【人教A版】2020年高考数学二轮复习圆锥曲线《轨迹方程》讲义案及中档题型精讲卷

目录目录 (1)一、总论 (2)二、考纲解读 (2)三、命题趋势探究 (2)四、知识讲解 (3)1.极坐标系 (3)2.极坐标与直角坐标的互化 (3)3.极坐标的几何意义 (3)4.直线的参数方程 (4)5.圆的参数方程 (4)6.椭圆的参数方程 (5)7.双曲线的参数方程 (5)8.抛物线的参数方程 (5)五、解答题题型归纳 (5)核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 (5)核心考点2: 参数方程中参数的几何意义 (16)一、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化，但只要知其本质，便可举一反三，金枪不倒.二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.四、知识讲解1.极坐标系在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ(弧度制)来刻画(如图1和图2所示).这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.2.极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan(0)x yyxxρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）.3.极坐标的几何意义rρ=——表示以O为圆心，r为半径的圆；θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为θ的直线，(0)θθρ=≥为射线；2cosaρθ=表示以(,0)a为圆心过O点的圆.图1图2(可化直角坐标: 22cosaρρθ=222x y ax⇒+=222()x a y a⇒-+=.)4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x-=-，其中tan(kαα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin()()cos2y y x xαπαα-=-≠,即00cos sinx x y yαα--=.记上式的比值为t,整理后得0cost sinx x ty yαα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为cost sinx x ty yαα=+⎧⎨=+⎩(t为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y，动点(,)M x y，t为M M 的数量，向上向右为正(如图3所示).5.圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y，半径为r，则圆的参数方程为0cos(02)sinx x ry y rθθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.图36.椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.7.双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .8.抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.五、解答题题型归纳核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 1.在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：3y x =，即0x -= .圆心(0,2)到直线0x =的距离为=2. 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .解析 解法一：1C x =3：，22:4cos C ρρθ=，得2240,,02x y x πθρ⎛⎫⎡⎫+=∈≥⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭（圆在第一象限的部分）。

第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为 ()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分 适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单简单简单【例1】.已知椭圆0a b （＞＞）的左焦点为-0F c （，）,右顶点为A ,点E 的坐标为0c （，）,EFA 的面积为. (I)求椭圆的离心率;(II)设点Q 在线段AE 上,||FQ =,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M N ，在x 轴上,PM QN ,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c . (i)求直线FP 的斜率; (ii)求椭圆的方程.【解答】解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得.又由b 2=a 2﹣c 2,可得2c 2+ac ﹣a 2=0,即2e 2+e ﹣1=0.又因为0＜e ＜1,解得.所以,椭圆的离心率为;(2)(ⅰ)依题意,设直线FP 的方程为x=my ﹣c(m >0),则直线FP 的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE 的方程为,即x +2y ﹣2c=0,与直线FP的方程联立,可解得 ,即点Q 的坐标为.由已知|FQ |=,有,整理得3m 2﹣4m=0, 所以,即直线FP 的斜率为.(ii)解:由a=2c,可得 ,故椭圆方程可以表示为.由(i)得直线FP 的方程为3x ﹣4y +3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx ﹣13c2=0,解得(舍去),或x=c.因此可得点 ,进而可得,所以.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ,所以,所以¡÷FQN 的面积为 ,同理¡÷FPM 的面积等于 ,由四边形PQNM 的面积为3c,得,整理得c 2=2c,又由c >0,得c=2. 所以,椭圆的方程为.【例2】.如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n ,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,A B C D .记mnλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (1)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.O xyBA C DMN【答案】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C :22221x y a m +=,2C :22221x y a n +=. 其中0a m n >>>, 1.m nλ=>(1)解法1:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为0x =,则111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=,所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =,可得A y m =,B y n =,D y m =-,于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+. 解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+.O xyBA第22题解答图1CDMN OxyBA 第22题解答图2C DMN(2)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为122|0|11ak ak d k k --==++,222|0|11ak ak d k k -==++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==,即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =,所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-, ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+,于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得222A am x a k m=+,222B an x a k n=+.根据对称性可知C B x x =-,D A x x =-,于是222222221||2||||21||A D A B B C k x x x AD m a k n BC x n a k m k x x +-+===++-. ② 从而由①和②式可得2222221(1)a k n a k m λλλ++=+-. ③令1(1)t λλλ+=-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠,所以20k >. 于是③式关于k 有解,当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-, 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>,可解得11t λ<<,即111(1)λλλλ+<<-,由1λ>,解得12λ>+,所以当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=;当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为122|0|11ak ak d kk--==++,222|0|11ak ak d kk-==++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==. 因为221||||||1||B D A B A B A B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-,所以11A B x x λλ+=-.由点(,)A A A x kx ,(,)B B B x kx 分别在C 1,C 2上,可得222221A A x k x a m +=,222221B B x k x a n +=,两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=, 依题意0A B x x >>,所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >,所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-,可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-,解得12λ>+,所以 当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=;当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.已知一条曲线 在 轴右边, 上每一点到点 的距离减去它到 轴距离的差都是 .(1)求曲线 的方程;(2)是否存在正数 ,对于过点 且与曲线 有两个交点 的任一直线,都有＜ 若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)设P(x,y)是曲线C 上任意一点,那么点P(x,y)满足:化简得y 2=4x(x >0).(2)设过点M(m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 设l 的方程为x=ty +m,由 得y 2﹣4ty ﹣4m=0,△=16(t 2+m)>0,于是①又＜ ⇔(x 1﹣1)(x 2﹣1)+y 1y 2=x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1+y 1y 2＜0②又,于是不等式②等价于 ＜ ⇔＜ ③由①式,不等式③等价于m 2﹣6m +1＜4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2﹣6m +1＜0,解得 ＜ ＜ .由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有＜ ,且m 的取值范围 .【例2】.已知椭圆E:过点 ,且离心率 为. (1)求椭圆 的方程;(2)设直线 ﹣ 交椭圆 于 两点,判断点与以线段 为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解答】解法一:(1)由已知得,解得 , ∴椭圆E 的方程为.(2)设点A(x 1y 1),B(x 2,y 2),AB 中点为H(x 0,y 0).由,化为(m 2+2)y 2﹣2my ﹣3=0,∴y 1+y 2= ,y 1y 2= ,∴y 0=. G,∴|GH |2= = + =+ +.===,故|GH|2﹣=+=﹣+=0.∴,故G在以AB为直径的圆外.解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1y1),B(x2,y2),则==.由,化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,∴y1+y2=,y1y2=,从而==+y1y2=+=﹣+=0.∴0,又不共线,∴∠AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】.如图,椭圆经过点,离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为123,,k k k .问:是否存在常数 ,使得123k k k λ+=？若存在,求 的值;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)椭圆C:经过点P (1, ),可得 ①由离心率e= 得 =,即a=2c,则b 2=3c 2②,代入①解得c=1,a=2,b= 故椭圆的方程为(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k,则直线AB 的方程为y=k(x ﹣1)③代入椭圆方程并整理得(4k 2+3)x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12=0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1+x 2=④ 在方程③中,令x=4得,M 的坐标为(4,3k), 从而=k ﹣ 注意到A,F,B 共线,则有k=k AF =k BF ,即有 ==k 所以k 1+k 2= += + ﹣ +) =2k ﹣ × ⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣,所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为令x=4,求得M(4,)从而直线PM的斜率为k3=,联立,得A(),则直线PA的斜率k1=,直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3,故存在常数λ=2符合题意【例2】.设椭圆的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与椭圆交于不在轴上,垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且∠∠,求直线的斜率.【解答】解:(1)由+=,得+=,即=,∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3),解得a=2.∴椭圆方程为;(2)由已知设直线l的方程为y=k(x﹣2),(k≠0),设B(x1,y1),M(x0,k(x0﹣2)),∵∠MOA=∠MAO,∴x0=1,再设H(0,y H),联立,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0.△=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2)(16k2﹣12)=144>0.由根与系数的关系得,∴,MH所在直线方程为y﹣k(x0﹣2)=﹣(x﹣x0),令x=0,得y H=(k+)x0﹣2k,∵BF⊥HF,∴,即1﹣x1+y1y H=1﹣[(k+)x0﹣2k]=0,整理得:=1,即8k2=3.∴k=﹣或k=.【例3】.已知椭圆222)：＞,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个+=9(0C x y m m交点,线段的中点为.(1)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;(2)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形？若能,求此时的斜率;若不能,说明理由.【解答】解:(1)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M),将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,则判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,则x1+x2=,则x M==,y M=kx M+b=,于是直线OM的斜率k OM==,即k OM•k=﹣9,∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.∵直线l过点(,m),∴由判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,即k2m2>9b2﹣9m2,∵b=m﹣m,∴k2m2>9(m﹣m)2﹣9m2,即k2>k2﹣6k,即6k>0,则k>0,∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3,由(1)知OM的方程为y=x,设P的横坐标为x P,由得,即x P=,将点(,m)的坐标代入l的方程得b=,即l的方程为y=kx+,将y=x,代入y=kx+,得kx+=x解得x M=,四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M,于是=2×,解得k1=4﹣或k2=4+,∵k i>0,k i≠3,i=1,2,∴当l的斜率为4﹣或4+时,四边形OAPB能为平行四边形.。

第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质[做小题——激活思维]1．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．24 C [△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，∴△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C.]2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线D [由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．]3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.17 [由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.]4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．209或365[当k ＞4时，有e ＝1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝1－k4＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365.]5．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.]6．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132 [由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y . ∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132.][扣要点——查缺补漏]1．圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如T 3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化．如T 1，T 2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”． 2．圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，如T 4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)[高考解读] 高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 切入点：|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点A 的位置，求a ，b 的值．B [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF1|， ∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．切入点：△APF 的周长最小．关键点：根据双曲线的定义及△APF 周长最小，确定P 点坐标．126 [由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F＝12×6×66－12×6×26＝12 6.] [教师备选题]1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.]2．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 29＝1B.x 29－y 23＝1C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1 A [设双曲线的右焦点为F (c,0)．将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴ y ＝±b 2a.不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，则d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc －b 2|c＝bc(c －b )，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc ＋b 2|c＝bc(c ＋b )，∴ d 1＋d 2＝bc·2c ＝2b ＝6，∴ b ＝3. ∵ c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴ a 2＝3， ∴ 双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选A.]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程； (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆方程常设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，双曲线方程常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．1．(椭圆的定义)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B.59 C.49 D.513D [如图，设线段PF1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.故选D.]2．(双曲线的标准方程)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 A [易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.]3．(抛物线的定义)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.4 [设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C (图略)，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.]圆锥曲线的性质(5年17考)[高考解读] 高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点． 关键点：正确用p 表示抛物线和椭圆的焦点．D [抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆x 23p ＋y 2p＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，∴p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5切入点：以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2相交且|PQ |＝|OF |.关键点：正确确定以OF 为直径的圆的方程．A [令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.]3．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)切入点：C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°.关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m 的不等式． A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.] [教师备选题]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [因为双曲线的离心率为3，所以c a＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以y ＝±2x .故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A.]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(椭圆的离心率)[一题多解]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [法一：如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.故选B.法二：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可取直线l 的方程为y ＝ba 2－b 2x ＋b ，椭圆中心到l 的距离为b a 2－b 2a ，由题意知b a 2－b 2a ＝14×2b ，即a 2－b 2a ＝12，故离心率e ＝12.] 2．(双曲线的离心率)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M为双曲线右支上一点，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，且ON ⊥MF 2,3|ON |＝2|MF 2|，则C 的离心率为( )A ．6B ．5C ．4D ．3B [连接MF 1(图略)，由双曲线的定义得|MF 1|－|MF 2|＝2a ，因为N 为MF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，所以ON ∥MF 1，所以|ON |＝12|MF 1|，因为3|ON |＝2|MF 2|，所以|MF 1|＝8a ，|MF 2|＝6a ，因为ON ⊥MF 2，所以MF 1⊥MF 2，在Rt△MF 1F 2中，由勾股定理得(8a )2＋(6a )2＝(2c )2，即5a ＝c ，因为e ＝c a，所以e ＝5，故选B.]3．(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B.]直线与圆锥曲线的综合问题(5年5考)[高考解读] 直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.角度一：直线与圆锥曲线的位置关系1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .切入点：①直线l 过点A ；②l 与C 交于M ，N 两点；③l 与x 轴垂直． 关键点：将问题转化为证明k BM 与k BN 具有某种关系．[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋y 1＋y 2x 1＋x 2＋.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. 切入点：①直线l 与椭圆C 相交；②AB 的中点M (1，m )．关键点：根据FP →＋FA →＋FB →＝0及点P 在C 上确定m ，并进一步得出|FP →|，|FA →|，|FB →|的关系．[证明] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P 1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝x 1－2＋y 21＝x 1－2＋31－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. [教师备选题](2018·北京高考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－74，14共线，求k .[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝ x 2－x 12＋y 2－y 12＝ x 2－x 12＝ x 1＋x 22－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3. 直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋2x ＋2，x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0. 设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21x 1＋22＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)． 因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.1．判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数． 2．弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 的两交点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则|PQ |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝x 1＋x 22－4x 1x 2＋k2.或|PQ |＝|y 1－y 2|1＋1k2＝y 1＋y 22－4y 1y 2]⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(k ≠0)．3．弦的中点圆锥曲线C ：f (x ，y )＝0的弦为PQ .若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.1．(直线与椭圆的综合)已知离心率为12的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上顶点为B ，且BA 1→·BA 2→＝－1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，且直线l 与x 轴不垂直，若D 为x 轴上一点，|DM →|＝|DN →|，求|MN ||DF |的值．[解] (1)A 1，A 2，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，(0，b )，BA 1→·BA 2→＝(－a ，－b )·(a ，－b )＝b 2－a 2＝－1，∴c 2＝1. 又e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F (－1,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵直线l 与x 轴不垂直，∴可设其方程为y ＝k (x ＋1)． 当k ＝0时，易得|MN |＝4，|DF |＝1，|MN ||DF |＝4.当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， ∴|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k 23＋4k2. 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝6k3＋4k2， ∴MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 23＋4k 2，3k 3＋4k 2，∴MN 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2(k ≠0)， 令y ＝0得，1k x ＋k 3＋4k 2＝0，解得x ＝－k23＋4k2.|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k 23＋4k 2，∴|MN ||DF |＝4.综上所述，|MN ||DF |＝4.2．(直线与抛物线的综合)过抛物线E ：x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线在M ，N 两点处的切线交于点P .(1)证明点P 落在抛物线E 的准线上； (2)设MF →＝2FN →，求△PMN 的面积．[解] (1)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.设直线MN 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程x 2＝4y ，整理得x 2－4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 对y ＝14x 2求导，得y ′＝12x ，所以直线PM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)．①直线PN 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)．②联立方程①②，消去x ，得y ＝－1. 所以点P 落在抛物线E 的准线上．(2)因为MF →＝(－x 1,1－y 1)，FN →＝(x 2，y 2－1)，且MF →＝2FN →.所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝y 2－，得x 21＝8，x 22＝2.不妨取M (22，2)，N (－2，12)，由①②得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－1.易得|MN |＝92，点P 到直线MN 的距离d ＝322，所以△PMN 的面积S ＝12×92×322＝2728.。

第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B 级考点，其余都是A 级考点，但高考必考．在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)．要能准确建模(方程或不等式)．1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．1. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m ＝________．答案：3或2532. 若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．答案：323. 已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．答案：x 29－y227＝1解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1，于是c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，于是λ＝27，所以双曲线的方程x 29－y 227＝1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6－22解析：由题意可得点M 坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，又△PQM 是钝角三角形，所以圆心M 到y 轴的距离c 小于22MF ，即c ＜22·b 2a ，2ac ＜b 2＝a 2－c 2，c 2＋2ac －a 2＜0，所以e 2＋2e －1＜0，解得－2－62＜e ＜－2＋62.又e ＞0，所以0＜e ＜－2＋62.题型一 轨迹问题例1 离心率为45的椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上有一点M 到椭圆两焦点的距离之和为10，以椭圆C 的右焦点F(c ，0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT ，T 为切点，且点P 满足|PT|＝|PB|(B 为椭圆C 的上顶点)．(1) 求椭圆的方程；(2) 求动点P 的轨迹的方程．解：(1) ∵ 2a＝10，c a ＝45，a 2＝b 2＋c 2，∴ a ＝5，c ＝4，b ＝3，∴ 椭圆方程是x 225＋y29＝1.(2) 设点P(x ，y)，∵ F(4，0)，R ＝3，B(0，3)，|PT|＝|PB|，∴ PF 2－9＝PB 2，∴ (x －4)2＋y 2－9＝x 2＋(y －3)2，整理得到4x －3y ＋1＝0.如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|. (1) 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2) 求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解：(1) 设点M 的坐标是(x ，y)，P 的坐标是(x P ，y P )，∵ 点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|，∴ x P ＝x 且y P ＝54y.∵ P在圆x 2＋y 2＝25上，∴ x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5y 42＝25，整理得x 225＋y 216＝1，即C 的方程是x 225＋y 216＝1.(2) 过点(3，0)且斜率为45的直线方程是y ＝45(x －3)，设此直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y 216＝1，得x 225＋（x －3）225＝1，化简得x2－3x －8＝0，∴ x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴ |AB|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625（x 1－x 2）2＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.题型二 椭圆的几何性质例2 已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F 1(2，0)，离心率为e.(1) 若e ＝22，求椭圆的方程； (2) 设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上．① 证明：点A 在定圆上；② 设直线AB 的斜率为k ，若k≥3，求e 的取值范围．(1)解：由e ＝22，c ＝2，得a ＝22，b ＝2，则所求椭圆方程为x 28＋y24＝1.(2) 设A(x 0，y 0)，则B(－x 0，－y 0)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22，y 02，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 02，－y 02.① 证明：由题意，得OM →·ON →＝0，化简，得x 20＋y 20＝4，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．② 解：设A(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1，x 20＋y 20＝4⎩⎪⎨⎪⎧x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1，x 20＋k 2x 20＝41a 2＋k 2b 2＝14(1＋k 2)． 将e ＝c a ＝2a ，x 得a ＝2e ，b 2＝a 2－c 2＝4e2－4，代入上式整理，得k 2(2e 2－1)＝e 4－2e 2＋1.因为e 4－2e 2＋1>0，k 2＞0，所以2e 2－1＞0，即e ＞22. 又k 2＝e 4－2e 2＋12e 2－1≥3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧e 4－8e 2＋4≥0，2e 2－1＞0. 解得12＜e 2≤4－23，即22＜e≤3－1.故离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，3－1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其焦点在圆x 2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆的方程；(2) 设A 、B 、M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cos θOA →＋sin θOB →.① 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；② 求OA 2＋OB 2.(1) 解：依题意，得c ＝1，于是a ＝2，b ＝1，所以所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2) ① 证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 又设M(x ，y)，因OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ.因M 在椭圆上，故（x 1cos θ＋x 2sin θ）22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1.整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝1.将①②代入上式，并注意cos θsin θ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0.所以k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．② 解：因(y 1y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)·(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2， 所以OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3. 题型三 直线与椭圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M 、N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．(1) 解：由题意知b ＝22＝2，因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，所以a ＝22，所以椭圆C 的方程为x 28＋y22＝1.(2) 证明：由题意可设M 、N 的坐标分别为(x 0，y 0)、(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，①直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②(证法1)联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20. 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝8－4y 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝32y 20－96y 0＋728（2y 0－3）2＝8（2y 0－3）28（2y 0－3）2＝1，所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． (证法2)设T(x ，y)．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 题型四 与椭圆有关的综合问题例4 如图，已知A 1、A 2、B 1、B 2是椭圆C ：x2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，△A 1B 1B 2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.(1) 求椭圆C 及圆M 的方程；(2) 若点D 是圆M 劣弧A 1B 2︵上一动点(点D 异于端点A 1、B 2)，直线B 1D 分别交线段A 1B 2、椭圆C 于点E 、G ，直线B 2G 与A 1B 1交于点F.① 求GB 1EB 1的最大值；② 试问：E 、F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：(1) 由题意知，B 2(0，1)，A 1(－3，0)，所以b ＝1，a ＝3，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.易得圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫－33，0，A 1M ＝233， 所以圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋332＋y 2＝43.(2) 设直线B 1D 的方程为y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k<－33， 与直线A 1B 2的方程y ＝33x ＋1联立， 解得点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫233k －1，3k ＋13k －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 23＋y 2＝1， 消去y 并整理，得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 3k 2＋1，3k 2－13k 2＋1， ① 因为G 、E 、B 1共线，所以GB 1EB 1＝|x G ||x E |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 3k 2＋1⎪⎪⎪⎪⎪⎪233k －1＝3k 2－3k3k 2＋1＝1－3k ＋13k 2＋1＝1＋1－（3k ＋1）＋2－（3k ＋1）＋2≤1＋122＋2＝2＋12，当且仅当k ＝－6＋33时，取“＝”，所以GB 1EB 1的最大值为2＋12.② 直线B 2G 的方程为y ＝3k 2－13k 2＋1－16k 3k 2＋1x ＋1＝－13k x ＋1，与直线A 1B 1的方程y ＝－33x －1联立，解得点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 3k －1，3k ＋13k －1，所以E 、F 两点的横坐标之和为233k －1＋－6k3k －1＝－2 3. 故E 、F 两点的横坐标之和为定值，该定值为－2 3.在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y2－4x ＋2＝0的圆心．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1、l 2.当直线l 1、l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．解：(1) 由x 2＋y 2－4x ＋2＝0，得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2，0)，从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦距为2c ，由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12，∴ a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2) 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2.则l 1、l 2的方程分别为l 1：y－y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切，得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1、k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧（2－x 0）2－2≠0，Δ＝8[（2－x 0）2＋y 20－2]>0，① 且k 1k 2＝y 20－2（2－x 0）2－2＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 2012＝1，y 20－2（2－x 0）2－2＝12，得 5x 20－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2或x 0＝185.由x 0＝－2，得y 0＝±3；由x 0＝185，得y 0＝±575，它们满足①式，故点P 的坐标为(－2，3)或(－2，－3)或⎝⎛⎭⎪⎫185，575，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－575.1. (2014·安徽卷)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案：x 2＋32y 2＝1解析：设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得|B 0F 1|＝13|F 1F 2|＝2c 3，得B 0坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，0，即B 点横坐标为－5c3.设直线AB 的斜率为k.又直线过点F 1(－c ，0)，∴ 直线AB 的方程为y＝k(x ＋c)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋c ），x 2＋y 2b 2＝1.得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0，其两根为－5c3和c ，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－53c ＋c ＝－2ck 2k 2＋b2，－53c×c＝k 2c 2－b2k 2＋b2，解得c 2＝13，∴ b 2＝1－c 2＝23.∴ 椭圆方程为x 2＋32y 2＝1.2. (2014·江西卷)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A 、B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．答案：22解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，∴ （x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 即b 2a 2＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）（x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝12. ∴ a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2，∴ e ＝22. 3. (2014·湖北卷)已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________．答案：433解析：由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2.∵ ∠F 1PF 2＝π3，∴ 由余弦定理可得4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3①.在椭圆中，①化简为即4c 2＝4a 21－3r 1r 2，即3r 1r 24c 2＝1e 21－1 ②；在双曲线中，①化简为即4c 2＝4a 22＋r 1r 2，即r 1r 24c2＝－1e 22＋1 ③.联立②③，得1e 21＋3e 22＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 21＋3e 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1e 1＋13×3e 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22≤43×4＝163，即1e 1＋1e 2≤163＝433. 4. (2014·湖南卷)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a 、b(a ＜b)，原点O为AD 的中点，抛物线y 2＝2px(p ＞0)经过C 、F 两点，则b a＝________．答案：1＋ 2解析：依题意可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ，代入抛物线方程得a ＝p ，b 2＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，化简得b 2－2ab －a 2＝0，即b 2a 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －1＝0，解得b a ＝1＋ 2.5. (2014·重庆卷)如图，设椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．解：(1) 设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2， 由|F 1F 2||DF 1|＝22，得DF 1＝|F 1F 2|22＝22c. 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2， 得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322.所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2) 如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，由圆和椭圆的对称性，易知x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1→＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)，再由F 1P 1⊥F 2P 2，得－(x 1＋1)2＋y 21＝0，由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x ＝0.解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在；当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C ，由F 1P 1，F 2P 2过圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥F 1P 1.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.6. (2014·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B.已知|AB|＝32|F 1F 2|. (1) 求椭圆的离心率；(2) 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．解：(1) 设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB|＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2) 由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y2c2＝1.设P(x 0，y 0)，由F 1(－c ，0)，B(0，c)，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c)．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c)c ＋y 0c ＝0. 又c≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c 2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c.代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T(x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx.由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15，所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2014·南师附中)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)、A 2(2，0)．过点D(1，0)的直线交椭圆于M 、N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1、P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；(3) 求证：点G 在一条定直线上．(1) 解：由题设可知a ＝2.(1分)因为e ＝32，即c a ＝32，所以c ＝ 3.因为b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，所以b ＝1.(2分)(2) 解：由题设可知，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线MN 的方程为y ＝x －1.设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 可得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85.将x 1＝0，x 2＝85代入直线MN 的方程，解得y 1＝－1，y 2＝35.所以MN ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝852.(4分)设与直线MN 平行的直线m 的方程为y ＝x ＋λ.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋λ，消去y 可得5x 2＋8λx＋4λ2－4＝0，若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足Δ＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝± 5.(6分)当直线m 为y ＝x －5时，直线MN 与m 之间的距离为d 1＝|－1－（－5）|2＝5－12；当直线m 为y ＝x ＋5时，直线MN 与m 之间的距离为d 2＝|－1－5|2＝5＋12.(8分) 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 则需满足d 1＜d ＜d 2，即5－12＜d ＜5＋12.因为S ＝12d ·MN ＝452d ，所以45－45＜S ＜45＋45.(10分)(3) 证明：(方法1)设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k 1（x ＋2），消去y 得(1＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－4＝0，解得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 211＋4k 21，4k 11＋4k 21.同理，可解得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 22－21＋4k 22，－4k 21＋4k 22.(12分) 由M 、D 、N 三点共线，有4k 11＋4k 212－8k 211＋4k 21－1＝－4k 21＋4k 228k 22－21＋4k 22－1， 化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0.由题设可知k 1与k 2同号，所以k 2＝3k 1.(14分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），y ＝k 2（x －2），解得交点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2（k 1＋k 2）k 2－k 1，4k 1k 2k 2－k 1.将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标，得x G ＝2（k 1＋k 2）k 2－k 1＝2（k 1＋3k 1）3k 1－k 1＝4.所以，点G 恒在定直线x ＝4上．(16分)(方法2)显然，直线MN 的斜率为0时不合题意． 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1.令m ＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32时，直线A 1M 的方程为y ＝36x ＋33，直线A 2N 的方程为y ＝32x － 3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝36x ＋33，y ＝32x －3，解得交点G 的坐标为(4，3)； 当M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，由对称性可知交点G 的坐标为(4，－3)．若点G 恒在一条定直线上，则此定直线必为x ＝4.(12分)下面证明对于任意的实数m ，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． 设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)、G(4，y 0)．由点A 1、M 、G 三点共线，有y 1－0x 1＋2＝y 04＋2，即y 0＝6y 1x 1＋2.再由点A 2、N 、G 三点共线，有y 2－0x 2－2＝y 04－2，即y 0＝2y 2x 2－2.所以6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2. ①将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入①式， 化简得2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0. ②(14分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，从而有y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4.将其代入②式，有2m·－3m 2＋4－3·－2mm 2＋4＝0成立．所以当m 为任意实数时，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上．(16分)1. 已知方程x 2m －1＋y22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________，若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞) 2. 点P 为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，F 1 、F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．答案： 633. 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．答案：x ＝－14. 设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．答案：1＋362解析：圆心C(0，2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，于是只要求|CQ|的最大值．设Q(x ，y)，∴ |CQ|＝x 2＋（y －2）2＝9（1－y 2）＋（y －2）2＝－8y 2－4y ＋13.∵ －1≤y≤1，∴ 当y ＝－14时，|CQ|max ＝272＝362，∴ |PQ|max ＝1＋362.5. 如图，椭圆C ：x 216＋y24＝1的右顶点为A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．(1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 若过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S(不同于B)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．证明：(1) 由题意得A(4，0)，B(0，2)，D(0，－2)，E(2，0)，P(4，1)，所以直线DE的方程为y ＝x －2，直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝65， 所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫165216＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6524＝1，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上，即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上．(2) 直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k 11＋4k 21，y ＝2－8k 211＋4k 21，所以点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21. 因为k 1k 2＝－14，所以直线BS 的斜率k 2＝－14k 1，直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k 11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21， 所以点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21. (若写成“同理可得点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”也可以)所以R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O.6. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24(c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1) 若椭圆C 经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，423、⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，求椭圆C 的方程；(2) 当c 为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求OP →·OE →的值(O 是坐标原点)； (3) 若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．(1) 解：令椭圆mx 2＋ny 2＝1，其中m ＝1a 2，n ＝1b2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋329n ＝1，274m ＋n ＝1，所以m ＝19，n ＝14，即椭圆C 的方程为x 29＋y24＝1.(2) 证明：直线AB ：x －a ＋y b ＝1，设点P(x 0，y 0)，则OP 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02，所以点O 、M 、P 、N 所在的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝x 20＋y 204，化简为x 2－x 0x ＋y 2－y 0y ＝0，与圆x 2＋y2＝c 24作差，即有直线MN ：x 0x ＋y 0y ＝c 24.因为点P(x 0，y 0)在直线AB 上，所以x 0－a ＋y 0b＝1，将y 0＝b ＋b a x 0代入MN 方程，化简得x 0(x ＋b a y)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫by －c 24＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b a y ＝0，by －c24＝0，得x ＝－c 24a ，y ＝c 24b ，故定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 24a ，c 24b ，则OP →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，b a x 0＋b ·(－c 24a ，c 24b )＝c 24. (3) 解：直线AB ：x －a ＋y b ＝1与圆G ：x 2＋y 2＝c 24(c 是椭圆的半焦距)相离，则ab a 2＋b 2＞c 2，即4a 2b 2＞c 2(a 2＋b 2)，即4a 2(a 2－c 2)＞c 2(2a 2－c 2)，得e 4－6e 2＋4＞0.因为0＜e ＜1，所以0＜e 2＜3－ 5.①连结ON 、OM 、OP ，若存在点P 使△PMN 为正三角形，则在Rt △OPN 中，OP ＝2ON ＝2r ＝c ，所以ab a 2＋b 2≤c ，即a 2b 2≤c 2(a 2＋b 2)，即a 2(a 2－c 2)≤c 2(2a 2－c 2)，得e 4－3e 2＋1≤0.因为0＜e ＜1，所以3－52≤e 2＜1.②综上，由①②得3－52≤e 2＜3－5，所以5－12≤e ＜10－22.。

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

第二章常见条件翻译转化 第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单简单简单【例1】.设12F F ，分别是椭圆22210+1y E x b b=：（＜＜）的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A B 、两点,且22||||||AF AB BF ，，成等差数列. (1)求||AB ;(2)若直线l 的斜率1为,求b 的值.【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB|=43(2)L 的方程式为y=x +c,其中c =√1−b 2设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A,B 两点坐标满足方程组{y =x +cx 2+y 2b2=1.,化简得(1+b 2)x 2+2cx +1﹣2b 2=0.则x1+x 2=−2c 1+b 2,x 1x 2=1−2b21+b2. 因为直线AB 的斜率为1,所以|AB|=√2|x 2−x 1|即43=√2|x 2−x 1|.则89=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4(1−b 2)(1+b 2)2−4(1−2b 2)1+b 2=8b 4(1+b 2)2.解得b =√22.【例2】.如图,12F F ，分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=10a b （＞＞）的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ∠=︒. (1)求椭圆C 的离心率;(2)已知1AF B V 的面积为403,求a b ，的值.【解答】解:(1)∠F 1AF 2=60°⇔a=2c ⇔e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a ﹣m,在三角形BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|BF 2||F 1F 2|cos120°⇔(2a ﹣m)2=m 2+a 2+am.⇔m=35a .△AF 1B 面积S=12|BA ||F 1A |sin60°⇔12×a ×(a +35a)×√32=40√3⇔a=10,∴c=5,b=5√3. 【例3】.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于,A B 两点,若线段AB 的长为8,则p =_____.解析 设过焦点(,0)2p F 且倾斜角为45°的直线方程为2py x =-,联立直线方程与抛物线方程得222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消y 得22304p x px -+=.xyOP设A ,B 两点的坐标为11(,)x y ,22(,)x y ,则121234x x p px x +=⎧⎪⎨=⎪⎩, 故21211AB x x =+-=212122()4x x x x ⋅+-＝222(3)p p ⋅-＝222p ⋅＝4p ＝8,则p ＝2.【例4】.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22, 直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N . (1)求椭圆C 的方程(2)当AMN ∆的面积为103时,求k 的值. 解析:(1)由题意得,,解得,,所以椭圆的方程为.(2)由,得.设点,,则,. 因为直线恒过椭圆内一点,所以恒成立.由根与系数的关系得:,.所以,又因为点到直线的距离,所以的面积为,即,解得.【例5】.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图). (1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:+3l y x =交于A,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.解析:(1)设切点坐标为00(x ,y )00(x 0,y 0)>>.则切线斜率为0x y -.切线方程为0000y (x x )x y y -=--.即004x x y y +=.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时,00x y 有最大值.即S 有最小值.因此点P 的坐标为(2,2).(2)设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>.点1122A(x ,y ),B(x ,y ).由点P 在C 上知22221a b+=.并由22221,3,x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22243620b x x b ++-=.又12,x x 是方程的根,因此12221224362x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,由113y x =+,223y x =+,得241224824822b b AB x x b -+=-=⋅.由点P 到直线l 的距离为32及13222PAB S AB ∆==得429180b b -+=.解得26b =或3.因此26b =,23a =(舍)或23b =,26a =.从而所求C 的方程为22163x y +=.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B两点,直线l 的倾斜角为60°,AF →=2FB →. (1)求椭圆C 的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C 的方程.【解答】解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2＜0. (1)直线l 的方程为y =√3(x +c),其中c =√a 2−b 2.联立{y =√3(x +c)x 2a 2+y 2b 2=1 得 (3a 2+b 2)y 2−2√3b 2cy −3b 4=0.解得y 1=√3b2(c+2a)3a 2+b2,y 2=√3b2(c−2a)3a 2+b2. 因为AF →=2FB →,所以﹣y 1=2y 2.即﹣√3b 2(c+2a)3a 2+b 2=2 √3b 2(c−2a)3a 2+b 2,解得离心率e =c a =23.(6分)(2)因为|AB|=√1+1k2⋅|y 2−y 1|,∴154=√1+13•4√3ab 23a 2+b2.由c a =23 得b =√53a ,所以54a =154,解得a=3,b =√5. 故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.(12分)【例2】.已知椭圆1C ：x 2421y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A B ，分别在椭圆1C 和2C 上,OB →=2OA →,求直线AB 的方程.【解答】解:(1)椭圆C 1:x 24+y 2=1的长轴长为4,离心率为e =c a =√32∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率∴椭圆C 2的焦点在y 轴上,2b=4,为e =c a =√32∴b=2,a=4∴椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1;(2)设A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ), ∵OB →=2OA →∴O,A,B 三点共线,当斜率不存在时,OB →=2OA →不成立,∴点A,B 不在y 轴上 当斜率存在时,设AB 的方程为y=kx将y=kx 代入x 24+y 2=1,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴x A 2=41+4k 2 将y=kx 代入y 216+x 24=1,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴x B 2=164+k2 ∵OB →=2OA →,∴x B 2=4x A 2∴164+k 2=161+4k 2,解得k=±1,∴AB 的方程为y=±x【例3】.已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A B ，两点,线段AB 的中点为(1)(0)M m m ，＞. (1)证明:k <−12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0→.证明:|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.【解答】解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)∵线段AB 的中点为M(1,m)∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m将A,B 代入椭圆C:x 24+y 23=1中,可得{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12两式相减可得, 3(x 1+x 2)(x 1﹣x 2)+4(y 1+y 2)(y 1﹣y 2)=0, 即6(x 1﹣x 2)+8m(y 1﹣y 2)=0∴k=y 1−y 2x 1−x 2=﹣68m =﹣34m点M(1,m)在椭圆内,即14+m 23＜1,(m >0)解得0＜m ＜32∴k =−34m ＜−12.①(2)由题意得F(1,0),设P(x 3,y 3),则x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1=0,y 1+y 2+y 3=0, 由(1)及题设得x 3=3﹣(x 1+x 2)=1,y 3=﹣(y 1+y 2)=﹣2m ＜0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P(1,﹣32),|FP →|=32.于是|FA →|=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2﹣x 12.同理|FB →|=2﹣x 22.所以|FA →|+|FB →|=4﹣12(x 1+x 2)=3,故|FA →|+|FB →|=2|FP →|,即|FA →|,|FP →|,|FP →|成等差数列.设改数列的公差为d,则2|d |=||FB →|−|FA →||=12|x 1﹣x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2②将m=34代入①得k=﹣1.所以l 的方程为y=﹣x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=1,x 1x 2=128,代入②解得|d |=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或﹣3√2128.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】.如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点112212P A x y B x y （，），（，），（，）均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y 的值及直线AB 的斜率.【解答】解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px∵点P(1,2)在抛物线上∴22=2p ×1,得p=2，故所求抛物线的方程是y 2=4x 准线方程是x=﹣1(II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB则k PA =y 1−2x 1−1(x 1≠1),k PB =y 2−2x 2−1(x 2≠1)∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补∴k PA =﹣k PB 由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在抛物线上,得y 12=4x 1(1)y 22=4x 2(2) ∴y 1−214y 12−1=−y 2−214y 22−1∴y 1+2=﹣(y 2+2) ∴y 1+y 2=﹣4由(1)﹣(2)得直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2=−44=−1(x 1≠x 2)【例2】.设A B ，为曲线C:y =x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 【解答】解:(1)设A(x 1,x 124),B(x 2,x 224)为曲线C:y=x 24上两点,则直线AB 的斜率为k=x 124−x 224x 1−x 2=14(x 1+x 2)=14×4=1;(2)设直线AB 的方程为y=x +t,代入曲线C:y=x 24,可得x 2﹣4x ﹣4t=0,即有x 1+x 2=4,x 1x 2=﹣4t,再由y=x 24的导数为y ′=12x,设M(m,m 24),可得M 处切线的斜率为12m,由C 在M 处的切线与直线AB 平行,可得12m=1,解得m=2,即M(2,1),由AM ⊥BM 可得,k AM •k BM =﹣1,即为x 124−1x 1−2•x 224−1x 2−2=﹣1,化为x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0,即为﹣4t +8+20=0, 解得t=7.则直线AB 的方程为y=x +7。

第一章轨迹方程动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标,x y 所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.第一节：直译法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.1.双曲线, 12F F 、为其左右焦点, 是以2F 为圆心且过原点的圆.(1)求 的轨迹方程;(2)动点 在 上运动, 满足 =2,求 的轨迹方程.【解答】解:(1)由已知得a 2=12,b 2=4,故c= =4,所以F 1(﹣4,0)、F 2(4,0), 因为C 是以F 2为圆心且过原点的圆,故圆心为(4,0),半径为4, 所以C 的轨迹方程为(x ﹣4)2+y 2=16; (2)设动点M(x,y),P(x 0,y 0),则 =(x +4,y), ,由,得(x +4,y)=2(x 0﹣x,y 0﹣y),即,解得, 因为点P 在C 上,所以 ,代入得, 化简得.第二节：定义法:若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。

【例1】()2,0M -和()2,0N 是平面上的两点，动点P 满足6PM PN += ，求点P 的 轨迹方程.解析 因为64PM PN MN +=>=，所以由椭圆定义，动点P 的轨迹是以()2,0M -和()2,0N 为焦点，长轴长为6的椭圆，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>> ，则有26,3a a == ，半焦距2c = ，所以225b a c =-= ，所以所求动点的轨迹方程为22195x y +=【例2】设圆C 与两圆()()222254,54,x y x y ++=-+=一个内切，另一个外切，求C 的圆心轨迹L 的方程。

第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质[全国卷3年考情分析] 年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ 2019椭圆的定义及标准方程·T 10椭圆、抛物线的标准方程·T 8双曲线的标准方程、几何性质·T 10 双曲线的几何性质·T 16圆、双曲线的标准方程与几何性质·T 11椭圆的标准方程及定义·T 15 2018直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算·T 8双曲线的几何性质·T 5双曲线的几何性质·T 11 双曲线的几何性质·T 11直线的方程及椭圆的几何性质·T 12直线与抛物线的位置关系·T 162017直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用·T 10 双曲线的几何性质·T 9 双曲线的渐近线及标准方程·T 5 双曲线的几何性质·T 15(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义与标准方程[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 (2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0B.x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D.2x ±y ＝0[解析] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵ |AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |， ∴ |AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴ |AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵ |AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴ |AF 1|＝|AF 2|＝a ， ∴ 点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)， AF 2―→＝2F 2B ―→， 得B ⎝⎛⎭⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴ 椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p＝1的焦点坐标为()±2p ，0. 由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.(3)不妨设P 为双曲线C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝2a 最小，所以∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理， 可得cos 30°＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|＝16a 2＋4c 2－4a 22×4a ×2c ＝32，整理得c 2＋3a 2＝23ac ，解得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a . 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A. [答案] (1)B (2)D (3)A [解题方略] 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的思路 定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)[多练强化]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c ，0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，∴b 2a 2＝32.① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16.②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.故选D.3．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．解析：因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6，若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10， 根据抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1， 所以抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 答案：y 2＝4x 或y 2＝36x 考点二 圆锥曲线的性质[例2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→， F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝________．[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.(2)法一：因为F 1B ―→·F 2B ―→＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A ―→＝AB ―→，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．如图①，由F 2(c ，0)可得B ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c2，所以b a ＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 法二：∵ F 1B ―→·F 2B ―→＝0， ∴ ∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴ |OF 2|＝|OB |＝c .如图②，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴ |BH |＝b ，|OH |＝a ，∴ B (a ，－b )，F 2(c ，0)．又∵ F 1A ―→＝AB ―→，∴ A 为F 1B 的中点． ∴ OA ∥F 2B ，∴ b a ＝bc －a ，∴ c ＝2a ，∴ 离心率e ＝ca＝2.(3)不妨设A 点在B 点上方，由双曲线的离心率为5，得1＋b 2a 2＝e 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .又抛物线的准线方程为x ＝－p2，则交点的坐标为A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，所以|AB |＝2p .由△AOB 的面积为2，得12|AB |·p 2＝2，即12×2p ×p2＝2，解得p ＝2.[答案] (1)D (2)2 (3)2 [解题方略]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2x B.y ＝±3x C ．y ＝±22xD.y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .故选A.2．(2019·济南市模拟考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1―→·AF 2―→＝0，AF 2―→＝2F 2B ―→，则椭圆E 的离心率为( )A.23 B.34 C.53D.74 解析：选C 设|BF 2|＝m ，则|AF 2|＝2m .连接BF 1，由椭圆的定义可知|AF 1|＝2a －2m ，|BF 1|＝2a －m .由AF 1―→·AF 2―→＝0知AF 1⊥AF 2，故在Rt △ABF 1中，(2a －2m )2＋(3m )2＝(2a －m )2，整理可得m ＝a 3.故在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝4a 3，|AF 2|＝2a 3，故⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝4c 2，解得e ＝53.故选C. 3．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.5＋1D.2＋2解析：选A 抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，双曲线的焦点坐标为(c ，0)，∴p ＝2c .∵点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，将x ＝c 代入双曲线方程得到A ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，将A 的坐标代入抛物线方程得b 4a 2＝2pc ，∴（c 2－a 2）2a 2＝4c 2，∴c 2－2ca －a 2＝0，∴e 2－2e －1＝0，∵e >1，∴e ＝2＋1.故选A.4．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线的离心率e ＝c a＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)考点三 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系[例3] 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点． [解题方略]1．直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP ―→＝3PB ―→，求|AB |.[解] 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 则x 1＋x 2＝－12（t －1）9. 从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP ―→＝3PB ―→可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133. [解题方略] 直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 求之．[多练强化]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围． 解：(1)因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点， 所以b ＝c ＝1，即a ＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，即直线AB 的斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，与x 22＋y 2＝1联立，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2k1＋2k 2，即M ⎝⎛⎭⎫－2k 21＋2k 2，k1＋2k 2. 所以线段AB 的垂直平分线的方程为 y －k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 21＋2k 2，设点P (x P ，y P )，令y ＝0，得x P ＝－k 21＋2k 2.因为x P ∈⎝⎛⎭⎫－14，0，所以0＜k 2＜12. |AB |＝ （1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－4k 21＋2k 22－4×2k 2－21＋2k 2＝22（1＋k 2）1＋2k 2＝2⎝⎛⎭⎫1＋11＋2k 2. 因为0＜k 2＜12，所以32＜1＋11＋2k 2＜2，即322＜|AB |＜2 2. 故线段AB 长度的取值范围是⎝⎛⎭⎫322，22.2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解：(1)证明：设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1 . 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 因为EM ―→⊥AB ―→，而EM ―→＝(t ，t 2－2)，AB ―→与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |. [解] (1)由题意知⎩⎨⎧a 2－b 2＝c 2＝3，（－1）2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1， 得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2＞3，故a 2＝4，则b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM ―→＝2MB ―→，得y 1＝－2y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0， 则y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4. 由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝⎛⎭⎫－2tm t 2＋42， 化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2， 又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切， 所以|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧（m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1， 得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ＞0， 所以M ⎝⎛⎭⎫±233，0. 在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121. [素养通路]本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a ，b 的方程组，解方程组可得a ，b 的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M ，A ，B 的坐标及直线l 的方程x ＝ty ＋m ，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m 与t 的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M 的坐标进而得|MN |.考查了数学运算这一核心素养．。

第一章轨迹方程动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标,x y 所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.第一节：直译法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.【例1】在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-，求动点P 的轨迹方程.解析：因为点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，所以点B 的坐标为()1,1-，设点(),P x y ，由题意得111113y y x x -+=-+-，化简得()22341x y x +=≠± ，故动点P 的轨迹方程为()22341x y x +=≠± 【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1,A B -点在直线3y =-上，M 点满足,M B O A M A A B M B B A =，M 点的轨迹为曲线C ，求C 的方程。

解析 设(),M x y ，因为()0,1A -，M 点满足//MB OA ，所以()()()(),3,,1,0,3,,2B x MA x y MB y AB x -=---=--=-，由题意可知()0MA MB AB +⋅=，即0)2,()24,(=-⋅---x y x ，即2412-=x y 。

【例3】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，C 22y x =F x 12,l l C A B ，交的准线于两点．（I ）若在线段上，是的中点，证明；（II ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. 【解析】(1) 由题设1(,0)2F .设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=. .....3分 由于F 在线段AB 上，故10ab +=. 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k aa a a ab ---=====-=+-.所以FQ AR ∥.(2)设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=. 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =. 设满足条件的AB 的中点为(,)E x y .当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1yx a b x =≠+-. 而2a by +=，所以21(1)y x x =-≠. 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为21y x =-C P Q ，F AB R PQ ARFQ PQF ∆ABF ∆AB第二节：定义法:若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。

第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质[做真题]题型一 圆锥曲线的定义与方程1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1解析：选B ．由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D ．由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D ． 3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选B ．法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k＝1，因为双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C的方程为x 24－y 25＝1.故选B ．法二：因为椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，所以b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________．解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0，42)，|FN |＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6.答案：6题型二 圆锥曲线的几何性质1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14解析：选D ．由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|OF 2|＝c ，所以点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，所以e ＝14，故选D ．2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a .因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 答案：23．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：2[明考情]1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11 题或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等．2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大．圆锥曲线的定义与标准方程[典型例题](1)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A ．55B ．655C ．855D ．455(2)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C ． (2)不妨设P 为双曲线C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝2a 最小，所以∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得cos 30°＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|＝16a 2＋4c 2－4a 22×4a ×2c ＝32，整理得c 2＋3a 2＝23ac ，解得c ＝3a ，所以b ＝ c 2－a 2＝2a .所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A． 【答案】 (1)C (2)A(1)圆锥曲线的定义①椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． ②双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． ③抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． (2)求解圆锥曲线标准方程的思路[对点训练]1．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A ．514 B ．59 C ．49D ．513解析：选D ．如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.2．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝1解析：选D ．不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，所以b 2a 2＝32. ①又|BF →|＝b 2＋(－c )2＝4，c 2＝a 2＋b 2， 所以a 2＋2b 2＝16. ② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， 所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________．解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：4圆锥曲线的性质 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于 P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5(2)(2019·济南市模拟考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF →1·AF →2＝0，AF →2＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．74【解析】 (1)如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24①，将x 2＋y2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A ．(2)设|BF 2|＝m ，则|AF 2|＝2m .连接BF 1，由椭圆的定义可知|AF 1|＝2a －2m ，|BF 1|＝2a －m .由AF →1·AF →2＝0知AF 1⊥AF 2，故在Rt △ABF 1中，(2a －2m )2＋(3m )2＝(2a －m )2，整理得m ＝a 3.故在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝4a 3，|AF 2|＝2a 3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝4c 2，解得e ＝53.【答案】 (1)A (2)C(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． ②用法：(i)可得b a 或a b的值．(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A ．因为e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，所以a 2＋b 2＝3a 2，所以b ＝2a .所以渐近线方程为y ＝±2x .2．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A ．2＋1B ．3＋1C ．5＋1D ．2＋2解析：选A ．如图，结合题意画出图形，因为抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以由题设知双曲线的右焦点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以a 2＋b 2＝p 24①.因为AF ⊥x 轴，所以由点A 在抛物线上可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p (取A 在第一象限)，又点A 在双曲线上，所以p ＝b 2a ②.将②代入①得a 2＋b 2＝b 44a 2，即b 4＝4a 4＋4a 2b 2，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 4＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－1＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝2－12，从而e 2＝c 2a 2＝2－1＋22－1＝(2＋1)2，故e ＝2＋1.故选A ．直线与圆锥曲线的位置关系[典型例题]命题角度一 位置关系的判断及应用在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．(1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．(2)直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．命题角度二 弦长问题(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【解】 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求之．命题角度三 定比、定点问题已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝λF 1B →，且2≤λ＜3，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1→＝λF 1B →，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ(1－λ)2(y 1＋y 2)2，则(1－λ)2λ＝43＋4k 2，λ＋1λ－2＝43＋4k 2，因为2≤λ＜3，所以12≤λ＋1λ－2＜43，即12≤43＋4k 2＜43，且k ＞0，解得0＜k ≤52. 故直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．[对点训练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解：(1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.2．(2019·湖南长沙模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，(－1)2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2>3，故a 2＝4，则b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0， 则y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2， 所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. 易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋(－t )2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|－m |1＋(－t )2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ>0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0.在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121.一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1B ． 3C ．2D ．2 3解析：选C ．由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝c a＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2解析：选B ．设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1，2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：选A ．不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6. 又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32， 所以S △PFO ＝12×6×32＝324.4．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3解析：选A ．如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A ．5．已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝kx －1与该抛物线在第一象限内交于点A ，B ，若|AF |＝3|FB |，则k 的值是( )A ． 3B ．32C ．33D ．233解析：选D ．显然k ＞0.抛物线的准线l ：y ＝－1，设其与y 轴交于点F ′，则直线y ＝kx －1过点F ′.分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，根据已知，得|AF ||BF |＝|AA ′||BB ′|＝3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F ′A ′||F ′B ′|＝x 1x 2＝|AA ′||BB ′|＝3，即x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x 2－4kx ＋4＝0，则x 1＋x 2＝4k ②，由①②得x 1＝3k ，x 2＝k ，又x 1x 2＝4，所以3k ·k ＝4，即k 2＝43，解得k ＝233(负值舍去)．6．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1B ．2C ． 3D ． 2解析：选D ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝3FB →，所以y 1＝－3y 2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a ＝2b ，设b ＝t ，则a ＝2t ，故c ＝3t ，所以x 24t 2＋y 2t2＝1.设直线AB的方程为x ＝sy ＋3t ，代入上述椭圆方程，得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0，所以y 1＋y 2＝－23st s 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，即－2y 2＝－23st s 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，得s 2＝12，k ＝2，故选D ． 二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．解析：双曲线C 的一条渐近线的方程为y ＝b a x ，P (1，3)是双曲线C 渐近线上的点，则b a＝3，所以离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 答案：28．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________．解析：不妨设点A 在第一象限，如图，作BB 1⊥l 于点B 1，设直线AB 与l 的交点为D ，由抛物线的定义及性质可知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，|EF |＝p .设|BD |＝m ，|BF |＝n ，则|BD ||AD |＝|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝13，即m m ＋4n ＝13，所以m ＝2n .又|BB 1||EF |＝|BD ||DF |，所以n p ＝m m ＋n ＝23，所以n ＝2p3， 因为|DF |＝m ＋n ＝2p ，所以∠ADA 1＝30°.又|AA 1|＝3n ＝2p ，|EF |＝p ，所以|A 1D |＝23p ，|ED |＝3p ，所以|A 1E |＝3p ，所以直角梯形AA 1EF 的面积为12(2p ＋p )·3p ＝63，解得p ＝2.答案：2 三、解答题10．(2019·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2， 可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x p ，y p )(x p ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x p ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y p ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y p x p ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km 4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120＜k 2≤54， 所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13.又a 2－c 2＝b 2，所以a ＝3，b ＝22，c ＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可知A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)． 据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆C 的另一个交点为M ′.设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)．因为F 1M ∥F 2N ，所以根据对称性，得N (－x 2，－y 2)．联立⎩⎨⎧8x 2＋9y 2＝72y ＝26(x ＋1)，消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.由题意知x 1>x 2，所以x 1＝－37，x 2＝－32，k 1＝y 1x 1＋3＝26(x 1＋1)x 1＋3＝469，k 2＝－y 2－x 2－3＝26(x 2＋1)x 2＋3＝－263，所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－263＝0，即3k 1＋2k 2的值为0.。

第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为 ()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单简单简单【例1】.已知双曲线的两个焦点为点 在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程;(2)记O 为坐标原点,过点02Q （，）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、,若OEF 的面积为 ,求直线l 的方程.【解答】解:(1):依题意,由a 2+b 2=4,得双曲线方程为(0＜a 2＜4),将点(3, )代入上式,得.解得a 2=18(舍去)或a 2=2,故所求双曲线方程为.(2):依题意,可设直线l 的方程为y=kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1﹣k 2)x 2﹣4kx ﹣6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F, ∴＜ ＜ ∴k ∈(﹣ )∪(1, ).设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),则由①式得x 1+x 2=,x 1x 2=﹣, 于是,|EF |==而原点O 到直线l 的距离d=, ∴S △OEF =.若S △OEF = ,即,解得k=± ,满足②.故满足条件的直线l 有两条,其方程分别为y= 和 .【例2】.设椭圆0a b （＞＞）的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为.已知A 是抛物线220y px p （＞）的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l 上两点P Q ，关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于A ),直线BQ 与x 轴相交于点D.若APD的面积为,求直线AP的方程.【解答】(1)解:设F的坐标为(﹣c,0).依题意可得解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),联立方程组,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣∴B().∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0,令y=0,解得x=,故D(,0).∴|AD|=1﹣=.又∵△APD的面积为,∴×=,整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±.∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0,或3x﹣y﹣3=0.【例3】已知椭圆C:22221x ya b+=(0a b>>)的左焦点为(2,0)F-,离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线3x=-上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.(1)由已知得:63c a =,,所以6a = 又由222a b c =+,解得2b =,所以椭圆的标准方程为:. (2)设T 点的坐标为(3,)m -,则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时,直线PQ 的斜率1PQ k m=,直线PQ 的方程是 当0m =时,直线PQ 的方程是2x =-,也符合的形式.将代入椭圆方程得:.其判别式22168(3)0m m ∆=++>.设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP QT =,即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩解得1m =±.此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++.【例4】.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点()焦点2c =22162x y +=2x my =-2x my =-2x my =-22(3)420m y my +--=12(30),(30)F F -，，,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于A B ，两点.若OAB 的面积为,求直线l 的方程.【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为,∵焦点F 1(﹣ ,0),F 2( ,0),∴ . ∵∴,又a 2﹣b 2=c 2=3,解得a=2,b=1. ∴椭圆C 的方程为:,圆O 的方程为:x 2+y 2=3.(2)①可知直线l 与圆O 相切,也与椭圆C,且切点在第一象限,因此k 一定小于0, ∴可设直线l 的方程为y=kx +m,(k ＜0,m >0). 由圆心(0,0)到直线l 的距离等于圆半径 ,可得即 .由,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0, △=(8km)2﹣4(4k 2+1)(4m 2﹣4)=0,可得m 2=4k 2+1,∴3k 2+3=4k 2+1,结合k ＜0,m >0,解得k=﹣ ,m=3. 将k=﹣ ,m=3代入 可得 ,解得x= ,y=1,故点P 的坐标为( . ②设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由 ＜⇒k ＜﹣ .联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0,|x 2﹣x 1|==,O 到直线l 的距离d=,|AB |=|x 2﹣x 1|=,△OAB 的面积为S===,解得k=﹣ ,(正值舍去),m=3 . ∴y=﹣ 为所求.【例5】.在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点1,1A -（）关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ,问:是否存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由. 若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等,设点P 的坐标为00(,)x y则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠,因为sin sin APB MPN ∠=∠,所以||||||||PA PN PM PB =所以000|1||3||3||1|x x x x +-=--即 2200(3)|1|x x -=-,解得0x 53=因为220034x y +=,所以0339y =±,故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等,此时点P 的坐标为533(,)39±. 【例6】.已知抛物线22C y x =：的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点,交C 的准线于P Q ，两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ ;(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解答】(1)证明:连接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF 及AP ∥BQ,得∠AFP +∠BFQ=90°, ∴∠PFQ=90°,∵R 是PQ 的中点,∴RF=RP=RQ,∴△PAR ≌△FAR,∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,∵∠BQF +∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR, ∴∠FQB=∠PAR,∴∠PRA=∠PQF,∴AR ∥FQ. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F( ,0),准线为 x=﹣ , S △PQF = |PQ |=|y 1﹣y 2|, 设直线AB 与x 轴交点为N,∴S △ABF =|FN ||y 1﹣y 2|,∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,∴2|FN |=1,∴x N =1,即N(1,0).设AB 中点为M(x,y),由得 =2(x 1﹣x 2),又 = , ∴=,即y 2=x ﹣1.∴AB 中点轨迹方程为y 2=x ﹣1.【例7】.设椭圆0a b （＞＞）的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为,||AB = . (1)求椭圆的方程;(2)设直线0l y kx k =：（＜）与椭圆交于P Q ，两点, 与直线AB 交于点M ,且点P M ，均在第四象限.若BPM 的面积是BPQ 面积的2倍,求k 的值.【解答】解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得,又a 2=b 2+c 2, 解得a=3,b=2,∴椭圆的方程为:,(2)设点P(x 1,y 1),M(x 2,y 2),(x 2>x 1>0).则Q(﹣x 1,﹣y 1).∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,∴|PM |=2|PQ |,从而x 2﹣x 1=2[x 1﹣(﹣x 1)], ∴x 2=5x 1,易知直线AB 的方程为:2x +3y=6.由 ,可得0.由 ,可得,⇒ ,⇒18k 2+25k +8=0,解得k=﹣ 或k=﹣.由0.可得k ,故k=﹣,【例8】.已知椭圆C 的两个顶点分别为2020A B （-，），（，）,焦点在x 轴上,离心率为. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M N ，,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:BDE 与BDN 的面积之比为45：. 【解答】解:(1)由椭圆的焦点在x 轴上,设椭圆方程:(a >b >0),则a=2,e= =,则c= ,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆C 的方程;(2)证明:设D(x 0,0),(﹣2＜x 0＜2),M(x 0,y 0),N(x 0,﹣y 0),y 0>0,由M,N 在椭圆上,则,则x 02=4﹣4y 02, 则直线AM 的斜率k AM = = ,直线DE 的斜率k DE =﹣ ,直线DE 的方程:y=﹣(x ﹣x 0),直线BN 的斜率k BN =,直线BN 的方程y=(x ﹣2),,解得:, 过E 做EH ⊥x 轴,△BHE ∽△BDN,则丨EH 丨=,则丨 丨丨 丨=,∴:△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5.【例9】如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长.(1)求,的方程;(2)设与轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线与相交于点,直线,MA MB 分别与相交与,D E .22122:1(0)x y C a b a b +=>>32x22:C y x b =-1C 1C 2C 2C y l 2C 1C(i)证明:;(ii)记,MAB MDE 的面积分别是12,S S .问:是否存在直线,使得=?请说明理由.解析:(I)由题意知32c e a ==,从而2a b =,又2b a =,解得2,1a b ==. 故,的方程分别为2221,14x y y x +==-. (II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为k ,则直线的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,x x 是上述方程的两个实根,于是1212,1x x k x x +==-.又点M 的坐标为(0,1)- 所以故,即.(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.于是由得,解得或则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.MD ME ⊥l 21S S 32171C 2C l l于是.因此.由题意知,,解得或.又由点、的坐标可知,,所以.故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.在平面直角坐标系xOy中,点到两点的距离之和等于,设点的轨迹为.(1)写出的方程;(2)设直线与交于两点.为何值时⊥？此时的值是多少？【解答】解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为.(4分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足消去y并整理得(k2+4)x2+2kx﹣3=0,故.(6分),即x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1,于是.所以时,x 1x 2+y 1y 2=0,故 .(8分)当时,, 而(x 2﹣x 1)2=(x 2+x 1)2﹣4x 1x 2=,所以.(12分)【例2】.在直角坐标系 中,椭圆1C ：的左、右焦点分别为12F F ，.2F 也是抛物线224C y x =：的焦点,点M 为1C 与2C 在第一象限的交点,且2||MF =.(1)求1C 的方程;(2)平面上的点N 满足,直线l M N ,且与1C 交于A B ，两点,若,求直线 的方程. 【解答】解:(1)由C 2:y 2=4x 知F 2(1,0).设M(x 1,y 1),M 在C 2上,因为,所以 ,得.M 在C 1上,且椭圆C 1的半焦距c=1, 于是消去b 2并整理得9a 4﹣37a 2+4=0,解得a=2(不合题意,舍去).故椭圆C 1的方程为.(2)由知四边形MF 1NF 2是平行四边形,其中心为坐标原点O, 因为l ∥MN,所以l 与OM 的斜率相同,故l 的斜率.设l 的方程为 .由消去y 并化简得9x 2﹣16mx +8m 2﹣4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),.因为,所以x 1x 2+y 1y 2=0.x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+6(x 1﹣m)(x 2﹣m)=7x 1x 2﹣6m(x 1+x 2)+6m 2==.所以 .此时△=(16m)2﹣4×9(8m 2﹣4)>0,故所求直线l 的方程为 ,或 .【例3】.已知双曲线的离心率为 ,右准线方程为(I)求双曲线 的方程;(2)设直线 是圆222O x y +=：上动点0000)((0)P x y x y ≠，处的切线, 与双曲线C 交于不同的两点A B ，,证明AOB ∠的大小为定值.【解答】解:(1)由题意,,解得a=1,c= ,b 2=c 2﹣a 2=2,∴所求双曲C的方程.(2)设P(m,n)(mn ≠0)在x 2+y 2=2上,圆在点P(m,n)处的切线方程为y ﹣n=﹣(x ﹣m),化简得mx +ny=2.以及m 2+n 2=2得(3m 2﹣4)x 2﹣4mx +8﹣2m 2=0, ∵切L 与双曲线C 交于不同的两点A 、B,且0＜m 2＜2, 3m 2﹣4≠0,且△=16m 2﹣4(3m 2﹣4)(8﹣2m 2)>0, 设A 、B 两点的坐标分别(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 1+x 2=,x 1x 2=.∵,且=x 1x 2+[4﹣2m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2]=+[4﹣+]=﹣=0. ∴∠AOB 的大小为900.【例4】.设12F F ，分别是0a b （＞＞）的左,右焦点, 是 上一点且2MF 与 轴垂直,直线1MF 与 的另一个交点为 .(1)若直线 的斜率为,求 的离心率;(2)若直线 在 轴上的截距为 ,且15||||MN F N ,求 . 【解答】解:(1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直, ∴M 的横坐标为c,当x=c 时,y=,即M(c,),若直线MN 的斜率为 ,即tan ∠MF 1F 2=,即b 2= =a 2﹣c 2,即c 2+﹣a 2=0,则 ,即2e 2+3e ﹣2=0解得e= 或e=﹣2(舍去),即e=.(2)由题意,原点O 是F 1F 2的中点,则直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,设M(c,y),(y >0),则,即,解得y= ,∵OD 是△MF 1F 2的中位线,∴=4,即b 2=4a,由|MN |=5|F 1N |,则|MF 1|=4|F 1N |, 解得|DF 1|=2|F 1N |, 即设N(x 1,y 1),由题意知y 1＜0,则(﹣c,﹣2)=2(x 1+c,y 1).即 ,即代入椭圆方程得 ,将b 2=4a 代入得,解得a=7,b= .【例5】.如图,设椭圆的中心为原点 ,长轴在 轴上,上顶点为 ,左、右焦点分别为12F F ，,线段12OF OF ，的中点分别为12B B ，,且12AB B 是面积为 的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过1B 作直线交椭圆于P Q ，两点,使22PB QB ,求2PB Q 的面积.【解答】解:(1)设椭圆的方程为,F 2(c,0)∵△AB 1B 2是的直角三角形,|AB 1|=AB 2|,∴∠B 1AB 2为直角,从而|OA |=|OB 2|,即∵c 2=a 2﹣b 2,∴a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴在△AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,∴S= |B 1B 2||OA |=∵S=4,∴b 2=4,∴a 2=5b 2=20∴椭圆标准方程为;(2)由(1)知B 1(﹣2,0),B 2(2,0),由题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my ﹣2代入椭圆方程,消元可得(m 2+5)y 2﹣4my ﹣16=0① 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴∵∴=∵PB 2⊥QB 2,∴∴,∴m=±2当m=±2时,①可化为9y 2±8y ﹣16﹣0,∴|y 1﹣y 2|==∴△PB 2Q 的面积S= |B 1B 2||y 1﹣y 2|= ×4× =.【例5】.如图,抛物线E:24y x =的焦点为F ,准线 与 轴的交点为 .点 在抛物线 上,以 为圆心, 为半径作圆,设圆 与准线 交于不同的两点 . (1)若点 的纵坐标为 ,求 ;(2)若2||||||•AF AM AN =,求圆 的半径.【解答】解:(I)抛物线E:y2=4x 的准线l:x=﹣1,由点C 的纵坐标为2,得C(1,2),故C 到准线的距离d=2,又|OC |= , ∴|MN |=2 = =2. (II)设C(,y 0),则圆C 的方程为(x ﹣)2+(y ﹣y 0)2=, 即x 2﹣ +y 2﹣2y 0y=0,由x=﹣1得y 2﹣2y 0y +1+=0,设M(﹣1,y 1),N(﹣1,y 2),则, 由|AF |2=|AM |•|AN |,得|y 1y 2|=4,∴1+=4,解得y 0= ,此时△>0∴圆心C 的坐标为( ),|OC |2= ,从而|OC |= .即圆C 的半径为.【例6】.如图, 为坐标原点,双曲线1C ：1100a b （＞，＞）和椭圆C 2:220a b （＞＞）均过点,且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12C C 、的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A 、B 两点,与2C 只有一个公共点,且|+|=||？证明你的结论.【解答】解:(1)设椭圆C 2的焦距为2c 2,由题意可得2a 1=2,∴a 1=1,c 2=1.由于点P( ,1)在上,∴﹣ =1, =3,∴双曲线C 1的方程为:x 2﹣=1.再由椭圆的定义可得 2a 2=+=2 ,∴a 2= ,∴= ﹣ =2,∴椭圆C 2的方程为:+=1.(2)不存在满足条件的直线l.(1)若直线l 垂直于x 轴,则由题意可得直线l 得方程为x= ,或 x=﹣ .当x=时,可得A()、B(,﹣),求得||=2,||=2,显然,|+|≠||.同理,当x=﹣时,也有|+|≠||.(2)若直线l不垂直于x轴,设直线l得方程为y=kx+m,由可得(3﹣k2)x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0,∴x1+x2=,x1•x2=.于是,y1•y2=k2x1•x2+km(x1+x2)+m2=.由可得(2k2+3)x2+4kmx+2m2﹣6=0,根据直线l和C1仅有一个交点,∴判别式△=16k2m2﹣8(2k2+3)(m2﹣3)=0,∴2k2=m2﹣3.∴=x1•x2+y1•y2=≠0,∴≠,∴|+|≠||.【例7】.双曲线2221yxb-=0b（＞）的左、右焦点分别为12F F，,直线过2F且与双曲线交于A B，两点.(1)直线的倾斜角为,1F AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设,若的斜率存在,且(+)•=0,求的斜率.【解答】解:(1)双曲线x2﹣=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,a=1,c2=1+b2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点,直线l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,可得:A(c,b2),可得:,3b4=4(a2+b2),即3b4﹣4b2﹣4=0,b>0,解得b2=2.所求双曲线方程为:x2﹣=1,其渐近线方程为y=±x.(2)b=,双曲线x2﹣=1,可得F1(﹣2,0),F2(2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为:k=,直线l的方程为:y=k(x﹣2),由题意可得:,消去y可得:(3﹣k2)x2+4k2x﹣4k2﹣3=0,△=36(1+k2)>0且3﹣k2≠0,可得x1+x2=,则y1+y2=k(x1+x2﹣4)=k(﹣4)=.=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),(+)•=0可得:(x1+x2+4,y1+y2)•(x1﹣x2,y1﹣y2)=0,可得x1+x2+4+(y1+y2)k=0,得+4+•k=0可得:k2=,解得k=±.l的斜率为:±.【例8】.设为坐标原点,动点在椭圆22:12xC y+=上,过作轴的垂线,垂足为,点满足=.(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且•=1.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.【解答】解:(1)设M(x0,y0),由题意可得N(x0,0),设P(x,y),由点P满足=.可得(x﹣x0,y)=(0,y0),可得x﹣x0=0,y=y0,即有x0=x,y0=,代入椭圆方程+y2=1,可得+=1,即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2;(2)证明:设Q(﹣3,m),P(cosα,sinα),(0≤α＜2π),•=1,可得(cosα,sinα)•(﹣3﹣cosα,m﹣sinα)=1,即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1,当α=0时,上式不成立,则0＜α＜2π,解得m=,即有Q(﹣3,),椭圆+y2=1的左焦点F(﹣1,0),由•=(﹣1﹣cosα,﹣sinα)•(﹣3,)=3+3cosα﹣3(1+cosα)=0.可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.另解:设Q(﹣3,t),P(m,n),由•=1,可得(m,n)•(﹣3﹣m,t ﹣n)=﹣3m ﹣m 2+nt ﹣n 2=1,又P 在圆x 2+y 2=2上,可得m 2+n 2=2,即有nt=3+3m,又椭圆的左焦点F(﹣1,0), • =(﹣1﹣m,﹣n)•(﹣3,t)=3+3m ﹣nt=3+3m ﹣3﹣3m=0,则 ⊥,可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【例9】.已知椭圆 0a b （＞＞）的离心率为 ,焦距为2 .斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 .(1)求椭圆 的方程;(2)若 ,求||AB 的最大值;(Ⅲ)设20P （-，）,直线PA 与椭圆 的另一个交点为 ,直线 与椭圆 的另一个交点为 .若 和点 共线,求 .【解答】解:(1)由题意可知:2c=2 ,则c= ,椭圆的离心率e= =, 则a= ,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆的标准方程:;(2)设直线AB 的方程为:y=x +m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立,整理得:4x 2+6mx +3m 2﹣3=0,△=(6m)2﹣4×4×3(m 2﹣1)>0, 整理得:m 2＜4,x 1+x 2=﹣,x 1x 2= ,∴|AB |= =, ∴当m=0时,|AB |取最大值,最大值为 ;(Ⅲ)设直线PA 的斜率k PA = ,直线PA 的方程为:y=(x +2), 联立, 消去y 整理得:(x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12﹣3x 12﹣12x 1﹣12)=0,由代入上式得,整理得:(4x 1+7)x 2+(12﹣4x 12)x ﹣(7x 12+12x 1)=0, x 1•x C =﹣ ,x C =﹣ ,则y C = (﹣ +2)=, 则C(﹣),同理可得:D(﹣ ), 由Q(﹣ ),则 =( ), =(), 由 与 共线,则 × = ×, 整理得:y 2﹣x 2=y 1﹣x 1,则直线AB 的斜率k==1,∴k 的值为1. 第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】设抛物线22C y x ：,点20A （，）,20B （-，）,过点 的直线 与 交于 两点. (1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程;(2)证明:∠ ∠ .【解答】解:(1)当l与x轴垂直时,x=2,代入抛物线解得y=±2,所以M(2,2)或M(2,﹣2),直线BM的方程:y=x+1,或:y=﹣x﹣1.(2)证明:设直线l的方程为l:x=ty+2,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线l与抛物线方程得,消x得y2﹣2ty﹣4=0,即y1+y2=2t,y1y2=﹣4,则有k BN+k BM=+===0,所以直线BN与BM的倾斜角互补,∴∠ABM=∠ABN.【例2】.设椭圆2212xC y+=：的右焦点为,过F的直线与交于两点,点的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:∠∠.【解答】解:(1)c==1,∴F(1,0),∵l与x轴垂直,∴x=1,由,解得或,∴A(1.),或(1,﹣),∴直线AM的方程为y=﹣x+,y=x﹣,证明:(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,∴∠OMA=∠OMB,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＜,x2＜,直线MA,MB的斜率之和为k MA,k MB之和为k MA+k MB=+,由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得k MA+k MB=,将y=k(x﹣1)代入+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=(4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k)=0从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB,综上∠OMA=∠OMB.【例3】.如图,椭圆经过点,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点),证明:直线与斜率之和为.【解答】解:(1)由题设知,=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=,所以+y2=1;(2)证明:由题意设直线PQ的方程为y=k(x﹣1)+1(k≠0),代入椭圆方程+y2=1,可得(1+2k2)x2﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,且△=16k2(k﹣1)2﹣8k(k﹣2)(1+2k2)>0,解得k>0或k＜﹣2.则有直线AP,AQ的斜率之和为k AP+k AQ=+=+=2k+(2﹣k)(+)=2k+(2﹣k)•=2k+(2﹣k)•=2k﹣2(k﹣1)=2.即有直线AP与AQ斜率之和为2。

2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题16 圆锥曲线的综合应用1、考情解读圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．2、高频考点突破考点1 圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1、如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【变式探究】已知点A (0，－2)，椭圆E：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0. 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 考点2 定点、定值问题探究1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．(1)解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4.综上可知，|AN |·|BM |为定值． 【方法规律】1．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．【变式探究】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．例3、已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点．(2)证明：设直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，N (x 0，y 0)， DA ⊥AM ，所以D (2，4k ).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0. 则－2x 0＝8k 2－41＋2k 2，即x 0＝2－4k 21＋2k 2，所以y 0＝k (x 0＋2)＝4k1＋2k 2，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设G (t ，0)，则t ≠－2，若以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，则DG ⊥AN ， 所以GD →·AN →＝0恒成立． 因为GD →＝(2－t ，4k )， AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，所以GD →·AN →＝(2－t )·－8k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝0恒成立，即8k 2t1＋2k 2＝0恒成立，所以t ＝0， 所以点G 是定点(0，0)． 【方法规律】1．动直线l 过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0)．2．动曲线C 过定点问题，引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．【变式探究】已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在x 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．(2)证明：当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－1k (x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.则Δ＞0恒成立．所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，且x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.所以GH 中点E 1坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1，同理，MN 中点E 2坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋2，k k 2＋2，所以kE 1E 2＝－3k2（k 2－1），所以lE 1E 2的方程为y ＝－3k 2（k 2－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，所以过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE 1E 2的方程为y ＝0，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，综上所述，lE 1E 2过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.考点3 圆锥曲线中的存在性问题存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．例3、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159.又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线． 【方法规律】1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，F 为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)＞0， 解得－12＜k ＜12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，①x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.②3、真题感悟（2014-2017）1．(2017·全国卷Ⅱ)设点O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解：设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)， 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y ， 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1， 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故m ＋3m －tn ＝0.2.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【答案】（1）2214x y +=.（2）()2,1-。