法解决问题，也就是——插板法。
我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。
由上述分析可知，原问题就可以转化成：在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组）的问题，这是一个很简单的组合问题，其方法种数为：C（9，6）=84【基本题型总结】对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C（n-1，m-1）种不同方法。
【注意】这种插板法解决相同元素分到不同组的问题非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：（1）所有要分的元素须完全相同；（2）所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；（3）参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
【基本题型的变形（一）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。
对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。
【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35 B．28 C．21 D．45解析：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用“插板法”，而忽略了题中并没有说每个盒子至少要分到一个球，也就是可以出现空盒子。
原题并不符合“插板法”的条件不过，此题只要我们多一个小变化，就可以将其转化为用“插板法”解题的类型了。
我们可以人为地在每个盒子增加一个球，原有8个相同的球放到三个不同的盒子里这样这个问题就变成了，11个相同的球放到3个不同盒子里面。
要求每个盒子里最少有一个的问题了。
这样，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。
总结：对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C （n+m-1，m-1）种不同方法。
【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值s（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。
对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。
这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。
【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？解析：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求)，再把9个球放入3个盒内即可,也就对应着将12个球分成3组里，并且每组不能为空的问题，这样利用插板法，就有：C（11，2）=55（种）【总结】对于要求分到各组的个数至少为某个一个确定值(大于1)的题，我们就先每组中人为填上等于确定值的那么多的球数，这样满足其最起码的条件，然后我们再分剩下的球，就可以利用我们前面提到的“插板法”第一种变形题的解法来解决了。
看似很简单的问题其实非常复杂，球是否相同，箱是否相同？是否允许有空盒不难看出一共8类情况1）球同，盒同，无空箱2）球同，盒同，允许空箱3）球同，盒不同，无空箱4)球同，盒不同，允许空箱5)球不同，盒相同，无空箱6）球不同，盒相同，允许空箱7)球不同，盒不同，无空箱6）球不同，盒不同，允许空箱-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------先来看3,4.这个就是最典型的公考中经常遇见的插板法（关于插板法的解释我懒的说了，自己搜，论坛百度都容易找的到）只是需要注意是否允许空箱3的公式是把n个球排成一排，（一种方法），它们中间有n-1个空。
取m-1个小棍，放到空上，就把它们分成m部分，由于小棍不相邻，所以没有空箱子。
它的方法数有C(N-1,M-1),也就是球减1里面挑M-1个箱子做组合4的公式在3的基础上升华出来的，为了避免空箱子，先在每一个箱子假装都放一个球，这样就有n+m个球，C（n+m-1,m-1)，多了M个元素而已------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------关于1,2类情况，本来我想教大家一个特殊三角形的，但画起来比较麻烦，速度还不如穷举快，所以就略了，愿意学的我还是可以教他，不会真的还不如穷举来的快。
个人建议还是用最常见的凑数法，而且公考中不会出现球和盒子数字比较大的情况。
法，例如7个相同球放入4个相同盒子，每盒至少一个（1号情况），则先4个盒子每个放1个，多余3个。
只需要考虑这3个球的去处就OK,由于盒子相同，所以只需要凑数就OK,不必考虑位置。
比如300，211，111只有三种例如7个相同球放入4个相同盒子，可以空盒，则还是凑数，大的化小的，小的化更小的。
0，0，0，70，0，1，60，0，2，50，0，3，40，1，1，50，1，2，40，1，3，30，2，2，31，1，1，41，1，2，31，2，2，211种1，2，3，4公考常见类型，必须学会！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1234都是球相同的情况。
