【精品】高中数学 选修1-1_双曲线及其标准方程_ 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)提高

2.2.1 双曲线及其标准方程问题导学一、双曲线定义的应用活动与探究1若一动点P (x ，y )到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之差的绝对值为定值a ，讨论点P 的轨迹．迁移与应用1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．2．设P 为双曲线x 216－y 29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．二、双曲线的标准方程及应用活动与探究2设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．迁移与应用若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －b(1)求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论．(2)待定系数法求双曲线标准方程的步骤：①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．②设方程：根据上述判断设方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．③寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c的方程组．④得方程：解方程组，将a，b代入所设方程即为所求．三、与双曲线有关的轨迹问题活动与探究3如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．迁移与应用设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，求C的圆心轨迹L的方程．(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，根据双曲线的定义，从而得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．答案：课前·预习导学【预习导引】1．差的绝对值两个定点两焦点间的距离预习交流1提示：当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a＝0时，点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹不存在．当|MF1|－|MF2|＝2a＜|F1F2|时，点M的轨迹是双曲线的一支．2．x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2预习交流2(1)提示：在x2，y2的系数异号且双曲线方程化为标准方程的前提下，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(2)提示：x(－5,0)和(5,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：由于a≥0，|AB|＝4，所以讨论a应分以下四种情况：a＝0,0＜a＜4，a＝4，a＞4．解：∵|AB|＝4，∴(1)当a＝0时，轨迹是线段AB的垂直平分线，即y轴，方程为x＝0；(2)当0＜a＜4时，轨迹是以A，B为焦点的双曲线；(3)当a＝4时，轨迹是两条射线y＝0(x≥2)或y＝0(x≤－2)；(4)当a＞4时，无轨迹．迁移与应用1．解：连接ON，ON是△PF1F2的中位线，所以|ON|＝12|PF2|．因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，所以|PF2|＝2或18，|ON|＝12|PF2|＝1或9．2．解：由方程x216－y29＝1，得a＝4，b＝3，故c＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．① 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．活动与探究2 思路分析：(1)利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应首先明确焦点在哪个坐标轴上；(2)若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)，再将点A (±15，4)代入求λ，进而求方程．不过这种解题方法有一定的技巧性．解：方法一：设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3．又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线方程为y 24－x 25＝1．方法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程可得A (±15，4)．因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入方程得(±15)227－λ＋4236－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．所以双曲线方程为y 24－x 25＝1．迁移与应用 A 解析：设点P 为双曲线右支上的点， 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．活动与探究3 思路分析：建立直角坐标系，根据所给的三角函数式借助正弦定理得到边的关系式，然后根据双曲线的定义，得到其轨迹方程．解：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理得，2|CB |＋|AB |＝2|AC |， 从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |．由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去双曲线的右支与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6． 又A ，B ，C 三点不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x ＞2)．迁移与应用 解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2， 所以||CF 2|－|CF 1||＝4＜|F 1F 2|＝25．∴圆心C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，且2a ＝4，2c ＝25． ∴a ＝2，c ＝5．∴b 2＝c 2－a 2＝1． ∴C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1．当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c =．3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或23答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8， 而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56 解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a R R AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y -上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)． 由两点间距离公式得 |MF |＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。

双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F F |21)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程及简单几何性质(1)定义：实轴和虚轴长相等的双曲线，叫做等轴双曲线.其方程的一般形式λ=-22y x .(2)性质：①渐近线方程：x y ±=；②离心率2e =.4.有共同渐近线的双曲线方程(1)当已知双曲线的渐近线方程x a b y ±=,可设双曲线方程为)0(b y a x 2222≠λλ=-.(2)与双曲线1b y a x 2222=-有相同的渐近线的双曲线方程可设为)0(by a x 2222≠λλ=-.基础巩固：1.双曲线216x-29y=1的左、右焦点分别为F1,F2,P在双曲线上,且|PF1|=2,则|PF2|等于___________.2.已知点F1(-4,0)和F2(4,0),一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6,该曲线方程是________________.3.已知方程23xk-+25yk-=1表示双曲线,则k的取值范围为____________________.4.双曲线24x-25y=1的离心率e等于__________.5.已知双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为____________.6.已知双曲线过点),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为.7.椭圆24x+22ym=1与双曲线22xm-22y=1有相同的焦点,则m的值是___________.8.已知双曲线225x-29y=1的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于_________.例题讲解：例1双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,求双曲线的渐近线方程变式训练：设双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,求双曲线的渐近线的斜率例2已知中心在原点,x-y=0,求双曲线的离心率.过双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.例3已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0),右顶点为(1)求双曲线C的方程;(2)若直线C恒有两个不同的交点A和B,且OA·OB>2(其中O为原点),求k的取值范围.变式训练：已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-22y=1于A,B两点,且ON=12(OA+OB).(1)求直线AB的方程;(2)若过N的直线交双曲线于C,D两点,且CD·AB=0,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?1.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|=5,若实轴长为8,则△ABF2的周长为( )(A)16 (B)18 (C)21 (D)262.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )(A)1 (B)17 (C)1或17 (D)以上答案均不对3.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是( )(A)(-3,-2) (B)(-∞,-3) (C)(-∞,-3)∪(-2,+∞) (D)(-2,+∞)4.已知双曲线22xa-23y=1(a>0)的离心率为2,则a等于( )(A)2 (B) (C) (D)15.以椭圆24x+22y=1的长轴端点为焦点,以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为_____________.6.设F1,F2是双曲线C的两焦点,点M在双曲线上,且∠MF2F1=,若|F1F2|=8,|F2M|=,则双曲线C的实轴长为_______________.7.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为_____________8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.9.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为___________.10.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )(A)(B) (C) (D)。

第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q ≤1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数；(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；(4)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0.1.利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2.利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈ B ，且A ⊉ B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.[特别警示] 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. ※ 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切； (2) p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3) 设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m ； (4) 设α∈)2,2(ππ-，β∈)2,2(ππ-，p ：α＜β，q ：tan α＜tan β.1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.※求证：关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.若关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个正实根，求m的取值范围？第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题p∧p2.全称量词3.1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解. 数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同，日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致，表示而且的意思. 数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致，表示否定的意思.2.解决该类问题基本步骤为：(1)弄清构成它的命题p 、q 的真假； (2)弄清它的结构形式；(3)根据真值表判断构成新命题的真假.※ 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题. 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证p (x )成立.2.要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可.3.要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.※ 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. (1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0有唯一解； (4)存在实数x ，使得2112=+-x x 。

2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)知识点二等轴双曲线思考在双曲线标准方程中，若a＝b，其渐近线方程是什么？答案y＝±x.梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × ) 2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( √ ) 3．方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .( × )4．等轴双曲线的离心率为 2.( √ )类型一 双曲线的几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .反思与感悟 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪训练1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.类型二 由双曲线的几何性质求标准方程 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(4)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)方法一 由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.方法二 由题意可设所求双曲线方程为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．由题意，得⎩⎨⎧1m －4n＝1，n m ＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－329.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上，得44－93＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(4)方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上． 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝1＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.方法二 因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧．①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(5,4)． 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 解 (1)由题意知，2b ＝8，c a ＝53，又c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝3，b ＝4， 故双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)由题意知，2a ＝6,2c ＝4a ＝12， 又b 2＝c 2－a 2， ∴a 2＝9，b 2＝27，∴双曲线方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.(3)∵ca＝2，∴双曲线为等轴双曲线，则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ>0)， 将点(5,4)代入双曲线方程，得λ＝9， ∴双曲线方程为x 29－y 29＝1.类型三 与双曲线有关的离心率问题 命题角度1 求双曲线离心率的值例3 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )A ．2或233B ．2 C.233D. 3考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 A解析 因为双曲线的两条渐近线的夹角为60°，所以有以下两种情况(以焦点在x 轴上为例)：(1)如图①所示，其中一条渐近线的倾斜角为60°；(2)如图②所示，其中一条渐近线的倾斜角为30°.所以该渐近线的斜率为k ＝3或k ＝33.当双曲线焦点在x 轴上时， 有b a ＝3或b a ＝33. 因为b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝3或c 2－a 2a 2＝13，所以e 2＝4或e 2＝43，得e ＝2或e ＝233；同理，当双曲线焦点在y 轴上时， 则a b ＝3或a b ＝33， 所以b a ＝33或ba ＝ 3.同理可得e ＝233或e ＝2.故选A.反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca.(2)依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化为离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后，利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．跟踪训练3 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过A (a,0)，B (0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 2解析 如图所示，在△OAB 中， |OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ， |AB |＝a 2＋b 2＝c .因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |， 所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ， 两边同除以a 2，得34⎝⎛⎭⎫b a 2－b a ＋34＝0， 解得b a ＝3或b a ＝33(舍去)．所以e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.命题角度2 求离心率的取值范围例4 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(2＋1，＋∞) C ．(1，2＋1) D ．(1，3)考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线离心率的取值范围答案 B解析 由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形，且AF 2＝BF 2， 只要∠AF 2B 为钝角即可． 由题设可得AF 1＝b 2a ，所以有b 2a >2c ，即2ac <c 2－a 2，解得e ∈(1＋2，＋∞)． 故选B.反思与感悟 求离心率的取值范围技巧 (1)根据条件建立a ，b ，c 的不等式；(2)通过解不等式得c a 或ba的取值范围，求得离心率的取值范围．跟踪训练4 若在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为________． 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线离心率的取值范围 答案 (2，＋∞)解析 由于到原点O 和右焦点F 距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为x ＝c2.依题意，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x ＝c 2与右支有两个交点，故应满足c 2>a ，即ca>2，得e >2.1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 答案 C解析 双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 答案 B解析 由题意知，a ＝5，b ＝3，∴双曲线标准方程为x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1.3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.3414B.324C.32D.43 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，则e ＝c a ＝32.4．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.22B.12 C ．1D. 2考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 答案 A解析 双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线y ＝±x ，所以x ±y ＝0，所以顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.5．已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题 答案 B解析 根据题意，双曲线的方程为x 29－y 2m ＝1，则其焦点在x 轴上，直线x ＋y ＝5与x 轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标为(5,0)，则有9＋m ＝25，解得m ＝16，则双曲线的方程为x 29－y 216＝1，其渐近线方程为y ＝±43x ，故选B.1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．一、选择题1．双曲线25x 2－9y 2＝225的实轴长、虚轴长、离心率分别是( ) A ．10,6，345B ．6,10，343C ．10,6，45D ．6,10，43考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 答案 B解析 双曲线25x 2－9y 2＝225即为x 29－y 225＝1，可得a ＝3，b ＝5，c ＝a 2＋b 2＝34，则实轴长为2a ＝6，虚轴长为2b ＝10，离心率e ＝c a ＝343. 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1B. 3 C ．2 3D ．2 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 C解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F (4,0)到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程答案 A解析 由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12. 又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 4．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 C解析 若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率为c a ＝1＋1a 2∈(1，2)．故选C. 5．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( ) A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 D解析 因为0<k <5， 所以两曲线都表示双曲线．在x 216－y 25－k＝1中，a 2＝16，b 2＝5－k . 在x 216－k －y 25＝1中，a 2＝16－k ，b 2＝5. 由c 2＝a 2＋b 2知，两双曲线的焦距相等，故选D.6．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与椭圆y 25＋x 2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±13x D ．y ＝±3x 考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 A 解析 椭圆y 25＋x 2＝1的焦点坐标为(0，±2)． 双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，± 1m ＋1， ∴1m ＋1＝2，∴m ＝13， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .故选A.7．已知双曲线x 22－y 2b ＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 C解析 ∵y ＝x 为渐近线方程，则b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 2＝2.当x ＝3时，y 20＝1.又双曲线的半焦距为2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝－1＋1＝0.故选C.8．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5B ．2 C. 3D. 2考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝ a 2＋b 2a 2＝2，故选D. 二、填空题 9．已知双曲线x 2m 2＋16－y 24m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为________． 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 ±35解析 由题意m 2＋16＝25,4m －3>0，∴m ＝3，4m －3＝3，∴该双曲线的渐近线的斜率为±35. 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________________．考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程答案 x 24－y 243＝1 解析 ∵顶点(±a,0)到渐近线的距离为1， ∴33a 1＋13＝1， 解得a ＝2.∵b a ＝33，∴b ＝233. ∴双曲线方程为x 24－y 243＝1. 11．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 2解析 设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2， 所以y ＝±b 2a. 因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝2(负值舍去)． 12．若双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________________．考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 y 236－x 212＝1 解析 椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，所以a ＝6，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线方程为y 236－x 212＝1. 三、解答题13．已知双曲线E ：x 2m －y 25＝1. (1)若m ＝4，求双曲线E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E 的离心率为e ∈⎝⎛⎭⎫62，2，求实数m 的取值范围． 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质解 (1)当m ＝4时， 双曲线方程化为x 24－y 25＝1， 所以a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y ＝±52x .(2)因为e 2＝c 2a 2＝m ＋5m ＝1＋5m ，e ∈⎝⎛⎭⎫62，2， 所以32<1＋5m<2， 解得5<m <10，所以实数m 的取值范围是(5,10)．四、探究与拓展14.过双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 C解析 由双曲线x 23－y 25＝1，知a ＝3，b ＝5， 设双曲线的右焦点为F 1，连接PF 1，可以得到|MO |＝12|PF 1|， 又∵|PF 1|＝|FP |－2a ，∴|MO |＝|FP |－2a 2. 连接OT ，∵|FT |2＝|OF |2－|OT |2＝c 2－a 2＝b 2，∴|FT |＝b ，∴|MT |＝|MF |－|FT |＝|FP |2－b ， ∴|MO |－|MT |＝b －a ＝5－ 3.15．已知等轴双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F .(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；(2)椭圆E 的中心在原点O ，右顶点与F 点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A ，B 两点(A 在第一象限)，若AB ⊥AF ，试求椭圆E 的离心率．考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)， 则2a ＝4，解得a ＝2，∴双曲线的方程为x 24－y 24＝1，渐近线方程为y ＝±x . (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由(1)知F (22，0)，于是a ＝2 2.设A (x 0，y 0)，则x 0＝y 0.①∵AB ⊥AF ，且AB 的斜率为1，∴AF 的斜率为－1，故y 0x 0－22＝－1，② 由①②解得x 0＝2，∴A (2，2)，代入椭圆方程为2(22)2＋2b2＝1， 解得b 2＝83，∴c 2＝a 2－b 2＝8－83＝163， 得c ＝433，∴椭圆E 的离心率e ＝c a ＝43322＝63.。