2021版新高考数学一轮复习讲义：第八章第八讲 曲线与方程 (含解析)

|PC2|＝(R＋1)＋(3－R)＝4，由椭圆的定义可知，曲线是以 C1，C2为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 x2 y2 圆(左顶点除外)，其方程为 4 ＋ 3 ＝1(x≠－2)． 3 的椭
方法技巧 定义法求轨迹方程的适用条件及关键点 1．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关 系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据 定义先确定轨迹类型，再写出其方程．见典例． 2．理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键． 3．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否 是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲 线，则应对其中的变量x或y进行限制．见典例．
2．教材衍化 (1)(选修A2－1P36例3)到点F(0,4)的距离比到直线y＝－ 5的距离小1的动点M的轨迹方程为( A．y＝16x2 C．x2＝16y B．y＝－16x2 D．x2＝－16y )
解析 由题意可知动点M到点F(0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，故选C.
题型2 直接法求轨迹方程 典例 x2 y2 (2014· 广东高考)已知椭圆C： a2 ＋ b2 ＝
5 1(a>b>0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为 3 . (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的 两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
解
c 5 (1)由题意知c＝ 5 ， a ＝ 3 ，所以a＝3，b2＝a2－
用定义法．
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于 点A和点B，则有|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 又|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1 ＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且 2<|C1C2|＝6，|MC2|>|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点 C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.

第八章
平面解析几何
第八节 曲线与方程
最新考纲
考情分析
1.了解方程的曲线与曲线的
方程的对应关系．
曲线与方程一般在客观题中主要考查
2．了解解析几何的基本思想 圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、
和利用坐标法研究几何问题 抛物线方程，以考查待定系数法和定
的基本方法．
义法为主；在主观题中往往仅作为某
3．能够根据所给条件选择适 一问的形式出现，重点结合圆锥曲线
(1)求△ABC 外接圆的标准方程； (2)若过定点 P 的直线与△ABC 的外接圆交于 E，F 两点，求 弦 EF 的中点的轨迹方程．
【解】 (1)由题意得 AC 的中点坐标为(0， 2)，AB 的中点
坐标为12，32，kAC＝ 2，kAB＝1，故 AC 的中垂线的斜率为－ 22， AB 的中垂线的斜率为－1，则 AC 的中垂线的方程为 y－ 2＝－
2．小题热身
(1)若 M，N 为两个定点，且|MN|＝6，动点 P 满足P→M·P→N＝0，
则 P 点的轨迹是( A )
A．圆
B．椭圆
点(1,1)与到直线 x＋2y－3＝0 的距离相等的点的
轨迹是( D )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．一条直线
(3)已知点 O(0,0)，A(1，－2)，动点 P 满足|PA|＝3|PO|，则 P 点的轨迹方程是( A )
解析：因为抛物线 x2＝4y 的焦点 F(0,1)，设线段 PF 的中点 坐标是(x，y)，则 P(2x,2y－1)在抛物线 x2＝4y 上，所以(2x)2＝4(2y －1)，化简得 x2＝2y－1.
(5)已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－ 1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的 轨迹方程是_2_x_－__y_＋__5_＝__0___.

第十五页，共40页。
3
考点疑难突破
第十六页，共40页。
直接(zhíjiē)法求轨迹方程 [典 例 导 引]
已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
(1)求 M 的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．
第二十二页，共40页。
2．设 F(1,0)，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且M→N＝2M→P，P→M⊥P→F，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程．
解：设 M(x′，0)，P(0，y′)，N(x，y)， 由M→N＝2M→P，得(x－x′，y)＝2(－x′，y′)，
所以xy－ ＝x2′y′＝，－2x′，
必修(bìxiū)部分
第八章 解析几何(jiě xī jǐhé)
第八节 曲线(qūxiàn)与方程
第一页，共40页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共40页。
1
考情分析
第三页，共40页。
考点分布 考纲要求 考点频率 命题趋势
第二十八页，共40页。
定义法求轨迹方程 (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定 义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程； (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛 物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制．
[典 例 导 引]

意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x，y)＝0 ； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y) F1x，y＝0， 方程组 ＝0，则C1，C2的交点坐标即为________F__2_x_，__y_＝___0__的 实数解． 若此方程组无解，则两曲线无交点．
[谨记通法] 1．直接法求轨迹方程的2种常见类型 类型1：题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入 即可得出方程． 类型2：题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利 用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽 视，如“题组练透”第3题易漏λ≠0，x≠±1. 2．讨论曲线类型参数分段的2个标准 (1)二次项系数为0的值； (2)二次项系数相等的值．
1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念， 前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程 (包括范围)．
2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性 与纯粹性”的影响．
[小题纠偏]
1．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且
以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_______．
考点二 定义法求轨迹方程 常考常新型考点——多角探明
[典例引领] 已知动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x－1)2 ＋y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右 半轴的交点为A. (1)求轨迹T的方程； (2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹T相交于M，N两点(M，N不 在x轴上)．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点， 并求出该定点的坐标．

第八讲曲线与方程ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f （x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤重要结论1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线"是“曲线C上的点的坐标都是方程f（x,y)＝0的解"的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想（1）函数与方程思想:求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件（性质）表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．（2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形"的有机结合．(3）等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形"相互结合，在解决问题时又需要相互转化．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论错误的是（ABCD ）A．方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线B．到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2 C．y＝kx与x＝错误!y表示同一直线D．动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的题组二走进教材2．（必修2P37T3)已知点F(错误!，0），直线l：x＝－错误!，点B是l上的动点,若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( D ）A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线[解析] 由已知｜MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线．题组三考题再现3．（2019·广东汕头模拟）一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上,且动圆恒与直线x＋2＝0相切,则此动圆必过定点( B )A．(4,0）B．(2，0)C．（0,2) D．(0，0）[解析］圆心C在抛物线上，设与直线x＋2＝0相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线x＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2，0)，故选B．4．(2019·长春模拟）如图所示,A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是（ B ）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线［解析］由题意知，|EA｜＋｜EO｜＝|EB｜＋|EO|＝r（r 为圆的半径）且r〉|OA｜，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B．5．（2019·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0），C（5,0)，AB边上的中线长｜CD｜＝3.则顶点A的轨迹方程为__(x－10)2＋y2＝36（y≠0)__。

解
条件探究 将本例中的条件“圆 C 的方程(x＋ 2)2＋y2＝4”改为“圆 C 的
方程(x＋ 2)2＋y2＝16”，其他条件不变，求点 Q 的轨迹方程．
解 由(x＋ 2)2＋y2＝16 知圆心 C(－ 2，0)，半径 r＝4.
∵M→Q·A→P＝0，A→P＝2A→M，
∴QM 垂直平分 AP，连接 AQ，则|AQ|＝|QP|，
10>|AB|，所以顶点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆(去掉
解析 答案
(3)已知点 O(0,0)，A(1，－2)，动点 P 满足|PA|＝3|PO|，则点 P 的轨迹 方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 解析 设点 P 坐标为(x，y)，由|PA|＝3|PO|得(x－1)2＋(y＋2)2＝9(x2＋y2)， 整理得 8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.
解 由(x＋ 2)2＋y2＝4 知圆心 C(－ 2，0)，半径 r＝2. ∵M→Q·A→P＝0，A→P＝2A→M， ∴MQ⊥AP，点 M 为 AP 的中点，因此 QM 垂直平分线段 AP.如图，连 接 AQ，则|AQ|＝|QP|， ∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2. 又|AC|＝2 2>2，根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 C(－ 2，0)， A( 2，0)为焦点，实轴长为 2 的双曲线． 由 c＝ 2，a＝1，得 b2＝1， 故点 Q 的轨迹方程为 x2－y2＝1.
解析 答案
(2)在△ABC 中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨
迹方程是( )

考点二 定义法求轨迹方程
【例 2】 (1)△ABC 的顶点 A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的内 切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ___x9_2－__1_y62_＝__1_(_x_>_3_)_．
当的方法求曲线的轨迹方 的其他性质进行综合考查.
程.
01知识梳理 诊断自测 03微突破 提升素养
02考点探究 明晰规律 课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一 曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合
某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立 如下的对应关系：
第八章
平面解析几何
第八节 曲线与方程
最新考纲
考情分析
1.了解方程的曲线与曲线的
方程的对应关系．
曲线与方程一般在客观题中主要考查
2．了解解析几何的基本思想 圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、
和利用坐标法研究几何问题 抛物线方程，以考查待定系数法和定
的基本方法．
义法为主；在主观题中往往仅作为某
3．能够根据所给条件选择适 一问的形式出现，重点结合圆锥曲线
(1)求△ABC 外接圆的标准方程； (2)若过定点 P 的直线与△ABC 的外接圆交于 E，F 两点，求 弦 EF 的中点的轨迹方程．
【解】 (1)由题意得 AC 的中点坐标为(0， 2)，AB 的中点
坐标为12，32，kAC＝ 2，kAB＝1，故 AC 的中垂线的斜率为－ 22， AB 的中垂线的斜率为－1，则 AC 的中垂线的方程为 y－ 2＝－
那 么 ， 这 个 方 程 叫 做 ______曲__线__的__方__程_______ ， 这 条 曲 线 叫 做 __方__程__的__曲__线__．_________

第八节曲线与方程[备考方向要明了]考什么怎么考了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.轨迹方程的有关问题是高考的一个重要考向，通常以解答题形式出现，一般是第一问求轨迹方程，第二问考查直线与所求轨迹的位置关系，难度较大，如2012年辽宁T20，湖南T21等.[归纳·知识整合]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．[探究] 1.若曲线与方程的对应关系中只满足(2)会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已知曲线的一部分，也可能是整条曲线．2．动点的轨迹方程和动点的轨迹有什么区别？提示：“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的，前者只需求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程表示的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关数据．2．求曲线方程的基本步骤3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．[自测·牛刀小试]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线D ．双曲线右支解析：选C 根据双曲线的定义知动点P 的轨迹类似双曲线，但不满足2c >2a >0的条件，故动点P 的轨迹是一条射线．2．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：选D 当a ＝3时，点P 的轨迹是线段，当a ≠3时，点P 的轨迹是椭圆． 3．一条线段AB 的长为2，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一分支C ．圆D ．椭圆解析：选C 法一：设A (a,0)，B (0，b )，AB 中点为M (x ，y )则a ＝2x ，b ＝2y ，由AB ＝2，得2x －02＋0－2y2＝2，即x 2＋y 2＝1.法二：当A ，B 分别在x ，y 轴上时，由△AOB 是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，中点到原点的距离为1.当点A 或B 与原点重合时，中点到原点的距离也是1，故中点轨迹为单位圆．4. 已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是______________________．解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则x －12＋y ＋22＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y2＋2x －4y －5＝0.答案：8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝05．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足PA ·PB ＝x 22，则点P 的轨迹是______________．解析：设点P (x ，y )，则PA ＝(1－x,1－y )，PB ＝(－1－x ，－1－y )，所以PA ·PB ＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )·(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆． 答案：椭圆直接法求轨迹方程[例1] 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．[自主解答] (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点、焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．保持例题条件不变，若λ＝－2，过定点F (0,1)的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积的最大值．解：由例1(2)知，当λ＝－2时，轨迹C 为椭圆，其方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．由题意知，l 的斜率存在．设l 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程中整理得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个实根， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. 设d 为点O 到直线AB 的距离，则S △OAB ＝12|AB |·d ＝12 1＋k 2|x 1－x 2|·1k 2＋1＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝124k 2k 2＋22＋4k 2＋2＝2·k 2＋1k 2＋22＝2·1k 2＋1＋1k 2＋1＋2≤22， 当且仅当k ＝0，上式取等号． 故当k ＝0时，△OAB 的面积取最大值为22. ———————————————————直接法求轨迹方程如果动点满足的几何条件是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x ，y 的等式，从而可直接得到轨迹方程，这种求轨迹的方法称为直接法．1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，若动点P 满足PA ·PB ＝2，则动点P 的轨迹方程为________．解析：设P 的坐标为(x ，y )则PA ＝(－2－x ，－y ，)PB ＝(3－x ，－y )．由PA ·PB ＝2，得(－2－x )(3－x )＋y 2＝2，即x 2＋y 2－x －8＝0.答案：x 2＋y 2－x －8＝0定义法求轨迹方程[例2] 已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值． [自主解答] (1)由题意得|PA |＝|PB |. 则|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2， 所以动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3. 所以动点P 的轨迹E 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即(x －a )2＋y 2＝1， 则曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆．而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1， 故a 的最小值为－3＋1. ——————————————————— 定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．2．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是什么？解：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又∵|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，故点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．3．点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，求圆心M 的轨迹方程．解：已知圆为(x －3)2＋y 2＝64，其圆心C (3,0)，半径为8，由于动圆M 过P 点，所以|MP |等于动圆的半径r ，即|MP |＝r .又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差即|MC |＝8－r . 从而有|MC |＝8－|MP |，即|MC |＋|MP |＝8.根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |， 所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a ＝8，a ＝4；2c ＝6，c ＝3；b 2＝16－9＝7， 因此M 点的轨迹方程为x 216＋y 27＝1.代入法(相关点法)求轨迹方程[例3] (2012·辽宁高考)如图所示，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点．C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等．证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )，② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2. 从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值． ——————————————————— 代入法(相关点法)求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x ′，y ′表示成x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，整理化简即得动点P 的轨迹方程．4．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程； (2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ＝OM ＋ON ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解：(1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，两交点距离为23，满足题意．若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2， 得d ＝1.所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)． 因为OQ ＝OM ＋ON ，所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)即x 0＝x ，y 0＝y2.又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4， 即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴上，长轴为8、短轴为4且除去短轴端点的椭圆．1个主题——坐标法求轨迹方程通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一．3种方法——求轨迹方程的三种常用方法明确求轨迹方程的适用条件是求轨迹方程的关键．(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身是一些几何量(如距离与角等)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，就可运用直接法求轨迹方程．在运用直接法求轨迹方程时要注意：化简方程的过程中有时破坏了方程的同解性，此时要补上遗漏点或删除多余的点，这是不可忽视的．(2)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的类型，应用定义法，这样可以减少运算量，提高解题速度．(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，且相关点P满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程．此时应注意：代入法求轨迹方程是将x′，y′表示成x，y的式子，同时要注意x′，y′的限制条件.数学思想——分类讨论思想在判断方程表示曲线类型中的应用分类讨论思想是中学数学解题的重要思想，解析几何中许多问题涉及到分类讨论，如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数范围问题等都可能遇到因变量范围不同而结果就不同的情形，因此要对变量进行讨论，才能确定最后的结果．分类讨论题的一般步骤：确定分类的标准及对象→进行合理地分类→逐类进行讨论→归纳各类结果．[典例] (2011·湖北高考)平面内与两定点A1(－a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；(2)当m＝－1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈(－1,0)∪(0，＋∞)，对应的曲线为C2.设F1，F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S＝|m|a2.若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)设动点为M，其坐标为(x，y)，当x≠±a时，由条件可得kMA1·kMA2＝yx＋a·yx－a＝y2x2－a2＝m，即mx2－y2＝ma2(x≠±a)．又A1(－a,0)，A2(a,0)的坐标满足mx2－y2＝ma2，故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2.当m <－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆；当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1 <m <0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m >0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2ma2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．(2)由(1)知，当m ＝－1时，C 1的方程为x 2＋y 2＝a 2；当m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)时，C 2的两个焦点分别为F 1(－a 1＋m ，0)，F 2(a 1＋m ，0)． 对于给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，C 1上存在点N (x 0，y 0)(y 0≠0)使得△F 1NF 2的面积S ＝|m |a 2的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝a 2，y 0≠0， ①12·2a 1＋m |y 0|＝|m |a 2. ②由①得0<|y 0|≤a ，由②得|y 0|＝|m |a1＋m.当0<|m |a1＋m≤a ，即1－52≤m <0或0<m ≤1＋52时，存在点N ，使S ＝|m |a 2； 当|m |a1＋m>a ，即－1<m <1－52或m ＞1＋52时，不存在满足条件的点N . 当m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋52时，由NF 1＝(－a 1＋m －x 0，－y 0)，NF 2＝(a 1＋m －x 0，－y 0)，可得NF 1·NF 2＝x 20－(1＋m )a 2＋y 20＝－ma 2，设|NF 1|＝r 1，|NF 2|＝r 2，∠F 1NF 2＝θ，则由NF 1·NF 2＝r 1r 2cos θ＝－ma 2，可得r 1r 2＝－ma 2cos θ，从而S ＝12r 1r 2sin θ＝－ma 2sin θ2cos θ＝－12ma 2tan θ，于是由S ＝|m |a 2，可得－12ma 2tan θ＝|m |a 2，即tan θ＝－2|m |m .综上可得， 当m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－52，0时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan ∠F 1NF 2＝2；当m ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋52时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan ∠F 1NF 2＝－2；当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞时，在C 1上，不存在满足条件的点N .[题后悟道]1．对参数m 的分类讨论是本题的一个特色，同时本题的求解思维需要考生回归课本，真正理解和体会解析几何中运动变化的参数的存在价值．2．解析几何中对几何图形的探究，对轨迹方程的探究，其实就是对方程问题中涉及的参数进行分类讨论与整合归纳，要求对参数讨论遵循“不重不漏”的原则．[变式训练]设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．解：设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)， 可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m >0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0<m <1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m >1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0,m 2－1)．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足|OP ＋AP |＝2，则P 点的轨迹方程是( ) A ．4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0 B ．4x 2＋4y 2－4x －8y －1＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：选A 设P 点的坐标为(x ，y )，则OP ＝(x ，y )，AP ＝(x －1，y －2)，OP ＋AP ＝(2x －1,2y －2)．所以(2x －1)2＋(2y －2)2＝4，整理得4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0.3．下列各点在方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0表示的曲线上的是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(1，－1)D ．(1，－2)解析：选D 验证法，点(0,0)显然不满足方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0，当x ＝1时，方程变为1－y ＋2y ＋1＝0，解得y ＝－2，则(1，－2)点在曲线上．4．(2013·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析：选D ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.5．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2，y 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AC ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝8(x －2)D ．y 2＝－8(x －2)解析：选B AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 2，BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，则AC ⊥BC 得2x ＋y 24＝0，即y 2＝－8x .6．(2013·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ＝2PA ，且OQ ·AB ＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP ＝2PA ，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.点Q (－x ，y )，故由OQ ·AB ＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入上式得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析：由正弦定理：|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线右支．答案：16x 2a 2－16y23a 2＝1(x >0且y ≠0)8．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程__________．解析：设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．解析：F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2.又A 、B 、M 、F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1,0)也适合这个方程，即y 2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．答案：y 2＝2(x －1)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过双曲线x 2－y 2＝1上一点M 作直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．解：设动点P 的坐标为(x ，y )点M 的坐标为(x 0，y 0)， 则N (2x －x 0,2y －y 0)．由N 在直线x ＋y ＝2上，得2x －x 0＋2y －y 0＝2.① 由PM 垂直于直线x ＋y ＝2，得y －y 0x －x 0＝1， 即x －y －x 0＋y 0＝0.②由①②得x 0＝32x ＋12y －1，y 0＝12x ＋32y －1，代入双曲线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋32y －12＝1， 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.即点P 的轨迹方程2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0. 11．已知动圆P 过点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14且与直线y ＝－14相切． (1)求圆心P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．解：(1)由已知，点P 到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14的距离等于到直线y ＝－14的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 为抛物线，其方程为x 2＝y .(2)证明：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)． ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴AN ，BN 的斜率分别为2x 1,2x 2. 故AN 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，BN 的方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22.两式相减，得x N ＝x 1＋x 22，又x M ＝x 1＋x 22，所以M ，N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴．12．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．解：(1)法一：设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝x －52＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以x －52＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二：由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明：当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.② 由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根， 所以y 1y 2＝20y 0＋4k 1k 1.④同理可得y 3y 4＝20y 0＋4k 2k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400y 0＋4k 1y 0＋4k 2k 1k 2＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400y 20－y 20＋16k 1k 2k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.1．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选A ∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线， ∴|PA |＝|PQ |.又∵|PA |＋|OP |＝r ， ∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |.由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆． 2．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，D 是AB 的中点．(1)求动点D 的轨迹C 的方程；(2)过点N (1,0)作与x 轴不垂直的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点，若在线段ON 上存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，试求m 的取值范围．解：(1)设D (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，33x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－33x 2. 因为D 是线段AB 的中点， 所以x ＝x 1＋x 22，y ＝33·x 1－x 22. 因为|AB |＝23，所以(x 1－x 2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫33x 1＋33x 22＝12.所以(23y )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33×2x 2＝12，即x 29＋y 2＝1.故点D 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆方程x 29＋y 2＝1，得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0， 所以x 1＋x 2＝18k21＋9k2.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋9k2.所以PQ 中点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫9k 21＋9k 2，－k 1＋9k 2.因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以k MH ·k ＝－1.所以－k1＋9k 29k 21＋9k2－m ·k ＝－1，即m ＝8k 21＋9k2.因为k ≠0，所以0<m <89.又点M (m,0)在线段ON 上，所以0<m <1.综上，0<m <89.3．(2012·江西高考)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA ＋MB |＝OM ·(OA ＋OB )＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．解：(1)由MA ＝(－2－x,1－y )，MB ＝(2－x,1－y )，得 |MA ＋MB |＝－2x2＋2－2y2，OM ·(OA ＋OB )＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得－2x2＋2－2y2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .(2)直线PA ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204， 且与y 轴的交点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－x 204，分别联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204，故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204·2＝4－x 204，而S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，则S △QAB S △PDE ＝2.即△QAB与△PDE的面积之比为2.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

第八节 曲线与方程
【知识重温】
一、必记3个知识点 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元 方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是①_这__个__方_程__的__解__． (2)以这个方程的解为坐标的点都是②___曲_线__上__的_点_____．那么这个 方程叫做③__曲_线__的__方_程__________，这条曲线叫做④___方_程__的__曲__线____．
解析：因为圆M与圆N相内切，设其切点为A，又因为动圆P与圆M、圆N都外 切，所以动圆P的圆心在MN的连线上，且经过点A，因此动点P的轨迹是射线AM 的反向延长线(不含切点A)，其方程为：y＝0(x<－2)．
悟·技法 代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征 是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只 需将点P的坐标转移到点Q的方程中，整理可得点P的轨迹方程．
考点二 定义法求轨迹方程[互动讲练型] [例1] 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P 与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
悟·技法 定义法求轨迹方程的解题策略
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某 种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
悟·技法
直接法求轨迹方程的方法 在不能确定轨迹形状时，要根据题设条件，通过“建(系)、设(点)、 限(条件)、代(代入坐标)、化(化简与证明)”的步骤求轨迹方程，关键 是把位置关系(如垂直、平行、距离等)转化为坐标关系．

m＝ 2＋1x， 解得n＝ 2＋2 1y，
由|C→D|＝ 2＋1，得m2＋n2＝( 2＋1)2，
所以( 2＋1)2x2＋ 2＋2 12y2＝( 2＋1)2， 整理，得曲线E的方程为x2＋y22＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由O→M＝O→A＋O→B，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)． 由题意知，直线AB的斜率存在． 设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得 (k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 则x1＋x2＝－k22＋k 2，x1x2＝－k2＋1 2. y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝k2＋4 2.
已知两点M(－1,0)，N(1,0)且点P使
→ MP
→ ·MN
，
→ PM
→ ·PN
，
N→M·N→P成公差小于0的等差数列，则点P的轨迹是什么曲线？
[解] 设P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)得 P→M＝－M→P＝(－1－x，－y)， P→N＝－N→P＝(1－x，－y)， M→N＝－N→M＝(2,0)， 所以M→P·M→N＝2(1＋x)，P→M·P→N＝x2＋y2－1， N→M·N→P＝2(1－x)．
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件． (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．
() ()
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．
()
(4)方程y＝ x与x＝y2表示同一曲线．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是( )
所以|AB|－|AC|＝2 2， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝ 2，所以b＝ 2， 所以轨迹方程为x22－y22＝1(x＞ 2)．]

5
2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系。 (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)。 (3)列式——列出动点P所满足的关系式。 (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方 程式，并化简。
6
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 3．两曲线的交点
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝
4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y。
答案：(1)A (2)A
17
►名师点拨 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 (1)题目给出等量关系，求轨迹方程。可直接代入即可得出方程。 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程。可利用已知条件寻找等量关系，得 出方程。
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 □5
_公_共__解____，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两
条曲线就有几个交点，方程组□6 无__解____，两条曲线就没有交点。 (2)两条曲线有交点的 □7 _充__要___条件是它们的方程所组成的方程组有实数解。
8
(1)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的类型，应用定义 法，这样可以减少运算量，提高解题速度。
(2)代入法(相关点法)：当所求动点P(x，y)是随着另一动点Q(x′，y′)(称之为相 关点)而运动，且相关点Q满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程。此时应注 意：代入法求轨迹方程是将x′，y′表示成关于x，y的式子，同时要注意x′，y′ 的限制条件。
第八章
解析几何
1
第八节 曲线与方程

第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学 • 文理合订
返回导航
题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( × ) (2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(× ) (3)y＝kx与x＝1ky表示同一直线．( × ) (4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × )
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学 • 文理合订
返回导航
5．(2019·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长 |CD|＝3.则顶点A的轨迹方程为_______(_x_－__1_0_)_2＋__y_2_＝__3_6_(_y≠__0_) ____.
[解析] 设A(x，y)，由题意可知D(2x，2y)．又∵|CD|＝3，∴(2x－5)2＋(2y)2＝9，即 (x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点 A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
轨迹方程是( A )
A．x92＋y42＝1
B．3x62 ＋3y12 ＝1
C．x92－y42＝1
D．3x62 －3y12 ＝1
时与(圆3)C(21及01圆9·大C2庆相模外拟切)，已则知动圆圆C1圆：心(x＋M的3)2轨＋迹y2＝方1程和为圆_C_x_22：_－_(_yx8_2－＝__31_)(_2x＋_≤_y_－2_＝_1_9)_，__动__圆_.M同
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学 • 文理合订
返回导航
题组二 走进教材
2．(必修2P37T3)已知点F(
1 4
，0)，直线l：x＝－

第八节曲线与方程[考纲] 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的根本思想和利用坐标法研究几何问题的根本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．2．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当0<e<1时，圆锥曲线是椭圆；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线；当e>1时，圆锥曲线是双曲线．3．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．4．两曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，那么C1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1(x ，y )＝0，F 2(x ，y )＝0的实数解． 假设此方程组无解，那么两曲线无交点．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( )(2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( )(4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( )[解析] 由曲线与方程的定义，知(2)，(3)，(4)不正确，只有(1)正确．[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．假设过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，那么点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 D [由|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．]3．(2021·广州模拟)点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，那么动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，那么Q (x ，－1)．∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .应选A.]4．△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，那么顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )，那么D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2 ∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形，∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.]5．(2021·郑州模拟)在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，那么顶点A 的轨迹方程为__________.【导学号：57962416】x 22－y 22＝1(x >2) [以BC 的中点为原点，中垂线所在直线为y 轴建立如下图的坐标系，E ，F 分别为两个切点．那么|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．]直接法求轨迹方程动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MNC的方程．[解]如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|.2分当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，那么H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42. 5分又|O1A|＝(x－4)2＋y2，∴(x－4)2＋y2＝x2＋42，化简得，y2＝8x(x≠0). 10分当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x. 12分[规律方法]x，y表达的与定点、定直线有关的几何量的等量关系时，等量关系又易于表达成含有x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．2．运用直接法应注意的问题：(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能无视的．(2)假设方程的化简过程是恒等变形，那么最后的验证可以省略．[变式训练1] 两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程.【导学号：57962417】[解] 设点P (x ，y )，那么MP →＝(x ＋1，y )，NP →＝(x －1，y )，MN →＝(2,0).3分故MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝MP →·NP →＝(x ＋1)×(x －1)＋y 2＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝－2(x －1)＝2(1－x ). 6分 因为MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，所以2(x 2＋y 2－1)＝2(x ＋1)＋2(1－x ). 10分且NM →·NP →－MP →·MN →＝2(1－x )－2(x ＋1)＝－4x <0，整理得，x 2＋y 2＝3(x >0)，故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0).12分 定义法求轨迹方程如图8-8-1所示，点C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)．P是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 所在的直线上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2 AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．图8-8-1[解] 由(x ＋2)2＋y 2＝4知圆心C (－2，0)，半径r ＝2.2分∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 为AP 的中点，因此QM 垂直平分线段AP . 6分 如图，连接AQ ，那么|AQ |＝|QP |，∴||QC |－|QA ||＝||QC |－|QP ||＝|CP |＝2.又|AC |＝22>2. 8分根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线.10分由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1. 12分[迁移探究] 假设将本例中的条件“圆C 的方程(x ＋2)2＋y 2＝4〞改为“圆C 的方程(x ＋2)2＋y 2＝16〞，其他条件不变，求点Q 的轨迹方程．[解] 由(x ＋2)2＋y 2＝16知圆心C (－2，0)，半径r ＝4.2分 ∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2 AM →，∴QM 垂直平分AP ，连接AQ ，那么|AQ |＝|QP |， 6分 ∴|QC |＋|QA |＝|QC |＋|QP |＝r ＝4. 8分根据椭圆定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆. 10分由c＝2，a＝2，得b＝ 2.因此点Q的轨迹方程为x24＋y22＝1. 12分[规律方法] 1.定义法求轨迹方程，关键是理解解析几何中有关曲线的定义．在求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，优化解题过程．2．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，那么应对其中的变量x或y进展限制．[变式训练2](2021·全国卷Ⅰ选编)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值；(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．[解](1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 3分又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 5分(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)因此|AB|＝2，那么|EA|＋|EB|＝4>|AB|. 8分由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x 轴的交点)，所以a＝2，c＝1，那么b2＝a2－c2＝3. 10分所以点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．故曲线方程的离心率e ＝c a ＝12. 12分相关点(代入)法求轨迹方程如图8-8-2所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.图8-8-2(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．[解] (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，∵点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |，∴x P ＝x ，且y P ＝54y .2分∵P 在圆x 2＋y 2＝25上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1， 故轨迹C 的方程是x 225＋y 216＝1. 5分 (2)过点(3,0)且斜率为45的直线l 的方程是y ＝45(x －3)， 7分设此直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y 216＝1得：x 225＋(x －3)225＝1，化简得x 2－3x －8＝0，∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412，10分 那么|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415.∴直线被曲线C 所截线段的长度为415. 12分[规律方法] 1.相关点法求轨迹方程，形成轨迹的动点P (x ，y )随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的．2．“相关点法〞的根本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)．(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．[变式训练3] (2021·武汉模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，那么动点Q 的轨迹方程是__________.【导学号：57962418】x 24a 2＋y 24b 2＝1 [作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ，那么四边形F 1PF 2M 为平行四边形，所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝－2OP →.又OQ →＝PF 1→＋PF 2→，所以OP →＝－12OQ →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，那么x 0＝－x 2，且y 0＝－y 2，又点P (x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，那么有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1.][思想与方法]1．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0.(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(3)代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．(4)待定系数法：所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．2．曲线的方程与方程的曲线是从两个方面提醒方程与曲线的对应关系，表达数与形的辨证统一．[易错与防范]1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的．检验可从以下两个方面进展：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．。