八年级数学下册第六章《63三角形中位线》公开

三角形中位线定理制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

【学习目的】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.12，每个小三角形的面积为原三角形面积的1 4.〔3〕三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1.如图，P、R分别是长方形ABCD的边BC.CD上的点，E.F分别是PA.PR的中点，点P在BC上从B向C 挪动，点R不动，那么以下结论成立的是〔〕A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E.F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 那么12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE.CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，那么四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE.CF是中线，∴E.F分别是AC.AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF ∥BC 且EF=21BC ，∵M 、N 分别是BO 、CO 中点，∴MN 是△OBC 的中位线，∴MN ∥BC 且MN=21BC ，∴EF ∥MN 且EF=MN ，∴四边形MNEF 是平行四边形．2.如图，△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，假设BC ＝6，那么DF 的长是〔 〕A ．2B ．3 C.52 D ．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE ∥AB ，根据平行线的性质，可得∠EDC ＝∠ABC ，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF ＝DB ，进而求出DF 的长．【答案解析】解：在△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点∴DE ∥AB∴∠EDC ＝∠ABC∵BF 平分∠ABC∴∠EDC ＝2∠FBD在△BDF 中，∠EDC ＝∠FBD ＋∠BFD∴∠DBF ＝∠DFB∴FD ＝BD ＝12BC ＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3.如下图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】此题中所求线段MD 与线段AB.AC 之间没有什么联络，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一〞构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵ D.M分别为BN、BC的中点，∴ DM＝12CN＝162＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一〞、三角形的中线、中位线等联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．【答案】证明：延长AN、AM分别交BC于点D.G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．4.〔1〕如图1，在四边形ABCD中，E.F分别是BC.AD的中点，连接EF并延长，分别与BA.CD的延长线交于点M、N，那么∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．〔提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线〕〔2〕如图2，在△ABC 中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，假设AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE 的长度．【思路点拨】〔1〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ，证明出EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，证出HE=HF ，进而证出AB=CD ；〔2〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，证明出EH=OH ，可证明证出△OEH 是等边三角形，进而求出OE=25．【答案与解析】〔1〕证明：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ．∵E.F 分别是BC.AD 的中点，∴EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，∵∠BME=∠CNE ，∴HE=HF ，∴AB=CD ；〔2〕解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，∵AB=CD ，∴HO=HE ，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH 是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=25．【总结升华】此题考察了三角形的中位线定理、全等三角形的断定与性质，解答此题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，假设AB=5，CD=3，那么EF 的长是〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D ；解：连接DE 并延长交AB 于H ，∵CD ∥AB ，∴∠C=∠A ，∠CDE=∠AHE ，∵E 是AC 中点，∴AE=CE ，∴△DCE ≌△HAE ，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．制卷人：打自企；成别使；而都那。

第六章平行四边形6.3 三角形的中位线第六章平行四边形6.3 三角形的中位线一、学生知识状况分析本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。

三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。

三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方式和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。

三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着普遍的应用。

二、教学任务分析本节课从学生已有的知识和生活经验起身，提出问题与学生一路探索、讨论解决问题的方式，让学生经历知识的形成与应用的进程，从而更好地理解数学知识的意义。

利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探讨活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、冲破重点的目的。

教学目标1、认知目标（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。

（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。

（3）通过对问题的探索，培育学生逆向思维及分解构造大体图形解决问题的能力．2、能力目标引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培育学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。

3、德育目标对学生进行事物之间彼此转化的辩证的观点的教育。

4、情感目标利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。

教学重难点【重点】：理解并应用三角形中位线的定理。

【难点】：三角形中位线定理的探索与证明。

三、教学进程分析第一环节：温习回顾，奠定新知学习。

1.平行四边形的性质是什么？2.平行四边形的判定有哪些？目的：温习平行四边形的性质和判定，为三角形中位线的学习奠定基础。

第二环节：创设情境，学习新知。

（一）知识回顾，引入新知。

1.还记得学过的三角形的中线吗？你能画出△ABC 的中线AD 吗？如何画的？2.想一想：中线AD 的两个端点是什么样的点？3.取AC 中点E ，连接DE ，提问DE 是什么？目的：通过三角形中位线和中线的比较，让学生知道三角形中位线的概念。

中位线1.中位线概念：(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．2.中位线定理：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．分析由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．解由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以由条件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，从而AD=8(厘米)，由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以BC=2EG=2×6=12(厘米)，显然，AD是BC上的高，所以例2 如图2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．(1)求证：GH‖BC；(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．分析若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH‖BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．(1)证分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)．从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)，从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG‖MN，即HG‖BC．(2)解由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．又BC=18厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．从而MN=18-4-9=5(厘米)，说明(1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH‖BC仍然成立．同学们也不妨试证．例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．分析由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．证连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而A′B′‖AB，B′C′‖PQ，C′D′‖AB，D′A′‖PQ，所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以AB⊥BC，BC‖PQ．从而AB⊥PQ，所以A′B′⊥B′C′，所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以A′C′=B′D′．①说明在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：分析在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点．证取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以在△EFG中，EF＞EG-FG．③由①，②，③例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB‖CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．分析本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．证取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以因为AD=AB+CD，所以从而∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而∠AED=∠2+∠3=90°，所以DE⊥AE．例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．分析显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．证连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF‖AD，DE‖AF，所以ADEF是平行四边形，它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E 及FF1D1D的公共中位线，所以即AA1+EE1=FF1+DD1．练习十四1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长．2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE 于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是CD，AB的中点，延长AD，BC，分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF．5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．6．如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．7．已知在四边形ABCD中，AD＞BC，E，F分别是AB，CD。

2024北师大版数学八年级下册6.3《三角形的中位线》教学设计一. 教材分析《三角形的中位线》是北师大版数学八年级下册第六章第三节的内容。

本节内容主要介绍三角形的中位线的性质，包括中位线的长度等于它所对的边的一半，以及中位线平行于第三边。

这一节内容是学生学习几何的重要基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了三角形的性质，包括三角形的内角和定理，三角形的边长关系等。

学生对于几何图形的性质有一定的了解，但对于证明过程可能还不够熟练。

此外，学生对于中位线的概念可能还不够熟悉，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形的中位线的概念，掌握中位线的性质，能够运用中位线的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，体验成功，培养对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的性质，中位线的长度等于它所对的边的一半，中位线平行于第三边。

2.教学难点：证明三角形的中位线平行于第三边，以及证明中位线的长度等于它所对的边的一半。

五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生观察、思考，发现中位线的性质。

2.几何画板辅助教学：利用几何画板展示几何图形，直观地演示中位线的性质。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成练习题，培养学生的合作精神和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示三角形的中位线的性质。

2.练习题：准备一些有关三角形中位线的练习题，巩固所学知识。

3.几何画板：准备几何画板软件，用于展示几何图形。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用几何画板展示三角形的中位线，引导学生观察中位线的性质，并提出问题，让学生思考。

第02讲_三角形的中位线知识图谱三角形的中位线知识精讲一．三角形的中位线三角形中位线定义 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线性质DE ∥BC ， 12DE BC =如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，则线段DE 是△ABC 的中位线．求证：DE ∥BC ， 12DE BC =证明过程：延长DE 到F ，使EF = DE ，连接 FC 、DC 、AF 1）证明四边形ADCF 是平行四边形 2）证明四边形BCFD 是平行四边形∴DE// BC 且DE=EF=12BC 2．任意两点的中点坐标公式：平面直角坐标系内的任意两点()11A x y ， ，()22B x y ，，线段AB 的中点C 的坐标为121222x xy y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ABCD EABCDEF出现两个中点，无三角形→构造三角形如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H分别为四边中点连接对角线AC 、BD ，则HG 为△ADC的中位线，HG ∥AC 且HG ＝12AC 。

最后可证四边形HEFG 为平行四边形三．易错点（1）注意中线与中位线的区分 （2）中位线的辅助线构造三点剖析一．考点：1．中位线定理．二．重难点： 构造中位线，解决相关的角度线段问题．三．易错点：中线与中位线的区别．中位线定理例题1、 如图，▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3cm ，则AB 的长为（ ）A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.12 cm【答案】 B【解析】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC ；又∵点E 是BC 的中点， ∴BE=CE ，∴AB=2OE=2×3=6（cm ） 故选：B ．例题2、 如图，在Rt △ABC 中，△A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A.1B.2C.D.1+【答案】 A【解析】 如图，△在Rt △ABC 中，△C=90°，△A=30°， △AB=2BC=2．又△点D 、E 分别是AC 、BC 的中点， △DE 是△ACB 的中位线， △DE=AB=1．例题3、 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCEH GFEA BCD中，DE 的最小值是（ ）A.5B.6C.12D.13【答案】 A【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°， ∴BC ⊥AB ．∵四边形ADCE 是平行四边形， ∴OD ＝OE ，OA ＝OC ．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短，此时OD ⊥BC ． ∴OD 是△ABC 的中位线，∴12.52OD AB ==，∴ED ＝2OD ＝5．例题4、 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=DE ，求证：∠CDF=∠A ．【答案】 见解析【解析】 证明：∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC ，∵点F 在BC 的延长线上， ∴DE ∥CF ， ∵DE=CF ，∴四边形CEDF 为平行四边形， ∴DF ∥CE ，∴∠CDF=∠ECA ，∵∠ACB=90°，E 为AB 的中点， ∴CE=21AB=AE ， ∴∠A=∠DCE ， ∴∠CDF=∠A ．例题5、 （1）如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则BME CNE ∠=∠，求证：AB CD =．（提示取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线） （2）如图2，在ABC ∆中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，若5AB DC ==，60OEC ∠=︒，求OE 的长度．【答案】 （1）见解析（2）52【解析】 连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴EH AB ∥，12EH AB =，FH CD ∥，12FH CD =BME CNE ∠=∠，∴HE HF =， ∴AB CD =；（2）解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ， AB CD =，∴HO HE =，∴HOE HEO ∠=∠，60OEC ∠=︒，∴60HEO AGO ∠=∠=︒， ∴OEH ∆是等边三角形， 5AB DC ==∴52OE =随练1、 一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ） A.6 B.12 C.18 D.36 【答案】 C【解析】 根据题意，画出图形如图示， 点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴DE=12BC ，DF=12AC ，EF=12AB ，∵AB+CB+AC=36，∴DE+DF+FE=36÷2=18． 故选C ．随练2、 如图，△ABC 中，已知AB=8，△C=90°，△A=30°，DE 是中位线，则DE 的长为（ ）A.4B.3C.D.2【答案】 D【解析】 △△C=90°，△A=30°， △BC=AB=4， 又△DE 是中位线， △DE=BC=2．故选D ．随练3、 如图，已知ABC △是锐角三角形，分别以AB 、AC 为边向外侧作两个等边三角形ABM △和CAN △，D 、E 、F 分别MB 、BC 、CN 的中点，连结DE 、FE ，求证：DE EF =.【答案】 证明见解析【解析】 连接MC 、BN ，ABM ∵△和CAN △是等边三角形，60BAM CAN ∠=∠=︒∴，MA BA =，AN AC =， BAM BAC CAN BAC ∠+∠=∠+∠∴， 即MAC BAN ∠=∠， 在MAC △与BAN △中 MA BA MAC BAN AN AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， MAC BAN ∴△≌△， MC NB =∴，D ∵、E 、F 分别是MB 、BC 、CN 的中点，12DE MC =∴，12EF BN =，DE EF =∴.随练4、 如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ．若AB=14，AC=19，则MN 的长度为__________．【答案】 2.5【解析】 延长BN 交AC 于D ，∵AN ⊥BN ，AN 平分∠BAC ，∴AN 是BD 的垂直平分线，∵点M 是BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，111 2.5222MN CD AC AD AC AB ==-=-=（）（） 随练5、 已知，如图，四边形ABCD 中AD BC =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、EF 和BC 的延长线分别交于M 、N 两点，求证：AME BNE ∠=∠．ABCMN ABC D EFMNNMFD C BA【选项】【答案】见解析【解析】证明：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FGE、F、G分别是AB、CD、BD的中点//FG BC∴，//EG AD且1=2FG BC，1=2EG ADAME FEG∴∠=∠,BNE GFE∠=∠AD BC=FG EG∴=FEG EFG∴∠=∠AME BNE∴∠=∠．拓展1、如图，在△ABC中，从A点向∠ACB的角平分线作垂线，垂足为D，E是AB的中点，已知AC＝4，BC＝6，则DE的长为（）A.1B.43C.32D.2【答案】A【解析】如图，延长AD交BC于F，∵CD是∠ACB的角平分线，CD⊥AD，∴AD＝DF，AC＝CF，（等腰三角形三线合一），又∵E是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴12DE BF=，∵AC＝4，BC＝6，∴BF＝BC－CF＝6－4＝2，∴1212DE=⨯=．2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A.2B.3C.52D.4【答案】 B【解析】 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点 ∴DE ∥AB∴∠EDC=∠ABC ∵BF 平分∠ABC ∴∠EDC=2∠FBD在△BDF 中，∠EDC=∠FBD+∠BFD ∴∠DBF=∠DFB∴FD=BD=12BC=12×6=3．3、 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝________．【答案】 5【解析】 ∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴BC 2＋AC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE ＝EC ＝4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝3， ∴225AD DC AE DE ==+=．4、 如图，点A ，B 为定点，定直线l △AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值： ①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤△APB 的大小． 其中会随点P 的移动而变化的是（ ）A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤【答案】 B【解析】 △点A ，B 为定点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点， △MN 是△PAB 的中位线， △MN=AB ，即线段MN 的长度不变，故①错误； PA 、PB 的长度随点P 的移动而变化，所以，△PAB 的周长会随点P 的移动而变化，故②正确；△MN 的长度不变，点P 到MN 的距离等于l 与AB 的距离的一半， △△PMN 的面积不变，故③错误；直线MN ，AB 之间的距离不随点P 的移动而变化，故④错误； △APB 的大小点P 的移动而变化，故⑤正确． 综上所述，会随点P 的移动而变化的是②⑤． 故选：B5、 如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边△ACD 、等边△ABE ，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ，当ACAB=______时，四边形ADFE 是平行四边形．【答案】32【解析】 当ACAB =32时，四边形ADFE 是平行四边形．理由：∵ACAB =32，∴∠CAB=30°，∵△ABE 为等边三角形，EF ⊥AB ，∴EF 为∠BEA 的平分线，∠AEB=60°，AE=AB ， ∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°， ∴∠FEA=∠BAC ， 在△ABC 和△EAF 中， ACB EFA BAC AEF AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△EAF （AAS ）； ∵∠BAC=30°，∠DAC=60°， ∴∠DAB=90°，即DA ⊥AB ， ∵EF ⊥AB ， ∴AD ∥EF ，∵△ABC ≌△EAF ， ∴EF=AC=AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形6、 如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点．求证：()12EF BC AD =-【答案】 见解析【解析】 如图所示，连接AE 并延长，交BC 于点G ． AD BC ∥，∴ADE GBE ∠=∠，EAD EGB ∠=∠，又E 为BD 中点，∴AED GEB ∆∆≌．∴BG AD =，AE EG =． 在AGC ∆中，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点∴F 、E 是AGC ∆的为中位线，∴EF BC ∥，()()111222EF GC BC BG BC AD ==-=-，即()12EF BC AD =-。

第六章平行四边形
3. 三角形的中位线
华侨中学李芳
一、教材分析
本节课是北师大版数学教材八年级下册第六章第3节《三角形的中位线》它是学习完平行四边形的性质与判定后学习的一节有关三角形内容的课，说明它
与平行四边形有着密切的关系，它是利用平行四边形的判定证明的，反过来又
在很多四边形的地方用到它，三角形的中位线内容，在数学中相对独立，但又
是任何地方都可能用到，因此学好本节内容对数学体系都是很重要的。

二、学情分析
本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习
三角形中位线的概念和性质。

三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高
线后的第四种重要线段。

三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关
系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。

三角形中位线定
理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可
进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。

三、设计理念
本节课以“观察——猜想——实践——证明——总结”的模式展开，引导
学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题
的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。

利用制作的白板课件以及几何画板，让学生通过课件进行探究活动，使他
们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。

教学目标
1、认知目标
（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 6.3三角形的中位线同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为_____________．2．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为________．3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为________．4．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角．若DF＝2 cm，BC＝16 cm，则AC的长为________cm.二、选择题5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC ＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )A．50° B．40° C．30°D．20°6．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC的中点．若BD＝10，则EF的长为( )A．8 B．10 C．5 D．47．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，FD＝8，则HE＝( )A．20 B．16 C．12 D．88．以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是( )A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形三、解答题9．(1)如图，BD是△ABC的高，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．求证FG＝DE；(2)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，求四边形EFGH的周长．10．(1)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在CA 的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝9，AB＝12，求四边形AEDF的周长；(2)如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线．过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH.求证：DH ＝12BF.B 组(中档题)一、填空题11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AE ，BD 是角平分线，CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N.若AC ＝6，BC ＝8，则MN ＝________．12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD 且AC ＝4，BD ＝8，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则EF ＝________．13．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且AD ⊥BD ，E 为AC 的中点，AD ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，则DE 的长为________cm.二、解答题14．如图，在四边形ABCD 中，AB>CD ，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点． 求证：EF>12(AB －CD)．C 组(综合题)15．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC.(1)求证：四边形BDEF 是平行四边形；(2)线段BF ，AB ，AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．参考答案2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 6.3三角形的中位线同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为16．2．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为100_cm．3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为65°．4．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角．若DF＝2 cm，BC＝16 cm，则AC的长为12 cm.二、选择题5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC ＝80°，则∠1的度数为(B)A ．50°B ．40°C ．30°D ．20°6．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为E ，F 是BC 的中点．若BD ＝10，则EF 的长为(C)A ．8B ．10C ．5D ．47．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 边的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝8，则HE ＝(D)A ．20B ．16C ．12D ．88．以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是(B)A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 三、解答题9．(1)如图，BD 是△ABC 的高，E ，F ，G 分别是BC ，AC ，AB 的中点．求证FG ＝DE ；证明：∵G ，F 分别是AB ，AC 的中点， ∴FG ＝12BC.∵BD 是△ABC 的高， ∴△BCD 是直角三角形． ∵E 是BC 的中点， ∴DE ＝12BC.∴FG ＝DE.(2)如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，求四边形EFGH 的周长．解：∵BD ⊥CD ，BD ＝4，CD ＝3，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝42＋32＝5.∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点， ∴EH ＝FG ＝12BC ，EF ＝GH ＝12AD.∴四边形EFGH 的周长＝EH ＋GH ＋FG ＋EF ＝AD ＋BC.又∵AD ＝7，BC ＝5，∴四边形EFGH 的周长＝7＋2＝12.10．(1)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在CA 的延长线上，∠FDA ＝∠B ，AC ＝9，AB ＝12，求四边形AEDF 的周长；解：在Rt △ABC 中， ∵AC ＝9，AB ＝12， ∴BC ＝92＋122＝15. ∵E 是BC 的中点， ∴AE ＝12BC ＝BE ＝7.5.∴∠BAE ＝∠B.∵∠FDA ＝∠B ，∴∠FDA ＝∠BAE. ∴DF ∥AE.∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，DE ＝12AC ＝4.5.∴四边形AEDF 是平行四边形．∴四边形AEDF 的周长＝2×(4.5＋7.5)＝24.(2)如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线．过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH.求证：DH ＝12BF.证明：∵AE 为△ABC 的角平分线，CH ⊥AE ， ∴△ACF 是等腰三角形． ∴AF ＝AC ，HF ＝CH. ∵AD 为△ABC 的中线， ∴DH 是△BCF 的中位线． ∴DH ＝12BF.B 组(中档题)一、填空题11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AE ，BD 是角平分线，CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N.若AC ＝6，BC ＝8，则MN ＝2．12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD 且AC ＝4，BD ＝8，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则EF ＝25．13．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且AD ⊥BD ，E 为AC 的中点，AD ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，则DE 的长为3cm.二、解答题14．如图，在四边形ABCD 中，AB>CD ，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点． 求证：EF>12(AB －CD)．证明：作AD 的中点G ，连接EG ，FG.∵E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线BD ，AC 的中点， ∴FG ＝12CD ，EG ＝12AB.∴EG －FG ＝12(AB －CD)．在△EFG 中，EG －FG<EF ， ∴EF>12(AB －CD)．C 组(综合题)15．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC.(1)求证：四边形BDEF 是平行四边形；(2)线段BF ，AB ，AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．解：(1)证明：延长CE 交AB 于点G. ∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°. 在△AGE 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ，∠AEG ＝∠AEC ，∴△AGE ≌△ACE(ASA)．∴GE ＝EC. ∵BD ＝CD ，∴DE 为△CGB 的中位线． ∴DE ∥AB.∵EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形． (2)BF ＝12(AB －AC)．证明如下：∵四边形BDEF 是平行四边形，∴BF ＝DE. ∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点， ∴BF ＝DE ＝12BG.∵△AGE ≌△ACE ，∴AG ＝AC. ∴BF ＝12(AB －AG)＝12(AB －AC)．。

三角形的中位线数学教案第一章：三角形的基本概念1.1 三角形的定义引导学生回顾三角形的基本概念，理解三角形的三个顶点和三条边的特点。

通过实物模型或图形示例，让学生观察和描述三角形的特点。

1.2 三角形的分类介绍等边三角形、等腰三角形和普通三角形的定义和特点。

让学生通过观察图形，判断和分类给定的三角形。

第二章：三角形的中位线定义和性质2.1 三角形的中位线定义引入中位线的概念，解释中位线是连接三角形两个中点的线段。

通过图形示例，让学生观察和描述中位线的位置和特点。

2.2 三角形中位线的性质引导学生探索中位线的性质，如中位线平行于第三边，中位线等于第三边的一半等。

通过几何证明或实际操作，让学生验证和理解这些性质。

第三章：中位线的应用3.1 中位线在几何作图中的应用介绍中位线在几何作图中的应用，如通过中位线作图构造平行线、构造特定角度等。

让学生通过实际操作，练习使用中位线进行几何作图。

3.2 中位线在证明题中的应用引导学生利用中位线的性质解决证明题，如证明两个线段相等、证明两个角相等等。

通过示例题和练习题，让学生学会运用中位线性质解决实际问题。

第四章：中位线的拓展4.1 中位线与三角形的不等式介绍中位线与三角形的不等式关系，如中位线的长度大于第三边的一半等。

让学生通过证明或实际操作，理解和掌握这些不等式。

4.2 中位线与三角形的面积引导学生探索中位线与三角形面积的关系，如通过中位线可以构造出原三角形的面积等。

通过示例题和练习题，让学生学会运用中位线计算三角形的面积。

第五章：综合练习与拓展5.1 中位线的综合练习提供一系列有关中位线的练习题，让学生综合运用中位线的性质和应用。

引导学生通过独立思考和合作讨论，解决练习题，加深对中位线的理解和应用。

5.2 中位线的拓展研究引导学生进行中位线的拓展研究，如探索中位线在多边形中的应用、研究其他图形的类似性质等。

鼓励学生通过探究和实践，发展自己的数学思维和解决问题的能力。