高中数学选修1_1圆锥曲线与方程资料知识点讲义全

第二章 圆锥曲线与方程一、椭 圆（一）椭圆及其标准方程1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于_常数_(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时_不存在_轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，焦点坐标为_F 1(－c ，0)__F 2(c ，0)，焦距为_2c _；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．（二）椭圆的简单几何性质1．椭圆的简单几何性质（1）椭圆的中心：椭圆关于x 轴、y 轴对称，这时原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

（2）椭圆的顶点：椭圆与它对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点。

（3）椭圆的长轴和短轴：椭圆对称轴被椭圆截得的线段叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别是2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e 表示，即：)22101c b e e a a==-<<。

e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；e 越接近0，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x2b 2＝1 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a顶点 (±a,0)，(0，±b ) (±b,0)，(0，±a )轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 (±c,0) (0，±c )焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率 e ＝ca，0<e <1 2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有 1 组实数解，即Δ ＝ 0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___2___组实数解，即Δ___>___0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___0___组实数解，即Δ___<___0.1．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a >b >0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．2．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．3．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．4．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．5．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．6．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．二、双曲线（一）双曲线及其标准方程1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于_|F 1F 2|_)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为__以F 1，F 2为端点的两条射线_．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹_不存在 ． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距_．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(－c,0)_，F 2_( c ，0)__.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(0，－c )_，F 2__(0，c )_.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是___c 2＝a 2＋b 2_．（二）双曲线的简单几何性质1．双曲线的几何性质（1）双曲线的中心：双曲线关于x 轴、y 轴对称，这时原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第二章 圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；()(),,.F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上()(),,.C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程二、求曲线方程的两种类型：()1、已知曲线求方程；用待定系数法()()()2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：3、方程()()222222221010x y y x a b a b a ba b +=>>+=>>①或②()2222+10x y a b a b=>>二、几何性质：1,.x a y b ≤≤、范围：2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,.A a A aB b B b --、顶点2224,,a b c a b c =+、之间的关系：()225101c b e e a a ==-<<、离心率：0,1e e →→越圆越扁扩展：()222222222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()()222222221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.24.AB F ABF a ⑤为过焦点的弦，则的周长为()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:()()222121212114l k x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦()212121222110114k l y y y y y k k ⎡⎤=+-=++-⎣⎦或当存在且不为时，()2210,0.Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为双曲线一、双曲线及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a-=>、定义：3、方程：()() 222222221,01,0 x y y xa b a ba b a b-=>-=>①或②()22221,0x ya ba b-=>二、几何性质：1,x a y R≥∉、范围：2x y O、对称性：关于轴、轴、原点对称.()()121212,0,,0=2.A a A aA A aB B b-=3、顶点：实轴2，虚轴222.a b c c a b=+4、、、之间的关系：()22511c be ea ae==+>、离心率:越大，开口越阔22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫=±-==± ⎪⎝⎭6、渐近线：的渐近线为()2222222210x y x y m m a b a b -=-=>说明：与有相同离心率.抛物线一、抛物线及其标准方程P l PF PF l d -⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭1、定义：且2、标准方程及几何性质 标准方程()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->简图焦点 ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、 准线 2p x =-2px =2p y =-2p y =范围 0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤对称性 x 轴y 轴顶点 ()0,0离心率1e =P 说明：①越大，开口越阔.②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.扩展：Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？()1.Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线1Q ②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线2、过焦点的弦长()22A B A B AB AF BFp p x x p x x =+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++如图，。

高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义第二章 圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；()(),,.F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上()(),,.C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程二、求曲线方程的两种类型：()1、已知曲线求方程；用待定系数法()()()2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：3、方程()()222222221010x y y x a b a b a ba b+=>>+=>>①或②()2222+10x y a b a b=>>二、几何性质：1,.x a y b ≤≤、范围：2x y O 、对称性：关于、、原点对称.()()()()12123,0,,0,0,,0,.A a A aB b B b --、顶点2224,,a b c a b c =+、之间的关系： ()225101c b e e a a==-<<、离心率：0,1e e →→越圆越扁扩展：()222222222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1()()222222221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.24.AB F ABF a ⑤为过焦点的弦，则的周长为()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:()()222121212114l k x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦()212121222110114k l y y y y y k k⎡⎤=+-=++-⎣⎦或当存在且不为时，()2210,0.Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为1,x a y R≥∉、范围：2x y O 、对称性：关于轴、轴、原点对称.()()121212,0,,0=2.A a A a A A aB B b -=3、顶点：实轴2，虚轴222.a b c c a b =+4、、、之间的关系：()22511c b e e a ae ==+>、离心率:越大，开口越阔22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫=±-==± ⎪⎝⎭6、渐近线：的渐近线为()2222222210x y x y m m a b a b-=-=>说明：与有相同离心率.抛物线一、抛物线及其标准方程P l PF P F l d -⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭1、定义：且2、标准方程及几何性质 标准方程 ()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->简图焦点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、准线 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤对称性 x 轴y 轴顶点 ()0,0离心率 1e =P 说明：①越大，开口越阔.②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.扩展：Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？()1.Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线1Q ②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线2、过焦点的弦长()22A B A B AB AF BFp p x x p x x =+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++如图，。