小学数学《几何中的计数问题(二)》练习题(含答案)

小学生奥数几何、计数、计算练习题1.小学生奥数几何练习题篇一一、填空1、两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个（）形或（）形或（）形。

2、两个完全相同的梯形可能拼成一个（）形或（）形或（）形。

3、当梯形的上底与下底相等时，梯形就变成（）形。

4、平行四边形的面积公式是（）。

5、一个平行四边形和一个三角形的面积相等，而且它们的的底边也相等，三角形的高是10厘米，平行四边形的高是（）。

二、判断题1、两个三角形可以拼成一个平行四边形。

（）2、一个梯形可以分成两个大小、形状完全相同的三角形。

（）3、等腰梯形的对角线相等。

（）4、两个形状相同、大小相等的直角梯形一定能拼成一个平行四边形。

（）5、平行四边形、菱形、等腰梯形都是轴对称图形。

（）6、只有一组对边平行的图形叫做梯形。

（）7、举一反三：有一组对边平行的四边形叫做梯形。

（）8、两个大小相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。

（）9、两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形。

（）2.小学生奥数几何练习题篇二例题：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的`面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。

（36÷3）×（54÷9）=108（平方米）练习：（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。

图形计数专项练习题在图形计数中，我们需要根据给定的图形，计算出其中的几何形状的数量。

这是一个很有趣的数学问题，也是培养孩子逻辑思维和观察力的好方法。

本文将为大家提供一些图形计数的专项练习题，帮助读者加深对图形计数的理解和运用能力。

练习一请计算下图中不同形状的数量，并将答案填写在括号中：```□□ □■■■■■■■正方形：( )个长方形：( )个三角形：( )个```练习二请计算下图中不同形状的数量，并将答案填写在括号中：```△▢ ■▢▢△■ ■ △正方形：( )个长方形：( )个三角形：( )个```练习三请计算下图中不同形状的数量，并将答案填写在括号中：```▢□ △△△△ □ ▢▢□ □ □正方形：( )个长方形：( )个三角形：( )个```练习四请计算下图中不同形状的数量，并将答案填写在括号中：```△▢ ■■ ■ □□ ▢▢正方形：( )个长方形：( )个三角形：( )个```练习五请计算下图中不同形状的数量，并将答案填写在括号中：```□ ■ △ □■ ■ △ ■■ ■ ■ ■正方形：( )个长方形：( )个```练习六请计算下图中不同形状的数量，并将答案填写在括号中：```■ ■ ■ ■ △■ △ □ □ □■ △ ■ ▢ □正方形：( )个长方形：( )个三角形：( )个```练习七请计算下图中不同形状的数量，并将答案填写在括号中：```■ ■ ■ ● □ □■ △ ● □ □ △□ □ □ ■ ■ ■长方形：( )个三角形：( )个```练习八请计算下图中不同形状的数量，并将答案填写在括号中：```△ □ ■ ■ ■■ ■ ■ ▪ ▢■ □ △ ■ ■正方形：( )个长方形：( )个三角形：( )个```以上是图形计数的专项练习题，通过对每个图形中不同形状的数量进行计数，可以提高我们的观察力和计数能力。

希望大家能够通过这些练习题，更好地掌握图形计数的方法和技巧。

祝大家学习进步！。

年级四年级学科奥数版本通用版课程标题几何计数（二）我们在学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形、正方形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法。

在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把它们的个数加起来。

例1 数一数下图中有多少个长方形。

分析与解：图中的AB边上有线段1＋2＋3＝6（条），AD边上有线段1＋2＝3（条），把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3＝18个长方形。

数长方形可以用下面的公式：长边上的线段数×短边上的线段数＝长方形的个数。

例2 数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1个长度单位的正方形）分析与解：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3＝9（个），边长为2个长度单位的正方形有2×2＝4（个），边长为3个长度单位的正方形有1×1＝1（个）。

所以图中的正方形总数为：1＋4＋9＝14（个）。

经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n（个）。

例 3 数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）。

分析与解：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形。

①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5＝30（个）。

②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4＝20（个）。

③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3＝12（个）。

④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2＝6（个）。

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．E DCB A数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，教学目标知识要点7-8-2.几何计数（二）纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块二、复杂的几何计数【例 1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．11⨯的正方形：9个；22⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：1个；以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。

小学数学《几何计数》练习题（含答案）内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。

请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？【例4】（小数报数学竞赛初赛）数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【例6】如右图，数数有多少个三角形？【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?【例8】数一数，右图中共有多少个三角形?【例9】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中三角形共多少个？【例10】数一数，各图中长方形的个数?【例11】带*的长方形有多少个？【例12】右图中有多少个长方形？【例13】右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？【例14】数一数，下例各图中有多少个正方形？习题七1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？2．数一数，右图中有多少个角?3．数数右图中有多少条线段？4．如右图，数数有多少个三角形？5．数一数下图中有多少个正方形？6．如下图，数一数下列图中长方形的个数？带小花的长方形有多少个？*7．数一数，右图中共有多少个正方形?数线段【例15】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．教学目标知识要点7-8-2.几何计数（二）例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。

小学数学《几何计数》练习题（含答案）内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。

请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？【例4】（小数报数学竞赛初赛）数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【例6】如右图，数数有多少个三角形？【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?【例8】数一数，右图中共有多少个三角形?【例9】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中三角形共多少个？【例10】数一数，各图中长方形的个数?【例11】带*的长方形有多少个？【例12】右图中有多少个长方形？【例13】右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？【例14】数一数，下例各图中有多少个正方形？习题七1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？2．数一数，右图中有多少个角?3．数数右图中有多少条线段？4．如右图，数数有多少个三角形？5．数一数下图中有多少个正方形？6．如下图，数一数下列图中长方形的个数？带小花的长方形有多少个？*7．数一数，右图中共有多少个正方形?数线段【例15】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。

小学数学《计数问题》练习题（含答案）知识点：1. 图形的计数.2. 排列组合3. 容斥原理图形计数中常见的几类：1、数线段、三角形，（锐）角的个数.①我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类.如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条.所以共有3＋2＋1＝6(条).②我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类.如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条.数线段时线段的条数与图上的点存在一定的关系.例题中共有4个点，线段的条数为3+2+1=6(条). 由此，我们可以推广到一般情况：如果图中有N个点，那么线段的总条数为：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+3+2+1即：(1)2n n⨯-第一个图中三角形的个数是：3+2+1=6（个），第二个图中锐角的个数是：4+3+2+1=10（个）数三角形、数角的方法与数线段的的方法相似，所以计算线段总条数的公式，同样也适用于数三角形和数（锐）角.2、数长方形的个数.以BC为宽的长方形有5+4+3+2+1=15(个)(CD上有一条线段就有一个以BC为宽的长方形)；同理：以AB、AC为宽的长方形有15个.共有长方形15+15+15=45(个).注意到在AC上有几条线段就有几个不同的宽： (5+4+3+2+1)×(2+1)=45(个)由此，我们可以推广到一般情况：当一边上含有n条基本线段，另一边上含有m条基本线段时，长方形的总数为(n+…+3+2+1)×(m＋…+3+2+1)．3、数正方形的个数.图中共有正方形9×3+8×2+7×1=50(个)．由此，我们可以推广到一般情况：如果一个长方形的一条边被分成n等份，另一条边被分成m等份，且长和宽上的每一份相等，那么这个长方形中正方形的总数为：nm+(n－1)(m－1)+(n－2)(m－2)+…+(n－m+1)×1(其中n≥m)．如果长方形的两条边都相等，那么就成了一个正方形，如下图：图中共有正方形4×4＋3×3＋2×2＋1=30（个）由此我们可以得出：如果一个大正方形的每条边都被分成n等份，那么这个大正方形中所有正方形的总数为：n2+(n一1)2+(n一2)2+…+32+22+12．在数学竞赛和小升初的考试中，会出现一些比较复杂的图形，这就需要我们根据图形的构成方法和自身特点，选择适当的方法．常见的计数图形的方法有多退少补法、分类法、列表法、转化法等．遇到一些复杂的图形计数问题时，常常需要把几种方法结合起来使用，下面我们就通过一些例题来进行分析.【例1】数一数图中有多少条线段?仔细观察图2—1—2，不难发现其中一共有50个点，运用上面的公式易求线段的总条数．【分析】图中共有线段：49+48+47+46+…+3+2+1=50×(50—1)÷2=1225(条)说明：如果要计数的线段是共线线段，只要数出其中共有几个点，就可以直接运用上面的公式求出线段的总条数．【巩固】数一数，右图中共有线段_______条．【分析】AG，AB中共有线段： (3+2+1)×2=12(条)EF，CD，BC，AC中共有线段(2+1)×4=12(条)所以，总共有线段： 12+12=24(条)．【例2】分别数出图中每个图形中三角形的总个数？【分析】仔细观察图中的两个图形可以发现：每个三角形中，有两条边是由A点引出的，而第三条边是BC或HI上的线段，BC或HI上线段的条数就与三角形的个数一一对应了．于是数三角形个数的问题可以转化为数线段条数的问题．先看图(1)，根据数线段的规律可知，BC边上共有(5+4+3+2+1)=15条线段，也就是说图(1)中有15个三角形．再看图(2)，它仅仅是在图(1)的基础上又画了一条割线所构成的；同样的道理，HI边上也有15条线段，因此以HI边上的线段为第三边的三角形也有15个，所以图(2)中共有(15×2)=30个三角形．解：(1)5+4+3+2+1=15(个)(2)(5+4+3+2+1)×2=30(个)【例3】（北京市第七届“迎春杯”决赛试题）下图中共有____个正方形.【分析】这个图可以先看成是3个没有重叠的4×4正方形来数，然后再把重叠的部分2个2×2正方形的个数减掉.这就利用了多退少补的方法.每个4×4正方形中有：边长为1的正方形42个；边长为2的正方形32个；边长为3的正方形22个；边长为4的正方形12个；总共有42+32+22+12=30(个)正方形．现有3个4 × 4的正方形，它们重叠部分是2个2 ×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×3—5×2=80（个）【例4】（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛试题）数一数，右图中三角形共有______个．【分析】利用对称性，分情况计算．类似于△ABH的三角形共有6个；类似于△AGH的三角形共有6个；类似于△ABJ的三角形共有12个；类似于△ABC的三角形共有6个；类似于△AEC的三角形共有2个．于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个)．【例5】（第二届“华数杯”决赛试题）图中有多少个平行四边形?【分析】这个题要用分类法来计数更合适，不妨把图1转变为图2来讨论．仔细观察和分析图2可以从以下两个方面来对平行四边形分类：(1)平行四边形的方向，图中阴影部分图形代表三种基本平行四边形，它们组成的平行四边形分别以A、B、C类表示．(2)平行四边形所含基本平行四边形的个数．下面我们列表统计如下：图中平行四边形的个数为：(6+6+2+1)×2+(5+4)=39(个)．说明：在用分类法计数图形时，如何合理地选择分类的标准是非常重要的；恰当地结合列表法来统计，可以化繁为简，一目了然．1、关于排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnp（m≤n），m(1)(2) (1)mnp n n n n m=---+14444244443共个数.其中!(1) (1)nnP n n n==⨯-⨯⨯2、关于组合一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作(1) (1)!mmnn n n mCm⨯-⨯⨯-+=64444744448个数这就是组合数公式.【例6】（1）有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）【分析】这是个排列问题.由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：种不同的拍照情况．【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，有44P=24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应23P=6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．（2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班.问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？【分析】这是组合问题.一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法.【例7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第1阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第3阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1到4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛?C=15场，共8个小组，有【分析】第l阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛26C=6场，共4个小组，15×8=120场；第2阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛24有6×4=24场；第3阶段赛2+2=4场．根据加法原理，整个赛程一共有120+24+4=148场比赛．【例8】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?C=20种选法．由【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．【例9】如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？【分析】从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“容斥原理”，大家先一起回答两个问题：(1) 如右图（1），两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2) 如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1) 两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了.因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2.(2) 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝20(个)点.这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法.当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉.在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.我们用|A|表示有限集A 的元素个数.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： |A ∪B|=|A|+|B|-|A ∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如右:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A ∩B ，即阴影面积.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A ∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.【例10】 某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人，那么语文成绩得满分的有多少人？【分析】 数学或语文至少有一科得满分的有45 - 29=16人，这16个人中数学得满分的有10人，那么数学没有得满分的有6人，这些人必定是语文得了满分，又知有3人两科均得满分，则语文得满分的一共有6+3=9人.【例11】 求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？【分析】“既不是5的倍数也不是6的倍数”的反面情况就是“是5的倍数或者是6的倍数”.记A ：1～100中5的倍数，205100=÷，有20个； B ：1～100中6的倍数，4166100ΛΛ=÷，有16个；B A I ：1~100中5和6的公倍数，即30的倍数，10330100ΛΛ=÷，有3个.依据公式，1~100中5的倍数或6的倍数共有3331620=-+个，则既不是5的倍数也不是6的倍数的数有6733100=-个.【例12】 学而思画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的.现在知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅？【分析】不是六年级的画中包括五年级的画，同样不是五年级的画中也包括了六年级的画，又16比15大1，说明五年级比六年级多1幅，又知两个年级共有25幅画，则五年级的画有132)125(=÷+幅，因此其他年级的画有31316=-幅.【例13】 某校五年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组.已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人？【分析】设参加语文小组的人组成集合为A ，参加英语小组的人组成集合为B ，参加数学小组的人组成集合为C.A CB 语文数学英语那么不只参加一种小组的人有：110－16－15－21＝58，为|A ∩B|+|B ∩C|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|； 不只参加语文小组的人有：52－16＝36|A ∩B|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|； 不只参加英语小组的人有：61－15＝46|A ∩B|+|B ∩C|+|A ∩B ∩C|； 不只参加数学小组的人有：63－21＝42|B ∩C|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|； 于是，三组都参加的人|A ∩B ∩C|有36+46+42－2×58＝8人.【附1】数一数，右图中共有多少条线段？【分析】数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”.“个人”：5条 ；“集体”：3+2+1=6 （条）；共5个这样的集体， 所以共5×（3+2+1）+5=35（条）.【附2】（第六届迎春杯决赛）用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．用这样的等边三角形如图所示，拼合成一个大的等边三角形．如果这个大的等边三角形的底为20根火柴长，那么一共要多少根火柴？【分析】注意引导学生用“分层数的思路”.把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根火柴；从上向下数第三层用了3×3=9根火柴；…… 从上向下数第20层用了3×20=60根火柴．所以，总共要用火柴：3×(1+2+3+…+20)=630(根)．【附3】（北京市第六届“迎春杯”决赛）如图是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有____种不同的放置方法．【分析】设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有10×9=90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有9×8=72种不同的放置方法．因此，总共有72×90=6480种不同的放置方法．【附4】有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语.问既懂英语又懂俄语的有多少人？【分析】法1 ：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90（人）.又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：90-75=15（人）.从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83-15=68（人）就是既懂英语又懂俄语的旅客.法 2 ：学会把公式进行适当得变换，由容斥原理，得：|A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=75+83-90=68（人）.【附5】三年级科技活动组共有63人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人.每个同学都至少完成了一项活动.问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【分析】因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同时完成了这两项活动.由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，42＋34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)＝63.由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-63＝13(人).也可画图分析.1. 如右图，数数有多少个三角形？【分析】法1：常规方法（分类数），第一类（含1个基本三角形，最小的）：1+3+5=9（个）；第二类（含4个基本三角形，次大的）：3个；第三类（含9个基本三角形，最大的）：1个.法2：我们可以换个角度分层，将右图从上到下分成最基本的3层，第一层有1个小三角，第一层有3个小三角，第一层有5个小三角，第一层+第二层有1个较大的三角形，第二层+第三层有2个较大的三角形，第一层+第二层+第三层有最大的一个三角形，所以共：1+3+5+1+2+1=13（个）三角形.在数的过程中注意可将三角形分成尖朝上和朝下两类.2. （第十一届迎春杯决赛）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么图中包含“*”号的大、小正三角形一共有多少个？【分析】分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有：1+4+1=6(个)．3. 从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?C=20种选法．由【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．4. 某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？分析由组合数公式，共有种不同的选法；由排列数公式，共有p＝42×41×40＝68880342种不同的站法.5. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【分析】A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人：43-37=6，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人：58-37=21.6. 一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了.一班有多少人两项比赛都没有参加？【分析】45-(26＋22-12)=9(人).。

几何的计数问题专题练习：在圆周上有7个点A ，B ，C ，D ，E ，F 和G ，连接每两个点的弧共可有___42___条．以A 为起点：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、AG 、以B 为起点：、BC 、BD 、BE 、BF 、BG 、BA 、、以C 为起点：CD 、CE 、CF 、CG 、CA 、CB 、以D 为起点：DE 、DF 、DG 、DA 、DB 、DC以E 为起点：EF 、EG 、EA 、EB 、EC 、ED 以F 为起点：FG 、FA 、FB 、FC 、FD 、FE 、以G 为起点：GA 、GB 、GC 、GD 、GE 、GF共有42条弧一般化：n 个点，n （n －1）例1：已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形__7___个解：3、5、7；3、7、9；3、9、11；5、7、9；5、9、11； 5、7、11；7、9、11练习一：有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？解：等腰三角形：6、6、11；8、8、11；9、9、11；10、10、11。

―――――4 11、11：10、9、8、7、6、5、4、3、2、1。

―――――10等边三角形：11、11、11。

―――――1任意三角形： 10、11：9、8、7、6、5、4、3、2。

―――――89、11：8、7、6、5、4、3。

―――――68、11：7、6、5、4。

―――――47、11：6、5。

―――――2共有35个。

例2． 图1－66中有多少个三角形？解： 以OA 为一边的三角形有△OAB ，△OAC ，△OAD ， △OAE ，△OAF 共5个；以OB 为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC ，△OBD ，△OBE ， △OBF；B G以OC 为一边的三角形有△OCD ，△OCE ，△OCF 共3个；以OD 为一边的三角形有△ODE ，△ODF 共2个；以OE 为一边的三角形有△OEF 一个．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)．一般化：不同的三角形数目等于线段AF 中不同线段的条数．当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.练习二：图中三角形的个数？解：如图所示，标上字母A 、B 、C 、D.当不考虑BD 时，△ABC 被从顶点A 引出的五条线分成的三角形个数是6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个.当考虑BD 时，在BD 上方也可以数出21个三角形，而在BD 下方只可以数出6个三角形.总计，共有21＋21＋6＝48个三角形.例3．(1)图 (a)中有多少个三角形？ (2)图 (b)中又有多少个三角形？解(1).图 (a)中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．从6条直线中选3条，有种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形．(2)图 (b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有7×6×5/6=35种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．图1 (b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)．B C说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是6×5÷2=15种．从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．例4(1)图67中一共有多少个长方形？ (2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)：图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)．同样，宽的一边上不同的线段也有10条．所以，共有长方形10×10=100(个)．(2)长的一边上10条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1。

几何计数例题讲解板块一：基础题型1．如图，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？解：1,4+3+2+1=10段2，4×1+3×2+2×3+1×4=20厘米2．小明把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：(1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？解：1，（1+2+3+4）×3=30根2，（1+3+5+7）+（1+2+3+1）+（1+2）+1=27个3，27-2-2-1=22个3．如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？解：1+4+1=6个4．如图，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？解：5+4+1+1+1=12个6×2+10×2=28个5．如图，在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形？解：42+32+22+12=30个6．如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？解：C53×4+C42×5=70条C52×C42=60个7．如图，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？解：C52×C42-C52×4=208．如图，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？解：4×6+2×12=48个9．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？解：C123-4×3-4-4=200个10．如图，在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A、B、C、D、E、F、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？解：3×2+4+2+1=13个板块二：中档题型1．如图，数一数，图中有多少个三角形？解：25+10+6+3+1+3=48个2．如图，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．解：10+4×5+5=35个35-6=29个35+6×2=47个3．如图，数一数，图中有多少个三角形？解：35×2+3×5=85个4．如图，数一数．，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）解：7+2+2+2+3+1=17个5．如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？解：4×4+3×3+2×2+1×1=30个6．如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：(1)从中可以数出多少个长方形？(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？解：C102×C52=450个2×3×4×6=144个7．如图，数一数，图中共有多少个长方形？解：15×6+21×3-6×3=135个8．如图，数一数，图中共有多少个平行四边形？解：6×3+15+3×2+3+3=45个9．如图，18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形，数一数，图中共有多少个梯形？解12×2+4×2+6×2+2+8+2=5610．如图，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？解：9+4×2+2×2=21个11．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形．在图中，共有多少个不同的曲边形？解：10+10+10+5+1=36个12．如图，一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为l的三角形？解：6×7+8×2+8+4=70个板块三：拔高题型1．图中是一个等边三角形的点阵．以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）?解：等边有：9+3+1+2=15个等腰有：3+2×6+6+3=24个共39个2．如图，数一数，图中共有多少个三角形？解：C72×2+C31×2×4+1=67个3．如图，这是一个4x8的矩形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：(1)包含有两个“★”的矩形共有多少个？(2)至少包含一个“★”的矩形有多少个？解：2×1×3×5=30个3×4×6+4×2×5×3-3×2×5=162个4．如图，在图中的3×3正方形格子中，格线的交点称为格点．例如：A，B，C这3个点都是格点，那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？解：4×4=16个5．如图，用12个点将圆周12等分，以这些点为顶点的梯形共有多少个？解：12×（4+3+2+1）=120个6．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形，在图10-29中，共有多少个不同的曲边形？解：4×8+4×4+2×3+4×2+1=63个7．如图，木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角形？解：4×6+8×（3+1+3+1）+4×（3+3+2+5+2）=148个8．如图，在3×3的方格表内，每个小正方形的面积均为1．请问：(1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？(2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？(3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？解：（1）4个（2）4×10+2×4=48个（3）6×8+4×4+8+4×4+4=92个。

几何中的计数问题练习题
一、填空题（每小题5分）
1、.下列图形各有几条线段
( )条( )条( )条
2、一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.
3、数一数下图共有( )条线段.
( )条. ( )条.
4、下图中各有（）个三角形.
5、数一数下图有（）个长方形.
6、右图一共有( )个长方形?
B
A
C
D
7、右图一共有( )个正方形？
8、下图共有( )个平行四边形.
9、一共有( )个梯形.
10、下图共有( )个三角形.
二、简答题(每小题10分)
1、右图的图形中一共有多少个三角形?
2、下图共有几个正方形?
3、下图共有多少个长方形?
4、下图中一共有多少个三角形?
5、下图共有几个三角形?.。

二年级数学测题简单的几何形识别与计数练习二年级数学测题：简单的几何形识别与计数练习在二年级的数学学习中，几何形是一个重要的内容。

通过对简单的几何形的识别与计数练习，孩子们可以培养对形状的敏感性，并提高他们的观察能力和逻辑思维能力。

本篇文章将为您提供一些简单的几何形识别与计数练习题。

练习一：识别几何形状1. 下图中有几个正方形？请在下面的横线上填写数字。

2. 请圈出下图中的三角形。

3. 找出下面图片中的矩形，并在其旁边填写“矩形”字样。

4. 看图写名：请写出下面图片中各种几何形状的名称。

练习二：计数几何形状1. 下图中的正方形一共有几个？2. 请数一数下图中的矩形，然后写下具体数字。

3. 如果在下面的图形中，每个圆内都有一个矩形，那么一共有几个矩形？4. 图中有一些长方形，请数一数，写下具体数字。

练习三：组合几何形状1. 如果将下面的三个正方形组合在一起，会得到什么形状？2. 如何用三个三角形组成一个长方形？3. 下图中的图形是由哪些几何形状组成的？4. 观察下图，用两个圆和一个正方形可以组成哪种新的形状？练习四：填数字1. 下图中，正方形中缺少的数字是多少？2. 观察下图，圆圈中应该填入的数字是什么？3. 下图中的三角形中缺少的数字是多少？4. 请填入合适的数字，使每行、每列和每个小正方形中的数字都正好是1到9。

以上是一些简单的几何形识别与计数练习题，希望能够帮助二年级的孩子们巩固对几何形状的理解和应用。

通过这些练习，孩子们将能够更好地认识和运用不同的几何形状，并为将来更深入的数学学习打下坚实的基础。

希望大家能够认真完成每道题目，并且每道题目的答案可在纸上作答。

祝每位二年级的小朋友们在几何形识别与计数练习上取得进步！。

《几何计数（二）》配套练习题一、解答题1、2、3、4、5、6、7、8、答案部分一、解答题1、【正确答案】：36【答案解析】：我们可以分类来数：（1）单一的小三角形有16个；（2）两个小三角形组合的有10个；（3）四个小三角形组合的有8个；（4）八个小三角形组合的有2个．所以，图中一共有16＋10＋8＋2＝36个三角形．【答疑编号10254156】2、【正确答案】：39【答案解析】：按包含的小块分类计数．包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；包含15小块的有2个．所以共有：1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2＝39(个)．【答疑编号10254155】3、【正确答案】：10【答案解析】：【答疑编号10254154】4、【正确答案】：10【答案解析】：【答疑编号10254153】5、【正确答案】：204，1092【答案解析】：图中的正方形的个数可以按照边长分类数，边长为1×1的正方形有8×8＝64（个）；边长为2×2的正方形有7×7＝49（个）；边长为3×3的正方形有6×6＝36（个）；边长为4×4的正方形有5×5＝25（个）；边长为5×5的正方形有4×4＝16（个）；边长为6×6的正方形有3×3＝9（个）；边长为7×7的正方形有2×2＝4（个）；边长为8×8的正方形有1×1＝1（个）．因此图中共有正方形：64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝204个．图中的长方形的个数也可以按照边长分类数，设横的为长，竖的为宽．那么长可能的长度有1、2、3、4、5、6、7、8这8种情况．每一种情况又分别对应着8、7、6、5、4、3、2、1种不同的形式．宽同样，所以一共有：（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）＝1296（个）所以不包括正方形的长方形共有：1296－204＝1092（个）．【答疑编号10254150】6、【正确答案】：85，335【答案解析】：图中的正方形的个数可以按照边长分类数，边长为1×1的正方形有7×5＝35（个）；边长为2×2的正方形有6×4＝24（个）；边长为3×3的正方形有5×3＝15（个）；边长为4×4的正方形有4×2＝8（个）；边长为5×5的正方形有3×1＝3（个）．因此图中共有正方形：35＋24＋15＋8＋3＝85（个）．图中的长方形的个数也可以按照边长分类数，设横的为长，竖的为宽．那么长可能的长度有1、2、3、4、5、6、7这7种情况．每一种情况又分别对应着7、6、5、4、3、2、1种不同的形式．宽可能的长度有1、2、3、4、5这5种情况．每一种情况又分别对应着5、4、3、2、1种不同的形式．所以一共有：（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×（1＋2＋3＋4＋5）＝420（个）所以不包括正方形的长方形共有：420－85＝335（个）．【答疑编号10254151】7、【正确答案】：126【答案解析】：Ⅰ．尖朝上的三角形有五种：(1)W①上＝8＋7＋6＋5＋4＝30(2)W②上＝7＋6＋5＋4＝22(3)W③上＝6＋5＋4＝15(4)W④上＝5＋4＝9(5)W⑤上＝4∴尖朝上的三角形共有：30＋22＋15＋9＋4＝80(个)Ⅱ．尖朝下的三角形有四种：(1)W①下＝3＋4＋5＋6＋7＝25(2)W②下＝2＋3＋4＋5＝14(3)W③下＝1＋2＋3＝6(4)W④下＝1尖朝下的三角形共有25＋14＋6＋1＝46(个)∴80＋46＝126个．【答疑编号10254152】8、【正确答案】：44，10【答案解析】：如下图，先给图中每个基本三角形编上序号：再分类数出三角形的个数．（1）基本图形都是三角形，共有16个；（2）有两个基本图形组成的三角形，可以分块数一数，先看左上角有4个这样的三角形：1＋2、3＋4、1＋4、2＋3，同理在图中左下角、右下角、右上角同样有4个这一段三角形，因此图中这样的三角形共有：4×4＝16（个）．（3）由四个基本图形组成的三角形有8个：3＋4＋5＋8、9＋12＋13＋14、5＋8＋9＋12、3＋4＋13＋14（以由中间的十字线段为底的四个三角形）；1＋4＋5＋6、2＋3＋14＋16、11＋12＋13＋15、7＋8＋9＋10（以外边框的四条边为底的四个三角形）．（4）由八个基本图形组成的三角形有4个，都是以外框正方形的对角线为底的三角形：1＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10，7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋15，2＋3＋11＋12＋13＋14＋15＋16，1＋2＋3＋4＋5＋6＋14＋16．所以图中共有三角形：16＋16＋8＋4＝44（个）．最后分类数出正方形的个数最后分类数出正方形的个数最后分类数出正方形的个数最后分类数出正方形的个数（1）去掉图中所有的斜线，得到一个大田字格，这个田字格中共有5个正方形；（2）添上斜线，由斜线组成的正方形也有5个．四个小正方形：4＋5、8＋9、12＋13、3＋14；由这四个小正方形拼成的大三角形：3＋4＋5＋8＋9＋12＋13＋14．所以图中共有正方形：5＋5＝10（个）．【答疑编号10254157】。

人教版四年级数学上册5．几何的计数技巧一、填一填。

(每空1分，共35分)1．图中有()条线段，()条直线，()条射线。

我发现：数射线条数，先数由A点发出的射线有()条，再数由B点发出的射线有()条，最后数由C点发出的射线有()条，共有()条射线。

2．一个平角相当于()个直角；一个周角相当于()个平角，或相当于()个直角。

3．图中a∥b，∠1＝()，∠4＝()，∠1∠3。

(1)度数相等的角有()和()，()和()。

(2)度数相加的和等于180°的角有：()＋()＝180°，()＋()＝180°，()＋()＝180°，()＋()＝180°。

4．(1)图中三角形有()个。

先数单个的小三角形，有()个；再数由4个小三角形合成的大三角形，有()个。

(2)图中平行四边形有()个。

先数由2个小三角形合成的平行四边形有()个；再数由4个小三角形合成的平行四边形有()个。

(3)图中梯形有()个。

先数由3个小三角形合成的梯形有()个；再数由5个小三角形合成的梯形有()个；整个大图形也是()个梯形。

二、辨一辨(对的在括号里打“√”，错的打“×”)。

(每小题2分，共6分) 1．将一张圆形纸对折3次后，可以得到30°的角。

() 2．直线和射线都没有端点，所以都不能量出长度。

() 3．把一个半圆形平均分成180份，其中的1份是1度，记作1°。

()三、选一选。

(每小题3分，共9分)1．把直角二等分得到的小角是()，把平角三等分得到的小角是()，把周角四等分得到的小角是()。

A．30°B．45°C．60°D．90°2．CCTV－1的《新闻联播》在19：00开始，19：30结束。

开始时，钟面时针和分针所夹的较小角的度数是()°；结束时，时针和分针所夹的较小角的度数是()°。

正确选项是()。

A．150，45 B．45，150 C．210，453．如图，∠1的度数是()。

图形认识初步【几何计数问题】【培优练习】1.你会数线段吗？如图①线段AB，即图中共有1条线段；如图②线段AB上有1个点C，则图中共有3条线段；如图③线段AB上有2个点C、D，则图中共有6条线段．思考问题：（1）如果线段AB上有3个点，则图中共有条线段；（2）如果线段AB上有9个点，则图中共有条线段；（3）如果线段AB上有n个点，则图中共有条线段（用含n的代数式来表示）．2.阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点；…；10条直线相交，最多可形成交点的个数是（）A．36 B．45 C．55 D．663.观察下列图形，像这样的十条直线相交最多的交点个数有( )A．40个 B．45个 C．50个 D．55个4.平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36 B．37 C．38 D．395.（2008•襄阳）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．6.图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．（若三角形中含有其它三角形则不记入）（1）图2有个三角形；图3中有个三角形（2）按上面方法继续下去，第20个图有个三角形；第n个图中有个三角形．（用n的代数式表示结论）7.观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题．问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有条横截线．8.如图是由18个大小相同的小三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个，那么图中包含“*”号的大小正三角形一共有多少个？9.数一数共有多少个三角形。

10.图中一共有多少个大大小小的三角形。

11.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

如图平面上有9个点。