相对论第二讲：相对论动力学的基本方程

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17-(4)相对论的动力学方程

4 2
2
E 或：
c
4 2
P
2
E E0 (Pc )
2
2
2
E
23
E E0 ( P c)
2 2
2
◆极端相对论近似
光子整理： m 0 0 , v c
E E 0 , E pc
p E c mc
E
E0 m0c
E E0
2 4 0 2
2 2
pc
2
光的波粒二象性
2 2
上式各项都具有能量的量纲，爱因斯坦充分注意到了这一点，他预言有质量的地方必有能量。并定义：总能量
E mc
2
m0 c
2
1 (v / c )
2
静止能量动能
E 0 m0 c
2
2
E k mc m0 c
2
17
凡质量都有要受到引力的作用，有些物质如光子，其静质量为零，但具有动能，也就具有动质量，同样受到引力的作用，天文观察证明了这一点。如图从星星A发出的星光本应沿直线传播，但受太阳的引力作用而发生偏转。

i
pi

i
m i0vi 1
2
不变
9
二相对论动力学方程
相对论中仍然保持了牛顿定律的原来框架。
dv dm d ( mv ) m v F dt dt dt
其中
m
m0 v 1 c
2
v 为质点的速度
注意： m=m0=const
(1) v<<C时，
27
kg
E mc 3.043 10
2
29

相对论知识：相对论中的描述质点运动的动力学公式

相对论知识：相对论中的描述质点运动的动力学公式相对论的动力学公式相对论是描述运动的理论，它改变了我们对运动的看法。

相对论的开创者爱因斯坦在他的论文中提出：所有物体的运动都应该相对于其他物体来描述。

这个观点是基于他对光速不变原理以及电动力学的研究得出的。

在相对论中，质量和能量被视为相互关联的物理量。

质量变大时能量会增加，反之亦然。

这个想法引出了著名的公式e=mc²，这个公式描述了质量和能量之间的转换关系。

相对论还提出了一个重要的概念：光速是一个与参考系无关的常数，也就是说，不论你移动得多快，光速永远都是恒定的。

在相对论中，运动的描述符合了洛伦兹变换的公式。

在洛伦兹变换中，时间、空间、速度和动量都是参考系相关的。

动量是质量和速度的积，所以动量也会随着速度的变化而变化。

相对论中的质点运动描述需要考虑到更多的变量。

在经典力学中，我们认为物体的动量是独立于速度的，但是在相对论中，动量会随着速度的变化而增加，物体的质量也会变得更大。

这个效应被称为相对论性质量增加。

质量的增加会影响到物体的动力学行为，因此在相对论中需要考虑这个因素。

相对论中质点的动力学可以用以下公式来描述：E² = (pc)² + (mc²)²其中E是能量，p是动量，c是光速，m是质量。

这个公式意味着相对论性能量和动量是相互关联的。

质量越大，动量也越大。

相对论性能量和动量增加的速度还会随着速度的变化而增大。

质点在运动中能量会增加，它所带动的质量也称为相对质量，它随着速度的增加而增加。

因此，相对论描述的质点运动需要考虑到相对论性能量和动量，以及相对质量的变化。

相对论中的这个公式有着许多有趣的性质。

例如，对于光子，它的质量为零，所以它的能量就是它的动量。

这就是为什么光子能在真空中传播的原因。

另外，当一个沿着某个方向运动的粒子减慢速度时，它运动方向上的动量始终为正，随着速度的减小会增加。

然而，质量的增加会导致相对论性能量的增加，因此粒子的总能量也会增加。

5-5狭义相对论动力学基础

碰撞后复合粒子的静止质量增大了。
相对论动力学基础
例题5-5 一束具有能量为
h 0 、动量为
h 0
c
的光
子的能流量，为与一h，个动静止量的为电h子。作试弹证性光碰子撞的，散散射射角光满子
足下式： c
c c h 1 cos
0 m0c
此处 m0 是电子的静止质量，h 为普朗克常量.
解: 两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为
M 2MP 2Mn 4.0031 88 u
而从实验测得氦核质量MA小于质子和中子的总质量 M于，42这H差e核额称MM M=M-MMAA为 0原.03子0 核38的u 质量亏损。对
＝0.030 38 1.660 1027 kg
0.453 9 1011 J
相对论动力学基础
例题5-4 设有两个静止质量都是 m0 的粒子，以大小相同、方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。试求这个复合粒子的静止质量和一定速度。
解：设两个粒子的速率都是 v，由动量守恒和能
量守恒定律得
m0v－m0v MV
Mc2 2m0c2
Ek m0c2(
1
1)
1 v2 c2

m0
c2 (1

v2 2c2

3v4 8c4

1)
在
v c
的条件下：
Ek

1 2
m0 v2
相对论总能量
2.2 相对论总能量
mc2 Ek m0 c2
E mc2
说明：
E Ek E0
a. 物体处于静止状态时，物体也蕴涵着相当可观的静能量。
由以上两式消去 v 可得：

相对论动力学基础

相对论动力学基础
牛顿定律与光速极限的矛盾
v
物体F在恒dp力作d用(m下v的) 运动
C
a
dt F
dt
v
0
o
t
m
经典力学中物体的质量与运动无关
v t
v 0
at
只要时间t足够长，速度v总会达到并超过光速c，这
与相对论结论不符，也与高能物理实验相矛盾。
一、相对论质量和动量 1、动量的定义：
p
mv
2、从动量守恒定律和孤立系统的质量守恒，可求
E0 m0c2 任何宏观静止的物体具有能量 E mc2 相对论质量是能量的量度
质能关系预言：物质的质量就是能量的一种储藏。
在核反应中，以 m01 和 m02 分别代表反应粒子和生成粒子的总静止质量，以Ek1和Ek 2分别代表反应前后的总动能，依能量守恒，有：
m01c2 Ek1 m02c2 Ek 2
得质量随速度变化的关系
相对论的质速关系：讨论：
m
m0
1 v2 / c2
(1) v是粒子相对于某一参照
m
系的速率。同一粒子相对于不
同参照系有不同的速率时，在
这些参照系中测得的这一粒子
的质量也是不同的。
m0
(2) 当vc 时，m 。
o
vc
0.5 1.0
(3) 当v<< c 时，m 趋于m0，这时可认为物体的质量
当v c时，Ek
m0 c 2
1 v2 / c2
m0c2
m0c2 (1
1 2
v2
c2
) m0c2
1 2
m0 v 2
2、质量与能量的关系
Ek mc2 m0c2

7相对论动力学

或
F =
dt
dE k dE v F = = dt dt
上式为动能定理（m0保持不变的情况）。
【思考】这里的F = d p d t ，与牛顿方程的区别？ 26
三、三维力与加速度的关系
F = Fn F t
Ft
an
Fn = m a n = Ft = m0 (1 - v
4
S 参考系和粒子参考系：
v
m0
r1(t1) r2(t2) S参考系 dr
m0
粒子参考系
原时是不变量 dt =t 2- t 1
dt = dt
0
静质量 m0是不变量测时 dt = t2 - t1
0 = 1 1- v 2 c 2
（粒子运动引起）
5
二、方程的形式在S 系中，假定方程为
fx fy d = fz dt f4 px py pz p4
由四维动量的洛仑兹变换，得
p x = p x E c p y = p y
p = pz z E = E - cp
x

= 1 1 - u 2/ c 2（参考系相对运动）
— 在变换中，动量和能量是相联系的。
24
§10 相对论粒子动力学方程一、四维力和三维力的关系
2
2
p
-EB
2
d
= 1875 . 613 39 Mev / c
结合能
E B = m n m p - m d c = 2 . 23 Mev
2
18

二、能量—动量关系
p p P = = icm iE c

相对论动力学

狭义相对论动力学
一、相对论质量：
m m0 1v 2 c2
m0：静止质量
这个重要的结论就是相对论质速关系，它反映了物质与运动的不可分割性。改变了经典物理中人们认为质量是不变量的观点。
二、相对论动量:
p mv
m0
v
1v 2 c2
三、相对论动力学基本方程
F
dp dt
d(mv) dt
d
dt
又 E mc2
光子质量
m E h
c2 c2
例在S参照系中有两个粒子, A静止质量2m0， B静止质量为m0。A、B均以速度v＝0.6c相向运动，相撞后合在一起成为一个复合粒子。求复合粒子的
质量和速率。
解：能量守恒得
2m0c2 1 0.62
10m＝0c 2.M6 2 c2
得 M 3.75m0
相对论动能:
Ek mc2 m0c2 m0c2 (
1 1)
1 2
结论：
（1）与经典动能形式
Ek
1 mv2 完全不同.
2
2 质点静止时的动能为零。
3 当v c时，趋于经典结果。
1/
1 2
1
(1 2 ) 2
1
1 2
2
Ek
m0c2
1 2
v2 c2
1 2
m0v2
1 1 2
2
将动能改写为：mc2 EK m0c2
E E0
E2 m2c4 p2c2 E 20
pc
相对论动量和能量关系式
动量
p 1 c
E2
E02
1 c
(mc2 )2 (m0c2 )2
c m2 m02 m0c 2 1
光子 v c m0 0 E0 0

大学物理相对论总结

v 'x vx u
v 'y vy
v 'z vz
2
伽利略加速度变换公式
a'x ax a'y ay
a'z az
即 a'a
可见，同一质点对不同的惯性系有相同的加速度。
二、力学相对性原理
牛顿力学的一切规律在伽利略变换下其形式保持不变，或者说力学规律对于一切惯性参考系都是等价的。
力学相对性原理的更重要之处在于，惯性系对力
正 y' y
逆 y y'
变换
z' z
t ' (t
u c2
x)
变换
z z' t (t '
u
x ')
c2
4
五、狭义相对论时空观
1、同时的相对性
沿两个惯性系运动方向，不同地点发生的两个事件，在其中一个惯性系中是同时的，在另一惯性系中观察则不同时，所以同时具有相对意义；只有在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在其他惯性系中观察也是同时的 .
主要内容
时间和空间彼此独立、时间和空间相互关联，
互不关联，且不受物质质量随物体的运动状态
或运动的影响。
的改变而改变。
7
例在惯性系S中，有两事件发生于同一地点，且第
二事件比第一事件晚发生 t 2秒钟，而在另一惯
性系S′中，观测第二事件比第一事件晚发生 t 秒3
钟，那么在S′中发生两事件的地点之间的距离
1 1)
1 2
当 v c 时,
Ek
1 2
m0 v 2
经典动能公式
相对论质能关系
E mc 2 m0c2 Ek

2狭义相对论动力学基础

能量与动量的关系
一、狭义相对论的动力学基本方程
1)
r r r d(mv) 即： F = dp dt = 可作为力的定义）（可作为力的定义） dt 质量是速率的函数，因此：质量是速率的函数，因此： r r r r dp dm r dv dm r v +m = v + ma≠ ma = dt dt dt dt r m0 dm r d m r dv v v= ( )v = 2 2 v 其中：其中： dt 1− v2 c2 dt c − v dt r v2 = 2 2 mat c −v
i
∆m称为质量亏损
当： E < 0 ∆
——核聚变的能源核聚变的能源
自然界中的物质系统总是倾向于处在最低的能量状态
∆E 为核裂变的能源
1 例2 某种热核聚变反应： 2 H+3H→4 He+0n 某种热核聚变反应： 1 1 2
其中各粒子的静质量分别为：其中各粒子的静质量分别为：
2 1 4 2
H: mD = 3.3437×10−27kg He : mHe = 6.6425×10−27kg
x
mA = mB = m
mC = mA + mB = 2m
v − m = mCvx ⇒vx = −v 2
b. 以B为参考系：为参考系S′：为参考系碰后物体C的速度可由洛伦兹速度碰后物体的速度可由洛伦兹速度变换式得到：变换式得到： A
S′ r y′ −v
⇒
B
v′ x
vx − u vx + v v 2 z′ vx = −v 2 v′ = = x 2 2= u = −v 1− vxu c 1+ vxv c 1− v2 2c2 碰前动量为：碰前动量为： m v v2 m v = 碰后动量为： C x 碰后动量为： m v′ = 2m 2 2 1− v 2c 1− v2 2c2

相对论的动力学基础

聚合成1公斤氘核所能释放出来的能量为
4.6 107 J / kg
的2300000倍 10
EB / m0 d 1.07 10 J / kg
14
1公斤氘核
2300000Kg 汽油
11
相对论总能量
相对论质能关系在军事上的应用：核武器
12
秦山核电站
13
广东大亚弯核电站
14
3、能量和动量的关系
E h h h p c
E p c
E h m 2 2 c c
mc
m0 c 2
2
Ek
pc
2
15
m0 c
四、相对论动力学与经典动力学的关系
物理量相对论经典力学
2 2
质量
动量
静能
动能
m m0 / 1 v / c 2 2 p mv m0v / 1 v / c E0 m0c 2
当 4 光速是物体运动的极限速度
m
m0
m0 0 当v c 牛顿力学的质量仅计及物体的静止质量
2、动量表达式
2 2 p mv m0v / 1 v / c
v/c
可以证明，该公式保证动量守恒在洛伦兹变换下对任何惯性系都保持不变性。
5
三、相对论动力学基本方程
dp dv 经典力学 p m0 v F m0 m0 a dt dt 相对论力学 dp d m0 v d (mv ) ( ) F dt 1 v 2 / c 2 dt dt 低速可退化 dm F v dp dv dm dv dt F m v dt dt dt dt m 当 v c m dv / dt 0

相对论加速度变换式及动力学基本方程的推导

相对论加速度变换式及动力学基本方程的推导1.引言相对论是现代物理学的基石之一，用以描述高速运动物体的运动规律。

相对论中的基本概念包括物体的质量、速度、时间和空间的变换等。

本文将着重介绍相对论中的加速度变换式及动力学基本方程的推导。

2.加速度变换式在经典力学中，加速度是矢量量，其大小和方向由物体运动状态决定。

在相对论中，加速度同样是矢量量，但其大小和方向却受到运动物体的质量、速度和能量等因素的影响。

因此，在相对论中，加速度的定义需要重新审视。

考虑一个参考系S，其中物体A以速度v相对于参考系S运动。

在该参考系下，物体A的速度为v，其质量为m，受到的加速度为a。

现在我们需要推导出另一个参考系S'下物体A的加速度a'与a之间的关系。

假设参考系S与S'之间的相对速度为u，则根据相对论的速度变换式，物体A在参考系S'下的速度与在S系下的速度之间有如下关系：v' = (v-u)/(1-vu/c^2)由于加速度是速度随时间的变化率，因此我们可以利用相对论中的时间变换式来计算加速度的变换：dt' = γ(dt-vdx/c^2)其中，γ为Lorentz因子，dx表示在参考系S'下物体A在x方向上移动的距离。

将其带入加速度定义中：a' = dv'/dt' = γd(v-u)/(dt-vdx/c^2)可得到相对论中的加速度变换式：a' = γ(a-vdu/dx)/(1-vu/c^2)该式子表明，在高速相对运动的情况下，物体的加速度会受到Lorentz变换的影响，其大小和方向都会相应地发生变化。

3.动力学基本方程的推导动力学方程是描述物体运动的基本方程，其中最基本的方程是牛顿第二定律：F = ma其中，F是物体所受的外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。

但是，由于相对论中加速度的定义与经典力学略有不同，因此我们需要重新对牛顿第二定律进行修正。

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第五十讲： §4.4 相对论动力学基础
一、相对论质速关系式——揭示了质量和能量是不可分割的，这个
公式建立了这两个属性在量值上的关系，它表示具有一定质量的物体客体也必具有和这质量相当的能量。

注意：自从质能关系发现以后，有些物理学家错误地解释了这个公式的本质。

他们把物质和质量混为一谈，把能量和物质分开，从而认为质量会转变为能量，也就表示物质会变成能量。

结果是物质消灭了，流下来的只是转化着的能量。

其实，这些论点是完全站不住脚的。

因为第一，质量仅仅是物质的属性之一，决不能把物质和它们的属性等同起来；第二，质量和能量在量值上的联系，决不等同于这两个量可以相互转变。

事实上，在一切过程中，这两个量是分别守恒的，能量转化和守恒定律是一条普遍规律，质量守恒定律也是一条普遍规律，并没有发生什么能量向质量转变或质量向能量转变的情况。

举例：32年美国，加州理工学院对电子进行加速，c 999999.90=υ
0900m m =⇒ ；后对质子进行加速，0300m m =⇒
☆相对论的动量：2
2
01c m m P υ-
=
=
二、相对论动力学的基础方程
⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-==2201c m dt d dt P d υ
υ ()
υdt
dm
dt d m m dt d F +==
c →υ ∞→m
0→dt
d υ
这说明，无论使用多大的力，力持续的时间有多长，都不可能把物体加速≥光速。

只能是无限趋近。

三、相对论动能
202E c
m mc k -=
当c ππυ 22
1
E υm k =
四、静能、总能和质能关系 1、质能关系式；
2
mc
E ∆=∆
一千克物质折合成能量，一度电买一美分，值2500万美元；一吨物质折合成能量，值250亿美元； 2、静能：物体静止的能量200c m E =
3、总能：物体静止的能量和动能之和k E c m mc E +==202
五、能量和动量的关系
4
202
22E c
m c p +=
习题1：某核电站年发电量为 100亿度，它等于36×1015 J 的能量，如果这是由
核材料的全部静止能转化产生的，则需要消耗的核材料的质量为 (A) √ 0.4 kg ． (B) 0.8 kg ．
(C) (1/12)×107 kg ． (D) 12×107 kg ．［］
习题2：一个电子运动速度v = 0.99c ，它的动能是：(电子的静止能量为0.51 MeV)
(A) 4.0MeV ． (B) 3.5 MeV ．
(C) √3.1 MeV ． (D) 2.5 MeV ．［］
习题3：狭义相对论中，一质点的质量m 与速度v 的关系式为______________；
其动能的表达式为______________．
答案：
2
)
/
(
1c
m
m
v
-
=
2分
2
2c
m
mc
E
K
-
=2分
习题4：质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的3倍时，其质量为静止质量的________倍．
答案：4 3分
小结：
作业：P
预习：§。